PP
on voit que ce sont toujours des ellipses, telles que ABA'B', semblables entre elles, puisque leurs axes, qui s’obtiennent en posant successivement z = o, y = o dans l’équation (3),
SURFACES DU SF.C0ND DEGRÉ. 53y
conservent un rapport indépendant de h. Ces ellipses augmentent indéfiniment avec /t, tant que cette quantité est positive; mais elles deviendraient imaginaires si h était négatif. Il résulte de là que le paraboloïde elliptique est une surface composée d’une nappe qui s’étend à l’infini dans un seul sens.
Lorsque p — p', les ellipses (3) deviennent des cercles, dont les centres sont situés sur l’axe OX, et dont les plans sont perpendiculaires à cette droite ; par conséquent, le paraboloïde est de révolution, et peut être engendré par l’une des demi-paraboles OA ou OB.
396. Paraboloïde hyperbolique. — Les coefficients P' et Q étant positifs, si P" est négatif, la surface que représente l’équation ( i ) se nomme paraboloïde hyperbolique. Cette surface , comme la précédente , ne coupe les axes qu’à l’origine; les plans XY et XZ sont des plans principaux; les paraboles AOA', BOB' [fig. 194) sont appelées sections principales. Elles ont pour équations :
z — o et y‘ = — = 2 px,
y — o et z1 =z — ^7,= — 2 p'x‘,
.la seconde ayant un paramètre négatif tourne sa concavité vers les x négatifs. Quand on introduit les paramètres de ces courbes dans l’équation du paraboloïde, elle devient
Les plans parallèles à YZ coupent cette surface suivant des hyperboles représentées par
(5) x — h et — — Z— = 2. h.
Leurs axes, qu’on détermine en posant successivement
z = o, y = o, dans l’équation (5), conservent entre eux un rapport indépendant de h: ainsi, toutes ces hyperboles sont semblables , et elles s’agrandissent indéfiniment avec la valeur absolue de h ; mais leur position change avec le signe de cette quantité. En effet, pour une valeur positive h = 00', l’équation (5) montre que l’hyperbole (FDH, F'D'H'|) a son axe réel O'D dirigé parallèlement à OY, et son axe imaginaire O'S vertical, tandis que pour une valeur négative h — 00", l’équation (5) donne une hyperbole (IKL, l'K.'L') dont l’axe réel 0"K est vertical, et dont l’axe imaginaire 0"N est parallèle à OY.
Quand on pose h=o dans (5), on reconnaît que le plan YZ coupe le paraboloïde suivant deux droites
qui sont les asymptotes communes à toutes les hyperboles précédentes projetées sur ce plan YZ.
On conclut de ce qui précède que le paraboloïde hyperbolique est une surface composée d’une seule nappe continue, qui s’étend à l’infini vers les X positifs et vers les x négatifs, mais dont la courbure présente une forme opposée dans ces deux régions.
397. Chacun des deux paraboloïdes peut être engendré par une des deux paraboles principales, BOB' [fig.tÿi et 194) par exemple, qui se mouvrait parallèlement à ellemême, et de manière que son sommet glissât constamment sur l’autre parabole principale AOA'.
Considérons le paraboloïde elliptique où ces deux courbes ont pour équations . \
AOA' •. i = o et y’ = 2 px ,
BOB' y — o et z' — 2 p'x.
Lorsque la génératrice BOB' [fig. ig3) sera venue dans
SURFACES DU SECOND DEGRÉ. 53gf
une position quelconque DE, son sommet D, dont nous représenterons les coordonnées par 00?— y, 0'D = d, se projettera en (y sur le plan XZ; et comme la courbe mobile est dans un plan parallèle à ce dernier, elle conservera en projection le même paramètre 2/?'; ses équations seront alors
D’ailleurs, le sommet D étant toujours sur la directrice AOA', il faudra que ses coordonnées x = y, y= d, z = o satisfassent aux équations de cette dernière courbe; ce qui donnera la relation (g) ■ 8'-=zpy.
Les quantités y et d variant d’une position à l’autre de la génératrice , il en résulte que si l’on élimine y et d entre les équations (f) et (g) , l’équation qu’on obtiendra sera celle de la surface engendrée. 11 suffit de porter dans [g) les valeurs de d et de y tirées des équations ('/)', on trouvé alors
îÿ
ou
La surface déterminée est donc réellement un paraboloïde elliptique.
On opère d’une manière semblable pour le paraboloïde hyperbolique, en partant des deux paraboles principales qui ont pour équations
AOA' , z = o , y,= ipx,
BOB' , y — o , z’ = — ip' x.
398. Cylindre parabolique. — Supposons que l’un des coefficients P ou P" soit nul dans l’équation P'j’4- P"z’= Qx.
Soit, par exemple, P'== o; l’équation se réduit à (a) Vy> = Qx,
qui représente un cylindre parallèle à l’axe des z, el dont la trace sur le plan XY est une parabole; la surface dont il s'agit est donc un cylindre parabolique.
L’hypollièse P,= o, P"— o donne x ~ o , qui représente le plan YZ. La surface n’appartient plus au second degré.
Remarque importance. — Les surfaces du second ordre peuvent être distribuées en cinq genres , savoir : l’ellipsoïde, l’hyperboloïde à une nappe, lliyperboloïde à deux nappes, le paraboloïde elliptique et le paraboloïde hyperbolique.
Toutefois, la classification n’est complète qu’autant que l’on rattache à ces surfaces , comme cas particuliers, les cônes et les cylindres. Nous ajouterons qu’une équation du second degré peut aussi donner deux plans qui se coupent, deux plans parallèles , un plan unique , une droite, un point, et peut même offrir des cas d’impossibilité.
Nature des sections planes des surfaces du second degré.
399. On a VU (n° 367) que toute section plane d’une surface du second degré est une courbe du second degré. Nous nous proposons de déterminer de quel genre sont les courbes du second ordre, que l’on obtient en coupant par des plans les différentes surfaces que nous avons examinées précédemment.
Démontrons d'abord que la projection d’une courbe du second degré sur un plan est une courbe du second degré de même espèce. Soient ClMD (fg- 19$) la courbe dont il s’agit, RS son plan, RS’ le plan de projection. Prenons dans le premier et dans le second plan l’intersection RX pour axe des x ; puis choisissons pour axe des y, d’une part OY, perpendiculaire en un point quelconque de RX dans le plan de la courbe, de l’autre 0\ projection de OY sur RS'.
SURFACES DU SECOND DEGRÉ. 54 1
Il est visible qu’un point arbitraire M ayant pour coordonnées OP et P.VI , sa projection M' sera déterminée par OP et PM'; les deux points auront la même abscisse, et comme l’ordonnée M'P = MPcos«, a. étant l’angle des plans RS et RS', il en résulte que, pour passer de l’équation de la projection à celle de la courbe, il suffit de mettre y cos a à la place de y dans la première. On voit alors que si l’équation de la projection est généralement
Ky'-k- B xy -t- Cil+. . . = o, celle de la courbe sera
A cos1 uy 1 + B cos ai/f Ci'+.. = o.
Or, B1 — 4 AG et (Bs — 4 AC) cos* a sont des quantités de même signe; donc la courbe et sa projection sont de même espèce.
On conclut de ce qui vient d’être dit, que, pour connaître la nature d’une courbe du second degré dans l’espace, il suffit de savoir quelle est la nature de sa projection sur un des plans coordonnés.
400. Maintenant, occupons-nous des diilérents genres de sections planes des surfaces du second degré.
Ellipsoïde. Prenons l’équation
(i) Par1 4- PV-+- P" ï1 = H,
et coupons la surface par le plan ( 2 ) z — rt/x 4- ny 4- k ,
L’élimination de z entre les équations (i) et {2) conduit à
(3) (P 4- P"/»1) x’4~ (P'4- P"«,)/,42P"wm/4-...= o,
résultat dans lequel la condition B* — 4AC<^o se trouve remplie, puisque
B1— 4 AC = — 4 ( PP' 4- P' P" m- 4- PP" «>). L’équation (3) est donc celle d’une ellipse. Par cousé-
quent, toutes les sections planes de l’ellipsoïde sont des
ellipses.
Hjrperboloïde à une nappe. — On passe de l’ellipsoïde à l’iiyperboloïde à une nappe, en changeant, dans ce qui précède, P' en — P'. Ici l’intersection de l’hyperboloïde
Par’-t- P'73 — P"z3 = H
et du plan
z = mx -f ny 4- / ,
peut être une ellipse , une parabole ou une hyperbole ; car on a , en faisant le changement indiqué ,
B1 — 4 AC = — 4 ( PP — V P" m1 — PP" n7 )
= 4 (P' P" m‘ 4- PP" tp — PP' ) ,
quantité qui est positive, nulle ou négative, suivant les valeurs de m et de n.
Hypcrboloïde à deux nappes. — Pour passer du cas précédent à celui de l’hyperboloïde à deux nappes, il suffit de changer partout P' en — P. L’équation de la surface est
Vx7—V'y7—V "*»= H.
La nature de son intersection par le plan z — mx 4- ny 4- k
dépendra des signes de la quantité B* — 4 AC ; or, on a B3 — 4 AC = 4 (PP'-*- PP" — P P" nP) ,
quantité qui petit être négative, nulle ou positive. Donc l’hyperboloïde à deux nappes donne pour sections toutes les courbes du second ordre.
Paraboloïde elliptique. — - L’équation du paraboloïde elliptique est
La projection sur le plan XY de l’intersection de cette sur-
SURFACES DU SECO.Nn DEGHÉ.
face par le plan
z — nu r + »/+/',
a pour équation
( p ' -t- pn})y' -+■ pm* x1 -+- lpnmxy-\- . . . — o.
Comme le binôme caractéristique B’ — 4 AC = — 4 PP'
il en résulte qtte les sections faites dans la surface sont toujours des ellipses ou des paraboles; d’ailleurs, ce dernier cas n’arrive que quand rn = o, c’est-à-dire quand le plan sécant est parallèle à l’axe du paraboloïde.
Paraboloïrle hyperbolique. — On passe du paraboloïde elliptique au paraboloïde hyperbolique, en changeant p' en — //. Si l’on combine l’équation
de la surface. que nous considérons, avec celle du plan z = nix ny -t- X-,
il viendra , pour la projection de la section ,
(x) (p1 — — pm'x- — 2 p ni/i xy -4- ... — o.
Ici la quantité R2 — 4 AC = 4 ppr m* pp' ni* -, doue toutes les sections planes du paraboloïde hyperbolique sont des hyperboles ou des paraboles, et ce dernier cas arrive seulement quand m = o, c’est-à-dire quand le plan sécant est parallèle à l’axe de la surface. Toutefois, parmi les hyperboles, il faut comprendre le système de deux droites, et parmi les paraboles, le cas d’une seule droite.
Du cône asymptote d’un hyperboloïde.
