Soit

1 équation d un hypcrboloïde à une nappe; 011 peut 1 écrire de celte manière :

jr‘ z1 x1

ou

Il est visible que cette dernière .équation peut être regardée comme résul tan t de 1 ’éli mi nation de yen tre les deux e'qua tions

ou de 1 élimination de â entre les deux équations

Eu considérant 7 et â comme deux quantités susceptibles de recevoir toutes les valeurs possibles , les équations ( 2) et (3) représenteront deux systèmes de droites toutes situées sur l’hyperboloïde.

Remarque. — La méthode précédente suppose qu’on a ramené l’équation de l’hyperboloïde à la forme (1). Nous allons en exposer une autre qu’on pourrait appliquer à l’équation non simplifiée.

Soit

l'équation d’un plan quelconque parallèle à l’axe des z; en éliminant y entre (1) et ( g ) , on obtient , /x z2 x2 ( b2 rt’a1 ) •+• 2 a fia3 x 4- a3(p3 — b 2)

tfT2 ’

équation qui représente la projection sur le plan XZ de l’intersection de l’hyperboloïde et du plan. Pour que cette intersection se réduise à deux droites, il faut que les valeurs de z soient du premier degré en x : le second membre doit donc être un carré, ce qui exige qu’on ait entre les indéterminées a et B , la relation

(i’4- a’ a’) (p3 — b 3) a2 = a’p’n1; d’où l’on déduit

P = \jb2-\- a2 a3,

le radical emportant avec lui le double signe ±. De cette manière, l’équation (4) donne effectivement deux valeurs du premier degré, et en les joignant, chacune à son tour, à l’équation ( g ) , il vient

y = ax -f- \j b7 ■+■ à1 a3,

y = ax -+- \j b2 a2 a.2,

— c (x J b7 à1 et* ■ -J- u7 a )

SURFACES DU SECOND DEGRÉ. 54j)

Ces deux systèmes d’équations, dans lesquels a est indéterminé, correspondent aux deux systèmes de droites contenues sur la surface.

Il est visible qu’on reproduirait l’équation de 1 hyperboloïde , en éliminant a entre les deux équations de l’un des systèmes.

Pour appliquer les résultats à l’ellipsoïde ou à l’hyperboloïde à deux nappes , il suffit de changer c en c — i , ou b en b y — J ; mais alors les résultats sont imaginaires; donc ces deux surfaces n’admettent aucune génératrice rectiligne , ce qui d’ailleurs est évident. >■»

406. Deux droites d'un même système ne sont pas dans un même plan .

Soient

les équations d’une droite du système ( y ). En ajoutant ces équations, après avoir multiplié l’une d’elles par une indéterminée k (n°348), on aura l’équation générale des plans qui passent par la droite dont il s’agit, savoir :

L’élimination de y et de z entre cette équation et les équations

d’une seconde droite appartenant au système (•/) conduit à

Pour que la droite soit tout entière dans le plan, il faut que cette dernière équation soit vérifiée, indépendamment de toute hypothèse faite sur x , ce qui exige que l’on ait

y'=y On conclut de là que les deux droites ( y ) et (y') ne peuvent être dans un même plan. On prouverait de la même manière que deux droites du système (5) ne sont jamais dans un même plan.

Deux droites de systèmes différents sont toujours dans un même plan.

Soient, en effet, les deux droites

les plans passant par la droite (y) ont pour équation générale

Éliminant^ et z entre cette équation et celle de la droite (d)* on obtient

H) HMH HH.

Pour satisfaire à cette équation , quel que soit x, il suffit de prendre k—yàj donc les deux droites que nous considérons sont dans un même plan.

407. On peut, par chaque point (x\ y1, z') de l’hyperboloïde, tracer sur la surface une droite du système (y) et une droite du système (d). En effet , puisqu’on a

il sera possible de trouver une valeur de y et une valeur de d, telles que l’on ait en même temps

SURFACES DU SECOND DEGRÉ

et

Les quantités variables y et c? étant ainsi déterminées, les équations