Î~HH
et
appartiendront à deux droites situées sur la surfaee et passant par le point quelconque ( x y', z').
•408. On vient de voir que les deux systèmes de droites qu’on peut tracer sur l’hyperboloïde
J.3 y ! Zz —
ont pour équations
En transportant ces droites parallèlement à elles-mêmes au
centre de la surface, leurs équations se réduisent à
L’élimination de y entre les deux premières ou de â entre les deux dernières, conduit h
On voit par là que :
Toutes les droites situées sur 1 hyperboloïde étant transportées au centre parallèlement à elles-mêmes , s'appliquent exactement sur le cône asymptote.
On déduit de cette propriété que :
Trois droites situées sur V hyperboloïde ne sont jamais parallèles à un même plan.
En effet, s’il en était autrement, il y aurait dans un même plan trois génératrices du cône asymptote.
409. Les sections planes des surfaces du second degré étant des courbes du second degré , il en résulte qué si , par une des droites qu’on peut tracer sur l’hyperboloïde , on fait passer un plan , ce plan coupera la surface suivant une seconde droite. Les sections obtenues de cette manière sont appelées sections rectilignes.
On donne aussi à ces droites le nom de génératrices rectilignes, parce qu’elles peuvent être regardées comme représentant les diverses positions d’une droite mobile qui , dans son mouvement, engendre la surface. Pour le prouver, prenons trois génératrices quelconques A, A', A" du
SURFACES DU SECOJSD DEGRÉ. • 553
système (y) ; par chaque point de A, menons une droite B du système (<$), laquelle coupera les droites A' et A". La condition de rencontrer les droites A, A', A" détermine le mouvement de la droite B; celte dernière ligne est dans le môme cas que si elle se confondait successivement avec toutes les droites du second système : donc elle engendre la surface.
Réci proquement, lorsqu’une droite glisse sur trois droites non parallèles à un même plan , elle engendre un hyperboloïdc à une nappe.
Soient A, B, C {fi g- 197) les trois droites données; par chacune d'elles menons deux plans respectivement parallèles aux deux autres ; ces six plans détermineront un parallélipipède dont nous prendrons le centre pour origine des coordonnées, en choisissant pour axes des parallèles respectives GX, OY, OZ aux trois droites données A, B, C.
Cela posé, en désignant par 2 a, ib , 2 c les longueurs des trois arêtes contiguës du parallélipipède, les équations des trois directrices seront
La génératrice sera représentée par
(G) ix = nn + p,
\ y ~nz -\ -q.
Puisque cette ligue doit rencontrer A, B, C, on a les équations de condition
(0 • —b — ne -+- q., ^
(2) a = me -H p ,
' 1 rn n
Il est visible qu’en éliminant m, n , p, q entre ces trois équations et celles de la génératrice, la relation entre x, y , z, à laquelle on parviendra , sera 1 équation de la surface engendrée par le mouvement de celte ligne le long des trois droites fixes.
L’élimination de p et de q donne d’abord y + b = n (z — e),
enfin, si l’on élimine m et n entre ces trois dernières équations , on obtient
(*4 -a) (y -h b) (*4-e) - (x— a)(jr— b) (z — c) = o, ou, en effectuant les calculs,
ayz -f- b xz -t- c xy ■+■ a bc = o.
La surface représentée par cette équation est du second degré; elle a pour centre l'origine des coordonnées : c’est un hyperboloïde à une nappe , puisque l’ellipsoïde et l’hyperboloïde à deux nappes ne peuvent évidemment admettre de génératrices rectilignes.
"T" 410. Nous devons faire remarquer que l’hyperboloïde de révolution à une nappe peut être engendré en faisant tourner autour de l’axe de révolution une quelconque des droites contenues dans la surface. Dans ce cas, l’ellipse de gorge se réduit à un cercle, et le cône asymptote est un cône droit.
Réciproquement : Lorsqu une droite tourne autour d'un axe fixe non situé avec elle dans un même plan, celte droite mobile engendre un hyperboloïde de révolution à une nappe.
Nous prendrons pour axe des z l’axe de la surface; pour axes des # et des y deux droites perpendiculaires entre elles,
SURFÀcfeS DU SECOND DEGRÉ. 555
situées dans le plan décrit par la plus courte distance de la génératrice à l'axe. Supposons que MG soit la génératrice dans une position quelconque, et M le point où cette génératrice rencontre le plan XY. Représentons par <J la plus courte distance OM de la génératrice à l’axe; par o> l’angle variable MOX , et par a , |3 , y les angles formés par la génératrice avec les axes; le troisième est constant, les deux autres sont variables.
Il est visible que les coordonnées du point M sont x—S cos u, sinw, z = o.
Les équations d’une droite passant par ce point sont de la forme
x — ^cosu = «z, y — S sin w = bz.
Or les formules du n° 334 donnant
cos a , cos Ê
ii = > !> — ->
cos 7 cos y
il en résulte que les équations de la droite MG peuvent s’écrire de la manière suivante :
x — 5 cos u y — S sin u z
cos a cos p cos 7
/ Cela posé , on a
cos’ a -+- cos’ p -4- cos’ 7 = 1;
de plus, les deux droites MG, OM étant perpendiculaires, et la seconde faisant avec les axes des angles dont les cosinus sont cos w, sin u et o, on doit avoir
cos a cos m -t- cos p sin w = o ,
d’où
cos a cos p v^cosla + cos’ P
sin u. cos u 1
et
cos a = rh sin 7 sin u , cas jî =r :qr sin 7 cos &>, n . o . 36*
— <1/ 1 — cos’ 7 ~ db sir
Les équations de la génératrice sont alors x = ± tang 7 sin a . z -t- S cos m , y qp tang 7 cos u.a S sin w.
Pour éliminer le paramètre variable «, on élève ces équations au carré, et on les ajoute*, il vient dans ce cas
x 7 + y‘ — tang’7.a’ = S*.
Cette équation est celle d'un hyperboloïde de révolution à
une nappe, dont les axes réels sont égaux à ad, et dont
1 axe imaginaire est "
tang 7 /
