KQCERRE DAKPEmüB

longues perpendiculaires sur le terrain. Le cordeau-equerre (p. iyS) ne peut jamais ctre très-juste, à cause des variations que l'humidité et la sécheresse font éprouver aux longueurs des cordes j il l’est même fort peu pour les grandes perpendiculaires. D’ailleurs on ne peut s’en servir que sur un terrain plan , uni. ^

Un autre instrument est donc nécessaire ; celui qu’on emploie se nomme équerre d'arpenteur (P. XIV, F. ao). Figurez-vous un prisme droit , octogonal et creux , en laiton , que porte un bâton ferré en pointe à l’autre bout, et placé selon l’axe. Les octogones des bases sont réguliers. J1 y a des fentes sur les faces latérales, dans les pl.ins de symétrie qui coupent ces faces perpendiculairement. Chaque fente est divisée en deux parties dans sa longueur : l’nne étroite et l’autre large qui est séparée en deux par un 111 de soie parallèle aux arêtes du prisme. C’est à la partie étroite qu’on applique l’œil. Quand le ül de la fente opposée couvre un jalon planté au loin verticalement , ce jalon et le pied P de l’instrument sont dans un même plan vertical.

L’équerre d’arpenteur reçoit plusieurs antres formes ; mais dans tous les cas, elle présente deux plans de mire AB, A'B' d'équerre l’un sur l’autre : c’est là ce qui fait l’essence de cet instrument. On peut donc aisément le remplacer, lorsqu’on en est dépourvu: il suffit de tracer sur une petite planchette, sur le fond d’un chapeau , deux droites qui se coupent perpendiculairement, de manière que leur croisement réponde à l’axe du bâton qui forme le pied.

Prorl. (o): Déterminer la hauteur d'un parallélogramme à l'aide de l'équerre <T arpenteur. ~

Plantez verticalement deux jalons C, D sur la base (P. VII, F. 3u) ; plantez l’équerre en F, de façon que le plan de mire AB . (P. XIV, F. ao) contienne les deux jalons : ce plan sera vertical et passera par l’horizontile CD ; faites planter un troisième jalon E dans le plan de mire A'B' : ce jalon et le pied P détermineront un second plan vertical d’équerre sur le premier. Par conséquent, - l’horizontale EF se trouvera perpendiculaire sur CD et formera la hauteur du parallélogramme ABCD (ayo). / ,

Vous voyez que le problème revient à celui-ci : Elever à l'aide de l'équerre d’arpenteur j une perpendiculaire sur une droite donnée CD, en un point F choisi ou désigné.

Probi. (6): Déterminer I la hauteur d'un triangle, à Paide de Péquerre d'arpenteur.

Plantez verticalement deux jalons B, C, sur le cété pris pour base (P. VII, F. 17); placez ensuite l’instrument de manière que le plan de mire AB (P. XIV, F. 20) contienne les deux jalons, et voyez , en visant par la fente A', si le fil de la fente B' couvre le jalon planté au sommet A. Estimez-vous que le plan de mire A'B' laisse le sommet A de deux mètres à droite? vous portez de deux mètres à droite le pied de l’équerre , et vous opérez comme dans 1*

Digii

MESTTKACE DBS TBIAKOLBS. 44^

première position. Le sommet Avons parait-il alors d’un décimètre à gauche du plan de mire A'B' ? vous rapportez l’instrument d’un . décimètre à gauche ; puis vous recommencez les observations.

Après quelques semblables tâtonnemens , après le second ou le troisième quand on a un peu d’habitude , on parvient enfin à donner au pied P, uneposilion D telle que le plan A'B' passe par le sommet A, en même tcfhps que le plan AB contient les jalons B, C. Alors l’horizontale AD est perpendiculaire sur l’horizontale BC et forme la hauteur du triangle ABC.

Vous avez reconnu , sans doute , qpie le problème est absolument celui-ci: Abaitser d’un point indiqué A, à Vaide de l’équerre d’arpenteur, une perpendiculaire sur une droite donnée BC.

* Mesurage des triangles^

463. Tout triangle T dont la base est B et la hauteur H , vaut la moitié du parallélogramme qui a cotte base et celle hauteur (191). Or, la snperflcic de cette dernière figure est B X H. La formule du mesurage d’un triangle est donc

T — BXH.

ellé SC traduit ainsi : Un triangle égale la moitié du produit de sa base multipliée par sa hauteur.

Probe, (a) : Mesurer un triangle dans IHntérieur duquel on peut opérer.

, Mesurez la base et la hauteur avec la même unité ; faites le produit des deux longueurs trouvées et prenez la moitié de ce produit.

Soient B= 5“,75 ctH = « a5. Vous aurez T =

: 7“”“, 7343 à moins de i centimètre carré.

On aurait absolument le même résultat, en prenant tout antre côté pour base : si la nouvelle base surpassait B , la hauteur serait pins petite que Hj si elle était moindre t[ue B, la hauteur surpasserait H , et il se ferait une compensation telle que le produit ne changerait pas..

. Pat»L. (i}: Mesurer un triangle ABC dans F intérieur duquel on ne peut opérer (P. VII, F. 33).

Menez par le sommet A, une parallèle à la base BC, et d’un point E de cette parallèle, abaissez une perpendiculaire sur le prolongement de BC. Celte perpendiculaire sera égale à la hauteur AD (6^, et vous pourrez appliquer la formule.

us MISUBACli DES TRUNGIIS.

PaOBL. (c) : Mesurer un triangle dont on ne peut connaître la hauteur.

Mesurez avec la meme unité, les trois côtés c, c/, c" du triangle T; faites la somme s de cé& longueurs et prenez-en la moitié; puis

multipliez la demi-somme -f par son excès sur c, et le produit par

l’excès de i sur c', et le second produit par l’excès de 1 sur c"; . a a

'enfin, extrayez la racine quarrée du troisième produit; celte racine exprimera en unités carrées, la superficie du triangle.

La formule est - . .

' Voici comment il convient de disposer le calcul ;

35,ia5 a

g Bi n ^ '

c=35,'ia5 — i5 = ao,ia5

d — 3S,ia5 — a3 ~ ia,iaS

c" = 35,iaS ■ — 3a, a5 = 21875

-xf- — 35,ia5 X2o,ia5= 7o6,89o6a5 — 7o6,89o6a5Xr2)«»5= 857i,o488a8 c^^-— = 8571,048 8a8 X a, 875=33 741,765 38o * T = 1/2874 «,765380 =i’54'”“,o84

Il suffit de conserver 6 décimales dans les produits qui eu ont davantage, si l'on veut sp borner aux millièmes de mètre cané pour la superficie; car 6 décimales en donnent 3 à la racine. Mais alors on doit'avoir soin d’augmenter de t la 6' décimale, quand ce qu’on néglige surpasse le chiffre 5.

Si vous mesurez le même triangle par ce procédé et par celui du problème (n% vous trouverez absolument la même superficie, et vous ferez ainsi une vérification de la dernière formule, qui tiendra lieu de la démonstration qu’on ne peut donner ici.

Probl. (d) : Sommer des objets également espacés et disposés en 'triangle équilatéral, ,

Supposons des boulets placés tangcntiellemeut les uns aux autres ,

MISVKÀCl DKS QtlDEIUTÈaBS*

de manière que les lignes des centres forment le triangle ABC (P. XIV, F. 19). Ce triangle est la moitié dn parallélogramme ABDC ; mais il contient de plus que cette moitié , les 5 demi -boulets situés en dehors, dans la rangée BC. Donc, pour avoir la somme des boulets du triangle équilatéral , il faut ajouter à la moitié de ceux du parallélogramme, la moitié du nombre des boulets d’uq côté.

Soit n le nombre des projectiles de chaque côté. Le parallélogramme ABCD en contiendra n’(p. 443, appl. 6), et par conséquent, il y en aura dans le triangle ABC,

Ainsi, pour sommer des objets, sphères, arbres, etc. , également espacés et disposés en triangle équilatéral , il faut faire le quarré du nombre de ceux d’un côté, y ajouter ce même nombre et prendre la moitié du total.

Si , par exemple, chaque côté du triangle contient 5 objets, comme

dans la figure , ce triangle en renfermera

Mesurage des quadrilatères'.

464. Le mesurage d'nn quadrilatère quelconque revient à celui des deux triangles qu’y forme une diagonale j il n’y a donc pas de procédés à donner pour le cas général ; mais il existe deux cas particuliers, pour lesquels on a des formules qui doivent être connues.

Pbobl. (a): Mesurer un Irapèse ABCD (P. XIV, F. ai). Mesurez les deux bases AB , CD ; faites-cn la somme ; multipliez cette somme par la hauteur BE , et prenez la moitié du produit ; cette moitié exprimera en unités carrées, la superficie du trapèze.

Si donc B est la grande base, b la petite et H la hauteur, on a pour formule, en désignant le trapèze par Tp,

Eflectirement, le triangle BCD ~ ; le triangle ABD qui

a même hauteur , vaut — , et leur somme on

^ BXH . ixH BxH-j-4xH (B-j-4)xH .

car on a le même produit soit qu’on multiplie B et 4 par le même nombre et qu’on additionne les deux rûultats, soit que la moitié plication se fasse apr^ l’addition de B et b.

l(ESimi.GB DES POLYGONES RÉGULIERS.

Probl. (6): Mesurer un quadrilatère dans lequel on ne peut opérer.

Le mesurage est analogue à celui du probl. c (p. 44^)) quand une circonférence peut être circonscrite au quadrilatère. Dans le cas contraire, il faut recourir au mesurage des polygones irréguliers.

Or , voici comment on reconnait qu’une circonférence, peut ou ne peut être circonscrite à un quadrilatère ABCD (P. XIV, F. aa). Prenez deux longueurs égales AE , AF sur les prolongemens des cotés d’un des angles , et mesurez À£ , EF ; portez A£ sur l’un des côtés de l’angle opposé G , de C en G , et sur le prolongement de l’autre, de C en H. Si GH = EF, les triangles EAF, GCH seront égaux (i64), l’angle A égalera l’angle GCH , et la somme des angles opposés A, BCD du quadrilatère, donnera 180° (45)- Far conséquent, il en sera de même des deux autres angles opposés B, D, et la circonférence qui passera par B, A, D, prendra aussi le point C. ,

, En effet, l’angle inscrit A aura pour .indication, la moitié de l’arc BCD (98); mais la somme des indications des angles 'A, BCD fait 180°, moitié de la circonférence. Donc, l’indication de BCD doit être la moitié du reste BAD de la circonférence ; donc * cet angle BCD est inscrit aussi, et le point C est sur la courbe.

Dès que vous aurez reconnu que GH = EF , mesurez les quatre côtés c, c', c", c"' du quadrilatère Q; faites-en la somme «5 prenez ïa moitié de cette somme; chèrehez la différence de chaque côté à cette moitié ; multipliez la première différence par la seconde ; puis le produit par la troisièi^e puis le nouveau produit par la quatrième; la racine quarrée du dernier produit sera en unités carrées la superficie du quadrilatère.

• Tous les calculs sont indiqués par la formule

EUe devient celle du probl. c (p. 446)» si l’on y fai* d"=.o, c’est-à-dire si le quadrilatère est réduit à un triangle. Pour la vérifier , il suffit de l’appliquer à un quadrilatère inscrit , préalablement mesuré comme l’indique le n° 464* "

Mesurage des polygones réguliers.

465. Tout polygone régulier peut être décomposé en triangles égaux AOB, BOC, etc. (P ..VIII, F. 18) qui ont le centre pour sommet commun, les côtés pour bases, et le rayon OG de la circonférence inscrite , pour hauteur. La superficie du polygone égale donc celle d’un de ces triangles , multipliée par leur nombre qui est le même que celui des côtés.

Soient AB = c, OG=: r, et n le nombre des côtés. La superficie

irisr&AGss DU CEaciB. *

du triangle AOB est

(463), et par conséquent le polygone

Comme le produit c X n est la somme des côtés, le contour du polygone^, on peut dire qu’u/i polygone régulier égale la moitié du produit de son contour multiplié par le rayon de la circonférence inscrite.

Probl. (a): SIesurerun polygone régulier \RC... (P.VIII, F. 1 8). CLcrcher le centre O ; abaissez de O une perpendiculaire sur un côté AB; mesurez cette perpendiculaire et le côté ; faites le produit des deux longueurs; mullipliez-le par le nombre des côtés et prenez

la moitié du résultat , conformément à la formule P = c><0<n^

Si, par exemple, e = 4"> r =r: 3“,46 et n = 6, on P ^ 4-:f3",46x6 I3-.84X6 ^ 83'"-,o4 ^ ^

PaoBt. (6): Déterminer, sans mesure, le rayon OG de la circonférence inscrite à un hexagone régulier (P, VIII, F. t8).

. Le rayon OA de la éirconférence circonscrite, forme un triangle ' rectangle avec OG et la moitié de AB; en outre OA = AB = c. Si donc OG est représenté par r, on a

c’ = b’4-, (ï53) ou r’=ze*

Par conséquent.

r= y^^* = îl/3=^X>.73205l.

Soit c=4"j comme dans l'exemple précédent; r=— X i,73a o5i

=r 3“,464 loa.

Mesurages du cercle.

466. Le cercle pouvant être considéré comme un polygone régulier d’un fort grand nbmbre de très-petits côtés , a pour superficie , la moitié du produit de sa circonférence multipliée par son rayon (a4o) ; car la circonférence est son contour , et la circonférence inscrite se confond avec ce contour. Si donc nous désignons par C' la superficie du cercle , par C la circonférence et par R le rayon , ,

nous pourrons écrire C’ — Mais C:=:*XD = irX aR.

Donc '

/5o MESURAGES DU CERCLE.

. ‘ '■ “ ^ > ce qui signifie que la superficie d’un cercle égalç le quarré numérique du rayon, multiplié par le rapport 3,i4i6 de la circonférence au diamhre. *

Le mesurage de la superficie d’un cercle n’est, comme vous voyez,' qù’un d-pou-près, mnsi que celiu de la circonférence. Pour qii’il fiit exact , n faudra^ que l’unité égalât la' superficie d'un cercle dont le rayon valût l’unité de longueur : la superficie de tout autre ' cercle contiendrait celle-là, 'autant de fois que l’exprimerait le quàrré numérique du rayon (a5a). Mais ùp tel m^urage ne serait pas en harmonie avec celui des autres sùpeificiês.

I ' Aii'rèstê,' l’approximation' de » pouvant être rendue aussi grande qu’on veut,' il n’y' aurait "aucun avantage pour la pratique, à employer un mesurage exact , au lieu de la formule C' = n X R*.

La quadrature du cercle, c’est-à-dire l’évaluation précise de sa superficie en 'mesures carrées , est 'donc une de cês ’ recherches puériles auxquelles un hôinme'de boii sens né doit pa|^ie j|vrer, même dans la 'supposition "qu’il y ait possibilité d’arriver à un résultat vrai. ^ '

PaoBL. (a) : Mesurer la superficie d’un cercle dans l’intérieur duquel on peut opérer. '' . . i

Cherchez le centre ; tire? un rayon et mesurez-le ; puis appliquez

la formule C’ =: »XR*. ' ' '

Soit R=:?“,i5. Vous trouverez C* = 3, 1416 X (a“,i5)'‘ = 3,i4i6 X ^“‘■",6aa5 =i4”“,5aao46r

. Probl. (6): Mesurer la superficie d’un cercle dans lequel on ne peut opérer, quand les extrémités d’un diamètre sont visibles Vune de l’autre.

Menez par un point D (P. IV, F. a8) , une droite DE tangente au cercle (p. lafi, probl. 6); placez l’équerre d’arpenteur au <;ontact A; faites mai^quer lé point G de l’alignement AC perpendiculaire à DE (462) ; la distance AC sera la longueur du diamètre (i 07) , et pour la mesurer, vous opérerez comme dans lef4-ol|||. b (p. 4a 1). H vous restera ensuite à faire l’application de la formule précédente.

Probl. (ç) : Ulesurer la superficie d!un cercle dont la partie centrale est occupée par un obstacle élA^é.

Mçncz par unjmint D (P. IV, F. a8), une droite DE tangente au cercle (p. laG, probl. ^),j élevez au cpniacl A et en dehors du cercle, une perpendiculaire sur DE> recourez au probl. b (p. 107), pour trouver du côté de Ç , deux points situés sur le prolongemeiM de la perpendiculaire. Vous pourrez alors marquer le point C, et mesurer AC, au moyen du probl. d(p- 422). Il vous restera ensuite à faire l’application de la formule C' = * X R’.