XA
; B X II (77), et comme u = t ,
• R = BXH.
Donc , le nombre de fois qu’un rectangle contient l’unlié de superficie, on la contenance de ce rectangle, est le produit des nombres qui expriment les longueurs de sa base et de sa hauteur, mesurées rcspcctivemcat avec la base et la hauteur de l unilé de superficie. Pour énoncer brièvement ce principe, on dit qu’uM rectangle égale le produit de sa base par sa hauteur.
Probe, {a): Mesurer un rectangle en mètres carrés et parties décimales du mètre carré.
La base et la hauteur de l’unité de superficie sont chacune égale au-mètre. Mesurez donc en mètres et parties du mètre , la base et la hauteur du rectangle, et appliquez la formule R = B X H.
Si par exemple B = 3"‘,455 et II = 2"‘,3a, vous aurez R = S"", 455 X •2“, 5a =: 8“™,oi56, c’est-à-dire que le rectangle Contient 8 mètres carrés et i56 dixmillièmes de mètre carré; car les mètres carrés s’indiquent par mm.
Observez , en faisant les mesurages des côtés inégaux d’un rectangle, de mettre encore plus de soin à celui du petit côté, qu’à celui du grand^i vous faisiez une erreur dans le premier, elle se trouverait r^d^e'au produit, autant de fois que le; grand côté contient du mesures , et l’erreur qui en résulterait pour la superficie , serait plus considérable que celle qui proviendrait^ d’une erreur pareille à la première , faite sur le grand côté , puisque celle-ci ne Serait multipliée que par) le nombre de mesures du petit côté.'
, MSSt'nAGB DES PAEALLÉIOCIUMMES . • 43)
Probi. (b); Mesurer un rectangle en mètres carrés et parties carrées.
Mesurez la base et la hauteur en mètres 'et parties du mètre; puis appliquez la formule, et partagez les décimales du produit en groupes de deux cliiflres chacun, à partir de la virgule. Si le dernier groupe à droite n’a qu’un chiffre, vous le compléterez en écrivant un zéro à la suite. Le i" groupe à gauche exprimera des décimètres carrés; le suivant, des centimètres carrés; le 3', des millimètres carrés; etc. (46o).
Soient, comme tout-à-riicure, B =3'",455 ctll = a™, 3a. La for- * mule donnera R= 3™, 455 a"", 3a = 8“"”,oi56 = 8"“” i'*‘* 56’';
c’est-à-dire que la superGrie du rectangle est de 8 mètres carrés , un décimètre carré et 56 centimètres carrés. ^
Soient encore 15", 6 et II = ao”,7a. Vous trouverez
R = 5a3'"'",a3a =3a3"’“,a3ao =: 3a3'“" aS'*'* ao”.
Probl. (c); Mesurer un rectangle en hectares. 0
Il convient d’employer la chaiue métrique (445), quand la superficie est grande. Cette chaîne a lo", mesure prise depuis l’extrémité intérieure de l’une des poignées en fer qui la terminent, jusqu’à l’extrémité intérieure de l’autre. Comme les chaînons dont elle est formée, ont 5 décimètres chacun, et que les mètres y sont marqués par des anneaux de laiton , elle permet de compter les mètres et même d’apprécier les décimètres que contient une longueur, en sus d’un nombre de décamètres.
Mesurez donc la base et la hauteur du rectangle avec la chaîne métrique; déduisez en décimètres les longueurs trouvées; multipliez l’un par l’autre les deux nombres qui en résultent; séparez six décimales et barrez les deux dernières. Dans le produit ainsi modifié, la partie entière exprimera des hectares , les deux premières décimales donneront des ares, et les deux dernières , des centiares. C’est parce que l’on néglige ordinairement les fr.iclions de centiare, qu’il est prescrit de barrer la 5' et la 6' décimale.
Supposons qu’on ait trouvé 1 5 décamètres , 4'" 5'* pour la base du rectangle et g décamètres, 3™ pour la hauteur. B = 1545“*,
H = gSa*', R = i 545‘‘ X gSa*' = 1439940'''* = i*'*,4399 = .'» 43‘99‘*. '
En effet, le nombre i43994t>'*'* peut se décomposer comme il suit : 4u décimètres carrés, 99 mètres carrés ou centiares , 43 déca- ^mètres carrés ou ares et i hectomètre carré ou hectare ; car le mètre carré est centaine, par rapport au décimètre carré (45°) j I® décamètre carré est centaine , par rapport au mètre carré , et l’hectomètre carré est centaine , relativement au décamètre carré. Or, si l’on supprime les 4o‘*‘*> qui forment seulement des centièmes de centiare, et qu'on' renverse l’ordre, il vient i hectare, 4^ ares et 99 centiares, où 1 hectare 4399 dixmillièmes d’Irectare.
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4^0 HESVIUGE DES P ARALl^LOGRAHMES .
Frobi. (rf): Mesurer un reetangle en toises carrées et parties carrées de la toise carrée. '
' Supposons que la base du rectangle soit de 5* 4’^' et que la hauteur ait a* O*"' S*"" to''. Vous convertirez ces deux longueurs en unités de la plus petite des espèces qu’elles renferment , en lignes par conséquent. Elles donneront , la première 4 896*, îa seconde i 834*. Multipliant l’un par l’autre ces deux nombres de lignes , vous trouverez 8 97ga64" pour la superficie du rectangle, et il vous restera à chercher combien ce nombre de lignes carrées forme de pouces carrés, de pieds carrés et de toises carrées. A cet effet, vous diviserez 8979264*' par i44" valeur d’un pouce carré ; le quotient donne exactement 62 356*’*’; il n’y a donc pas de lignes carrées dans le rectangle proposé. Divisant ensuite le nombre de pouces carrés par 144*’’’ valeur d’un pied carré, vous obtiéÉdfez 4**^ pour reste et 433*’*’ pour quotient. Divisant enfin le nombre de pieds carrés par 36*’*’ valeur d’une toise carrée, vous trouverez pour reste i*"** et pour (^otient 12“. Ainsi, le nombre 8979264"= 12“ i**** 4^^, c’est-à-dire que la superficie du rectangle vaut 12 toises carrées, I pied carré et 4 pouces carrés. ‘
Probl. (e): Mesurer un rectangle en toises carrées et parties rectangulaires de la toise carrée^
Supposez que la base du rectangle soit , comme dans le cas.précédent, 5* 4*’’ et que la hauteur ait aussi 2* o*”/8*’'’ lo*. Vouis ferez le produit de ces deux longueursypar Une multiplication complexe, en considérant le multiplicande 2' o*’' 8*’'’ 10', par exemple, comme exprimant des toises carrées , des toise-pieds , des toise-pouces , des toise-lignes , et en observant que la toise-pied vaut -, de la toise carrée , que la toise-pouce vaut de la toise-pied , que la toise-ligne vaut 75 de la toise-pouce (439). Veici l’opération :
Pour 5 toises 1 0“ 3'*" 8’*"’ 2"
Pour 3**' ou J toise. ...... . 104 5 '
Pour I*” ou ÿ de 3*’’ 2 i 5 ,
Le résultat est exactement égal au précédent 12“ t**^ 4*’*’; car une toise-ligne vaut 864" dont les J font 576" ou 4*’*’j I'*"" vaut 72*’*’, et 2'^’ valent i44^*’ ou i*’*’.
Prorl. (/) : Slesurer un rectangle en arpens et perches carrées.
A l’aide de la perche linéaire , ancienile chaine d’arpenteur , longue de 22^', vous trouverez, par exemple, 23 perches 5^' dans
HESCRAGE DBS PARALLiSloCRAMMES . 4^1
la base cl 12'* 18*" dans la hauteur. Faites une multiplication complexe avec ces deux nombres, en regardant le multiplicande comme exprimant des pcrclics carrées et des perche-pieds, observant qu’il y a 22 perche-pieds dans une perche carrée , i et décomposant les pieds en 1 1 , plus un certain nombre de fois 2 , plus 1 . Vous trouverez ainsi 297’’’’ iS'V
Ayant le nombre des perches carrées , il ne s’agit plus que de séparer les deux premiers chiffres à droite , dans la partie entière , pour avoir le nombre des arpens (458). Ainsi, la superficie demandée est à peu près 2*’^ 97’’*’>69 ou 2*'f,9769.
Probe, (g): Trouver l'un des côtés inégaux d'un rectangle, lorsque l'on connaît Vautre et la superjicie de la Jigure,
Convertissej la superficie donnée en unités carrées d’une seule espèce, et divisez-la par le côté connu , exprimé au moyen de l’unité linéaire correspondante. Le quotient sera l’autre côté exprimé au moyen de la même unité ; car de ce que R = B X H , il suit que
et que
jAppe. (a): Lorsque des sphères égales, des boulets par exemple, sont placées tangenliellemenl les unes aux autres et de manière que les ligues des centres forment un rectangle (P. XH, F. Sg), on obtient leur nombre total en multipliant le nombre de celles d'un des grands côtés, par le nombre de celles qui se trouvent sur un des petits côtés. On aurait ici 4è<3=ri2.
« n en est de même pour des arbres plantés en quinconce rectangulaire (p. 2 »
Appe. (fr) : Pour faire une salle rectangulaire qui contint a63°'°',925 et qui eût io'",35 de largeur, il faudrait lui donner
a63““-,Oï5 rm r en longueur - = 25”',5.
« Si l’on veut prendre dans une pièce de terre, un rectangle do i^“,4599 qui ait en longueur i54“‘,5, il faut convertir les hectares en centiares ou mètres carrés et diviser par i54”,5. On a ainsi
(probl. c). »
« Soit à trouver la hauteur d’un rectangle qui renferme la" 2’*’°“ et dont la base ait 5* 4^*. I-e premier nombre converti en toises carrées devient le second converti en toises donne
Divisant les toises carrées par les toises simples , on obtient
— 2’ St”” 9 ' 9*"”, pour la hauteur cherchée. »
« Soit encore à déterminer la hauteur d’un rectangle qui ait une base de 5* 4*"' et une superficie de 12“ if** 4’’*’. H ii>ut réduire le second nombre en pouœs carrés et le premier en pouces j c’est encore ce qui devrait être fait, si la base contenait des pouces , et
MESUElCE DES PÀRAILÉLOCfiAUiaS.
la superficie , seulement des toises carrées et des jpièds carrés. On trouve 6a356*’^ et 4o8f“. La division des pouces carrés par les pouces simples, donne i5aP“ ou ou a* 8»”, et il reste Siof?.
On aurait alors à multiplier ce reste par 1 44 , pour le convertir en lignes carrées , et le diviseur par i a , pour le convertir en lignes ; mais comme le dividende n’a pas de lignes carrées, on peut multiplier 34o par la seulement et conserver le diviseur 4o8 : le quotient io'‘ n’en est pas changé. Par conséquent, la hauteur cherchée contient a* 8'’" ;o'* (prol/1. d). »
Pbobl. (A) : Mesurer un carré.
Le carré étant un rectangle dont la base égale la hauteùr , a pour superficie le produit de son côté multiplié par lui-même (46 1). Si donc L représente la longueur du côté d’un carré C , la formule du mesurage est '
Elle se traduit ainsi ; la superficie d’un carré égale le quarré numérique du côté.
Soit L=ii8",i5. OnauraC = (t8"',i5)’=3a9'"'”,4«5.
Probl. (i): Trouver le côté d'un carré dont la supeifcie est connue.
Puisque la superficie est le quarré numérique du côté , ce côté est
la Vacinc quarréc de la superficie (455). Donc L = |/^C.
Si C = 3a9'"‘“,4aa5, on trouve pour lo côté, L= 1/3 a g”””, 4a a 5
Appi.. (a): Le nombre total de sphères égales qui remplissent un carré eii w touchant , égale Itr quarré du nombre de celles qui
forment un côté. ,. . .
« 11 en est de même du nombre total des cases d un damier et
de celui d’arbres plantés en quinconce carré (p. ai 3). »
Appi. (A); Le plan d’un pavillon carré doit renfermer ai“ 6*'j cl scra^le pourtour des fondations dans œuvre? Il faut d’abord réduire la superficie en ligses carrées. A cette fin, multipliez ai“ deuï fois par 6~ pour avoir des pieds carrés (457); puis le produit deux fois par la, pour avoir des pouces carres; puis le nouveau produit deux fois par la, pour avoir des lignes carrées. Ajoutez au résultat, le produit de C" par 864 , nombre des lignes carréea d’une toise-ligne (459); vous obtiendrez i5 681 600". Il faut ensuite extraire la racine de ce nombre ; elle est de 3 960'. Divisant cette racine par la, pour avoir des pouces; puis le quotient par la, pour avoir des pieds; puis le nouveau quotient par 6, pour avoir des toises, vous trouverez que le côté du carré interne des fondations doit être de a* 3’’’ 6*’°. Multipliant enfin ce nombre par 4, vous obtiendrez 10* a'* pour le pourtour cherché.
ÛQl'ÏRRE D’aRPBXTECR.
Pbobl. (k) : Mesurer un parallélogramme.
Les mesurages du parallélogramme se font absolument comme eeui du rectangle, et la formule est
# P = BXH;
car la superficie de celle figure égale celle du rectangle de même base et de même hauteur (190).
Soient G* la longueur de CU, base du parallélogramme ABCD (P. VII , F. 5a), et 16* la longueur de EF, perpendiculaire abaissée , sur CD, d’un point quelconque de AB. Vous aurez P = 6‘X i6‘
On pourrait aussi prendre pour base , le côté AD , et pour hau- ' leur, la perpendiculaire abaissée sur AD, d’un point quelconque de BC. Elles seraient difierentcs de CD, EF, mais leur produit donnerait encore 96'*.
Appl. («) ; On aurait un parallélogramme à mesurer, s’il s’agissait de toiser un mur vertical bâti selon uoe des lignes de pente d’un terrain ; car le faite et la ligne de terre seraient deux droites parallèles inclinées , et formeraient des angles aigus ou obtus avec les deux arêtes verticales du mur.
Appl. (b) : Si des boulets égaux sont plaeés tangendellcment les uns aux autres et de manière que les lignes des centres forment un parallélogramme (P. XIV, F. 19), on obtiendra le nombre total des projectiles , en multipliant le nombre de ceux d’un seul rang AB, par le nombre de ceux qui se trouvent dans la hauteur du parallélogramme , ou ce qui revient au même , par le nombre des rangs , ou encore par le nombre de boulets d’un AC des deux autres côtés parallèles du parallélogramme. Si, par exemple, AB contient 5 projectiles et que AC en contienne 5 aussi,, le nombre total sera 5 X 5 ou a5.
< Il entre donc le même nombre de boulets dans on parallélogramme et dans un carré (p. 44^ > appl. a), quand les côtés de l’une des figures , eu renferment autant que les côtés de l’autre. Toutefois , les deux superficies occupées sur le terrain par les projectiles, ne sont pas équivalentes : celle du carré est plus grande que celle du parallélogramme , parce qu’il résulte de l’arrangement des boulets dans les deux figures, que la hauteur du carré contient plus de pieds, par exemple, que celle du parallélogramme, bien qu’il y ait le même nombre de rangs dans ces deux hauteurs. »
« Ainsi, pour obtenir le nombre total de boulets, d’arbres, etc. également espacés , contenus dans un parallélogramme dont les côtés non parallèles en renferment le même nombre , il faut faire le quarré
de ce dernier nombre, comme si la figure était un carré. »
Equerre d’arpenteur. ; '
463. Le dernier des mesurages de sujmrfîcies qui précèdent et 1* plupart de ceux qui veut suivre, exigent souvent le tracé de
