GA, AB, BG, GF, FB, BC, CF, FE, EC, CD, DE
PaoBL. (b) : Arpenter avec t équerre, un polygone irrégulier dans lequel on peut opérer (P. XlV, F. a 4).
Prenez pour base d'opération, la plus grande diagonale AE du polygone; figurez sur un çroquis du terrain, cette diagonale et des perpendiculaires abaissées de tous les sommets sur AE; plantez un jalon en B qt cherchez le pied b de la perpendiculaire 6ô(probl. b, p. 444); mesurez la hauteur Kb et la base Bô du triangle rectangle AôB ; puis inscrivez les longueurs sur les droites correspondantes du croquis, observant de placer la cote de Ab au-dessus de cette ligne.
Il faut maintenant remplacer l’équerre par un jalon mis en 6, planter en C le jalon B, chercher le pied c de la perpendiculaire Ce, mesurer bc, cC, et inscrire ces longueurs sur le croquis, observant de placer au-dessus de bc, la cote de cette hauteur du trapèze BôcC.
Le jalon b doit alors être mis en c, et le jalon C en D, afin que vous puissiez marquer le pied de la perpendiculaire Dd, mesurer cd, dD, dE, et inscrire ces cotes comme les précédentes.
Retournant ensuite de E vers A, vous devrez opérer pour la partie EFCRIA du polygone, comme vous avez opéré pour la partie ABCDE. Ainsi, vous mesurerez E/cf la perpendiculaire f¥, puis successivement /g, gG, gh, kl, AH, /A, il, et vous inscrirez les hauteurs ¥.f,fg, etc. au-dessous de AE.
Vous connaiirez donc toutes les longueurs qui doivent servir au mesurage des triangles et des trapèzes dont se compose le polygone. Ayant calculé les superficies de toutes ces figures, vous en ferez la somme, sans y comprendre le triangle /HA qui ne- fait point partie du terrain à mesurer. Enfin, vous rctranche.-ez de cette somme, la superficie du même triangle /HA, attendu que vous l’aurez prise de trop, en calculant celle du trapèze ABCc.
Probl. (c) :i Arpenter sans équerre, un polygone dans lequel on ne peut opérer (P. XIV, F. a5).
Prolongez trois côtés du polygone, de manière à former un triangle ABC qui embrasse tout le terrain. Ce triangle doit n’avoir aucun de ses sommets sur ceux de la figure donnée , afin què ses côtés étant moins longs, soient plus faciles à mesurer. Appliquant la formule de la page 44^ (probl. c), on détermine la superficie de ABC, et celles des petits triangles ADE, BFG, CHI ; puis après avoir fait la somme de ces trois dernières, on la retranche de ABC. Le reste est évidemment la superficie du terrain DRFGHI.
45i HBSC&ACB DBS SDI*Eimdl<§ A LlXlitS COUB^.
Pkobl. (</) : Arpenter mec Péqiierre, ùn polygone daita lequel on ne peut opérer (P. XIV, F. 26).
Mariez par des jalons, les pieds A, B'des'perpendiculaii'és' à nb côté DI, (jrt passent par deux sommets E, H; marquez aussi le pied C dé là perpéndiculàire abaissée de G sur l*alignemeilt plantez enfin un 4' jalon à' la rencontrée K des' alignemens £','GG'. Vous aurez alors un rectangle ABCK qui renfermera le polygone donné et dont vous calculerez aisément la superficie (46 1\ La moitié du produit AD X AE vous donnera celle du triangle DAE.;'' la rriohié du produit BI X BIl sera’ celle dé IBH; la moitié db ' produit' CH' X CG sera celle de HCGl Abaissant la perpendiculaire’ FL, vous formerez un 4° triangle extérieur FLG et un trapèzcT EKLÿ que vous mesurerez aisément aussi (464) J faisant enfin la' somme des 4 triangles extérieurs et du trapèze, puis retranchant cette somme de la superficie du rectangle , -vous' cibtièndrez'évidéniment pdtir reste, celle dn terrain DËFGHI.
Mesuragé dôs^ superficies à limites courbes.^^:
468'. Lé niesuragé des superficies à limites’ courbes quelconques , repose sur trois principes fort simples, qui ne sont quë déà conséquences dii mesurage des' triangles' ét des trapèzes.
Supposons un polygone divisé en triangles ét en trapèzes dont les bases soient perpendiculaires ‘^à la diagonale AB, et qui aiènt' toùs même hauteué AE'(P. XIV, F. ayT. ,
Vous aurez la superficie du triangle ACD 'en ntUItipliant la moitié dé CD par AÉ (463), et. celle du trapèze CDFG eh multipliant la moitié de CD, plus la moitié dé FG, pâr AE (464). Conséquemment, la superficie de'AFG égale le produit de CD tout entier , plus la moitié de Fè , multiplié par AË. Mais la superficie du trapèze FGHI est le produit de la demi-somme de FG et dé III , multipliée par la haUteur AÉ. Donc, pour avoir celle de AIBiA, il faut multiplier par AË, la somme des deux’ bases CD, FG, augmentée de la moitié dé HI.
Vous verrez dé inêine que pour obtenir la superficie de AKLA ,
■ on doit multiplier par' AE , la sommé des bases CD , FG , HI , ♦ augmentée de la moitié de KL.
B est clair d’ailleurs que , si lé triangle KLB a même' hauteiir que les autres figures , sa superficie égalé la nioitié de KL multipliée par AE , et que pour avoir celle de tout le polygone , il faut multiplier par AE, la somme de toutes les bases.
Il est clair encore que, si le triangle’ ACD manquait ou qui! n’eût pas même hauteur que les trapèzes , on trouverait la superficie de CDKLC, en multipliant par AE, la somme des bases FG, HI, augmentée de.s‘ moitiés dé CD, KL.
De là CCS principes: i" Lorsqtïuh triangle et des trapèzes ont métne hauteur et' dètùc à deui une base commune, on' obtient la
! . (ti lOglc
MCSUIUGB DES SUPERFICIES A LUUTBS COURBES. 405
superficie totale AKLA en nudtipliant par cette hauteur AE, la somme de toutes les bases communes, augmentée de la moitié de celle KX< qui n appartient qu’au trapèze extrême IlIKL.
1° Lorsque dans une suite de trapèzes terminée par deux triangles, les figures ont toutes même hauteur et deux à deux une base commune, on obtient la superficie totale, en multipliant la somme de toutes les bases par une seule hauteur.
3° Pour avoir la superficie totale CDKLC iT une suite de trapèzes qui ont même haineuf et deux à deux une base conunune , il faut multiplier par la hauteur, la somme de toutes les bases communes, augmentée des moitiés des deux bases extrêmes CD, KL.
Probu. (a) : Mesurer une ^perfide limitép par des droites et des arcs de cercle.
Décompo$cz-la en polygones et en portions de cercles j mesurez chacune de ces parties, et faites la somme de tous les résultats. CeUc somme sera le nombre des mespres carrées contennes dans la superficie totale.
^’il s’agit, par exemple, de toiser les deu^ battans d’une porte gothique ABCDË (P. K, Fig. 4), vous calculerez la superficie du rectangle ABCD (46 ■ ), puis celle du triangle formé par les cordes AE, DE, puis celles des deux segmens compris entre ces cordes et les deux arcs. Pour trouver ces dernières , vous observerez que d’après l’application (6) de la page 076, le triangle AED est équilatéral, et que pu suite, les arcs contiennent chacun 60° (p, 45a
probl. À).
Paosio^^): Arpenter un terrain limité par une courbe qi^elcanqtte qui forme deux pointes (P. XIV, F. a8).
Portez sur l’alignement AB des deux pointes, des parties éga)cs AE assez petites pour que les portions correspondantes de la courbe puissent être regardées , sans grande errçur, comme des lignes droites; plantez des piquets à tous les points de division qui ep résulteront; élevez en cçs mômes points, sur AB, des per^idiculaires qui se terminent à la courbe des deux cotés (probl. a ,p. 444), et mesurez toutes ces cordes.
^ Si la bapteur du dernier triangle KLB égale celle AE des autres ugurcs que forment les cordes parallèles , vous multiplierez la somme de toutes ces cordes, par la hauteur générale AE (468 , a"). Dans le cas contraire, vous multiplierez par AE, la somme des c6rdes CD, FG, HI, augmentée de la moitié de KL; puis vous mesurerez à part le triangle KLB, pour en ajouter la superficie au produit précédent; vous aurez alors celle du terrain limité par la courbe GAFBH
eç U ^pitc GH (468, 1°).
' Mais, lorsqu’une des figures présente un rentrant ou un saillant, COinme qp’a sur la gauche , le trapèze FGIII , il faut encore mesu^r à p^t.qipttç partie , ppur l’ajouter , $i elle est en saillie , ou la retrancher, sr clic rentre, ün y parvient eu formant sur le côté GH
i^56 VE3ÜRAC8 DES SUPERFICIES A LIMITES COURBES.'
du trapèze, uo triangle GHM, dont le côté GM laisse sensiblement en dehors , autant de terrain qu’en fait entrer le côté HM. La super- , ficie de ce triangle égale à peu près celle du saillant ou du rentrant, et il est facile de la déterminer.
Probl. (c) : Arpenter un terrain limité par une courbe quelconque qui ne forme pas de pointes (P. XIV, F. ag).
Planiez deux jalons A, B aux extrémités^d’une des plus grandes cordes , et un piquet en G , sur l’alignement AB , près de A 5 portez sur AB , à partir de C , des parties égales assez petites , pour que les portions de courbe corréspondantes puissent être regardées , sans grande erreur, comme des lignes droites ; plantez des piquets à tous les points de division qui en résulteront ; élevez en ces memes points, sur AB, des perpendiculaires qui se terminent à la courbe de chaque côté; formez, en prolongeant DG, MP, les triangles DEF qui compense ACD, GUI qui compense ACG, KLM qui compense BQM , NOP qui -compense BQP ; mesurez toutes les cordes, depuis FI jusqu’à KN ; faites -en la somme; ajoutez-y la moitié de £11 et celle de LO ; puis multipliez le total par QR une des parties de GQ. Le produit sera la superficie de la figure AGINPBMKFDA à fort peu près (468 , 3°).
Probl. (rf): Arpenter un terrain à limites droites et courbes, dans lequel on peut opérer (P. XIV, F. 3o).
Agissez comme dans le prohl. b (p. 453), pour mesurer la partie que limitent les droites; puis, à partir de la perpendiculaire AB qui passe par le premier point B de la courhe, portez, sur la base d’opération GD, des parties égales, assez petites pour que les portions de courbe correspondantes puissent être regardées, sans grande erreur, comme des lignes droites; élevez sur GD , par les points de division , des perpendiculaires jusqu’à la courhe et mesurez-les, pour calculer la superficie de la figure ABEF (468 , 3°) ; faites ensuite le triangle DFG dont le côté DG ajoute autant qu’il retranÿc ; enfin additionnez les superficies GIIBA, ABEF, FGD , DGIKID ; vous aurez pour total , celle de tout le terrain.
Probl. (e) : Arpenter un terrain à limites droites et courbe^ dans lequel on ne peut opérer.
Il suffit de se conduire comme dans le probl. d (p. 454)» et de mesurer les parties comprises entre la courbe et les côtés du rectangle, comme on a mesuré , dans le problème précédent, le terrain compris
entre la courbe BED et la droite AD (P. XIV, F. 3o).
Probl. (/): Arpenter un terrain à limites courbes, dans lequel on ne peut opérer. '
Entourez le terrain d’un rectangle; mesurez les parties comprises entre les côtés et la courbe, comme on a mesuré , dans le probl. (d), la figure comprise entre la courbe et la base d’operation ; puis '
D ^ 5- -■ hy Googif
PÀRTACB DBS CHjLMPS.
Retranchez la somme de ces parties , de la superficie du rectangle -, le reste sera celle du terrain donne.
Mesurage des terrains en pente. >
469. La vraie superficie d’un terrain en pente, c’est-à-dire d’un polygone situé sur un plan incliné , s’obtient comme celle d’une figure dont le plan est de niveau. Mais , sous le rapport des produits agricoles , on doit chercher seulement la superficie du polygone horizontal qui se trouverait compris entre les mêmes plans verticaux que le polj’gone incliné ; car , si d’un côté les plantes bases peuvent s’étaler plus amplement sur ce dernier, d’un autre les plantes à tiges ou à racines pivotantes n’y viennent pas en plus grand nombre, et le sol y est toujours moins fertile que dans un champ de niveau, attendu que les grandes pluies le dépouillent peu à peu de la terre végétale.
PaoBLisiB : Arpenter un terrain en pente.
Opérez comme dans celui des problèmes précédens qui se rapporte an cas où se trouve le terrain , observant de mesurer horizontalement , comme toujours , les lignes dont les longueurs sont nécessaires au calcul des trianglel et des trapèzes qui composent le polygone donné.
Partage des champs.
470. C’est presque toujours sur le telTain même , que les arpenteurs exécutent le partage d’un cliàfnp en plusieurs portions de même superficie ou de contenances déterminées. Les petites erreurs qu’on peut commettre alors , n’ont jamais d'importance , tandis que celles qu’on fait en opérant le partage sur un plan, comme dans les problèmes du n° a34 , deviennent quelquefois fort grandes , quand le tracé est reporté sur le polygone levé.
Nous commencerons par le trapèze; il est un des polygones les plus simples , et celui qu’offrent d’ordinaire les champs.
Pbobl. (a) : Partager un trapèze ABCD en un nombre quelconque de trapèzes équioalens , par des droites qui aillent d une base à l’autre (P. XIV, F. 3i).
Supposons qu’on veuille trois portions de même superficie. Mesurez la base AB , prenez le tiers de sa longueur et portez-le de A en £, puis de E en F. Mesurez ensuite la base CD et traitez-la de la même manière. Les aligiicmens EG , FU des piquets ou des bornes plantées aux points de division, partageront le trapèze comme il est requis.
Les trois trapèzes ACGE, EGIIF, FUDB ont en effet même superficie, car ils ont même hauteur, et leurs bases, tant les supérieures que les inférieures, sont égales (p. 447j probl. a).
458 PAHTAGI DBS CHAMPS.
Pbobl. (il): Partager un trapèze ABCD en un nombre quelconque de trapèzes équivalcnsj par des droites parallèles aux bases (P. XIV, F. 3ï).
Prolongez les côlcs non parallèles AD, BC, jusqu’à ce qu’ils se coupent en G; mesurez GB , GC; multipliez le quarré numérique de GB par le nombre n de portions moins une ; ajoutez le résultat au quarré de GC ; divisez la somme par le nombre n des portions j puis extrayez la racine du quotient ; le résultat sera la distance de G au point Ë , par lequel doit être menée, parallèlement aux bases, la première des lignes de division. ^
Pour avoir l’autre extrémité F de cette parallèle, vous pourrez faire sur GA ,'GD, ce que vous aurez fait sur GB , GC , ou employer la proportion CB " GE 1 1 GA 1 GF (79).
Alors , il vous restera à partager le trapèze EFDC en n — i portions équivalentes , et pour cela vous agirez sur GE , GC , en employant n — i au lieu de n et n — a au lieu de n — i , comme vous aurez agi sur GB, GC.
« En effet, ABCD == GCD * — GAB; donc la n'*”* partie du
, âBCD ADiri? GCD — GAB a n a- 4121717
irapeze ou ou ABEF = — . Mais GAB“*"ABE1F
rt n
= GEF ; donc aussi ■ ’
Qgp GAB “1“ — GAB GAB X n GCD — GAB
GABx(u — O + GCD ^
Or les triangles GEF, GAB, GCD étant semblables («69),* se contiennent comme les quarres numériques de leurs côtés corres— pondans (aSo). Par conséquent, *
GB x(o — GC gj * / ^B X (o *) ~h GC
De même
GF
GA'x(n— i)-f GP*
Si donc on désigne par d, la distance de l’une des extrémités de la petite base au coucours G des côtés non parallèles <Ju trapèze^ par ü , la distance du même concours à l’extrémité correspondante de la grand® Base ; par x , la distance du même concours à l’extrémité coçrespondante de la ligne de division , la plus voisine de la petite base ; la formule à employer sera
Supposons qu’on veuille partager le trapèze ABCD en 2 trapèzes équivalcns, et que d = GB =: 7"“, D =: GC = 20”. Comme
