PART^IGS BUS CHAMPS

H = a , 71 I Z=!il Cl X A / -

49“” + 4oo"

= 4/724"“, 5 = i4",983. Ainsi, c’est à i4”,983 de G, qu’il faql planter le piquet ou la borne E.

Soit maintenant d — GA = S™. Au lieu de mesurer GD et de calculer GF par la formule, il est plus simple d’employer la proportion GB ; GE : : GA : GF. Elle donne GF =

?4 ,9'S io“,702. C’est donc à io"‘,702 de G, que doit être ^ 7

plantée la borne F.

Si GB, GC, G A consersCnt les longueurs précédentes , et qu’il faille partager le trapèze ABCD en 3 portions équivalentes , vous aurez-

d=7“, 'D = 20“, n= 3, n — i = 2 et x= i

i9“”X> + 4oo“

point H de la première parallèle de division sera donc à 12", 884 du concours G, et ABIIK sera le tiers de ABCD. Donc, IIKDC en sera les deux tiers , et pour avoir le point I de la 2““' parallèle de division , il faudra opérer comme s’il s’agissait de partager le trapèze KlIDC en deux portions équivalentes. Alors, d = GH = i2“,884, D = GC = 2o'” et n=2.

Dans le cas où l’on voudrait 4 portions équivalentes, on cliercberaii la première en faisant, dans la formule, rf=:7“, D= 20™, n r= 4 j puis i® reste du trapèze ABCD serait partagé en 3 portions équivalentes, comme il l’a été tout entier précédemment.

Application : Le laboureur fait presque toujours ses sillons parallèlement aux bases du trapèze que forme son champ , et cela pour que les plus courts aient au moins la longueur de la petite base AB (P. XIV, F. 5a). S’il les rendait parallèles à AD ou à BC, la charrue ne pourrait retourner la terre vers C ou D. C’est donc d’après le problème 6, que doit se faire le partage d’un terrain en trapèze, quand rien ne s’y- oppose : il laisse aux plus petits sillons, plus de longueur que le problème a. #

Phobl. (c): Partager un polygone quelconque ABCDE en plusieurs portions équivalentes (P. XIV, F. 53).

Pour la facilité de la culture, les portions doivent être des quadrilatères. Supposons qu’on en veuille quatre. Vous arpenterez d’abord le polygone et vous trouverez, par exemple, G67'“'",87. Chaque quadrilatère devra contenir le quart de ce nombre de mètres carrrés, on t66‘"“,g7. Divisez celle superficie par la longueur , 23”’, 5o de AF, perpendiculaire sur CBj le quotient 7'”,4a sera la

PAnTACS DES CDAMPS.

base d’un triangle égal à la moitié de 166"“, 97, car celte base multipliée par AF donnerait iG6""”,97 dont il faudrait prendre la moitié pour avoir la superficie du triangle (463). Portez donc 7'°, il de B en G ; le triangle BAG sera la moitié d’un des quadrilatères cherchés. Pour trouver l’autre moitié, vous diviserez 166"“, 97 par a5”, longueur de GH, perpendiculaire sur AE ; vous porterez le quotient 6“', 68 de A en I , et vous tirerez Gl. Ce triangle AGI dont la superficie sera la moitié de a5"'X6'”,68, vaudra la moitié de i66”'”,g7, et par conséquent, le quadrilatère ABGI sera le premier quart du polygone.

Si maintenant vous portez AI de I en K , le triangle IGK, qui aura aussi GII pour hauteur , vaudra AGI ou la moitié de i66""”,97. Pour déterminer un autre triangle équivalent, ou pour achever le deuxième quart du polygone, vous diviserez a 66“™,97 par a6“*,75, longueur de KL, perpendiculaire sur BC ; vous porterez de G en M, le quotient 6'",a5 et vous joindrez les points K, M. Le quadrilatère IGMK sera la seconde des portions demandées.

Vous pourriez former la troisième de la même manière ; mais il serait à craindre qu’elle eût cinq côtés et que la dernière fût triangulaire. Pour être certain d’obtenir encore deux quadrilatères , vous calculerez le triangle KDE , au moyen de sa base KE = 6” et de sa hauteur DN ~ la". Retranchant de i66"'“,97 la superficie 56“'" de KDE, vous trouverez i3o“”,97 pour celle du triangle qui ajouté à KDE formera le troisième quadrilatère. Si donc vous divisez i3o““,g7 par 7”, moitié de la perpendieulaire DO, le quotient i8“,7i sera la base KP du nouveau triangle KDP j le quadrihilère KEDP donnera le troisième quart du polygone , et le quadrilatère restant DCMP en sera la quatrième portion.

Il pourrait arriver que le triangle KDE eût une superficie plus grande que le quart du polygone donné. Alors, cl s'il vous était indilTérent d’avoir, pour une des parts, un triangle ou un quadrilatère, vous retrancheriez i66“'",97 de la superficie de KDE; le reste serait celle d’un triangle .i ôter de KDE. Pour en connaitre la base, vous diviseriez ce reste par la moitié do DN; puis vous porteriez le quotient de K en R , par exemple. Le triangle RDE serait la troisième portion , et le pentagone KRDCM serait la quatrième. Mais s’il fallait absolument qu’aucune des parts ne fût triangulaire, vous feriez sur tout auü^ triangle KEM , KCM , etc. , ce qui a été fait en premier li|p jurKDE.

Il serait possible«ussi qu’une des limites du polygone fût sinueuse. Vous la décomposeriez en petites parties qui pussent être regardées, sans grande erreur, comme des lignes droites, et vous agiriez sur le nouveau polygone , comme dans l’exemple précédent , formant toujours dc.s triangles dont l'ensemble produisît une des portions. Bien entendu que, dans ce cas , deux , trois, etc. des petites parties de la limite sinueuse compteraient pour un seul côté de quadrilatère ; de sorte que les parts de terrain seraient censées .avoir cette figure , quoiqu'elles fussent réellement des pentagones, des hexagones, etc.

MCSÜEACB OE LA SUETAGE DES GOBPS. I6t

Peobl. (d): Partager un terrain en plusieura portions qui aient entre elles des rapports déterminés.

Admettons qu’une des parts doive être double d'une autre, une troisième triple de la première, etc. Vous représenterez la plus petite par i ; la suivante en grandeur sera représentée par a , la troisième par G, etc., et la somme 9 des nombres i , a, 6, vous indiquera que le terrain doit être partagé en ueuf parties équivalentes. Opérez alors comme dans le probl. (c) , pour trouver ces neuf parties ; puis joignez la deuxième à la troisième , pour former la seeonde part; les six parties restantes composeront la troisième des parts demandées.

Peobl, ^e): Partager un terrain en parties exprimées par des fractions inégales de ce terrain.

La somme des fractions doit égaler i , puisque celle des parts doit former le polygone donné. Supposons donc que ces fractions soient Vous les réduirez au moindre dénominateur commun , et elles deviendront Ensuite , vous opérerez

comme dans le probl. (c) , pour diviser le polygone en douze parties équivalentes. La réunion des quatre premières formera la première part , c’est-à-dire les ou j du terrain ; l’ensemble des trois parties suivantes donnera les ou ^ , et sera la deuxième part ; enCn , les cinq parties restantes composeront la 3° des parts désirées.

Mesurage de la surface des corps.

471. La surface d’un corps présente trois choses à mesurer : une des bases ou leur ensemble, la surface latérale et la surface totale; mais nous n'avons à nous occuper que de la seconde; car le mesurage des bases se rapporte toujours à un de ceux qui qnt été exposés depuis le n° 461 , jusqu’au n° 469, et pour avoir la surface totale , il suffit d'ajouter les bases à la surface latérale , c’est-à-dire à la somme des faces latérales (378).

Probl. (a) : Mesurer la surface latérale d’un prisme. I

Si le prisme est droit et complet (P. XIII , F. 18), mesurez le I

contour ABF£ de l’une des bases, et multipliez-le par la hauteur j