Co = 3,.4.6x°",°4Xo",3 ^ o““,o
Probl. (e): Mesurer la surface latérale dun tronc de pyramide.
Si le tronc est régulier et à bases parallèles, mesurez un côté de la grande base et le côté correspondant de la petite ; multipliez leur somme par la longueur d’une perpendiculaire abaissée d’un point de l’un sur l’autre ; multipliez le produit par le nombre des côtés d’une des bases , et prenez la moitié du dernier résultat; car les faces latérales sont des trapèzes égaux (p. 447, probl. o).
Si le tronc de pyramide est irrégulier ou que la troncature ne soit pas parallèle à la base , les faees latérales sont des trapèzes on cUautres quadrilatères inégaux ; par conséquent , on doit mesurer chaque face latérale séparément et faire la somme de tous les résultats.
Probl. (/") : Mesurer la surface courbe dun tronc de cône droit à bases parallèles. ,
Faites la somme des circonférences des deux bases; multiplies par la longueur d’une génératrice droite du tronc , et prenez la moitié du produit.
Eu effet , la surface du tronc de-cône peut être considérée commo composée d’une infinité de petits trapèzes qui ont tous pour hauteur itne génératrice droite , et pour b.ases de petits arcs pris sur les deux '
464 HESiriUGB DB U SüRBilCB DES CORPS.
arêtès circulaires du corps. Or la somme de tous ces trapèzes égale la moitié du produit fait avec la somme de leurs bases tant supérieures qu’inférieures , et la hauteur commune.
Si donc D , d , L sont les diamètres des deux circonférences et la longueur de la génératrice droite, on a la formule
ou 5.r.Co=.lX.(D + d)XL a a
Supposons pour exemple, qu’il s’agisse d’évaluer le crépis extérieur d'une tour ronde, dont le mur en talus forme une surface tronc -conique, et que cette tour ait extérieurement io“ de diamètre par le bas, 9“ par le haut, So™ de longueur; vous écrirez S T Co=: 3.»4«6X(«o'°4-9")X5o" 3,i4i6 X iQ* X 5o“
Pbobl. (g) : Mesurer la surface d'une sphère.
Mesurez le diamètre ; faites-cn le quarré , et multipliëz ce quarré par le rapport de la circonférence au diamètre.
Si S. S désigne la surface sphérique, on a pour formule, ^
Soit D = o“,a5; vous trouverez 5. 5= 3,i4>6 X (o“‘,a5)’ = 3,1416 X o““‘,o6a 5 = o”’‘”,i9635.
« Pour démontrer la justesse de ce mesurage , inscrivons dans le demi-grand cercle de la sphère (P. XIV, F. 34), un demipolygone régulier ABCDEF cHm très’- grand nombre de côtés. Le corps engendré par la révolution du demi - polygone autour du diamètre AF, aura même surface que la sphère engendrée par la révolution de la demi-circonférence. Menons par B , par G et par G milieu de BC, des perpendiculaires sur AF ; du point B, abaissons une perpendiculaire sur CH, et tirons le rayon GI. »
« La surface courbe du tronc de cône droit , engendrée par la révolution du côté BC, sera égale à la circonférence dont le rayon est GK, multipliée par BC (i83 et probl./). Mais, les triangles BCL , GIK sont semblables , puisque les côtés de l’un sont perpendiculaires aux côtés de l’autre (171). Il en résulte que .
GK;GI::BL:BC(i68), et cir.GK: cir.GI bl; bc, puisque les circonférences ont même rapport que leurs rayons (a47)- Faisons le produit. des extrêmes et celui des moyçns; nous aurons
cir. GK X BC ;= cir. GI X BL.
Or, la première partie de cette égalité, c’est la surface du tronc de cône; circonférence GI est celle du grand cercle de la sphère, puisque les très -petits côtés du deftii- polygone ABCD.... peuvent être regardés comme des parties de la circonférence ; BL = MH , portion du diamètre comprise entre les parallèles CH, BM; par conséquent , la surface courbe de chacun des troncs de cônes droits ,
UraACB DB U. 8DKTACB S«S COm, .
qui f«it par^ de la surface sphérique (p. 367, appl.n), égule le produit de- la circonférence d’un grand cercle, multipliée par. la portion de diamètre comprise entre ses bases. » 1
, < On pourrait dénioutrer qu'il en est de même pour la surface : de cône engendrée par la révolution de AB. Il sufUrait de répéter le raisonnement qui vient d’être fait , en s’appuyant sur ce que la . surface conique égale le produit de AB multiplié par la circonférence de la section faite au milieu de la hauteur, perpendiculairement à l’axe, attendu que ce^te circonférence est moitié de celle de la bw (33i). »
a - Ainsi, la surface sphérique égale le produit de la circot^rence de son grand cercle, multipliée par la somme des parties Alt, j MH, etc*, ou par son diamètre D. Or, la circonférence du graiia. cercle a pour longueur «r X D. Donc enfin, la surface d’une sphèrà; vaut «XDXD ou «X D*. »
Pbobl. (1) : Meaurtr une calotte tphérique.
Calculez la circouférence du grand cercle de la sphère dont lu calotte ABN fait partie, et multipliez -en la longueur par la hauteur;, AM de cette calotte (P. XIV, F. 54-). \
La formule est donc
Ca/=»XDXH;
elle est justifiée par la démonstration de la précédente.
Soit proposé de mesurer la couverture en cuivre d’un dôme dont le diamètre Dr^io". Comme ce dôme est une demi - spjière, H;r:jD=5", et l’on a Ca/=5,i4«6Xio“X5“==:i57"",o8.
Pkobi.. («') : Meturer une s6ne.
Calculez la circonférence du grand cercle de la sphère dont la zône BCOM fait partie, et mullipliez-en la longueur par la hauteur MH de cette zône (P. XIV, F. 34).
La formule est donc encore, comme pour la calotte, ‘ ■.
Z = *XDXH.
Pbobl. (4): Mesurer ® surface courbe d’un onglet sphérique.
Calculez la surface courbe de la sphère dont l’onglet donné fait partie (4i3)i divisez-la par 36o° pour avoir la superficie de l’onglet d’un degré, et multipliez le quotient par le nombre n des degrés de^ l’arc qui coupe au milieu les méridiens LB'L', LU'L', limites de l’onglet donné (P. XII, F. u5). Ce nombre n est l’indication du coin . des duttx plans méridiens. On a donc, pour formule,
Pbobl. (/) : Mesurer la surface courbe d’un secteur sphérique.
On app«Us| sepif^r sphérique, la portion de sphère CIOAG.
466 msv&ACB db u surface des corps.
(P. XIV, F. 34) renfermée dans une surface conique droite qui a son sommet an centre I. I! est visible qu’un tel corps se décompose en un cône droit CIO et un segment sphérique COAC (443). Donc, pour en connaître la surface, il faut calculer séparément celîc du cône (p. 463) et celle du segment (probl. A)j puis faire la sommé des deux résultats. Ce mesurage est analogue à celui du segment de cercle (p. 45a).
Probl. (ni) : Mesurer la surface d'un anneau rond (P. XIII , F. 1).
L'anneau rond peut être considéré comme un cylindre droit qui a été ployé (SyS etSyS); les génératrices droites ont changé de longueur: les unes se sont raécourcies, les autres se sont alongées; mais l’a.xe qui tient le milieu , n’a point varié en devenant la circonférence dont B'C' est le rayon , et il en est de même de la génératrice courbe C. Par conséquent, le mesurage de la surface courbe du cylindre (p. 46a) s’applique à celle de l'anneau rond.
Il faut donc multiplier, la circonférence B'C' qui tient le milieu entre celles du plan de l’anneau, par la circonférence C dont le diamètre égale l’épaissenr de cet anneau.
Soient D le diamètre de la plus grande circonférence de la surface, (/.celui de la plus petite circonférence du vide, e l’épaisseur de l’anheau; on devra calculer la longueur d’une circonférence qui ait
pour diamètre aB'C', c’est-à-dire moyenne deD, d, et
nîultiplier cette circonférence par cette autre wXe. Or, la circonférence dont est le diamètre , a pour longueur » X - La
superficie cherchée saut donc — - — X t X e. D’ailleurs
l’épaisseur e — •
moitié de la différence des deux diamètres.
Conséquemment, la surface de l’anneau rond a pour expression *• X X wX , et la formule du mesurage est
D-l-rf B — rf X--^X .
Ainsi, pour mesurer la surface courbe d’un anneau rond, il faut multiplier le quarré de 3,i4>6 par la demi-somme des deux diamètres extrêmes , et multiplier le produit par la demi -différence des memes diamètres.
c- , n n, e » D+rf o“,a5-|-o“,i5
Si, par exemple, D = o,t5 et (/=o ,i5, — c= — : ! 2 —
“,aS — o",i5
o“,o5, et comme w’=:(3, 14 iG)’
:±z 9,86965o"56, on a S. A = 9,86965o56X o^jî X o“,<)5 — 'i“,97393o lia X o“,o5 = o'^^ogS 696 5o5C ou o'*“,o987.
hy Goo
MESDRApS DE LA SURFACE DES CORPS. 467
Prosl. (/i) : Mesurer la nurface latérale d’une piéee de baie eourbe, ,
Les deux faces planes qui forment les bouts d’une pièce de bois courbe , d’une jante de roue , par exemple , doivent en être regardées comme les bases; elles ne font donc point partie de la surface latérale.
Quand les faces des bouts sont d’équerre sur les arêtes concaves et convexes de la pièce, elle peut être considérée comme un prisme droit qui a été courbé. Il faut donc en mesurer la surface latérale comme celle du prisme droit (p. i6t), observant toutefois d’employer pour multiplicateur, au lien d’une des arêtes courbes, la moyenne d’une des plus grandes et d’une des plus petites, mesurées avec une ficelle; car les seules lignes dont la longueur n’ait pas été altérée par la courbure du prisme, sont génératrices courbes de la surface cylindrique qui lient le milieu entre les jdeux faces cylindriques de la pièce.
Ainsi, mesurez le contour d’un des bouts de la pièce courbe et multipliez-eu la longueur par la moyenne d’une des plus grandes et d’une des plus petites des arêtes courbes.
Lorsque les faces n’étant pas d’équerre sur les arêtes courbes, font les mêmes angles , la pièce doit être considérée comme un prisme oblique et complet qui a été couêbé. Il faut donc, dans ce cas (p. 1<^ contour de la pièce en l’entourant d’une
ficelle, perpendiculairement aux arêtes courbes, et, multiplier la longueur trouvée, par la moyenne d’une des plus glandes et d’une des plus petites de ces arêtes.
Dans tout autre cas , la pièce doit être regardée, comme un prisme tronqué qui a été .^courbé. On doit alors mesurer chaque face et faire la somme des résultats (p. Pour obtenir la superficie de
chaque face cylindrique, vous multiplierez la longueur d’une de ses limites courbes, mesurée avec une ficelle, par l’arête droite que renferme cette face (p. Pour calculer la superficie de chaque face plane latérale, vous multiplierez la moyenne de ses deux limites courbes, par la longueur d'une droite qui leur soit à la fuis perpendiculaire; car une telle face peut être regardée comme qn trapèze dont les bases ont été courbées (p. 447).
Probl. (o) : Mesurer une surface de révolution (374).
Tracez une courbe méridienne ; marquez-y des points de division également distans , et assez rapprochés pour que l’arc compris entre deux , puisse être regardé, sans grande erreur, comme une droite. Les circonférences qui contiennent ces points de division , jointes aux deux qui limitent la surface, dans certains cas, la partagent en surfaces tronc-coniques , et chacune de celles-ci a pour superficie la demi-somme de ses bases,, multipliée par lare méridien qu’elle renferme (p. 463); Vous pouvez donc appliquer le troisième principe du n° 468, c’est.A-dire multiplier par l’arc méridien compris entre deux points de division, la demi-somme des circonférences qui
KBSVHÂGE DES VOlüHES.
limitent la surface de rérolution, augmentée de la somme de toutes
les autres.
Toutes les circonférences se mesurent à l’aide d'une ficelle ,• qpaand ''on n’en peut connaître le diamètre, et pins elles sont nombreuses, plus le mesurage approche de l’exactitude. , ,
Pbobl. (p) : Mesurer une surface enveloppe (S^S).
Si la génératrice est invariable , la surface enveloppe se mesure ^comme celle d’une pièce de bois courbe (probl. n). Si la génératrice augmente ou diminue constamment, d’une manière uniforme, ou jpeut appliquer le mesurage de la surface courbe du cône (probl. d) ■'ou celui de la surface courbe du tronc de cône (probl. /), selon que la surface enveloppe se termine ou non par un point. Mais , pour que ces applications aient quelque exactitude, il faflt multiplier la moitié de la génératrice', ou la demi - somme des deux valeurs extrêmes de eette génératrice, par la moyenne de la plus grande et de la plus petite des courbes qui suivent le sens de la directrice.^
KESVRAGE BES TOLEHES.
472. Mesurer un corps ou son volume , c’est mesurer l’espace qu’il occupe (386); mais dans les corps creux, c’est plutôt le rfde qu’ils. renferment entre leurs parois, qu’on doit mesurer. Ce vide est nommé opacité, et il est clair que la capacité égale le volume du corps diminué du volume des parois; autrement, la capacité d'un ooips-ereox est le volume d’un autre corps qui en remplirait le' vide. Le mesurage bo~ jMnigi-uflti -d’uue capacité revient donc au 'mesurage d’un volume.
L’unité de volume ..doit être un volume (444); on prend 'Htnrdiimiremeat celui d’un cube qui a pour arêtes une unité de lon- ^^|9eiir (5ÿ5). Si chacune de ces arêtes est d’un point, d’une ligne, "d’im ponce, d’un pied ou d’une toise, l’unité de volume et dite Otbe , ligne cube, pouce cube, pied cube, toise cube. toise cube contient le pied cube , comme a 1 6 , cube de 6*” (3g8), .'fiïontient i , cube de i pied (Sgg). La toise cube vaut donc ai6 pieds cubes.
Le pied cube contient le pouce cube, comme lyaS, cnbe.de la*""*, contient i, cube de rf°“. Le pied cube égale donc lyaS
50UCCS cubes. 'Vous verriez de même qu’il y a lyaS lignes cubes ans le pouce cube, et lyaS points cubes dans la ligue cube.
473. Il y avait dans l'ancien système de mesures , et fl Jr a encore aujourd’hui pour les mesures usuelles dérivées du mètre, la toise-toise-pied, la toise-toise-pouce , la toise-toise-ligne et la 'toise-toise-point ; ces unités sont des prismes carrés (387) qui ont tous une toise-toise ou toise carrée de base , et respectivement un pied, un pouce, uhe b'gne, un point de hauteur.
Il'est visible que la toise cube contient la toise -toise -pied,
Digilizey by Gmiy
nsnucB DIS Tmnos.
eomme 6*^, hanteur du premier prisme, contient hauteur du second (4oq). D’après le mém’e principe , la toise-toîse-pied vaut n toise-toise-pouces , la toise-loise-ponce vaut n tois'e-toise-Ji^ncs, et la lolse-toise-ligne vaut la toise-toise-points. Il y a ddnc eutre ces unités prismatiques, les mêmes relations qu’entre les unités linéaires qui en font les hauteurs.
474. On employait encore antrefois, ponr les bois de construction, l’unité appelée solive; elle avait la'" de longueur et 0^’* d’écarrissage, ce ^ui signifie que ses ba.scs étaient des carrés de 6'“'* ou .J*” de côté. Son rapport à la tqise cube égale (4<Jo)
la»' X iP' X : 6*“ X fif' X fiP' = 3 ; ais = i : 73.
La toise cube vaut donc ya solives.
'La solive se partageait en 6 parties égales nommées pieds de solive; ce pied contenait i a pouces de solive; ce pouce valait i a lignes de solive, et cette ligne se divisait en la points de solive.
Il s’ensuit que la loise-toise-pied vaut 73 pieds de solive, que la toise-toise-pouce vaut 7a pouces de solive, que la*toise-loise-ligne vaut 73 lignes de solive, et que la toise-toise-point vaut 73 points de solive ; car le rapport de deux choses doit exister entre leurs sixièmes et entre leurs douzièmes.
47s. Le bois de cbauflage se mesurait à la corde, et il se mesure encore de même dans beaucoup de localités. La corde la plus usitée est un prisme carré de 4 pieds d'écarrissage , sur 8 pieds de longueur. *On le divise en demi -cordes, quarts, huitièmes, seizièmes et trente - deuxièmes.
Le rapport de la corde au pied cube est, d’après le principe 397,
X 4«’’ X S**' ; iP' X iP' X if* = 138 : i ;
il montre qu'elle vaut 138 pieds cubes.
476. Les unités des anciennes mesures de capacité dérivaient du pied cube et du pouce cube , mais elles n’étaient ni des cubes , ni des prismes carrés. Elles variaient tellement d’uti lieu à un autre , et par suite le nombre en était si grand, qu’il serait à-peu-près inutile d’en .citer quelques-unes. Il suffira d’ailleurs, pour pouvoir lés
•employer avec les méthodes de mesurage qui vont être enseignées, de connaître leurs valeurs en pieds cubes ou en pouces cubes.
477. Le cube qui sert à mesurer les volumes, selon le système ■ décimal, se nomme millimètre cube, si l’arête est d’un millimètre; centimètre cube, si l’arête a un centimètre; décimètre cube, si l’arête est d’un décimètre; mètre cube, si l’arête a un mètre.
Les dixièmes, centièmes, millièmes, etc., du mètre cube, sont •des prismes carrés qui ont un mètre carré de base et un décimètre, ou un centimètre , ou un millimètre , etc. , de hanteur (4<»)-
, 470 MKSORÀGE DJSS PBISXU.
, Le mètre cube vaut looo décimètres cubes, car(3o7) leur rapport est io'*X to^X io‘* : i^X i'* X i-* rooo : i. On voit de même que le décimètre cube vaut looo centimètres cubes, «t que le «entimètre cube vaut looo millimètres cubes.
478. Le bois de construction ou de chauffage se mesure aussi au mètre cube; mais alors cette unité prend le nom de stère, sa dixaine s’apjjelle dccastère et son dixième, dècislère ; ces deux dernières unités sont des prismes carrés: le décastère a i"“ de base et io“ de longueur; le décistère remplace la solive.
479. La nouvelle unité fondamentale des capacités est le décimètre cube; mais on le- nomme litre, dans ce cas. Les autres unités sont \e décalitre qui vaut lo litres, l’hectolitre qui vaut loo', le kilolitre qui vaut looo' ou i mètre cube, le myrialitre qui vaut loooo*, le décilitre ou dixième de litre, le centilitre ou centième de litre, et le millilitre ou millième de litre ou centimètre cube.
• Mesurage des prismes.
480. Nous devons commencer par établir le mesurage du prisme rectangle, fondement de tous les autres mesurages de volumes.
Soient /, V, h les unités de longueur qui forment la longueur, la largeur et la hauteur de l’unité u de volume, prismatique ou cubique. Si nous représentons par L, le nombre de fois que / est contenue dans la longueur d’un prisme rectangle quelconque P. R, cette longueur se trouvera exprimée par /XL; de même la largeum du prisme sera V X L', ct'là' BtraTror sera 4XH, si L', H représentent les nombres de fois que /', h sont contenues dans cette largeur et cette hauteur. Or, diaprés le principe 4oo,
p.r(/xL)x(^'xl')x(4xh) /x^'x4xlxl'xh
U IXl’Xh , /X^'XA
= LXL'XÙ (77),
et comme « = i , ' '
Donc, le nombre de fois qu’un prisme rectangle contient l’unité^ de volume, c’est-à-dire le volume de ce prisme, est le produit des nombres qui en expriment la longueur, la largeur et la hauteur, mesurées respectivement avec la longueur, la largeur et la hauteur de l’unité de volume. On énonce brièvement ce principe , en disant que le volume d’un prisme rectangle égale le produit de sW trois dimensions.
Mais le produit L X L' donne précisément la superficie de la face perpendiculaire aux arêtes dont H est la longueur, et celte face est la base du prisme. Noos pouvons donc dire aussi que le volume d un prisme rectangle égale le produit de la hase multipliée par la hauteur. '
MESt'RAGE DBS PRISMBS. < 47>'
Pbobl. (o): -Mesurer un prisme rectangle en mitres cubes et parties décimales du mètre cube.
La longueur, la largeur et la haDteur de riinitc de volanie sont chacune égales au mètre. Mesurer donc en mètres et parties du mètre, la longueur, la largeur et la hauteur du prisme rectangle, et appliquez la formule P. Il = L X L' X II.
Si, par exemple, Lr=i5“,35, L' = 7“,i5 et II = a“,3a8, vous trouverez P. R = i5",35 X 7“, t'5 X a",328 = iog““,75a5 X a",3a8 = 255"‘,5o3 8a. L’abréviation me signifie mitres cubes,
PnoBL. (J): Mesurer un prisme rectangle en mètres cubes et parties cubiques.
Mesurez en mètres et en parties du mètre, les trois dimensions du prisme; puis appliquez la formule, et partagez les décimales du produit en groupes de trois chiffres chacun , à partir de la virgule. Si’le dernier groupe à droite n’a qu’un ou deux chiffres, vous le compléterez au moyen du zéro. Le i" groupe à gauche exprimera des décimètres cubes; le suivant, des centimètres cubes; le 3*, des millimètres cubes (477).
L’exemple précédent donne 255“' 5o3'’' 820" pour le volume du prisme rectangle qu’on y considère. *
Pbobi. (c) : Jauger un prisme rectangle en litres.
Agissez comme si vous vouliez %iesurer en mètres cubes, et multipliez le résultat par 1 000. Le produit exprimera des litres (479). '
Un prisme rectangle creux qui aurait 4'">556 de hauteur , 2“ de longueur et i“,oo4 de largeur, présenterait une capacité de 8“', 546048 Cf contiendrait 8546*, 048 ou cnviron^546 litres et 5 centilitres.
‘ Pbobi. (d): Jauger un prisme rectangle en h^olitres.
Opérez comme s’il s’agissait de mesurer en mètres cubes et multipliez le résultat par 10. Le produit exprimera dra hectolitres; car le mètre cube vaut i o*"', puisqu’il égale 1000' et que 1**' — ino‘-
Le vasede l’exemple précédent dont la capacité est de 8“°,546 048 , > •
contient donc 85'"',4Co48, on environ 85 hectolitres, 46 litres et 5 centilitres.
Pbobl. (e) : Mesurer en stères une pile de bois disposée en prisme rectangle.
Mesurez les trois dimensions en mètres et parties du mètre; puis appliquez la formule P. R = L X L' X H. Le produit exprimera des stères, puisque ces unités sont des mètres cubes (478).
' Soit L=5”, L'= i“,33 , H= «",33. Vous trouverez 8*,84 4 5.
> Pbobl. (/): Mesurer une pièce de bois en décistires.
( Opérez comme dans le problème précédent et multipliez le résultat
Al*' ' HBSUailCE. DBS PRlSlfBS.
par io.> Le produit exprimera des dixièmes de stère. On se borne
ordinairement aux millièmes de dëcistère, dans ce mesurage.
Probl. (g): Mesurer un prisme rectangle en toises cubes etparties prismatiques de la toise cube.
Vous mesurerez cliacuiie des trois 'dimensions arec la toise linéaire et ses subdivisions , puis vous ferez le produit de ces trois nombres, au moyen de deux multiplications complexes (p. 4io). Dans la première, il faudra regarder le multiplicande comme exprimant des toises carrées, toise-pieds, etc.; le produit donnera 1% , superficie d’une des faces prise pour base (4S0). Dans la seconde , ce produit qui sera multiplicande, devra être considéré commç un nombre de toises cubes, toise-toise-pieds, toise-toise-pouces, etc., et le 3* produit fera connaitre, en pareilles unités, le volume du prisme. Ces opérations ne présenteront aucune difficulté à ceux qui., auront l’habitude de la multiplication complexe ordinaire et qui se , rappelleront que les toises carrées et leurs parties rectangulaires / (45g), les toises cubes et leurs parties prismatiques (4y3) se coU';. tiennent comme les toises linéaires, les pieds, les pouces 'et !<• > lignes (445).
Probl. (A)Î Mesurer un prisme rectangle en toises cubes, et i parties cubiques.
Mesurez les trois dimensions avec la toise linéaire et scs subdivisions; réduisez ces longueur# en unités de la plus petite espèce qu’elles contiennent, en lignes par exemple; le produit des troiSv nombres de lignes vous donnera en lignes cubes, le volume du prisme.
Alors, il ^udra chercher par la division, combien ce nombre, contient de mis 1738'°, valeur d un 'pouce cube (47^), i® reste, donnera les lignes cubes du prisme, et le quotient exprimera des pouces cubes.*c quotient divisé par i738‘"’'°, valeur d’un pied cube, donnera pour reste les pouces cubes du prisme, et pour second quotient un nombre de pieds cubes. Le 3* quotient divisé., par 3i0*’''“ valeur d’une toise cube, donnera pour reste les pieds, cubes du prisme et pour 3* quotient les toises cubes. Ecrivant donc à la suite de ce 5* quotient, successivement les trois restes, en commençant par le dernier, vous aurez le volume en toises cubes, pieds cubes, pouces cubes et lignes cubes. Cette méthode est analogua à celle du prob^ d (p. 44o) et n’en diflêre que par les diviseurs.
pROBL. (/): Mesurer une pièce de bois carré en solives.
Mesurez les trois dimensions avec la toise linéaire et ses subdivisions ; muliipliez-cn une par 6 , une autre par 6 et la 3' par a ; puis faites le produit des trois longueurs ainsi modifiées, comme s'il fallait obtenir des toises cubes et des parties prismatiques de la toise cube (probl. g). Le produit exprimera des solives an lieu de toises cubes., des pieds dé. solive au lieu de toisértoise-pieds ,
MESCRAGE DES PRISHES.
des pouces de solive au lieu de toise -toise -pouces, des lignes de solive au lieu de toise-toise-Ugues et des points de solive au lieu de toise-toise-points; car en multipliant deux dimensions par 6 et la 3* par a, c’est comme si voua eussiez fait d’abord le produit des trois et que vous l’eussiez multiplié ensuite par 7a qui vaut 6 X G X a ; or il faut multiplier la toise cube et ses parties prismatiques par 7a , pour les convertir en solives et parties de solive (474).
PaoBt. (Je): Corder une pile de boit de chauffage qui /orme un prisme rectangle.
Comme la largeur de cette pile égale la longueur des bûches, elle est la même que la largeur de la corde. Or la largeur d’un prisme rectangle peut être prise pour sa hauteur. La pile et la corde ont donc même hauteur et se contiennent comme leurs bases (4ua), c’est-à-dire , comme les produits des deux autres dimensions. Mesurez '
donc la longueur horizontale et l’épaisseur verticale de la pile en pieds ; multipliez ces deux dimensions et divisez le nombre de pieds carrés que donne le produit, par 3a nombre des pieds carrés d’unC grande face de la corde. Vous aurez pour quotient, la quantité de cordes de la pile.
Si la pile n’avait , comme la corde , que 4 pieds d’élévation , elle serait aussi un prisme carré ; les deux prismes étant terminés à. chaque bout par des carrés égaux, se contiendraient comme leurs* longueurs, et il suffirait de prendre le huitième de la longueur de la pile, exprimée en pieds, pour connaître le nombre de cordes. >
PaoBL. (/): Mesurer le volume d’un cube. »
Le cube est un prisme rectangle dont toutes les arêtes sont égales..
La formule du n° 480 lui est donc applicable, et si A représente '* la longueur des arêtes, on a C = AXAXA. Mais un produit ■ où un nombre entre trois fois comme facteur, est le cube de ce nombre (SqS). Nous pouvons donc établir que Je volume d'un cube * égale le cube numérique de Varête, ce qui s’exprime brièvement par l'égalité
Mesurez donc une des arêtes, avec une unité linéaire, le mètre, par exemple, et faites le cube numérique de la longueur trouvée; le résultat donnera en mètres cubes, le volume cherché.
Soit 4“,5 l’arête d’un cube. La formule précédente vous donnera C=(4",5y= 4“,5 X 4“‘,5 X4”,5 = ao”“,a5 X 4“,5= 9 1“', laS.
Probl. (m) : Mesurer le volume dun prisme complet quelconque.
. Dans la formule P. R = LXL'X1I, les dimensions L, L^ ||s ' sont la base et la hauteur de la base B du prisme rectangle, et LXL' = B (461). Conséquemment, P. R = BXH. Or, si le prisme quelconque a mémf hauteur et même superficie de base que
DîQ î cûvi . Cuogic
tt «
'4~4 ' VBSÜRACB DBS PKISMBS.
te prisme rectangle, les dcox corps seront équivalens (386). Lef Tolume du premier vaudra donc aussi B X H. Mais nous pouvons mettre dans ce produit, à la place de B et de U, la base B' du prisme quelconque et sa hauteur II' : ce sont les mêmes nombres , bien que B et B' n’aient pas la même forme. Par conséquent , le prisme quelconque x . '
ce qui signifie que tout prisme a pour volume le produit de sa base multipliée par sa hauteur. ' ' .
Aiusi, dans tous les cas, mesurez la superficie de la base en unités carrées ; à l’aide d’un fil-à-plomb ou autrement , mesurez la hauteur avec l’unité linéaire correspondante, et multipliez les deuï résultat^; le produit sera, en unités cubiques, le volume du prisme complet.
Si , par exemple, la base ABCP du prisme oblique de la Cg. lU (P. Xlll) renferme o"“”,75, et que la hauteur H'L soit de a“, le volume P = o“",75 X a“ = i“',5.
Appucatio^ : Un grenier à fourragé présente souvent la forme d’un prisme triangulaire et droit. Pour en déterminer la capaçité , vous mesureriez la superficie d’un des pignons triangulaires qui bornent ce grenier, et vous la multiplieriez par la distance horizontale des deux pignons, laquelle est la hauteur du prisme.-
Probl. (n): Corder une pile de bots qui eéélèoe de 4’’', dont un bout est vertical et dont l'autre bout forme talus.
On dispose ainsi le bois de chauffage , pour le corder à la porte de l’acheteur. Le prisme trapézoïdal qui en résulte, renferme autant de cordes, que son trapèze ABCD (P. XI\ , F. ai) vaut de fois la grande face rectangulaire de la corde (.Joa). Or cette face a S**' sur 4’’’ 1“ hauteur AD du trapèze est aussi de 4'”. Le rapport
des deux figures ou des deux prismes est donc celui de Ü'” à la demi-somme des bases AB, CD (p. 447, probl. o) ou à la droite FG qui joint les milieux de AD, BC (i83).
Voici com’ment, d’après cela, le cordcur-jiiré mesure la pile. Il marque le milieu F de l’arête BC du talus, abaisse à vue une perpendiculaire FH sur la grande base CD du trapèze, mesure HD qui égale FG, et divise cette longueur par 8. Le quotient donne le nombre de cordes.
Soit HD = 35*’‘ 8’'°“ ou 35*’‘-|. La pile contient un nombre de
J • . 35 à . 3 I „ , Il
cordes exprime par 1 = 4 + t + — ■— 4 t —
Si la pile se terminait en talus par les deux bouts, il faudrait marquer aussi le milieu de l’arête du talus de gauche, abaisser à vue une seconde perpendiculaire sur la grande base du trapèze, •lldiviser par 8 la distance des- piçds des deux perpendiculaires.
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Mesurage des pyramides..
481. Le principe 4 <7 rend le mesurage de la pyramide triangulaire, une conséquence de celui des prismes ; car puisqu’une telle pyramide est le tiers d’un prisme de même base B et de même hauteur H , il est clair que le tiers du produit B X H , volume da prisme (p. 47^ , probl. m), doit donner le volume de la pyramide. La formule du mesurage des pyramides triangulaires est donc
Probl. (o) : Mesurer une pyramide triangulaire.
Mesurez le triangle de la base en mètres carrés, par exemple (p. 446, probl. c) ; mesurez la hauteur en mètres , an moyen d’un fil-à-plomb et d'une règle placée de niveau sur le sommet j faites le produit des deux nombres obtenus , et prenez-en le liersj le résultat exprimera en mètres cubes , le volume de la pyramide.
Soient B=6"“‘ et H = 4”, 5. La formule Py=.
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donne
Py
Probl. (6): Sommer des sphères égales empilées en tétraèdre régulier.
Les faces d’une telle pyramide sont des triangles équilatéraux (4 a 5), et si n est le nombre des boulets d’une arête, la base en contient
-, T (p. 447)' Mais puisqu’à chaque boulet d’une 'des arêtes qui a
-aboutissent au sommet , répond une tranche horizontale de sphères , il y en a n dans la hauteur de la pyramide. Donc, le prisme de même
base et de même hauteur, en contiendrait — m — x n. Or, la pyra-
•mide eh renferme d’abord le tiers (4 17) ou X — , de plus
une fraction de chacun des boulets qui se trouvent dans la face commune à cette pyramide ekau prisme. Gomme le tiers seulement
des boulets de cette face entre dans " X , ce sont les | de ces ^ a ■* 3
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boulets ou
qu’il faut ajouter au tiers de ceux du prisme.
Par conséquent, le nombre total des boulets d’un tétraèdre régulier, a pour expression ' ' • .
n’ 4- n n . a fl* n
47® MESUBAG* DES PTBAMIDSS.
Ainsi, calculez le nombre des boulets d’une face; mnltipliez- 1« par le tiers des boulets d’une arête, et ajoutez au produit les J des boulets de la même face.
S’il y a, par exemple, 5 boulets dans chaque arête, n=5, et l’on trouve, pour le nombre des boulets de la pyramide triangulaire, X 5 I >2^5^ ^ 5 a
< On emploie aussi celte autre formule
Elle donne absolument le même résultat, car au fond elle revient à Ja précédente ; les formes seules diffèrent. 11 est visible éflec—
tivement <pe X 5 + X I = ^ X ^
Probi,. (c): Mesurer une pyramide quelconque. t Une pyramide dont la base a plus de trois côtés, égale la somme des pyramides de même hauteur qu’elle , qui ont pour bases , les triangles du polygone (4o5). Or, cette somme de pyramides triangulaires est le produit do la somme de leurs bases ou du polygone multiplié par le tiers de la hauteur commune. Donc, le volume de toute pyramide égale la tiers, du produit de la base multipliée par la hauteur, et la formule du mesurage est, comme pour la pyramide triangulaire , , '
Py
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pHOBL. (<f) : Sommer des sphères égales disposées en pyramide quadrangulaire et régulière SABCD (P. XIV, F. 35).
« Toutes les faces latérales d’une telle pile sont des triangles équilatéraux. Il y a donc autant de boulets dans les arêtes qui aboutissent au sommet S, que dans les côtés du carré ABCD ; de sorte que si n est le nombre des boulets de AB, AS contient aussi n boulets, la pyramide en renfermf n assises horizontales, et il s’en trouve n dans la hauteur. »
« Décomposons la pyramide quadrangulaire en deux pyramides triangulaires dont l’une ait, pour sonSmet, le point S, et pour base , le triangle rectangle ABC. Puisque les sphères sont alignées parallèlement à AD, il y en a autant dans AC que dans AB; seulement celles de AB se touchent, tandis que celles de la diagonale AC ne. se touchent pas. Le nombre des boulets de ABC est donc
' — > comme si le triangle était équilatéral (p. 44y) , et celui de
nSClUGE DBS POtTÈDBKS. 477
la pyramide trIaD§aIaire SABC est n X — ^ X — j — , comme si
cette pyramide était nn tétraèdre régulier (p. 476). s 4. Mais, si nous enlevons la pyramide SABC, la pyramide triangulaire restante n’aura que n — i boulets dans chaque arête, puisqu’elle perdra tous ceux de la face ASC. Donc , pour avoir le nombre des boulets de celte pyramide, il faut remplacer n par
n — 1. Il est donc de (n — i; X - X — r— , car n — 1 + i = it
et n — I + a=’n + t. Conséquemment , le nombre total des boulets de la pyramide quadraugulaire SABCD , est
