X-^X-^ + ("— OX-X

a 3 as

^ ft fl ^ I tl 1 1

et comme évidemment (n — ^ ”X — ^ — = "X — — X — i

nous aurons pour formule.

nX -i-X + nX X -3-, ou nX —(,-3-+— J

B + 1 an + I

ou enfin

n’ -fi n an -f I a 3

Calculez donc le nombre des boulets d'une face triangulaire (p. 4f6, probl.rf); miiliipliez-lc par le double des boulets dune arête , augmenté de i , et prenez le tiers du produit ; le résultat sera le nombre des boulets de la pyramide quadrangulaire.

Mesurage des polyèdres.

482. Le mesurage des polyèdres comprend ceux de tons les corps à faces planes qui lie sont ni des prismes complets , ni des pyramides entières. On peut toujours le réduire au mesurage d’un certain nombre de prismes et de J>yramides ; mais il existe pour pinceurs cas des formules qui rendent l'opération beaucoup plus ' simple. I

Probl. (a): Mesurer un tronc de prisme triangulaire.

Un pareil tronc vaut trois pyramides triangulaires qui ont pour bases , la base B du prisme , et pour sommets , ceux de la troncature (4«8). Or si nous représentons par D, D', D", les distances de ces trois sommets au p4m de la base , les volumes des pyramides seront

52SE, ®X5,^ (lii). Celui du tronc de prisme, somme

de ces trois-là , est donc , et l’on a pour formti^

MESCRACli OEâ POLYEDRES.

T. P. T = Bx£+Ei£:, 3 ’

ce qui signifie que le volume d’un tronc de prisme triangulaire égale le produit de la Superficie de la base, multipliée par la moyenne des distances de celle base aux trois sommets de la troncature. ■-

Si le tfonc de prisme esl droit, D, D', D" sont le» longueurs des trois arêtes parallèles ; s’il est oblique, les mêmes distances sont les longueurs des perpendiculaires abaissées des sommets de la troncature sur le plan de la base. * ‘

Soient B = 36 pouces carres, D =: D'=’i8^“ et D"=

La formule donne T. P. T = 3G»’‘’X Se^^XÜ'

* — 36*’*’X 1 5^ = 54o pouces cubes. ,

Probl. (b);. Sommer une pile de sphères égales, qui forme un prisme triangulaire tronqué. ' \

-La face ABËF d’une semblable pile (P. XIII, F. i3) est un . rectangle et repose sur le sol ; les deux autres faces latérales ACDF, BCDE sont des trapèzes symétriques; la base ABC et la troncature BEF sont des triangles équilatéraux également inclinés. Le tronc de prisme est donc oblique.

. Mais considérons la pyramide triangulaire qui a son sommet en D , et pour base, le triangle ABC. Elle renferme autant de tranches de boulets, parallèles à ABC, qn'3 y- -a do ces projectiles dans son arête CD, et il en serait encore de même si l’arête CD était perpendiculaire sur ABC. Donc , les trois pyramides triangulaires qui composent le tronc de prisme (4i8), et ce tronc lui-même contiennent précisément autant de boulets qu’ils en contiendraient, si les arêtes parallèles CD, AF, BE étaient d’équerre sur la base ABC , et par conséquent nous pouvons mesurer ce tronc de prisme comme s’il était droit. ‘

Nommant donc n le nombre des boulets d’un côté AB de triangle, n', n", les nombres de ceux des arêtes parallèles AF, CD, nous

‘trouverons, pour le nombre des boulets de ABC, — (p. 447),

et la formule précédente nous donnera, pour le nombre total de ceux

^‘dc la pile, x ; car BE contient aussi n' boulets.

Soient n ±z 5 et n' = 5o. En comptant les boulets de CD, 00

irouverà nécessairement 46 pour n", et la somme de ceux de toute

pile sera ! X ■■ - ■ ■ ■— :

Probl. (c) : Mesurer un tronc de parallélipipède (P. XIV, F. 36). # Nommons B la superficie de la base ABGD et D, D',.D", D'" les

MESPIIACE DES FOLYÈDRBS.

distances de cette base aux quatre sommets E , F, G , H de la troncature ; la formule du mesurage sera

T ».Bv-P + P- + P’ + °-'

Elle signifie que le volume d’un tronc de parallëlipipède égale le / produit de [a base, multipliée par la moyenne des quatre distances de cette base aux sommets de la troncature.

Si le parallëlipipède est’ droit, les quatre distances sont les longueurs des arêtes parallèles; s’il est oblique, elles sont les longueurs des perpendiculaires abaissées des sommets de la troncature sur le plan de la base.

On mesure aussi' de la même manière , dans certains cas , le Tolume des prismes complets : multiplier la base inférieure par la bauteurdu prisme (p. 4r4) ou parla moyenne des distances de celte base aux sommets de la base supérieure, c’est en effet absolument la même chose, puisque chacune de ces distances égale la hauteur.

« Si l’on veut une démonstration de la formule précédente, U faut tirer dans la base, la diagonale AC, et dans la troncature, la diagonale FH. Le plan du trapèze ACHF divisera le tronc de parallélipipède droit en deux troncs de prismes triangulaires ABCIIFG, ACDEFII. Or, le premier de ces troncs vaut les trois pyramides triangulaires qui auraient pour base ABC et pour hauteurs AF, BG, CH (i i8); le triangle ABC est (191) lu moitié du parallélogramme ABCD que, pour abréger, vous pouvez représenter par i; donc, eu vertu du probl. a,

* AF 6 BG ft CH •

ABCHFG = - X -ç- -i— X ^ -H - X .

Le deuxième tronc triangnlaire vaut les trois pyramides qui auraient pour base ACD , moitié de ABCD , et pour hauteurs AF, CH, DE; donc,'

b AF ACDEFH = -X^- 2 3

• b CH b DE 2 3 2 0

Maintenant, tirez les deux antres diagonales BD, EG; le plan du trapèzf BDEG donnera aussi deux troncs de prismes triangulaires, et pour des raisons analogues aux précédentes, vous aurez

3 AF 6 BG ABDEFG = -X-— +--X-5-- 2 0 2 3

b DE