X DE

Ainsi, dans cette seconde somme, - sera multiplié par AF, puis

par BG, puis par CH, puis par DE; c’est-à-dire que - y sera

multiplié par AF + BG + CH -H DE, Donc

I , , b D+D'+D"+iy'’

ar.Pa = -X(D-kD'+D"+D'") oa r.Fa=-X - —

ou enfin

T.Paz=bX

D+iy+D"+D'"

« Il est visible d’ailleurs que la démonstration serait la même, si. le tronc était oblique; seuleo^nt, on emploierait les perpendiculaires abaisséfs des sommets de la troncature sur le plan de la base , au lieu d'employer les arêtes parallèles. »

PaoBL. (d) : Mesurer un tronc de pyramide à bases parallèles. lies arêtes concourantes se couperaient toutes au même point, si elles étaient suffisamment prolongées ; il en résulterait une grande pyramide qui aurait pour base la grande base du tronc, une petite pyramide qui aurait pour iftse la petite base du tronc , et le volume de ce tronc serait l’exCès de la première sur la seconde.

Nommons H la hauteur du troue , B la superficie de sa grands base , C la longueur d’un côté quelconque de cette base , b la superficie de la petite base, et c la longueur du côté de cette» base, qui correspond à C.

« La hauteur de la grande pyramide (p. 397) sera - ’-l— , et le

voluVne de cette pyramide (p. 476) aura pour expression .

La hauteur de la petite pyramide égale celle de la grande diminuée

de H; elle sera donc — H = ‘1

Digitired by Goo^Ie

MESrKACB DES POLriOREf.

HxC— HxC+HXc Hxe

. iXHXc

Taudra »

Par conséquent,

et le volume de cette pyramide

T.Py

BXHXC — iXHXc(BXC — iXc)XH

Cette formule montre que pour calculer le volume d’un tronc de pyramide à bases parallèles, il faut multiplier la superficie de la grande base par la longueur d’un de ses côtés , et celle de la petite base par la longueur du côté correspondant ; retrancher le second produit du premier ; multiplier la différence par la hauteur du tronc , et diviser le résultat par trois fois l'excès du côté de la grande base sur le côté correspondant de la petite.

Soient 8 = 50"”, C=5"-, 6=i8"'", c = 3“ ef H = io“. U fonnul. d„«p. r.

(aSo°’°— 54"°) X to" 196

X lo" 196°“ X 5 980“

Il sera bon de vérifier le mesurage des bases , avant de procéder an calcul du tronc. Les superficies trouvées doivent être telles qu’on ait B ! 6 r * C’ ! c' (4oG et aSi). Dans l’exemple précédent la proportion existe en effet , 5o"“ î 1 8“"’ C T (5)“ l (3)’, car le rapport de 5o à 18 égale celui de leurs moitiés a5 et g, et ces moitiés sont précisément les quarrés de 5 et 3.

Probi,. (e): Mesurer un polyèdre quelconque.

Mesurez les distances d’un des sommets à toutes les faces qui n* le contiennent pas ; multipliez chacune de ces distances par la superficie de la face correspondante ; faites la somme de tous les produits et prenez-en le tiers; vous aurez la somme^es nyramides qui ont pour sommet commun, le sommet choisi sur l^iolyèdre , et pour bases , les faces mesurées. Or cette somme e* évidemment le volume du polyèdre.

Quand le polyèdre est maniable, on doit, pour obtenir les hauteurs des pyramides , placer successivement les bases sur un plan horizontal , établir horizontalement une règle qui s’appuie sur le sommet commun, et mesurer à l’aide d’un fil-à-plomb, la distance de cette règle au plan.

Si le polyèdre ne peut être retourné, il faut établir deux règles parallèles , l’une qui s’applique contre une base de pyramide , l’autre qui s’appuie sur le sommet commun , et mesurer l’écarte- ' ment de ces deux règles.

48a KESUIUCE DBS COUPS A FACES COVRBES.

•Mesurage des corps à faces courbes.

485. Les corps à faces courbes se rapportent au cylindre, an cône et à la sphère , ou peuvent se décomposer en parties de ceux-là , ou présentent des formes qui sortent du domaine de la géométrie élémentaire. Nous allons exposer les méüiodes de mesurage à employer dans chaque cas.

Probe, (a): Mesurer un cylindre quelconque.

Le cylindre peut être assimilé au prisme (435) ; par conséquent, la formule du probl. m (p. 473), peut être appliquée. Ainsi, tout cylindre a pour volume le produit de la superjicie de sa base, multipliée par sa hauteur.

Si le cylindre est circulaire , qup R soit son rayon et R sa hauteur , la base a pour superficie , w X R’, et la formule qui donne le volume, est

C/=:«^XR’XH.

Lorsqu’au lieu du rayon , on veut employer le diamètre , la formule devient

' „ «XD’XH D . n, D’

Cy=:— car Ur= et R’=.

Afplicatioes ; Les mesures de capacité pour les matières sèches et pour le lait, sont des cylindres creux dont la hauteur H égale le diamètre D, et ce diamètre es*, poutie décalitre, par exemple,' de o",a33 5. Il est facile de reconnaitre qu’en effet cette dimension est juste à fort peu près, car la capacité est alors le quart du cube de o",a33 5 multiplié par 3,i4i6, ce qui donne g litres, plus 0,9913844975, quantité dont la différence à 10 litres est seulemetiU .p,DoS G 1 5 5oa 5.

'• *"’l»es"'mesures de capacité pour les liquides, l’huile et le lait iLdlptés , sont des cylindres creux dont la hauteur est double du '^adiètre'; celui du litre doit avoir o”,o86. En effet, la capacité de

inesuegipgmc la moitié du cube de o'”,o86 multiplié par3,i4iG, *iè qui dont* o‘*‘,99g 1 1 6 764 8 , quantité dont la différence à un litre est seulement 0,000 8S3 a55 'i.

Probl. (6) : Mesurer un tronc de cylindre droit qui a un axe.

Les cylindres qui ont un axe sont ceux dont la base a un centre , comnic le cercle et l’ellipse , c’est-à-dirè un point milieu de toutes les cordes qui s’y croisent. Dans ce cas , le tronc égale le cylindre complet de même base , dont l’axe serait la hauteur : ce qu’il a de moins d'un côté, compense exactement ce qu’il a de trop de l’autre côté. Si donc B et A représentent la superficie 4e la base et la longueur de l’axe, la formule est

T. C/ = BXA.

Digi'iz™! ! C'i

tnSUaAGK DES CUKPS A FACES COURBES.

Lorsque l’axe ne peut être mesuré directement, on en obtient la longueur A (i83) en prenant la moyenne de la plus grande génératrice droite B'B" et de la plus petite C'C” (P. X, F. Sg). Si donc G et P représentent ccs deux droites, la formule devient