Deux circonférences de même rayon .tant égales

Soit AB , le rayon de l’une, égal à CI), le rayon de l’autre (P. I , F. 2 et 5). Si l’on place les deux cercles l’un sur l’autre , de manière que C tombe sur A et que CD soit sur AB, D tombera nécessairemen) sur B. Prenons un autre point quelciMique E de la circonférence C ; il sera aqssi éloigné de C que D ; donc , puisque CD et AB sont égaux , il sera aussi éloigné de A que B ; donc il tombera sur la circonférence A (5). Or , on en dirait autant de tous les autres points de la circonférence C. Donc , les deux circonférences seront l’une sur l’autre dans toute leur étendue. Done enfin , leurs longueurs sont égales.

Il faut entendre par longueur d’une circonférence, celle d’une ficelle qui entourerait exactement le cercle sans s’étendre.

Mettre ainsi que nous venons de le faire , deux figures l’une sur l’autre , pour démontrer qu’elles sont égales , c’est ce qu’on appelle les superposer. Il n’est personne qui ne conçoive que deux figures sont égales , quand elles se superposent ou se posent l’une sur l’autre dans toute leur étendue. La superposition est donc un cxeelleivt moyen de prouver l’égalité ou l’inégalité des figures. IVous l’emploierons fréquemment par la suite.

Appl. (n): On fait de même rayon, les deux roues qui, dans une voiture , ont le même essieu , afin que cet essieu ne soit pas

TRACÉ DU CERCLE. ' ^ a 9

incline^ que la voilure roule mieux et qu’elle ne soit pas versante. Ces deux roues ont donc meme pourtour ou même circonférence.

11 s’ensuit que les jantes étant égales entre elles , doivent se trouver en meme nombre dans les roues apairées.

Appl. (6): Les deux fonds d’un tonneau présentent deux circonférences égales ; le tonnelier doit donc employer exactement le même rayon pour les tracer.

Appl. (c): Si après qu’on a tracé un cercle sur un carton, on découpe ce carton selon la circonférence, avec un instrument tranchant fort mince, la partie détachée présente une circonférence en relief, cl le trou une circonférence en creux. Ces deux circonférences ayant même rayon, sont égales; la première peut tourner dans la seconde, et jamais elles ne cessent de se toucher par-tout. Cette propriété du cercle, que ne possède aucune' autre ligne, a, dans les arts, une foule d’applications. Nous citerons les robinets, les .charnières et tous les vases ronds qui ont un couvercle ou un bouchon également rond. Les robinets bouchent d’autant mieux, le jeu des charnières reste facile d’autant plus long-temps, les vases sont d’autant plus exactement et sûrement fermés, y amoieis^. de différence entre les rayons de leurs circonférencès’''en Helief et ceux de leurs circoBférenees en creux. j.

'■'"Appl. (d) : Nous citerons encore le mouKige des corps ronds. Le moule ne peut reproduire avec pureté, avec exactitude, les contours du modèle, que dans le cas où ses circonférences creuses sont par— ûiitcment égales aux circonférences en relief de ce modèle. C’est pour arriver plus sûrement à cette égalité que, dans le moulage en sable, on emploie du sable très-fin , qu’on le foule fortement , et qu’en sortant ou dépouillant le modèle, on le fait tourner un peu sur lui-même, d’abord d’un côté, ensuite du côté opposé. Dans le moulage en terre, on j)arvient à rendre égales les circonférences en relief et les creuses , en employant de la pâle très-fine et assez liquide, à la formation de la première couche, de celle qui touche le modèle.

Aj’pl. (e): Pour exécuter des pièces rondes, les tailleurs de pierres se servent assez souvent d’une cherche qui présente une poi'tion de circonférence en creux, dont le rayon doit être cxactcnumt le même que celui de la jjorlion de circonférence en relief du modèle ou du dessin.

Appl. (y) : Enfin dans plusieurs arts , ôn emploie pour vérifier les circonfércuccs en relief, des ciroonfércnces en creux nommées lunettes , ou calibres. Les premières sont d’autant mieux faites, qu’elles laissent moins de jeu , quand on les fait tourner dans les secondes.

10. Deux circonférences B , C qui n'ont pas même rayon , sont inégales, et la plus grande est celle qui et le plus grand rayon CD

(P. I, F. 6 cl 5).

D’abord, elles ne sont pas égales, car il est impossible de les superposeT exactement. Ensuite, nous savons, par une expérience de tous les jours, qu’une ligne qui en enveloppe une autre, a plus de

3o TRACE DC CERCLE.

loDfi^ueur que cellc-là ; or, si l’on superpose les deux centres , la circonférence qui a le plus grand rayon, enveloppera l’autre, comme on le voit (P. 1, F. 7).

Afpl. (a) : Les divers tronçons d’une colonne vont en diminuant de grosseur, du bas vers le haut , ou ce qui est la même chose , l’aréte circulaire d’en bas est plus grande que l'arête circulaire d’en haut. L’appareilleur doit donc tracer ces deux cercles avec des rayons inégaux et employer le plus grand pour' celui du lil inférieur.

Appl. (6) : Quand les tourneurs exécutent des corps dont la grosseur n’èst pas par-tout la même, il faut qu’en allant du gros bout vers le petit, ils rapprochent l’outil de l’axe de rotation ou ligne des pointe^, afin que les rayons diminuant, les circonférences diminuent aussi.

Loi de la nature (a) : L’eau tranquille , frappée par une pierre qu’on y jette , se meut en cercle , c’est-à-dire que les petites vagues produites par le choc de la pierre, sont circulaires.

Loi (A): L’air qui est un fluide comme l’éau, se meut aussi en cercle , quand il est calme et ([u’on le frappe ; la preuve , c’est que le bruit ou le son , qui n’est que le résultat d’un choc sur l’air et qui nous est transmis cuwaLpar de petites vagues, a la même force sur tous les points également éloignés de celui où se fait le choc , et qu’il arrive à notre oreille, bien qu’il y ait des obstacles à sa marche entre nous et l’endroit où il est produit.

Loi (c) : La Terre et tous les corps que nous voyons au ciel , les étoiles comprises, sont assujettis à tourner sur eux-mêmes, comme fait le jouet d'enfant qu’on appelle sabot. Tous les points de chacun de CCS corps décrivent donc des circonférences autour d’un axe de rotation (7).

« La Terre emploie vingt-quatre heures à faire un tour entier, et il en résulte que Quito, une des principales villes du Pérou, qui se trouve à la plus grande distance possible de l’axe de rotation , fait en vingt-quatre-heures, un chemin circulaire de goZg lieues. Metz, située bien plus près de l’axe, fait eu vingt-quatre heures 5890 lieues. Nous ne nous apercevons pas de ce rapide tournoiement, parce qu’il se fait sans secousse et que tous les objets terrestres qui nous entourent, tournent avec nous en conservant leur position. Nous sommes à peu près dans le cas d’un homme qui sc trouve placé sur un bateau rapidement emporté par le courant: il ne sent pas son mouvement , et il lui semble que ce sont les objets du rivage qui s’éloignent. De même, à nous qui tournons du couchant vers le levant, le Soleil parait tourner autour de la Terre, du levant vers le couchanl; mais cc n’est là qu'ime illusion. »

< C’est parce que nous tournons ainsi, que nous avons des jours et des nuits : le Soleil nous éclaire pendant que nous passons devant lui , et nous sommes dans l’obscurité quand la Terre a fait environ un demi-tour. »

CRADCATIO.V DE LA ClRCOm'E'RENCE. 3l

< Il faut à peu près un mois à la Lune, pour faire un tour entier sur son axe de rotation , et la plus grande des circonférences qu’elle engendre, n’est que de a 45g lieues. »

« Le Soleil fait son tour en a 5 jours et demi de a 4 heures, et dans le même temps, ceux de ses points qui sont le plus éloignés de l’axe de rotation, parcourent une circonférence de 989604 lieues, ou 38 808 lieues par jour , ^9769 lieues de plus que Quito. L’imagination ne peut se représenter une telle vitesse, et cependant il existe une vitesse bien plus grande encore ; c’est celle de la lumière qui ne met que 8 minutes pour parcourir la distance du Soleil à la Terre, environ 34 000000 de lieues. »

Graduation de la circonférence.

Une portion quelconque de circonférence, se nomme arc. Ainsi, BC (P. I, F. a) est un arc de cercle. Il en est de même de CD. Quand un arc a les mêmes extrémités qu’une droite BD, il est généralement désigné par trois lettres BËD dont une est placée entre les deux points extrêmes.

On donne une idée suffisante de l’arc , lorsqu’on dit qu’il est la moitié, le tiers, le dixième, etc., de la circonférence dont il fait partie. Mais, si un arc était marqué sur une circonférence et qu’il s’agît de savoir quelle partie de celte circonférence il forme , ce qui est souvent fort nécessaire dans les arts, on n’y parviendrait que très -difficilement, par tout autre moyen que celui qui est ordinairement employé. Comme ce moyen résulte de la graduation conventionnelle des circonférences, il faut, avant de l’exposer, parler de cette graduation, ou plutôt de ces graduations, car il y en a deu.x : l’ancienne et la nouvelle. Pour le moment, nous dirons seulement ce qu’elles sont; nous n’enseignerons la manière de les faire qu’en parlant des polygones réguliers.

11. Selon l’ancienne graduation, qui est encore la plus usitée, toute circonférence est partagée en 36o parties égales qu’on appelle degrés; chaque degré est partagé en 60 parties égales qu’on nomme minutes; chaque minute contient 60 parties égales dites secondes; une seconde renferme 60 tierces égales, et ainsi de suite; mais on va rarement au-delà des secondes. *

Un arç peut donc être désigné par le nombre de degrés , de minutes et de secondes qu’il comprend.

Les minutes dont il s’agit ici , sont bien différentes de celles qui se trouvent sur les cadrans des montres et des pendules : les minutes géométriques sont au nombre de -i i 600 dans une circonférence , tandis que les minutes horaires n’y sont qu’au nombre de 60.

On marcpie qu’un nombre exprime des degrés, en écrivant un petit zéro à droite et un peu au-dessus de ce nombre. Pour les minutes, on met un accent à la même place que le zéro. Pour les secondes, on emploie deuxaccens, et ainsi du reste, en augmentant

Zi CRADÜATION de la RIRCOKF^IIENCB.

toujours d’tin accent. D’après cela, l'arc qui contient 53 degrés, minutes et 5y secondes, s’exprime comme il suit : 53° 1 4’ .

1 2 . Selon la nouvelle graduation , toute circonférence est partagée en ioo parties égales appelées grades; chaque grade contient lo décigrades ; ehaque décigrade vaut i o centigrades. Il en résulte qu’un décigrade est la dixième partie du grade, comme le grade^est la dixième partie d’une dixaine de grades. Or, le grade s’écrit à la droite des dixaines de grades ; il est donc tout naturel d’écrire le décigrade à la droite du grade, en observant toutefois de les séparer par une virgule , pour qu’on puisse mieux distinguer les grades entiers de leurs parties. Par des raisons semblables , on écrit les centigrades à la droite des décigrades , comme on met les dixaines à la droite des centaines. Au reste, cette manière d’écrire les divisions du grade, est tout à fait pareille à ce qu’on fait pour les francs, les décimes et les centimes.

Pour marquer qu’un nombre exprime des grades , on met gd à droite et un peu au-dessus de ce nombre. Ainsi, 53 grades, y décigrades et 5 cenügrades s’écrivent : 53*'^, 75, ce qui se prononce aussi : 53 grades 75 centièmes.

On voit sans doute, d’après ce qui précède, qu’un arc peut être désigné par le nombre de grades et de centigrades qu’il contient, aussi bien que par des degrés , des minutes et des secondes ; mais on préfère celte derniefe ~hwlwiation,4iarçc que les nombres 36o et 60 ont bien plus de parties exprimées en nombres entiers , que 4oo el 100. Par exemple, on peut prendre en nombres entiers, le tiers, le sixième, le douzième, le trentième, etc. , des premiers, et on ne le peut pour les derniers.

« 11 existe des tables qui font connaître soit combien un nombre de grades et de centigrades donné, vaut de degrés, de minutes et de secondes, soit combien un nombre de degrés, de minutes et de secondes vaut de grades et de centigrades ; de sorte qu’on peut toujours passer aisément d’une graduation à l’autre. »

« 11 existe aussi un instrument qu’on appelle rapporteur, au moyen duquel on trouve facilement combien un arc tracé contient de degrés; mais sa description doit être renvoyée au chapitre suivant. »

« Nous pouvons néanmoins , dès à présent , établir sur les arcs de cercle, plusieurs principes qu’il est bon de counailrc. »

13. « Deux arcs de même rayon qui renferment le même nombre de degrés , de minutes et de secondes, sont égaux en longueur. »

« En effet, les rayons étant égaux, rendent égales les circonférences dont les deux arcs font partie (9). Donc, le degré de l’une, qui en est la 36o''“” partie , égale le degré de l’autre qui en est aussi la 36o"'"' partie. De ce que les degrés ont même longueur, il suit que les minutes sont égales et les secondes aussi. Les deux arcs sont donc composés de parties égales et en même nombre ; ils sont donc égaux. »

CIUDliATIOK DE LA CIRCONFÉaEKCE. 33

« 11 est aussi dcmoiilré par là que , réciproquemeiil, des arcs de même rayon et de même longueur, contiennent autant de degrés et de parties de degré l’un que l’autre. »

14. « Mais, de deux arcs qui ont le même nombre de degrés et des rayons différens, celui qui a le plus grand rayon est le plus long, s

« En effet , les rayons étant inégaux , rendent inégales les circonférences (lo), et c’est celle de l’arc auquel appartient le plus grandrayon, tpii est la plus grande. Donc, les degrés do cet arc sont plus longs que ceux de l’autre, et puisque le nombre des degrés est le même dans les deu.x, c’csl celui qui a le plus grand rayon qui est le plus long, d

Réciproipicment , de deux arcs qui ont même longueur et des rayons différens, celui qui a le plus grand rayon contient moins de degrés que l’autre. Cela résulte de la démonstration précédente.