Supposons maintenant que le nombre des degrés contenus

dans un arc marqué sur une circonférence, par exemple dans l’arc BC (P. I , F. a), soit 4o , et qu’il s’agisse de découvrir quelle partie de la circonférence A est l’arc BC. Nous dirons : si BC était la moitié de la circonférence A, il y serait contenu a fois; s’il en était le tiers, il y serait contenu 3 fois; s’il en était le dixième, il y serait contenu lo fois et .linsi de suite. La question est donc de savoir, combien DC est contenu de fois dans la circonférence A. Or, cette circonférence renferme 36o degrés égaux , BC renferme 4o de ces mêmes degrés;^ donc en partant de B, on pourra, avant d’y revenir, porter BC autant de fois sur la circonférence , que 4o“ sont contenus de fois dans 36o”, c’est-à-dire ;) fois, puisque 56o divisé par 4o donne 9 pour quotient. Donc, BC est contenu aussi 9 fois dans la circonférence A ; donc enfin , BC est la neuvième partie de cette circonférence. .

Le nombre de fois qu’une chose éh contient une autre de même espèce, de même nom , est ce qu’on nommcAe rapport de la première à la seconde. Le rapport de la circonférence à l’arc BC est donc 9, 4

ainsi que le rapport des nombres 36o et 4o qui marquent combien de degrés sont renfermés dans ces courbes. De là, le principe suivant. « , *

IC. Le rappoçt des longueurs de deux arcs d’une même circonférence , est égal à celui de leurs nopibrcs de degrés, ou de minutes, ou de secondes.

• En effet, on peut dire de deux arcs tout ce que nous avons dit d’un seul arc et de toute la circonférence; si les arcs contiennent des degrés et des minutes, on peut réduire les degrés en minutes, en multipliant leur nombre par 60, puisque chaque degré vaut 60', , et ensuite on pourra dire des arcs indiqués en minutes , .ce qu’on * 'aurait dit des arcs indiijùcs en^fgi'cs seulement ; si les arcs cdniicn- -

GIUDDATIOir DS LA CIRCONFSHBNCE.

nent des degrés, des minutes et des secondes, on convertira les degrés en minutes, puis les minutes en secondes, en multipliant leur nombre par 6o; ensuite, ayant fait la somme de toutes les secondes, on dira des arcs indiques en secondes, ce qu'on aurait dit des arcs indiques en minutes ou en degrés.

17. On doit bien sentir que le principe du numéro i6, s’étend à deux arcs pris l’un sur une circonférence quelconque , l’autre sur une •irconférence égale à celle-là , et comme les circonférences sont égales quand les rayons sont égaux (9) , il s’ensuit ce principe plus étendu :

he rapport des longueurs de deux arcs de même rayon, est égal à celui de leurs nombres de degrés, ou de minutes, ou de secondes.

18. Le rapport est une chose si importante et dont nous ferons bientôt un si grand usage, qu’il est nécessaire de développer la notion que nous en avons donnée page 33.

D’après cette notion, rapport et quotient sont deux mots qui sembleraient avoir la même signification. Mais, ou ne se sert du mot quotient que pour désigner le résultat d’une division faite avec deux nombres, dont l’un au moins exprime des objets; le quotient représente toujours un nombre de certaines choses. Par exemple , si l’on veut partager-SûJlcj entre i2 personnes, on fait une division dont le quotient est 3 fr. ; 7T répond à la<|uc8tionr. combien revient-il de francs à chaque personne ? Autre exemple : on a 72 lieues à faire., et l’en ne fait que 6 lieues par jour ; combien emploiera-t-on de jours pour faire les 72 lieues? C’est le quotient de 72 divisé par 6, qui donne pour réponse 12 jours.

Happort se dit pour les choses aussi bien que pour les nombres , et quand il s’agit de nombres , on n’a nullement égard aux choses qu'ils expriment, pour prendre leur rapport; il faut toutefois que ces , choses soient de même nature. Ainsi , le rapport des longueurs de deux pièces de bois , est 4 , si l’ilbe peut être portée 4 fois sur l’autre ; le rapport de 36o° à 90“ est aussi 4 > parce que 36o” contient 4 fois , 90° ; enfin , le rapport des nombres insignifians 36o et 90 est encore 4.

Mais on ne pourrait prendre le rapport de 36 fr. à 1 2 personnes , parce que des personnes ne peuvent être contenues dans des francs.

• 11 résulte d(;là qu’un rapport entre des choses ou entre des nombres ,

est un nombre qui n’est appliqué à rien , c’est tout simplement un nombre, comme 2, 5, 17, etc. ^

19. Le plus souvent, on ne dit pas positivement quel est le rapport de deux nombres de même nature ; on se contente de l’indiquer par un signe; ce signe se compose de deux nombres écrits l’un au-dessous de l’autre et séparés par un trait: par exemple, au lieu d’écrire 9 , pour le rapport de 36o° à 4o°, on écrit souvent :

* **** bien la même cliosc, L’indice des degrés

est en efiet inutile , puisque 36o divôé par 4o donne aussi bien 9 ,

CRASITATION DE LA CIACONFÉSENCE. 3S

que 36o° divisé par 4<>°* Les deux nombres que sépare le trait, sont nommés les deux termes du rapport.

Le signe des rapports est sur-tout utUe pour indiquer celui qui ne peut être exprimé exactement par un nombre entier : par exemple , le rapport de 27 à i3. On se contente alors d'écrire qui se prononce vingt-sept treizièmes. Le rapport d’une chose à une chose plus grande qui la contiendrait 4 fois , serait indiqué par j qui se prononce un quart.

Ceux qui savent comment on représente ordinairement les frac^ lions, c’est-à-dire les parties d’une chose, telles que la moitié, le quart , les deux tiers , les cinq sixièmes de cette chose , reconnaîtront qu’on emploie le même signe pour les rapports. La moitié d’une lieue s’exprime en effet par ^ lieue; les cinq sixièmes d’un jour, s’écrivent : | jour. Mais, il y a la même différence entre une fraction et l’indication d’un rapport, qu’entre un quotient et le rapport même : la fraction désfgne toujonrs un certain nombre des parties d’une certaine chose, et l’indication d’un rapport ne s’applique absolument à rien.

Il y a des personnes qui sont assez portées à confondre la différence des choses avec le rapport de ces choses. Il faut se tenir en garde contre cette erreur qui pourrait en faire commettre beaucoup d’autres. Pour trouver la différence qui existe entre les longueurs d’une grande et d’une petite planche , on ne porte la petite sur la grande tpi’unc seule fois , à jiartir de l’un des bouts ; ce qui reste alors est la différence. Pour trouver le rapport des mêmes longueurs, il faut porter la petite sur la grande autant de fois qu’on le peut, et le rapport est ce nombre de fois. Les différences des nombres ne s’oblicmient que par soustraction; leurs rapports, que par division. Il n’y a parmi les nombres entiers , comme il est facile de s’en convaincre, que 4 et 3 , dont la différence et le rapport soient égaux.

PaoBLÈMB : Afin de compléter ce que nous pouvons dire maintenant sur les rapports, nous allons montrer, par un exemple, comment H faut opérer pour trouver le rapport de deux arcs exprimés en degrés.

Supposons donc qu’on veuille obtenir le rapport d’un arc de 7° i3' 3o", à un arc de 2° 6', ces deux arcs étant pris sur des cir-^ conférences de même rayon. Je multiplie 7° par 60, ce qui produit 4ao'. Ajoutant les i3' du premier arc, j’ai 433'. Je multiplie 433' par 60 et j’obtiens uSgSo". J’ajoute les 3o" de l’arc et j’ai en tout 36010". Agissnt de même pour l’arc de 2° 6', je trouve qu’il contient 126' ou 7560". Le rapport du grand arc au petit a, par conséquent (19), pmur indication; 7 iVo" •

20 . Quand on a le rapport de deux chbses, on peut toujours trouver la grandeur de l’une , si l’on connaît celle de l’autre. Admettons , par exemple, que le plus petit des deux arcs précédons ait une longueur de 2 pieds ; il est clair qu’en répétant 3 pieds autant de fois que le grand arc contient le petit , nous trouverons le nombre de pieds du

36 ' CBADCAnOH DE tA CmCOKFiBEBCE.

premier. Or, répéter un nombre ou le multiplier, c’est la même chose. Il faut donc multiplier 9 pieds, par le rapport du grand arc au petit ou par Multiplions d’abord a pieds par aCoio;

BOUS obtiendrons Saoao pieds, quantité 7660 fois trop grande, puisque ce n’était ({u’après division faite qu’il fallait multiplier a pieds. Nous devons donc rendre Saoao pieds, 7560 fois plus petit. Or, c’est visiblement ce qu’on fera, en divisant Saoao pieds par 7S60.

Le quotient G*”, 88 sera donc la longueur du grand arc.

‘‘ Ces raisonnemens nous conduisent au principe suivant , qui est • de la plus grande utilité.

*5»/ l’on a le rapport d'une chose à une autre et la grandeur de la seconde, on obtient celle de la première , en multipliant la grandeur connue, par le terme du rapport qui est au-dessus du trait, et divisant ensuite par le terme qui est au-dessous.

« Ceux qui ont vu les règles de trois, la règle d’intérêt, la règle de strciélé , etc. reconnaîtront aisément que le principe précédent les renferme toutes. »

Appi.icatioxs : Bien que la division de la circonférence en degrés ou en grades soit de pure convention, elle est d’un grand secours dans plusieurs arts et même dans les sciences.

Appl. (o) : La plupart des instrumens qu’on emploie pour lever les plans, ont un cerrhr-évidiLupnimé limbe, sur lequel sont marqués les degrés ou les grades , et c’est Tusage de ce cercle qui rend l’opération facile, prompte et sufGsamment exacte.

Appi. (6); L’artillerie se sert aussi des degrés, pour jeter ses bombes avec plus de justesse.

Appl. (c) ; C’est au mot'en de cercles gradués qu’on suit le cours des astres , qu’on a découvert leurs mouvemens , qu’on a mesuré leurs distances*et leur grosseur, qu’on predit long- temps à l’avance les éclipses, et le retour des comètes. ,

Appl. (rf) : L’aiguille aim.antée de la Iroussolc, rpii se dirige •toujours à peu près vers le nord, indique aux marins, sur un cercle gradué , s’ils suivent bien leur route , ou de combien ils s’en écartent.

Appi.. (e): La Géographie ne nous représente avec tant de précision sur les cartes, les posilioiLS et les distances de tous les points de la Terre, qu’en s’aidant de deux cercles gradués: les degrés de l’un sont les longitudes, et les degrés de l’autre, les latitudes.

« Enfin , on peut dire <pie sans l’idée de la graduation du cercle, idée qui, toute simple qu'elle est, a bien tardé a venir aux hommes, les arts, les sciences et par conséquent la civilisation , ne seraient pas à beaucoup près ce que nous les voyons aujourd’hui. »

« C’en est bien assez pour vous faire sentir combien sont importaus , les soins et l’exactitude , dans la fabrication des cercles gradués , et pour porter ceux d’entre vous qui s’en occupent, à redoubler d’attention , quand nous parlerons des procédés que. suivent les artistes habiles , pour approcher d’une graduation parfaite , c’est-à-dire d’une égalité rigoureuse entre toutes les divisions. »

THACB DBS SBCAITTBS ISOLÉES. 07

« D’après la méthode cpie nous nous sommes faite , ce serait ici le lieu d'enseigner le tracé des autres courbes ; mais pour ne pas couper la géométrie de la ligne droite et du cercle ,nons préférons renvoyci* à la fin tout ce qui concerne ces courbes : nous en ferons même un petit traité particulier sous le titre de Géométrie des courbes (*). »

TBACé DES SECANTES ISOLÉES.

Apix-s avoir considéré la ligne droite et la circonférence séparément , il faut les combiner ensemble , ou du moins parler des droites qui coupent la circonférence. On les appelle sécantes, pour abréger. Nous ne nous occuperons maintenant que des sécantes isolées.

21 . Phoblèsie : Pour tracer une sécante quelconque ou une sécante AB passant par deux points C et D marqués sur la circonférence (P. I, F. 8), on suit les procédés du numéro i.

S’il était proposé de tracer une droite qui pass.it par trois points d’une circonférence, il ne serait pas possible d’y parvenir; on en verra la raison dans le tracé du cercle qui coupe une droite.

La -partie d’une sécante comprise entre les points où elle coupe la circonférence, est la corde de l’un ou de l’autre des arcs bornés par les mêmes points. Ainsi , la droite CD est la corde de l’arc CED , ou de l’arc CFD.

Un arc est souvent désigné comme sa corde; on dit, par exemple, l’arc CD, au lieu de dire l’arc CDE ; mais alors il s’agit toujours du plus petit des deux arcs qui ont la même corde.

On a donné à l’arc et à sa corde, les noms qu’ils portent, parce que leur ensemble représente assez bien l’instrument au moyen duquel les hommes ont d’abord lancé des flèches.

22. La corde GH qui passe par le centre I est dite diamètre du cercle (P. I , F. 8). Il s’ensuit que le diamètre est le double du rayon , car IG et IH, les deux parties de GH, sont deux rayons (4), et ces rayons sont égaux (5). Il s’ensuit encore que tous les diamètres (Pune même circonférence sont égaux.

Problème : Tracer un diamètre.

Il suffit de tirer une sécante GH qui passe par le centre I et sc termine des deux côtés à la circonférence.

Appl. (rt) : L’égalité des diamètres du cercle , sert à vérifier les circonférences en creux qu’on exécute dans les arts. Les seiTuriei-s,

' par exemple, s’assurent que les cercles de fer qu’ils forgent, sont bien faits , en y présentant , dans un grand nombre de sens dilTérens , une icrgc égale au diamètre. Il convient que cette verge soit ter-

(*} La seconde édition de ce traité paraîtra incessamment.