BF = 2DG, EG = 3BF = 3X2DG=6DG

DE = EG d- DG = CDG -H DG = 7DG ,

AF = 2DE = 2 X yDG= i4DG,

AB = AF -H BF = 1 4DG d- 2DG = 16DG ,

CD = CE d- DE = AB d- DE = I CDG d- yDG = a3DG.

Vous verrez ainsi que le rapport de CD à AB est celui de a3DG à iCDG ou 1^.

Au reste, pour plus de simplicité, écrivez tous les quotiens 1,2, 3 , 2 , les uns sous les autres , dans l’ordre où vous les trouvez ;

1 iC

est sur sa ligne; ajoutez au produit, le nombre 2 qui est sous le multiplicande; continuez toujours ainsi , et formez une fraction avec les deux derniers résultats que vous obtiendrez. Cette fraction expri- • niera le rapport du petit arc au grand , ou le rapport du grand arc au petit , selon que vous prendrez pour numérateur le plus petit ou le plus grand des deux derniers résultats. Ainsi, le rapport de AB à CD est ^ et celui de CD à AB est f|.

Appl. («) : La manière de faire des arcs égaux au moyen des cordes , est fréquemment employée dans le dessin géométrique et . dans le trait.

« Quand le tailleur de pierres ou l’appareilleur a besoin de tracer sur un parement , un arc de cercle d’une grandeur déterminée , et que ce parement a une étendue suffisante pour renfermer le centre de l’arc , il commence par tracer de ce centre et aveu le rayon convenable , le plus grand arc de cercle possible ; puis , au moyen de '• sou compas, il prend %ur le dessin en grand, la longueur de la corde . qui répond à l’arc dont il s’agit , et la rapporte sur l’aie du pare-

mettez l’unité vis-à-vis du dermer 2 , et ce dernier vis-à-vis de 3 l’avant-demier; multipliez par le quotient 3 , le 2 qui est sur sa ligne; ajoutez au produit, le nombre i qui est sous le multiplicande ; écrivez la somme 7k vis-à-vis de 2 , 3'"' quotient en remontant; multipliez 7 par le quotient 2 qui

4o TKACÉ DES SÉCANTES ISOLÉES,

iiieiil, en parlant d’un ccr(aiu'‘poinl donné. 11 obtient ainsi un arc égal en longueur à celui du dessin ou de Yépure , parCe <[u’il a donné au premier la eorde du dernier. » ^

« Si le centre ne peut se irouTcr sur le parement, l’appareilleur découpe sur l’épure , un patron ou panneau dont les bords présen— tout souvent l’arc et la corde seulement , et en posant le bord droit de ce patron sur la ligne du parement qui représente la corde <ie l’are , il parvient facilement à tracer cct arc. »

Appl. (6) : C’est encore par suite dn même principe, que le tailleur de pierres qui façonne des voussoirs, fait de même longueur toutes les arêtes de douelle plate contenues dans les paremens de tête ; cas ces arêtes sont les cordes des ares que doivent former les arêtes circulaires des voussoirs, et comme ces arcs sont égaux dans uni- épure bien faite , leurs cordes doivent être égales.

« 1 1 serait diflicile de citer tous les cas où , dans les arts , on fait des tires égaux , an moyen de cordes égales ; il n’y a peut-être pas de pruicipc de géométrie plus souvent appliqué que celui-là. »

23. Le diamètre partage la circonférence en deux parties égales de i8o“ chacune.

Vous verrez facilement qu’il en est ainsi, si vous considérez GH comme une charnière (P. I , F. 8) et que vous fassiez tourner l’arc GEH autour de-ccug^droite, jusqu’à ce qu’il soit rabattu sur le côté du tableau où si'iTTïîrn' l'«i»i GFH Gc nuiim iitciil ne changera nullement la longueur de l’arc GEH , ni les distances des points de cct arc au centre I , et quand le rabattement sera terminé , ces distances seront encore égales à celles des points de GFH au même centre (5). Par conséquent , les deux arcs qui auront toujours leurs extréniitÉB aux mêmes points G , H , se trouveront superposés dans toute leur étendue; d’où il suit qu’ils étaient égaux avant le rabattement^ et qu’ils contenaient chacun la moitié de 36o°.

Si nous rapprochons ce qui vient d’être dit , de ce qui l’a été dans le n° 9 , nous verrons ipi’il y a deux manières de superposer: Imne , celle du n° 9 , qu’on peut appeler superposition par glissement ; l’autre qui peut être nommée superposition par rabattement.

La première exige qu’on enlève l’une des figures ou qu’on la fasse glisser ; la seconde nécessite un axe de rotation , une droite qu’on puisse regarder comme une charnière.

Phoblèmb : Partager une cireonférence en deux parties égales,

H suffit de tracer une sécante qui passe par le centre , ou un diamètre.

26. Le diamètre est la plus grande de toutes les cordes; car en traçant une corde quelconque AB (P. 1, F. la) et en menant les rayons GA, CB aux extrémités, on a une ligne brisée ACB plus grande que la droite AB comprise entre les deux mêmes points (a); or celle ligne brisée est égale au diamètre, 'puisque comme lui, •• elle est confposéc de deux rayons (aï).

TRACÉ DES SÉCA.NTES ISOLEES. 4l

27. Mais, il est visible que la corde .\B différera d'autant moins de ACB, qu’elle se rapprochera davantage du centre C. Il s’ensuit que plus une corde se rapproche du centre , et plus elle est grande. Alors aussi , son petit arc renferme un plus grand nombre de degrés. Par conséquent, si, lorsqu’il s’agit d’arcs moindres que i8o“ et de même rayon, deux cordes sont inégales , l’arc de la plus longue est le plus grand, et réciproquement, si deux arcs de même rayon sont inégaux, la corde du plus grand est la plus longue. Quand l’arc dépasse i8o", il est d’autant plus graud que sa corde est plus courte.

Appl. (a) : On doit bien sc garder de mettre la moindre différence entre les cordes qu’on emploie pour faire des arcs égaux.

Appl. (6) : La figure que forme la demi-circonférence combinée avec le diamètre , plait à l’œil ; aussi est-elle très-usitée dans les arts. Les fenêtres de grenier et même celles des entresob, ont fort souvent cette forme.

Appl. (c) : Dans les portes et dans les fenêtres en arcades à plein cintre , les vanteaux se terminent souvent à la naissance de la voûte , et le deminiercle restant est rempli par un panneau dormant, dont les bords présentent une demi-circonférence et son diamètre. Pour une croisée , les divisions du panneau dormant doivent figurer les rayons du cercle ; il y a dass cette disposition , solidité et beauté.

Appl. (rf) : Les serruriers exécutent aussi la meme figure dans plusieurs cas, et notamment pour les grilles qui ferment les portes en arcades à plein cintre. •

Appl. (e) : Le rapporteur, instrument qui est ordinairement fait en laiton , et que nous avons cité , page 3a , qomme servant à déterminer combien un arc rcnfccme de degrés , est terminé intérieurement par une demi- circonférence ABC et le diamètre AC (P. I, F. i3). Les bords extérieurs présentent aussi une demicirconférence EFG qui a même centre que l’autre et dont AC prolongé jusqu’en E et en G , forme le diamètre. La bande cirrtilaire comprise entre les deux demi - cercles , est ce qu’on nomme le limbe de l’instrument. On peut donc marquer i8o“ sur ce limbe. (aS). Il présente souvent deux graduations semblables , mais en sens contraires l’une de l’autre. Cela fait qu’on n’a pas besoin, de retourner le rapporteur, pour trouver le nombre des degrés d’un arc situé à droite , quand on vient d’opérer sur un arc placé à gauche.

« Le cran qu’on voit vers le milieu du diamètre , est nécessaire pour ipi’on puisse découvrir le centre de l’arc, lequel doit toujours être exactement placé sous le point D centre de l’instrument. Les deux autres crans A et C servent à bien poser le diamètre AC sur une 'droite tracée. »

« Nous indiquerons un peu plus loin , dans le chapitre suivant la manière de se servir d’un rapporteur. P

Appl. (/) : Enfin , il existe un autre instrument appelé graphomitre et employé pour le lever des plans , qui présente un limbe

4 2 TRACÉ DES COSCOVHANTES.

tout pareil à' celui du rapporteur. îJous le décrirons plus tard , en citant les applications des droites qui se coupent.

s. On sent combien il importe dans la confection de ces instrumens , de faire passer la ligne qui représente le diamètre , exactement par le centre des demi-circonférences. La moindre négligence sur ce point rendrait la partie circulaire plus grande eu plus petite qu’une demi-circonférence, et par conséquent, chacune des 180 divisions serait plus grande ou plus petite qu'un vrai degré , ce qui jetterait dans des erreurs parfois très-graves. »

TBACB DBS COXCOüRABTES.

Deux droites qui se coupent , sont nommées concourantes , pour abréger. Ce nom est aussi donné à un nombre quelconque de droites qui passent toutes par le même point.

« Avant de nous occuper du tracé des concourantes , nous avons besoin d’établir les principes et les définitions suivantes. »

28. Deux droites ne peuvent se couper ou se rencontrer qu’en un seul point; car si elles se coupaient eu deux points, elles auraient deux points communs, et se confondraient, puisque deux points suffisent pour déterminer une droite. Au lieu de deux droites, il n’y en aur«il donc phis qu’une seule.

Deux concourantes AB- F. i4) laissent entr^ elles, sur le tableau , un espace qu’on nomme angle. Les droites AB , BG sont les côtés de cet angle ; le point B où se coupent les côtés , est le sommet.

Pour désigner un angle , il suffit de trois points : celui du sommet et deux autres pris sur les côtes. On nomme donc un angle par trois lettres ; celle du sommet se place toujours entre les deux itutres. Ainsi, les droites AB, BC forment, en se coupant, l’angle ABC. Quelquefois, on désigne aussi un augic par la seule lettre , du sommet, et l’on dit l’angle B; mais il faut qu 'alors le sommet ne soit pas commun à plusieurs angles.

Puisque les droites ne sont jamais naturellement limitées (3) , il est clair que l’angle est aussi sans limites: à mesure, eu effet, que les droites augmentent en longueur, Tespace qu’elles laissent entre elles augmente aussi. Par conséquent, toutes les fois qu’on forme un angle avec deux portions de droites qui se coupent , on ne représente vraiment aux yeux qu’une portion de l’angle. Mais, de même qu’il suffit d’une petite partie d’une droite , pour qu’on puisse tracer cette droite , jusqu’à un point pris aussi loin qu’on voudra, il suffit aussi d'une petite partie de l’angle, pour qu’on puisse lui donner telle étendue qui sera assignée : il ne s’agirait , pour cela , que d’en prolonger les côtés autant qu'il serait nécessaire. Ainsi , un angle est toujours suffisamment déterminé par son commencement , c'est-à-dire , par la partie qui avoisine le sommet. Nous nous contenterons donc d'amorcer , pour ainsi dire , comme dans la figure 1 4 , les angles dont nous parlerons.

nu£8 SES COnCOORARTBS. 4^ >

29. On peut concevoir que la droite AB ait d’abord été sur la droite BC (P. I, F. i5), et qu’elle se soit éeartce ensuite de cette seconde ligne , en tournant autour du point B , jusqu’à ce qu’elle ait eu atteint la position qu’elle a dans la figure , ou jusqu’à ce qu’elle ait eu formé l’angle ABC. Ce mouvement étant le même que celui du cordeau qu’on essploic pour tracer la circonférence , il est clair que l’extrémité A de AB n’aura pu passer de C en A , sans décrire un arc CA dont B est le centre. II est clair encore que si l’angle augmente ou diminue, c’est-à-dire si AB s’éloigne ou se rapproche de BC , l’are augmentera ou dimfhuer.-i. Cette dépendance constante dans laquelle l’arc est de l’angle et l’angle de l’arc , fait qu’on peut prendre pour indication de l’angle, le nombre de degré* contenu dan» l’arc décrit entre les côté» et du sommet comme centre.

Si, par exemple, l’arc AC est de a5°, on dit que l’angle ABC est de a 5°, et réciproquement, l’angle AfiC étant dit de' a 5°, l’arc AC contient a5°. Mais, il faut bien observer qu’il n’en serait plus ainsi dè tout arc qui n’aurait pas le sommet B pour centre, bien qu’il fûrcompris entre les côtés de l’angle.

An reste, l’indication d’un angle par les degrés de l’arc décrit entre les deux côtés et du sommet comme centre , est justifiée par le principe suivant que nous allons démontrer.

50. Le rapport de deux angles est le même que celui des nombres de degrés, de minutes, etc., des arcs décrits de leurs sommets, entre leurs côtés, aoec des rayons égaux quelconques.

Nous ferons voir d’abord que si, par exemple, l’arc AC (P. ”

F. i6) est double de l’arc DF qui a même rayon (F. 17), l’ang , ' ABC sera aussi double de l’angle DEÆ'.

Plaçons EF sur BC ; ces droites pourront se confondre , puisqu’elles sont les ravons des arcs et que ces rayons sont égaux. DF aura alors même centre que AC et s’appliquera, par conséquent, sur ce dernier arc. Mais, comme DF n’est que la moitié do AC, D tombera en G milieu de AC , et si l’on trace la droite GB , l’angle DEF recouvrira l’angle GBC dans toute son étendue. Maintenant , nous pourrons reprendre EF et la placer sur BG j DF se confondra avec AG qui lui est égal , puisque DF est contenu deux fois dans AC ; DE se confondra avep AB , et l’angle DEF recouvrira l’angle ABG dans toute son étendue. Cet angle DEF est donc contenu deux fois dans l’angle ABC, comme l’arc DF dans l’arc AC. Le rapport des angles est donc égal à celui des longueurs des arcs. Or, quand les arcs ont même rayon, le rapport de leurs longueurs est le même que celui de leurs nombres de degrés (17); par conséquent, le rapport des angles est aussi le même que celui des nombres de degrés de leurs arcs.

31. Il résulte de la démonstration précédente que si des arcs de même rayon , compris entre les côtés de deu.r angles , sont égaux.

Di.jiti7ed by Googk

44 iiuc4 DES coxcoiTHiirrBS.

les angles le sont aussi; et que réciproquement Pégalilé des angle» entraîne celle des arcs; car , pour les deux sortes de choses , le rapport est alors i .

52. « Si les arcs n’ont pas même rayon , les angles n’ont pas moins h même rapport que les arcs exprimas en degrés, ou en minutes, ou en secondes; c’est-à-dire que le rapport de l’angle ABC (P. I, F. i6) à l’angle DEF (F. i8), est égal au rapport des nombres de degrés des arcs AC et HI dont les rayons sont diflérens, comme il est égal au rapport des arcs AC et DF qui ont même rayon. Il est visible que cela sera démontré , si nous faisons voir cpie les arcs DF et III de rayons différons et décrits du sommet E d’un angle DEF, entre les côtés de cet angle , contiennent le même nombre de degrés, minutes , etc. »

« Supposons que l’angle DEF puisse être placé i a fois de suite , par exemple, autour du sommet Ë. Les la angles que nous aurons alors seront égaux, et par conséquent, les la arcs de rayon DE qu’ils comprendront entre leurs côtés, seront aussi égaux (3i). Or, ces arcs formeront en somme la circonférence. Donc ,'^un quelconque DF sera le douzième de 36o“ ou 3o°. Par la même raison , les i a arcs de r.iyon lE compris entre les côtés des mêmes angles, seront aussi égaux, et comme leur somme sera visiblement une circonférence cntiàra,-iiii quelconque lïl sera également le douzième de 3Go° ou 3o°. Donc, les deux principes énoncés sont vrais. »

33. « Il s’ensuit que si des arcs compris entre les côtés de deux ^ angles et décrits des sommets , ont même nombre de degrés, les angles sont égaux , et que réciproquement si les angles sont égaux, les arcs ont même nombre de degrés. »

Probi. [ci) : Trouver le nombre des degrés contenus dans un arc.

Soit, par exemple, l’arc III de la circonférence K (P. I, F. 19), dont on veuille connaître le nombro de degrés. On joint le centre K aux extrémités II et I de l'arc, par des droites hJI, Kl plus grandes que le rayon du rapporteur; puis, ayant placé le diamètre AC do l'instrument (F. i3) sur l’une Kl de ces droites, de façon que le contre K de l’arc réponde au point D , il ne reste plus qu’à examiner j)ar quelle division du limbe passe la droite KJI. Le nombre des degrés compris entre la ligne CG dp rapporteur et la droite KH, est celui de l’arc III , puisque des arcs décrits du sommet d’un angle et compris entre ses côtés renferment le même nombre de degrés (3a).

Probl. [b) : Itfarqucp sur une circonférence , un arc qui contienne autant de degrés qu'un arc donné. ,

Cherchez d'abord , comme ci-dessus , le nombre des degrés de l’arc donné; placez ensuite le rapporteur sur le cercle L (P. I,

THACK DES CONCODEANTES. 4 S

P. ao), de manière que le centre L réponde au point D (F. i3); marquez sur le tableau , et tout contre le bord circulaire de l’instrument , deux petits points , l’un M vis-à-vis de G , l’autre N visà-vis de la ligne qui termine le nombre de degrés ; puis , joignez ces deux points avec le centre L de la circonférence , par deux droites. La courbe sera coupée par ces droites en deux points O, qui Ikniterout un arc OP du meme nombre de degrés que l’arc donné (Sa).

« Nous pouvons maintenant nous occuper du tracé des concourantes. V

34. Quand il est question de tracer une droite qui en coupe une autre, on donne deux points de la première , ou bien l’on n’en donne qu’un seul point. Si vous avez deux points , le procédé du n° I suffit. Si vous n’avez qu’un seul point de la droite demandée , ce point se trouve sur la droite donnée ou bien il est hors de cette droite , et dans les deux cas , il faut que vous connaissiez ^ l’angle que doivent former entre elles les deux concourantes ; autrement , vous pourriez tirer par le point donné, une foule de droites qui rempliraient toutes la condition. Enfin , l’angle peut être donné tout formé ou seulement par son indication en degrés.

Probl. (a) : Par un point A cTune (fro/Ve AB (P. I,F. 21), tirer une concourante qui fasse un angle CDE connu et trace (F. 22).

On peut employer pour cela une fausse-équerre. Cet instiument est composé de deux règles FG, III (F. aS), réunies par une char- ' nière, comme les branches d’un compas. Quelquefois, chaque règle est terminée par une pointe j la' fanssé-équerre du tailleur de pierres est ainsi faite : il en résulte que l’instrument peut aussi servir de compas.

Pouf exécuter le tracé demandé , plaeez l’arcte intérieure FG sur le côté DE de l’angle donné (F. 22), et ouvrez la fausse-équerre jusqu’à ce que l’arête extérieure HI recouvre exactement l’autre côté CD. Alors, l’angle CDE serà* /eue ou relevé, c’est-à-dire que les deux arêtes FG , III feront entre elles ce même angle. Maintenant , sans déranger l’écartement des deux règles , posez l’arête FG sur AB (F. 21), de manière que l’arête III passe par le point A; il ne s’agira plus que de tirer une droite AK le long de lil, pour avoir la concourante demandée.

Probl. (A) : Transporter un angle d'un lieu dans un autre.

Il suffit pour cela, de poser la fausse-équerre sur le nouveau tableau, après qu’on a levé l’angle, et de tirer deux droites, l’une le long de l’arête FG (F. 23), l’autre le long de l’arête III. Alais, comme l’instrument empêche ces deux droites de se rencontrer , il faut ensuite prolonger un peu la première , au moyen de l’une des règles. On peut aussi se servir des arêtes intérieures de ces règles.

^6 THACB DES CONCOURANTES.

PaoBi.. (c): Faire au campa» un angle égal à un autre et de sommet d^érent.

Si l’on n’a point de fausse-équerre, ou bien si les règles de rinstriimeiil ne sont pas justes (page a3), voici comment on résout le j)i oblème (a). Du sommet D (P. I, F. aa) et d’un rayon quelconque, décrivez entre les côtés de l’angle donné, un arc CE. Du point donné A (F. ai) et du même rayon, décrivez, à partir de la droite AB, un arc qui soit visiblement plus grand que l’arc CE. Prenez ensuite, avec -un compas, la corde de ce dernier arc, et portcz-la sur l’arc de la ligure ai , de B en K. Enfin, tirez par le point K et le point A, la droite AK; elle fera avec AB l’angle donné CDK ; car, les cordes étant égales, les arcs qui ont même rayon, sont égaux (a 4), et de l’égalité de ces arcs résulte l’égalité des angles (3t).

Pkobl. (d) : Par un point H d'une droite HI (P. I, F. a4), tracer une concourante qui fasse un angle dont l'indication seulement soit connue (a 9).

C’est le cas d’employer le rapporteur décrit page 4 1 • Placez le diamètre AC de l’instrument sur la droite III , de façon que le point H se trouve sous le point D. Alors, la droite CG qui répond à o degrés, se trouvera aussi sur HI. Comptez donc à partir de CG, en employant la graduaTîon i{ui-v>«dc droite à gauche , le nombre de degrés de l’indication de l’angle , 4o ptu* exemple ; marquez sur le tableau , près du bord extérieur de l’instrument , un très - petit point K, vis-à-vis de la droite qui termine le 40’^ degré; enlevez le rapporteur et tracez une droite KH qui passe par K et H ; ce sera la droite demandée (39).

Si l’on employait la graduation qui va. de gauche à droite, on marquerait le point L au lieu du point K, et l’on obtiendrait la droite LH , au lieu de la droite KlI. Si l'on plaçait le rapporteur au-dessous de HI, comme on l’a placé au-dessus, on tracerait la droite MH ou la droite NH.

Il semble donc qu’il y ait quatre droites qui passent par le point donné II et qui coupent III en fai^nt l’angle dont l’indication est donnée, et que pour savoir au juste quelle est celle qu’il faut tracer, on ait besoin de connaître si la droite demandée doit être au-dessus ou au-dessous de la droite donnée, à droite ou à gauche du point donné. Mais au fond , il ’n’y a que deux de ces droites qui soient diflerentes : KH et LH. Quant aux deux autres, NH est le prolongement de KH , et MH le projpngement de LH ; c’est-à-dire que KH^ est une ligne droite , ainsi que LHM. En effet , l’arc ELK donnerait 180", si l’on y .ajoutait l’arc KG de 40". Or, l’arc EN est aussi de 40°. Donc , ELK. -+- EN vaut 180". Donc , NEK est une demicirconférence. Par conséquent , KHN est un diamètre (a5) et comme telle, une ligne droite. La démonstration serait la meme pour LHM.

Il suit de là que pour exécuter le tracé , il suffit de placer le rapporteur d’un seul côté de la droite donnée HI , et de savoir si la

THACÉ DBS C0NC0DHANTS8. 4^

concourante demandée doit se diriger à droite ou à gauche du point donné H.

Probl. (e): Par un point A situé hors d’une droite BC (P. I,

'F. a5) , tirer une concourante qui fasse un angleOEK tracé (P. a6).

On lève l’angle DEK avec la fausse-équerre (a, page 45) j on place l’arête intérieure FG (F. a3) sur la droite BC , de façon que l’arête extérieure III passe par le point donné A ; puis on tire le long de cette dernière arête , une droite AL qui satisfait visiblement / aux conditions prescrites. ■

« lV>ns dirons comment on exécute ce tracé sans fausse-équerre, • quand nous parlerons des parallèles. »

« PnoBi.. (/): Par un point A situé hors d'une droite BC (P. 1 , F. a5), tracer une concourante qui fasse un angle dont l’indication seulement eit connue (ag). »

« Il faut , pour cela , un rapporteur en corne transparente , qui ne soit pas évidé comme le rapporteur ordinaire, et qui n’en diffère que par là. On commence par tracer à l’encre sur cet instrument , un rayon qui laisse entre lui et le diamètre E6 (P. I , F. i3), 1« nombre de degrés indication de l’angle. Ensuite , on place EG sur la droite BC , de manière que le rayon tracé passe par A j puis, introduisant une pointe très-fine par tin petit trou qui est au centre du rapporteur, on marque sur fiC uu second point L de la concourante demandée. Il ne reste plus qu’à enlever l’instrument et à joindre A et L par une droite; elle remplira les conditions imposées, s

« On peut aussi marquer le second point de AL près du bord circulaire du rapporteur , quand le point A s’en trouve suffisamment éloigné pour qu’il y ait exactitude dans le tracé de la concourante. »

« Si le nombre de degrés donné ue contient que des dixaines, comme lo , ao , 3o , etc. , on n’a besoin de faire aucune opération sur le rapporteur ; car on y trouve , dans toute leur longueur , les rayons qui marquent les dixaines de degrés. Au reste, le tracé d’un trait sur la corne n’a nul inconvénient : on peut aisément effacer ce trait , avec un linge mouillé. »

« Nous indiquerons au chapitre des parallèles, le moyen d’exécuter le même tracé avec le rapporteur ordinaire. »

53. L’explication du problème (rf) , page 46 j conduit à ce principe : Deux lignes EHI , KIfN (F. I, F. 24) qui, en se croisant , font quatre angles deux à deux égaux et opposés par lb sommet, sont deux lignes droites; ou bien à cet autre : Deux concourantes qui se croisent, font quatre angles deux à deux égaux et opposés par le sommet; car les angles KHE, IIEV sont aussi égaux, leurs indications étant toutes deux 180° — 4»° ou i4o°.

Dorénavant, nous appellerons toujours angles opposés par le sommet, ceux que forment deux droites et leurs prolongemens. Ainsi, les angles ABC, DBE (P. I,F. ay) sont deiix.angfes

48 TRAci DES coxcoukantes.

opposés par le sommet et conséquemment égaux. II en est de même des angles ABD , CBE formés par les concourantes AB , BD etpar les prolongemens de ces droites.

Problème : Fctire deux angles égaux.

Il sufjQt de tracer deux droites qui se croisent.

Appl. (a) : Les principes et les tracés dont nous venons de nous occuper , sont d’un usage journalier. La plupart sont continuellement employés par les ouvriers qui travaillent le bois , la pierre et les métaux , parce que tous ces ouvriers ont à transporter des angles d’un tableau sur un autre , d’une épure sur la pièce qu’ils façonnent ; parce que tous ont à tracer des droites formant avec d’autres des angles connus. La fausse-équerre est leur instrument ordinaire. L’appareillcur et le tailleur de pierres s’en servent , par exemple , pour tracer et vériCer les lits des pierres destinées à former l’encoignure de deux murs qui ne sont pas d’équerre l’un sur l’autre. , Le charpentier fait de la même manière le trait d’assemblage , sur les pièces de bois qui ne se rencontrent pas d’équerre, comme il arrive à quelques-unes de celles d’un comble.

Appl. (ft): Les dessinateurs de plans, de machines , mettent sans cesse en pratique tous les principes et les tracés précédens , parce qu’ils ont aussi è-4raft^orter des angles et à tirer des droites qui çn coupent d’autres ; parce' q 0*08-0711 de plus à former des angles dont ils connaissent seulement l’indication en degrés , et que souvent ils ont besoin de déterminer le nombre des degrés contenus dans des arcs traces. Le compas et les deux rapporteurs sont les instrumens qu’ils emploient.

Appl. (c) : Mais il est des angles qu’on ne peut lever ni avec la fausse-équerre ordinaire, ni avec un rapporteur : tel est, par exemple, l’angle des deux droites qui vont de la tour de notre eathédrale, au elocher de Montigny et au télégraphe du Saint- Quentin ; et pourtant il faut connaître cet angle, si l’on veut faire avee quelque exaetitude , la carte topographique des environs de Metz , et parvenir à une évaluation de l’étendue des terrains produetifs , qui permette de répartir l'impôt avec justice. Dans des cas semblables , on prend les angles avec un instrument a^’peM.graphomètrc dont il a déjà été question page 4* • tes bons arpenteurs s’en servent. IVos architeclcsvoyers en font usage aussi , pour des opérations que nécessite le pavage des rues, et il est probable que peu à peu son emploi devicildra fréquent -, du m-oins , sa justesse et la simplicité de son jeu le font présumer. Par toutes ces raisons, je crois devoir le décrire. -

« Le graphomèlrc n’est au fond qu’une combinaison de la fausseéquerre et def rapporteur , v’ombinaison qui est faite de telle manière que le pivot du premier instrument se trouve au centre même du, second. On conçoit, d’après cela, que, ce même centre étant placé au-dessus d’un point quelconque , il suffit de diriger les branches de la fausse-équerre vers deux autres points , pour qu’elles

TRACÉ DES CORCOCRAMES. 4g

marquent sur le limbe du rapporteur , l’indicalion de l’angle formé par les droites qui lient aux deux points visés, le point de station, c’est-à-dire celui qui est à l’aplomb du centre du demi-cercle gradué. Ayant l’angle en degrés , il est facile ensuite de le tracer sur le papier , au moyen du rapporteur ordinaire. »

< Il est à observer toutefois que les angles qui sont levés pour être rapportés sur le papier, sont, non pas ceux que forment les droites menées de la station aux objets , mais ceux que font entre elles les droites de niveau qui , parties de la station , vont passer , par des points situés dans l'aplomb des objets. Il en résulte (ag) que le limbe du graphomètre doit être de niveau pendant qu’on lève les angles. »

« Graphomètre à alidades : Il existe des graphomètres , et j’en mets un de cette espèce sous vos yeux, où les branches de la fausseéquerre sont deux règles en laiton appelées alidades, et garnies à leurs extrémités de petites plaques qui ont une fente peu large et une mortaise à jour, selon la ligne rai’ùeu de laquelle se trouve tendu un dieveu. Une droite indiquée sur la face supérieure de chaque règle, rencontre les prolongemens des deux cheveux opposés : on peut l’appeler ligne de mire. C’est par la fente d’une règle et la mortaise opposée qu’on vise un objet ; il faut que cet objet soit caché à l’œil par le cheveu. Alors, la ligne de mire de la règle passerait par l’objet ou par son aplomb, si clic éi.nit prolongée. »

« L’une des deux règles est fixe , l’autre peut pivoter. La ligne de mire de la première forme le diamètre du denii-cci cle gradué , et passe conséquemment par le zéro de la graduation ; à chaque extrémité de celle de la règle mobile , est figurée une fleur-de-lis ou Une (lèche qui marque les degrés. D’après cela , il est clair que les deux lignes de mire se croisant au centre même du demi-cercle gradué , donnent , par le nombre de degrés qui se trouve entre elles , l’indication de l’angle (a g). »

« L’emboitement , à genou qu’on voit au-<lessous du dcmi-cerle gradué , sert à placer le graphomeUe dans la position qu’il doit avoir. Il surmonte une douille, au moyen de laquelle on établit l’instrument sur un pivot à trois pieds. Mais cet instrument mis de niveau , présente un assez grave inconvénient : il n’est {dus possible de viser, quand les deux points éloignés sont très-hauts ou très-bas par rapport à la station. »

« Graphomètre à lunettes : Voici un graphomètre qui n’a pas le defaut du precedent. Au lieu de règles , il porte deux lunettes : l’une fixe dont la ligne milieu répond au diamètre du demi-cercle gradué , l’autre qui peut pivoter sur le centre et qui en outre a un mouvement de bascule. La ligne milieu de cette daimière passe par l’aplomb du centre. En regardant par ces lunettes , on voit les objets renversés et grossis. Il serait facile de les faire voir droits ; mais le verre qu’il faudrait ajouter pour'ccla, affaiblirait la lumière que les objets envoient à l’œil par les lunettes; la vision serait moins nette , et l’on ne verrait plus distinctement à une aussi grande dis-

5 O ruAcé DES coscouuifTES.

tance , inconvénient bien autrement grave que le renversement des

objets , qui , à proprement parler, n’en est pas un. » ' .

« Pour déterminer avec précision la ligne milieu de chaque lunette , on a fait très-petit le trou près duquel s’applique l’œil , et l'on a placé dans le canon , deux fils de soie ou d’araignée qui se coupent au centre du cercle où ils se trouvent : l’intersection des deux fils doit masquer exactement le point visé. »

« Quand le demi-ccrelc est parfaitement de niveau , on abaisse ou l’on élève l'extrémité antérieure de la lunette mobile et l’on voit, par conséquent, les points situés plus bas ou plus haut que la station ; la llèchc qui répond verticalement ou d’aplomb à la ligne milieu de cette lunette, n’en reste pas moins sur le limbe; elle eontinue , par conséquent , de marquer le nombre de degrés indication de l’angle à reporter sur le papier. 3Iais on ne peut faire basculer la lunette fixe ; il faut donc qu’elle soit toujours dirigée sur un point situé à la même hauteur que la station. Il est facile de remplir cette condition, en prenant les angles que font les droites AB, AC (P. I , F. 28) allant de la station A aux deux objets B, C, avec une droite AD allant de la station à un point D quelconque de même niveau que A. Si ce point D se trouve entre les deux objets, il ne s’agit que d’ajouter les indications des deux angles B^VD, DAC, pour avoir celle de l’angle BAC cherché, et dans le cas contraire , -âl-sullit.de retrancher la plus petite indication , par exemple celle de CAD (F. 29}, de ta plus grande BAD, pour avoir celle de l’angle BAC qu’on veut lever. C’est donc avec raison que nous avons présenté le graphomètre à lunettes, comme exempt de l’inconvénient du graphomètre garni d’alidades. »

« Bou.violc : On trouve ordinairement dans les deux instrumens, entre le limbe et le rentre , une boussole dont l’aiguille , aimantée et posée sur un pivot, prend une direction qui n’est pas toujours eelle du nord-sud , mais qui n’en di/Tère que d’un petit nombre de degrés, publié chaque anuée et nlérae chaque mois , sous le nom de Déclinaison. Au mo^en de celte boussole, on peut trouver l’indication des angles que font avec la ligne nord-sud, les côtés de l’angle levé. Il suffit, pour cela , de mettre la lunette fixe d.ans la direction de l’aiguille , et l’autre dans celle de l’un des objets. Il en résulte qu’en traçant sur le papier, une droite AE qui représente la ligne nord-sud (P. I, F.»3o), on peut rapporter l’angle levé, de manière que les droites AB, AC soient placées sur le plan, par rapport à celte ligne, comme elles le sont réellement dans la nature. C’est là ce qu’on appelle orienter le plan. »

« Niveau à bulle d'air : Le demi-cercle des graphomètres se place de niveau par le moyen d’un niveau à bulle d’air qu’on y pose dans deux sens différens. Cet instrument n’est autre chose qu’un petit tube de verre faisant légèrement la voûte , dans lequel se trouve un liquide , de l’eau , avec un peu d’air. Le graphomètre n’est bien placé qu’au moment où , dans les deux positions du niveau , la bulle d'air s’arrête au milieu du tube, ÿ

TKACB DES COSCOÜRASTES . ' 5l

< On comprendra sans peine le jeu du niveau à bulle d’air , si l’on a observé tpie tous les corps plus légers que l’eau se portent rapidement à la surface de ce liquide, dès qu’on les abandonne après les y avoir plongés ; car on sentira que la bulle d’air étant beaucoup moins pesante que l’eau déplacée , doit marcher vers une des extrémités du tube , pour peu que cette extrémité vienne à s’élever par rapport à l’autre , vu qu’alors la surface du liquide se trouve plus près du bout élevé que de l’autre bout. Cela montre que le niveau à bulle d’air est d’une grande sensibilité. IVous ne saurions trop en recommander l’usage : il coûte peu cher, et son' emploi conduira certainement les ouvriers à poser les pièces qui doivent être de niveau , avec une exactitude que les niveaux ordinaires , presque toujours défectueux , ne peuvent procurer que par hasard. Il faut observer toutefois que cet instrument est d’autant plus sûr que le tube a plus de longueur. »

« f^ernier : Les limbes des meilleurs graphomètres ne montrent que les degrés et les demi-degrés : il faudrait un cercle d’un trop grand rayon, pour qu’on pût y marquer ,les minutes. Cependant, il serait fort inexact d’évaluer à vue les petites parties de degré que peut renfermer l’indication d’un angle. Un fragment de limbe AB (I*. I, F. 3i) qui tient au support de la lunette mobile cl qu’on appelle /•'ernier, du nom de l’inventeur , fournit le moyen d’obtenir les ininutes. Dans les graphomètres à alidades, le vernier contient la divisions, qui commencent au rayon A indicateur des degrés. Ces la divisions occupent un arc de n°, de sorte que chacune vaut en degrés ce que donnent 1 1° partagés entre toutes ou en i a parties. Or , partager 1 1 choses en i a parts , ou partager une seule de ces choses en ta parts , en douzièmes , et prendre 1 1 de ces douzièmes , c’est visiblement la meme chose. Chaque division du vernier vaut donc 1 1 douzièmes de degré , ce qui s’écrit -|-j degré , et comme , pour faire un degré, il faut ta douzièmes, le degré surpasse la division de i douzième de degré ou de i douzième de 6o', c’est-àdire de 5'. » ,

«: Supposons maintenant que l’indicateur A de la lunette mobile tombe entre Sy" et 58°; l’angle qu’on lève aura pour indication 5y° et quelques minutes. Supposons encore que ce soit la 5'™* ligne B du vernier qui se trouve répondre à une des lignes des degrés ; ce sera nécessairement à celle du 6i‘™° degré, car la i" tombant entre 57° et 58°, la a''"” tombera entre 58 et 5g, la 3'™* entre 5g et 60 , la entre 60 et 61 , et la 5‘'”° ne pourra aller jiiscpi’à Ca. Or, la différence entre une division et le degré est de 5'. Par conséquent, si la 5'*“° ligne du vernier répond au degré, la

4'°"' dépassera 60 de 5', la 3'*“' dépassera 5g de 10', la a'*”' dépassera 58 de i5' et la i" dépassera 5y de ao'. L’indication de l’angle sera donc 57° 20'; ce qui montre que si l’indicateur tombe entre deux lignes des degrés , il faut , pour former l’iudicàtion de l’angle , prendre 1« nombre de degrés qui précède le rayon A et y ajouter autant de fois 5' qu’il y a de divisions du vernier , depuis

r... - id

PElU>Eia>ICClAIRES .

ce rayon , jusqu’à la ligne qui répond exactement à une de celles des degrés. »

« Mais , il peut se faire qu’aucune ligne du vemier ne réponde exactement à une de celles du limbe. Dans ce cas, on ajoute au nombre de degrés qui précède l'indicateur, autant de fois 5' qu’il y a de divisions, depuis cet indicateur, jusqu’à celle des lignes du vernier qui approche le plus de répondre à une ligne des degrés , par exemple jusqu’à la 3“'“' ligne A (P. I, F. 3a), ce qui fait lo'; puis, on estime ce qu’il faut ajouter de plus, en comparant à vue les deux intervalles que laissent les lignes A et B , entre elles et les lignes du limbe avoisinantes, intervalles qui, en somme, font 5'. Si ,. par exemple, celui que laisse la ligne A parait être la moitié de celui que laisse la ligne B, il vaut le tiers de 5' ou i' io" , ce qui, joint aux 5y° to' déjà trouvés, porte l’iudication de l’angle levé à 57® 1 1' io". »

« Il est visible que , pour tracer ensuite avec exactitude l’angle sur le papier, il faut .absolument un rapporteur garni d’un vernier; il existe de tels instrumens, mais ils sont chers. »

« Dans les grapliomètres à lunettes , le vernier contient 3o divisions qui occupent un arc de 39 demi-degrés ou de 870'. Chacune de ces divisions vaut donc le quotient de 870' divisé par3o , ou 29'; il s’ensuit que sa dilTérence au demi-degré est de 1' et que pour former l’indication de l’angle ^ il faut .ajouter au nombre des demidegrés qui précèdent l’indicateur, autant de minutes qu’il y a de divisions du vernier, depuis cet indicateur, jusqu’à la ligne qui répond exactement à une do celles des demi-degrés.

« Je me suis beaucoup étendu sur l’usage du vemier , parce qu’il offre un moyen très-simple , très-prompt , très-exact dans un grand nombre de cas , d’une précision bien suffisante dans les autres ,■ d’obtenir les subdivisions de divisions peu étendues, et que ce moyen, qui peut être d’une grande utilité pour les artistes et les ouvriers , n'est pas encore réjtandu à beaucoup près autant qu’il mérite de l’clre. oy. le vernier du pied-de-roi au Mcsuraf;e des lignes'). »

Appl. (rf) : Le graphomètre n’est pas le seul instrument qui soit propre à lever les angles. Il y a encore le quart de cercle ou quadrant, le se.rta«/ qui ne porte que Co°, Y octant qui n'en a que 45 , le cercle répétiteur cpii renferme les 5Go° de la circonférence , et la boussole qui , entourée d’un cercle gradué et munie d’une alidade , sert aussi à trouver l’indication de l’angle que fait une droite avec la ligne nord-sud. Les quatre premiers ont des lunettes comme le graphomètre , et le dernier en porte une quelquefois.

Perpendiculaires.

« Nous avons souvent emploj’é les expressions d'équerre , de niveau, sans les expliquer. Il nous a para que nous pouvions agir ainsi , parce que ces expressions appartenant à la langue industrielle , sont parfaitement comprises des artistes et des ouvriers. Mais nous allons les définir géométriquement. »

PEHPEtDKmAIBBS .

36. Deux droites, d’équerre font entre elles un angle dont l’indication est 90°, c’est-à-dire un angle tel que l’arc décrit du sommet entre les côtés , est le quart de la circonférence entière. En géométrie , on dit que ces droites sont perpendiculaires l’une sur l’autre. Si donc l’.irc AB (P. I, F. 35) est de 90° ou le quart de la circonférence ABCA , le rayon DE est perpendiculaire sur le rayon DF , et réciproquement DF est perpendiculaire à DE.

Prolongez DF jusqu’en G ; AC 'sera un diamètre (aa) et l’arc ABC vaudra 180° (a5). Mais l’arc AB est de 90°; l’arc BC sera donc aussi de go°. Ainsi, l’angle CDBa même indiealion que l’angle EDF, et par conséquent, ces deux angles sont égaux (5o).

37. Il s’ensuit qu’«/te droite DE perpendiculaire à une autre DF, est aussi perpendiculaire au prolongement CD de cette autre (P. I, F. 35).

H s’ensuit encore qu’une droite DE perpendiculaire à une autre CF, forme avee celle-ci deux angles égaux EDF, CDE.

38. Réciproquement, si une droite DE forme avec une autre CF , deux angles EDF , CDE égaux et tous deux situés dun même coté par rapport à la dernière CF , ces droites sont perpendiculaires l'une à Vautre (P. I, F. 53); caries angles étant égaux, auront même indication; les arcs AB, BC contiendront le même nombre de degrés, et comme ils composent à eux deux la demicirconférence ou 180°, chacun vaudra 90° (3i).

39. L’angle de 90° se présentant souvent dans les tracés et dans les démonstrations , on lui a donné un nom particulier : il s’appelle angle droit. Donc, être perpendiculaire ou former un angle droit ou faire deux angles égaux situés du même côté d'une droite, c’est la même chose pour une concourante.

40. Il résulte de la définition de l’angle droit, que les angles droits EDF (P. I, F. 33), GUI (F. "iÇj, formés par des droites^ différentes , sont des angles égaux: car ils ont même indication, et nous avons vu (3o) que le rapport des angles est égal à celui des nombres de degrés de leurs indications.

Appucatioxs : C’est ordinairement avee une équerre qu’on trace ■ les perpendiculaires. Deux des arêtes de cet instrument doivent , en se rencontrant, faire un angle de 90“. Il y a plusieurs sortes d’équerres: celle des charpentiers et des tailleurs de pierres A (P. I, F. 35) présente deux règles en fer, soudées l’une au bout de l’autre, de manière que les arêtes qui se rencontrent , forment des angles droits; celle du dessinateur B (F. 36) est une planchette de même épaisseur partout, dont les grandes faces présentent trois côtés: deux de ces côtés forment un angle droit ; l’équerre du menuisier C (F. 3y) n’est autre chose que celle du dessinateur , renforcée d’un

54 PBnPENDiCUI.A.IHES.

rebord qui lui permet do s’appliquer à la fois sur deux faces d’une pièce de bois ou d’une planche ; c’est celle des droites de ce rebord . qui se trouve dans le rentrant, qu'on rend perpendiculaire à l’une des arêtes de la planchette.

« On se sert de tous ces instrumens à peu près de la meme manière : il faut toujours appliquer l’une des arêtes qui forment l’angle droit, sur la droite à laquelle on veut mener une perpendiculaire, et tracer une seconde droite le long de l’autre côté du même angle. Si la perpendiculaire doit aboutir à un point marqué sur la droite donnée, le sommet de l’angle "droit doit être placé sur ce point. Si la perpendiculaire est assujettie à passer par un point marqué hors de la droite donnée , il faut que le second côté de l’angle droit recouvre ce point. Si enfin la perpendiculaire est demandée plus longue que le plus grand des côtés de l’angle droit , on place l’équerre comme il vient d’être dit, puis on applique une règle le long de l’arête que devrait suivre l’instrumept traçant, ou enlève l’équerre et l’on tire une droite le long de la règle.

« irijîcation des équerres : Il arrive assez souvent que les équerres sont fausses , soit par mauvaise construetion , soit par des altérations qu’occasionnent l’air et l’usage. On doit donc vérifier ces instrumens, .avant de les employer pour des opérations qui demandent de l’exactitude ; sans cela , on s’exposerait à tracer des droites qui prolongées finiraient par s’écarter beaucoup des vraies perpendiculaires.»

« Pour vérifier une équerre , tirez sur une face plane et avec une bonne règle, une droite AB (P. II, F. i); placez l’équerre comme pour tracer une perpendiculaire ; tirez une ligne CD , le long du côté CE ; retournez l’instrument et posez-le dans l’angle ACD, de manière que le côté CF se trouve en CF' (l’accent se prononce prime), et que le sommet de l’angle qui doit être droit se retrouve sur C. Si CD est perpendiculaire à AB ou si l’équerre est juste , les deux angles BCD , ACD sont égaux entre eux (Sy) et égaux à l’angle ECF (4o) ; donc le côté CE' doit s’appliquer sur CD, comme il s’y appliquait dans la position CE. Lorsque la superposition n’a pas lieu , l’équerre est fausse ; l’angle C qu’elle doit avoir droit , est trop grand , si CE' coupe CD ou si E' tombe à droite de CD , et trop petit , si E' tombe à gauche. »

« Puisque les équerres peuvent être faussesot les rapporteurs mal gradués, il est nécessaire qu’on sache tracer une perpendiculaire, sans autre secours que la règle et le compas j cela est même indispensable dans le cas où la perpendiculaire doit avoir une grande longueur ; car alors le plus léger défaut dans les instrumens , conduirait à des erreurs forts graves. Le procédé repose sur les principes suivans. »

41. Tout point d'une perpendiculaire AB au milieu A d'une droite CD , est également éloigné des deux extrémités C , D rfe celte droite (P. II, F. a).

PURPENDICtnAIRES .

Soit, pour le démontrer, le point E pris arbitrairement sur AB.

Sa distance à C sera la longueur de la droite CB, et sa distance à D , la longueur de la droite DE. Il faut donc faire voir que ces deux droites sont égales. Regardons AB comme une charnière qui unit les deux angles BAD, BAC , et faisons tourner l’angle droit BAD, par exemple , jusqu’à ce qu’il se trouve rabattu sur l’angle droit BAC. Comme ces deux angles sont égaux (37) et qu’ils ont un côté commun AB , le côté AD de l’un se rabattra nécessairement , dans toute sa longueur, sur le côté AC de l’autre, et parce que AD égale AC , le point D tombera sur C. Or , le point E qui est sur la charnière même , n’aura pas bougé. Par conséquent , ED recouvrira exactement £C , ce qui montre que ces deux droites sont égales.

42. Tout point A pris hors de la perpendiculaire BC au milieu d’une droite DE , est inégalement éloigné des extrémités D , E de cette droite (P. Il, F. 3); c’est-à-rfire que les concourantes AD, AE ne sont pas égales.

Joignons E avec le point F où AD coupe BC ; AE sera plus courte que la ligne brisée AFE terminée aux mêmes points A , E (a). Mais, FE est égale à FD, en vertu du principe précédent. Donc, AE est aussi plus courte que AFD ou AD.

43. Il suit des deux derniers numéros que tout point marqué à égales distances des deux extrémités d’une droite , appartient nécessairement à la perpendiculaire au milieu de cette droite. Ce principe est souvent appliqué dans la tliéorie et dans la pratique ; on l’énonce quelquefois en disant que la perpendiculaire au milieu d’une droite , -est le lieu où se trouvent tout point également éloigné des deux extrémités de cette droite.

Une concourante CD perpendiculaire au milieu d’une droite AB (P. II , F. 4) > PSt l’axe de symétrie de cette droite. On l’appelle ainsi , parce que la moitié AE et chacun de ses points étant placés , par rapport à CD , exactement de la même manière que la moitié BE et chacun de ses points correspondans , il y a symétrie dans la figure.

Probl. (a): Elever une perpendiculaire au milieu d’une droite