TRACÉ DES SÉCANTES COMBINÉES

Probl. (c): Tracer par deux points donnés A, Ci, un àrc de cercle dont l’indication est connue (P. IV, F. i3).

Relrancbei! de 56u", le nombre de déférés donné , le reste sera l’indication de l’autre arc de In corde AC. Si done vous prenez la moitié de ce reste, vous anrez l’indication de tout'angle inscrit à l’arc demande, qui comprendra la corde AC (98). •

Tracez alors une droite quelconque AB, et par le point C, une ^ concourante CB qui fasse un angle CBA dont l’indication soit celle que vous venez de déterminer (probl. b, p. 69). Le sommet B sera sur l’arc cherche; vous connaîtrez trois points de cet arc, et vous pourrez appliquer le tracé du probl. (i).

* Probl. (</): Tracer. d'un mouvement continu, un arc dont trois points A, B, C sont donnés (P. IV, F. i3).

Placez deux règles selon ÀB, BC ; liez-les l’une à l’autre, de manière à rendre invariable leur angle ABC ; puis , faitcs-les glisser contre deux pointes plantées en A, C. Un crayon tenu en B, concours des arêtes qui toucheront les pointes, décrira l’arc demandé; car il est visible (98) que tous les anples égaux qui comprennent une droite AC , sont inscrits à un même arc dont cette droite est la corde. ,

Bien entendu que chaque règle doit avoir au moins la longueur de .\C , quand on Tout que la pointe traçante aille de A en C , par l’arc.

Probl. (e): Tracer par deux points A, C et d’un mouvement continu, un arc dont l'indication est donnée (P. IV, F. i3).

Cherchez un troisième point B, Cÿnmc dans le probl. (c); puis employez le procédé du probl. (rf).

Probl. (./')'■ Tracer par un point A situé hors d’une droite BC, une concourante qui fasse un angle donné , dans lequel on ne peut décrire aucun arc d’indication (P. IV, F. 14. et i5).

' Supposons que l’angle donné soit celui que font les arêtes DE, FG (F. i5) de deux pièces de bois élevées qui vont se terminer dans un mur^, .à une certaine distance l’une de l’autre. On ne pourra ni marquer le sommet, ni mener une parallèle à l’un des colés de l’angle , par un point pris sur l’autre : en un mot, il sera Impossible de décrire entre les côtés, aucun arc d’indication.

Dans un semblable cas, marquez un point quelconque II sur l’une FG des arêtes, ou plutôt sur une droite parallèle, tirée dans la face supérieure de la pièce de bois. Décrivez de ce point, une demi-circonférence qui coupe une parallèle à DE tracée sur la face supérieure de l’autre pièce de bois , ou ce qui revient au même , marquez les quatre points I, K, L, M, intersections de cette demi^:irconférencc of des parallèles aux arêtes. Ensuite , d’un point quelconque N de la droite donnée BC (F. i4), décrivez une demicirconférence, avec le rayon HL; portez la corde 311, de 0 m P, •

lai

tbAcb des sécahtes combinées.

la 'corde LK, de Q en R, ou la corde IK de P eil R, et joignez les points P, R. Vous formerez par là un angle extérieur RSC qui aura pour indication, la demi-difliérence du nombre de degrés contenu dans QR ou LK (a4)i au nombre de degrés contenu dans OP ou MI (loo). Cet angle sera donc égal à’telui que font les droites DE, FG, comme ayant meme indication. Il ne restera plus alors qu’à tracer par le point donné A, unÿ droite AT parallèle à RS.

Nous avons prescrit de tracer sur la face supérieure de chaque pièee de bois', une parallèle à l’arête intérieure , à cause de la dificulté de poser exactement les pointes d'un compas sur les arêtes , soit pour marquer les quatre points I, K, L, M, soit pour prendre les deux cordes liK, IM.

101. Tout angle inscrit ‘kRCi qui comprend un diamètre AC, est un angle droit (P. IV, F. i6).

L’angle inscrit renferme alors entre ses côtés une demi-circonférence ADC, et conséquemment (98) son indication est la moitié de i8o° ou 90°.

De là cet autre principe : La circonférence est le lieu des sommets de tous les angles droits qui comprennent un diamètre^

Problème : Elever une perpendiculaire à rextràmitè A d'iuie droite AB qui ne peut cire prolongée (P. IV, F. 17^.

Marquez un point C entre A et B, mais au-dessus ou au-dessous de AB. Décrivez de ce point et avec le rayon CA , une circonférence que vous pourrez ne pas achever vers A. Joignez C avec D , point où la circonférence coupe AB la seconde fuis. DG sera un diamètre , et si vous tracez AE , cette droite sera perpendiculaire sur AB.

Applications : Ce tracé doit être employé toutes les fois qu’il s’agit de rogner perpendiculairement à ses arêtes, une pièce droite, dont ou ne veut perdre que le moins possible, et qu’on ne peut se servir d’une équerre, soit parce que la nature du tableau ne le permet pas , soit parce que celles qu’on possède sont fausses.

Le même procédé sert encore pour le cas où il faut, sur le terrain , élever une perpendiculaire de peu de longueur à l’extrémité d’une droite qui aboutit à un mur, à une rivière. ,

102. Les distances du concours de deux sécantes aux quatre intersections de la circonférence , sont kkciproqlemkst proportionnelles J c’cst-ii-dire que les deux parties d’une. sécante forment les extrêmes d’une proportion , dont les deux parties de l’autre sont les moyens.

, Voilà ce que signifie, dans cet énoncé, le mot réciproquement. Quand il ne précède pas le mot proportionnelles , c’est que les deux parties d’une droite font les deux premiers termes de la proportion , ou un extrême et un moyen , et que les deux parties de

THAC^ DES SÉCANTES COMBINÉES, l’autre forment les deux derniers termes on .le second moyen et le second extrême. Tout ce que nous avons dit sur la proportionnalité des droites (p. 79 et suiv.), se rapporte à ce dernier cas.

Le concours de deux sécantes ne peut se trouver qu’au centre , entre le centre et ^a circonférence , sur la circonférence , ou hors du cercle. Nous allons démontrer pour chacune de ces positions, le principe général qdt vient d’être énoncé.

Premier cas: Les sécantes AB, CD dont le concours E se confond avec le centre F (P. IV, F. 18), donnent EA C ED ‘ X EC 1 EB. Cela est visible, car les quatre lignes qui entrent dans cette proportion sont égales , comme rayons d’un même cercle (5) , et par conséquent , de quelque, manière qu'on les prenne, le rapport <le deux quelconques est toujours égal au rapport des deux antres (i5).

Deuxième cas : Les sécantes AB , CD qui se coupent entre le centre F et la circonférence (P. IV,' F. 19) donnent aussi EA î

ed;;ec:eb.

Menons les cordes AC , BD. Les angles inscrits A , D renfermant le même arc BC , ont la même indication (98) et sont par suite égaux. Les angles BED , AEC étant opposés par le sommet , sont égaux aussi. Par conséquent, si nous rabattons la figure BED sur la figure AEC , en faisant tourner autour du point E et en plaçant ED sur EA , la droite EB tombera sur EC , et DB devenu D'B' sera parallèle à AC (60). AE et CE seront donc alors coupées par des parallèles , et il en résultera (79) BA I ED' I EC ! EB' oa

ea;ed:;ec;eb.

Nous n’avons pas à nous occuper du cas où les sécantes se coupent sur la circonférence ; car alors elles n’ont qu’une seule partie chi^cunc et ne peuvent conséquemment fournir une proportion qu’en se répétant. '

Troisième cas : Les sécantes AB , CD qui se coupent en E , hors du cercle F (V. IV, F. 20) donnent encore EA ! ED X X EC X EB.

Menons AD et BC. Les angles inscrits A , C renfermant le même arc BD , ont même indication et sont égaux. Il en est de même des angles ADE , CBE qui ont chacun pour indication , la moitié de l'arc ABDC (99). Prenons donc la figure ADE et posons-la sur la figure CBE, de manière que D soit en B et que DA s’applique sur BC. DE devra tomber sur BE , et si nous joignons les points A', E' où se trouveront les autres extrémités de DA et de DE, la droite A'E' sera parallèle à CE, puisque l’angle A ou A' est égal à l’angle C. Nous aurons donc, d’après le principe 81 , E'A' ! EC X X E'B X EB. Mais , par suite de la superposition , E'A' = EA , E'B = ED. La proportion obtenue devient donc EA C EC 1 X ED X EB ou EA X ED X r EC 1 EB , les moyens étant .changés de place (72).

103. Il résulte du principe qui vient d’être démontré pour tous les cas , que la demi-corde AB , perpendieulaire au diamètre CD (P. IV, F. 21), est MOrsNNx PROPORTIONNELLE entre les deux parties qu’elle y forme ; c’est-à-dire que la perpendiculaire AB cons-

nuci DES sécÀNTES COMBINEES. * 11i3

dtae les deux moyens d’une proportion , dont les parties du diamètre sont les extrêmes , et qu’on a BD 1 BA 1 1 BA ! fiC.

Pour le faire voir , nous prolongerons AB jusqu’à ce qu’elle rencontre la circonférence une seconde fois , en E. Alors , nous aurons BD C BA 1 1 BE 1 BC. Mais , CD étant un diamètre perpendiculaire à AE , coupe cette corde en deux parties égales (g3) , ce qui donne BE= B A . La proportion devient donc BD I BA ! Z BA Z BC , ainsi que nous 1 avons annoncé.

PaoBLÈME : Trouver une moyenne proportionnelle à deux droites données F, G (P. IV, F. aa),

Tirez une droite HI , visiblement plus longue que ces deux droites ensemble ; portez F de C en B-, G de B en D ; cherchez le milieu de CD (43, probl. è); décrivez une demi-circonférence sur cette droite considérée comme diamètre; puis, élevez au point B, une perpendiculaire sur III , jusqu’à la rencontre de la demi-circonférence. La droite BA trouvée ainsi , sera la moyenne proportionnelle cherchée, puisqu’on aura

BDZBAZZBAZBC ou GZBAZZBAZF.

Ce tracé est de la plus grande utilité ;'la suite du cours vous en convaincra.

104. Une meme droite peut traverser plusieurs cercles placés sur le même tableau, et être ainsi sécante commune à tous ces cercles.

Les sécantes communes à deux cercles, qui joignent les extrémités de rayons parallèles et diriges dans le m&me sens , concourent toutes en un même point A du prolongement de la droite BC. des centres (P. IV, F. a3).

En effet, la sécante AE donne la proportion BD Z CE Z Z B A Z CA , si les rayons BD, CE dirigés dans le même sens , sont parallèles (8 1) ; et puisque les rayons d’un même cercle ont tous la même longueur , deux autres points quelconques D', E' donneront aussi BD' Z CE' î Z BA Z CA. Dans le cas donc où D', E' sont les extrémités ^e rayons parallèles BD', CE', il faut que la sécante D'E' passe ^si par le point A, attendu que, d’après le n° 8i , la dernière pro^r-i tion exige alors que A soit le point de rencontre des droites BG, D'E' qui renferment entre elles les parallèles.

Il suffit de répéter ce raisonnement, pour démontrer cet autre principe : Les sécantes communes à deux cercles, qui Joignent les extrémités de rayons parallèles et dirigés en sens contraires , concourent toutes en un même point A situé entre les centres ^ sur la droite BC qui les unit (F. a4).

« D’ailleurs , on pent voir facilement que' le concours A des sécantes communes qui joignent les extrémités de rayons parallèles et dirigés en sens caNTRAiRBS , reste entre les deux ^cercles , tant que ces hercles sont séparés par un certain intervalle, »

« Considérons les deux rayons BD", CE" qui sont en ligne

134 tRXcé DES siCANTES COMBINÉES.

droite et dirigés en sens contraires ; nous devrons avoir BD" " CE" ÎI BA J CA. Or, si le point A pouvait se trouver, par exemple, en a sur la circonférence B , BA serait égal à BD" et la proportion deviendrait BD" T CE" Ba C Ca ou BD" C Ca. Il faudrait donc que Co fût égal à CE", puisque» les deux rapports égaux auraient le même premier terme; c’est-à-dire que la circonférence C devrait passer par a, ce qui ne peut avoir lieu, quand il y a un intervalle entre les deux cercles. »

■lOS. Si dans la figure 34 (P. IV) , nous prolongeons DB jusqu’en F, les rayons CE, BF seront parallèles et dirigés dans le même sens. Le point A' où EF rencontrera la droite CB des centres, sera donc le point de concours d’un système de sécantes communes pareil à celui de la figure u3. Il s’ensuit que BF i CE I î BA' CCA'. Mais BD : CE J ! BA C CA , et BD = BF ; voilà donc deux proportions qui ont le même premier rappoêt. Par conséquent, les deux seconds sont égaux , et l’on a BA ' CA 1 1 BA' I CA'. Cela nous montre que les deux concours A ^ A' des sécantes communes à deux cercles, déterminées par des rayons parallèles , sont des points conjugués {^o") , qui forment chacun , sur la droite des centres , deux parties proportionnelles aux rayons.

Le concours A' est ordinairement nommé centre de similitude directe des deux cercles , et le concours A est dit centre de similitude iuoerse. Nous verrons sur quoi eonl fondées ces dénominations, quand nous étudierons les polygones semblables.

Problème : Trouver les centres de similitude de deux cercles donnés B, C (P. IV, F. 34).

Tracez, dans l’un des cercles, un diamètre DF, et dans l’autre nn rayon parallèle CE; tirez, par les centres, la sécante illimitée CB ; puis joignez rextréraitc E du rayon , aux extrémités D , F du diamètre. Le concours A des sécantes communes CB , DE sera le centre de similitude inverse des cercles A, B, et le concours A' ^s sécantes communes CB , EF sera le centre de similitude directe.

^Appi.. (a) : Les principes qui précèdent, peuvent fournir le moyen d’imprimer à plusieurs roues le même mouvement qu’à une autre. Supposons que B, C, D, etc. (P. IV, F. 35), représentent les bouts des arbres parallèles 3c quelques roues. On marquerait sur 'le prolongement de la droite DCB, un point A quelconque, pour l’emplacement de l’essieu d’une bielle AE, présentant une grande mortaise à jour; on introduirait dans cette mortaise, l’extrémité E d’une manivelle EB portée par l’arbre B ; on y introduirait aussi les extrémités des manivelles CF, DG, etc., après qu’on aurait déterminé les longueurs de ces manivelles, par les proportions

BA : CA ; ; be ; CF , BA : da : : be :.dg. Alors ; be , cf , DG

se trouveraient parallèles et resteraient telles pendant toute la rotation de l’arbre D ou de sa roue ; les extrémités E, F, G, etc. des

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TUCÉ DIS tangentes. IlS

xnaiiiTeUes décriraient donc, dans le même temps, les circonférences que présente la figure , et par conséquent , les roues auraient absolument le même mouvement, quels que fussent leurs diamètres, et sans qu’il soit besoin de recourir aux engrenages , ni aux courroies de communication. Bien entendu que la mortaise de la bielle devrait avoir la longueur de AH , ou que si l’on faisait trois mortaises à jour, an lieu d'une seule, cbacune devrait cire égale au double de la manivelle correspondante,

Appl. (il) : Le même système pourrait être employé aussi pour transformer un mouvement rectiligne de va et vient , en un mouvement circulaire que plusieurs roues exécutassent dans le même temps.

Il suffirait d’attacher, par articulation,, à la bielle AG, une autre bielle IK que le moteur de la machine fit monter et descendre alternativement.

Appt, (c) : Enfin , si l’on voulait imprimer à une roue , un mouvement égal et contraire à celui d’une autre, il faudrait placer l’essieu de la bielle, en un point A situé entre les deux arbres

TRACi DBS TAHCBimtS.

L’ordre de notre tableau du tracé des lignes , nous conduit à nous occuper des droites qui ne font que toucher le cercle : elles n’ont jamais qu’un seul point de commun avec la circonférence , et pour abréger, on les nomme tangentes. Le point D commun au cercle C et à la tangente EF (P. IV, F. 26), est appelé jmmt de contact ou simplement contact.

106. Toute droite KF perpendiculaire à V extrémité D d’un rayon CD, est tangente en J) à la circonférence (P. IV, F. 26); c’est-à-dire que D est le seul point commun à EF et au cercle.

, Il est impossible en effet, que ces deux lignes aient un second point commun G, s4bé aussi près de D qu’on voudra; car pour ce point G du cercle C , il y aurait un rayon CG oblique sur EF, qui serait égal au rayon CD perpendiculaire sur la même droite , et jamais une perpendiculaire et une oblique parties du même point , ne peuvent être également longues (46).

107. Une droite III qui passe par l’extrémité D d’un rayon CD,

sans le couper à angle droit, n’est pas tangente au cercle (P. IV, F. 26); c’est-à-dire qu’elle rencontre nécessairement la circonférence en un autre point et qu’elle est sécante. ' ■

Effectivement , le rayon CD est alors oblique sur HI , et du centre

C, on peut abaisser une perpendiculaire CI. Comme cette perpen-' diculairc est plus courte que toute oblique, le point I est plus près de C que D ; il se trouve donc entre la circonférence et je centre, ce qui prouve que la droite HI est entrée dans le cercle. Or , pour en sortir , elle devra couper une seconde fois la circoqférence.

Digiti.' 1

ia6 THAC^ DBS TANGBNTBS.

Il résulte de là et du n° io6 , que toute tangente est perpendiculaire à l’extrémité du rayon qui aboutit au contact.

Probl. (a): Tracer une tangente par un point D donné sur une circonférence C (P. IV, F. a6).

Menez du centre C, un rayon au poiot D, et à l’extrémité de ce rayon, élevez une perpendiculaire EF (p. 56 ou p. iaf)j cette droite sera la tangente demandée , et D sera son contact.

Vous sentirez aisément qu’il ne sufdrait pas d’appliquer une règle contre la circonférence et sur le point D : rien n’indiquant alors avec précision, la direction que devrait avoir cette règle, ce serait pur hasard , si elle se trouvait perpendiculaire au rayon CD , si elle était véritablemcat tangente.

Probl. (6): Tracer une tangente, par un point B donné hors d’un cercle A(P. IV, F. ay).

On peut se contenter de tirer une droite DD , le long d’une bonne règle appliquée à la fois sur le point B et contre la circonférence, d’un côte ou de l’autre de la direction AB. Si , après avoir opéré ainsi , on veut obtenir le contact D , H faut abaisser du centre A , une perpendiculaire AD sur la tangente. Vouloir marquer ce point à vue , ce serait s’exposer à commettre une erreur ; car aux environs du contaet , la circonférence se confond , en apparence , avec la tangente , et parmi le grand nombre de points qui semblent appartenir en même temps à ces deux lignes , il est diflicilc de distinguer celui qu’elles ont réellement de commun.

Mais les procédés ci-dessus ne sont pas usités ; on préfère le suivant qui donne à la fois les contacts des deux solutions du problème.

Joignez B au centre A et cherchez le milieu C de AB (probl. b, p. 56); puis, de ce point comme centre et d’un rayon égal à CA moitié de AB, décrivez une circonférence ; elle entrera nécessairement dans le cercle donné , puisqu’elle doit passer par le centre A de ce cercle; elle sortira ensuite du même ^rcle , puisqu’elle doit passer par B, après avoir passé par A ; elle coupera donc la circonférence A en deux points D , E. Joignez chacun de ces points avec B; les droites BD, BE qui en résulteront, se trouveront tangentes au cercle donné , et D , E seront leurs contacts.

11 est visible qu’au lieu de décrire la circonférence C toute entière , on peut se contenter d’en tracer deux très-petits arcs dont D, E, soient à-peu-près les milieux.

Nous démontrerons la justesse du tracé en faisant voir que BD et BE sont perpendiculaires , l’une à l’extrémité du rayon AD , l’autre à l’extrémité du rayon AE. Or, les angles BDA, BEA sont des angles inscrits dans le cercle C , qui comprennent le diamètre AB de ce cercle. Ces angles sont donc droits (toi), et par suite, les côtés de chacun sont perpendiculaires entre eux , en D et en E.

1D8. Les deux rayons AD, A£, perpendiculaires sur les tan-

THACÉ DSS TANGENTES.

gentes (T. IV, F. 27), sont les distances du centre A aux côtés de l’angle DBE. Par conséquent (94), la droite AB est bisectrice, et la ligure ABE , rabattue sur la figure ABD , la couvrira exactement. Il s’ensuit que la longueur BD = BE que A est le milieu de l*arc DAE , et que AB est perpendiculaire au milieu de la corde DE qui joint les contacts (gS).

Ainsi, 1° La bUectrice de V angle de deux tangentes concou^ rantes, passe par le centre ^

a° Cette hisectrice est perpendiculaire au milieu de la corde des contacts;

3° Les parties de tangentes concourantes, comprises entre le concours et les contacts, sont de même longueur.

Ce sont les parties BD , BE que l’on considère , quand on parle de tangentes égales.

,109. Les combinaisons des tangentes ne se bornent pas au cas où ces droites sont concourantes. On a souvent à tracer des tangentes parallèles, des tangentes assujetties à couper des droites données, sous des angles déterminés, et même des tangentes à plusieurs cercles placés d’une manière quelconque sur un tableau. No^devons donc étudier ces difierens cas , avant de passer aux applications.

Pbobl. (a): Tracer deux tangentes parallèles , dont Vune passe par un point A marqué sur une circonférence B donnée (P. IV,

Menez par A, un diamètre AC ; élevez aux deux extrémités de ce diamètre, des perpendiculaires DE, FG (p. 56 ou p. 121), et vous aurez les tangentes demandées. D’abord, DE, FG sont tangentes, puisqu’elles sont tracées perpendiculairement aux rayons B.A , BG et par les extrémités de ees rayons (106). Ensuite, elles sont parallèles , parce qu’elles sont perpendiculaires à la même droite