AC

Probl. (6): Tracer parallèlement à une droite donnée AB, une tangente à un cercle donné C (P. IV, F. 29).

♦ Du centre C, abaissez une perpendiculaire CD sur AB, et par ^ point E où cette perpendiculaire coupe la circonférence , menez soit une parallèle à AB, soit une perpendiculaire à CD. La droite FG ainsi tracée , sera la tangente demandée , puisqu’elle se trouvera perpendiculaire à l’extrémité du rayon CE (loG). .. .

Pbobl. (c) : Tracer une tangente qui fasse avec une droite donnée AB, un angle connu DEF (P. IV, F. 3o).

Par un point quelconque G de AB , menez une droite GH qui fasse un angle BGH égal à DEF (probl. c, p. 46). Il ne vous restera plus qu’à exécuter le tracé précédent , c’est-à-dire à mener une tangente IK parallèle à Gllj car l’angle BIK sera égal à son correspondant BGH (60) et par suite, égal à DEF.

1^8 TKkci DBS TAHGENTES.

Probl. (rf) : Tracer une tangente qui toit perpendiculaire à une droite donnée AB (P. IV, F. 3i).

Il suflit de mener par le centre C , un rayon CD parallèle à AB , et d’abaisser du point D , une perpendiculaire DA , sur la droite donnée ; celle perpendiculaii\e est la tangente cherchée. *

Probl. (e) : 'Tracer une tangente à deux cerclet donnés A , B (P. IV, F. 3a).

Première solution : .Titei la droite des centres AB; tirez encore deux rayons AC , BD parallèles et dirigés dans le même sens ; joignez leurs 'extrémités C, D; par le point Eoù CD rencontrera AB , tracez une droite EF qui soit tangente à l’un des deux cercles, au cercle B , par exemple (probl. b , p. 126); cette droite prolongée sera tangente aussi au cercle A.

Pfcur reconnaître que cela est vrai , menons un rayon BF au point de contact du petit cercle; ce rayon sera perpendiculaire à EF (107). Par A, menons le rayon AG perpendiculaire aussi à EF prolongée; AG sera parallèle à BF (54)- Or, les extrémités G, F de deux rayons parallèles quelconques, sont en ligne droite avec le pointai (104); passera donc par G; cette droite sera donc perpendiculaire à l’extrémité du rayon AG ; elle sera donc tangente au cercle A (106).

Nous' aurions pu, au reste, nous contenter de renvoyer au n° 104, après avoir fait observer qu’une tangente n’est autre chose qu’une sécante dont les deux points d’intersection avec la circonférence sont confondus en un seul.

Afin de déterminer avec plus de précision , le point E , centre de similitude directe (io5), on doit mener les rayons AC, BD le plus près possible de AG et de BF dont on voit toujours à peu près quelle sera la direction ; car CD est d'autant moins oblique sur AB , qu’elle s’écarte moins de la tangente , et le vrai point d’intersection des deux premières droites , est alors plus facile à saisir.

Nous avons vu (p. 126) que par le point E , on peut tracer deux droites tangentes au cercle B. Il y a donc aussi deux droites passant par E, qui sont tangentes à la fois aux deux cercles. D’ailleurs au lieu de mener les rayons parallèles AC, BD dans le mém^ sens , on pourrait les mener en sens contraires , ce qui donnerait un point H situé entre les deux cercles , ou le centre de similitude inverse de ces cercles (io5). Or, de ce point U, il y aurait denx tangentes III, HK à mener au petit cercle , et ces droites seraient tangentes aussi au grand cercle. Ou peut donc tracer quatre droites qui soient à la fois tangentes à deux cercles donnés. Il en résulte qu’avant d’exécuter le tracé précédent, on a besoin de savoir si la tangente demandée doit passer entre les cercles ou les laisser du même côté , et de plus , dans quel sens elle doit être dirigée.

Deuxième solution; L’emploi du centre de similitude présente un grave inconvénient , quand les rayons sont presque égaux et que

TRACE DES TANGESTE3

la tangente doit laisser les cercles du même côté ; car alors la droite CD allant couper AB fort loin et sous un angle très-aigu , il faudrait un tableau d’uiie immense étendue et une opération particulière , pour qu’on pût marquer l’intersection E. Voici un tracé qui n’a pas cet inconvénient.

Portez le plus petit rayon BC sur le plus grand, de D en E (P. IV, F. 33). Du centre A et d’une ouverture de compas égale à AE , décrivez une circonférence. Du centre B , menez une tangente au cercle dont le rayon est AE (p. 126). Par le point de contact F, tirez le rayon AG, et par l’extrémité G de ce rayon, tracez une parallèle à BF. Cette parallèle GII sera tangente au.x deux cercles donnés A , B.

D’abord , GII sera tangente ati cercle A , puisqu’elle passe par l’extrémité du rayon AG , et qu’étant parallèle à BF, elle est, comme cette droite, perpendiculaire sur AG (106). Ensuite, GII sera tangente au cercle B J car, si nous menons BI perpendiculairement sur BF et jusqu’à la rencontre de GII , BI sera aussi perpendiculaire à GII (57); de plus, BI et FG seront égales, comme parallèles comprises entre parallèles (65), et puisque FG est égale à DE ou à BC , BI sera le rayon du cercle B. La droite GII se trouvera donc perpendiculaire à l’extrémité du rayon BI ; elle sera donc aussi tangente au cercle B.

Le tracé relatif au cas où la tangente doit passer entre les deux centres, est représenté par la figure 34. Portez le plus grand rayon AD sur le prolongement du plus petit, de C en E. Du centre B et d’une ouverture de compas égale à BE , décrivez une circonférence. Du centre A, nienez une tangente au cercle dont le rayon est BE (p. 126). Par le point de contact F, tirez le rayon B(i , et par l’extrémité G de ce rayon , tracez une parallèle à AF. Cette parallèle GH sera tangente aux deux cercles donnés A, B; on le démontrerait absolument de la même manière que pour le cas de la figure 33.

Probe. (/): Tracer une tangente à deux cercles égaux (P. IV, F. 35). .

Si la tangente doit laisser les deux cercles du meme côté, son tracé devient celui d’une parallèle à AB, qui passe par l’extrémité du rayon AC perpendiculaire sur AB. Il est visible en effet que l’égalité des rayons réduit à un seul point A, le cercle du rayon AE (F. 53); que BF se confond avec BA, cl que AG perpendiculaire à BF, devient AC (F. 35) perpendiculaire à AB.

Quant aux tangentes qui passent entre deux cercles égaux , leur concours D se trouve au milieu de la droite des centres AB , puisqu’on doit avoir AF J BE 1 1 AD I BD (81), et que AF=BE. Par conséquent, il suffit, pour tracer ces tangentes, de chercher le milieu de la droite des centres (p. 56) et de mener par ce point deux tangentes à l’un des cercles (p. ia6): elles seront nécessairement tangentes à l’autre.

4: Il est à observer qu’on ne peut pas toujours tracer une droite qui

Diç

l3o TRACÉ DES TAKOENTES.

soit tangente à la fois à trois cercles donnés ; les positions des centres et les rayons doivent être tels, que l’un des cercles se trouve tangent à la droite menée tangeutiellcment aux deux autres. Cela vient de ce qu’il suffit de deux conditions pour déterminer la position d’une droite : par exemple, qu’elle doive passer par deux points donnés (i); qu’elle soit assujettie à passer par un point et à être perpendiculaire ou parallèle à une autre droite ; que passant par un point, elle doive être tangente à un cercle donné; qu’on exige qu’elle soit tangente à la fois à deux cercles donnés , etc. Si donc on impose encore quelqu’autrc condition, en même temps que deux des précédentes , il n’est pas toujours possible d’y satisfaire ou de ^ti'acer la droite demandée. »

Appi. (o) : Les arts font un fréquent usage de la tangente au cercle.

« Dans les arcades circulaires et isolées, les arêtes AB, CD des piédroits ou jambages , doivent être tangentes à l’arête circulaire AEC (1*. IV, F. 3(i), pour que le poids supporté par l’arcade ait moins de tendance à écarter les piédroits. Or, AB, CD sont ordinairement parallèles et verticales; par conséquent, la corde AC qui joint les contacts, est un diamètre horizontal (44) > et AEC est une demiH,irconférence. On dit, dans ce cas, que l’arcade est en pleincintre. »

Appl. (é) : Xorsqù’en ârchheclure on relie deux murs parallèles , par un mur circulaire , les arêtes horizontales des murs droits sont tangentes aux arêtes horizontales de la partie bâtie en demi-cercle, et sur le plan, les droites parallèles AB, CD (P. IV, F. Sy) qui représentent la projection horizontale d’nn des murs en ligne droite, doivent être tangentes aux demi-circonférences qui forment la projection horizontale du mur circulaire (appl. o, p. 79).

Appi. (c): Les moulures des colonnes, des corniches, etc. , tant celles qu’exécutent les tailleurs de pierres, que celles qui sont faites par les menuisiers et par les serruriers, présentent ordinairement dans >cur profil , des ligues droites tangentes à des arcs de cercle ; pour profdcr, il est donc néc^saire de savoir tracer des tangentes.

Appl. (d) : Quand le tourneur veut donner un contour circulaire à une face plane, il doit tenir son outil dans la direction d’une tangente au cercle qu’il a dessein de produire , et faire agir cet outil constamment au point de contact , pendant que la face plane tourne sur son axe de rotation (7). Il y parvient, en maintenant l’outil sur un support dont l’élévation au-dessus de l’axe de rotation est égale au rayon , et qui en est assez écarté dans le sens horizontal , pour permettre à la surface de tourner (P. V, F. i). Bien entendu que l’ouvrier ne fait avancer l’outil que pou a peu, vers Ife point de contact A; car il faut que d’abord il abatte les angles de la face. Tout ce qu’il fait tomber alors est plus éloigné de l’axe de rotation , que le point de contact, et par conséquent, n’appartient pas au cercle; tout ce qui reste est autant pu éloigné que le même poidt , et

DigitizeO tjy C

inXCé DES TANCESTES. l3l

rareté formée se trotive une circonférence. Cela tient à la propriété qu’a le cercle de pouvoir tourner sur son centre , sans s’écarter d'une droite fixe qui aurait été placée tangentiellement .avant le mouvement, et sans jamais repousser celle droite: en d’autres termes, une droite fixe, tangente à un cercle , reste constamment telle , pendant que ce cercle tourne sur son centre. Toute autre courbe abandounerait ou repousserait sa tangente, et ferait parfois les deux choses successivement.

Appi,. (e): Si l’on fait rouler le cercle sur sa tangente, le centre reste constamment à la meme distance de cette droite, puisque celte distance est mesurée par le r.ayon du point de cont.act (47) et que tous les rayons sont égaux. Ce centre suit donc (67) une droite AB parallèle à la tangente CD (P. V, F. a). Voil.i pourquoi l’essieu de nos voitures reste toujours à la même hauteur au-dessus du eheinîn sur lequel roulent les roues , et c’est pour obtenir ce résultat qu’on fait ces roues circulaires. Si elles avaient toute autre forme, tantôt la voiture devrait être élevée , tantôt elle s’abaisserait d'elle-même; dans le premier c.as , les chevaux seraient obligés d’exercer un très-grand effort ; dan.s le second , ils seraient forcés de courir , et ces continuelles vari.ations de travail les fatigueraient extrêmement.

Appl. (/) : Pour faire mouvoir une tringle AB parallèlement :i une autre CD (P V, F. 3) , il faut placer entre elles , deux roulettes E, F de même r.iyon et à essieux fixes. Les tringles étant tangentes dans une position des roulettes , le seront dans toute autre (.appl. rf) , et comme les tangentes .à deux cercles de rayons égaux , sont parallèles à la droite des centres (probl. y, p. ng) , les tringles seront toujdurs parallèles entre elles (68).

Appl. (g): Une corde ABCD (P. V, F. 4)> T"" embrasse un arc de poulie fixe E , est tangente des deux côtés à la circonférence de la gorge, cl reste telle (appl. rf) pendant que la poulie tourne. Ce simple .appareil permet de faire monter un fardeau en tirant de haut en bas , ce qui est bien moins pénible que de tirer de bas en haut.

Appl. (A) : Si vous placez une règle tangentiellement :\ un cercle qui puisse tourner sur son centre rendu fixe, le mouvement circulaire du cercle fera marcher la règle en ligne droite , moyennant qu’il y ait assez de frottement, et en poussant la règle soit dans un sens, soit dans l’autre , vous ferez tourner le cercle. Tel est le fondement de l’engrenage d’une crémaillère AB avec une roue dentée C (P. V, F. 5), engrenage qu’on- emploie soit ponr changer un mouvement circulaire en mouvement rectiligne, soit pour changer un mouvement rectiligne en mouvement circulaire.

Appl. (i): Lorsque deux poulies A, B (P. V, F. 6 et 7) sont en partie enveloppées par une chaîne ou par une courroie sans fin CDEFGHC, celle courroie est tangente aux deux gorges, et les poulies peuvent tourner sans que les points de contact changent de position, sans que les p.iriics droites CD, FG aient besoin de s’a-

>33 TILA.CÉ DES TiKCSÜTES.

longer on de sc raccourcir j de sorte que si la courroie est d’abord tellement tendue, qu’une des poulies ne puisse tourner, sans que l’autre tourne aussi, il n’y aura pas de raison pour que le second mouvement cesse , tant que le premier continuera. Ces appareils sont d’un usage fréqiicnt : celui de la figure 6 , pour faire tourner deux poulies dans le meme sens j celui de la figure 7, pour changer le sens du mouvement circulaire, et tous les deux, quand il s’agit de transmettre le mouvement circulaire à des distances qui ne permettent pas l’emploi des engrenages.

Appl. (i): Le trisecteur dont nous avons parlé page ii3, ne partage un angle en trois parties égales ou n’en donne le tiers , qu’au moyen de la tangente du cercle. Depuis que cet instrument a été perfectionné par des ouvriers messins , auditeurs des Cours indus— iriels, il est composé d’une règle AB terminée par uue équerre CBD (P. V, F. 8), d’une autre règle BE qui s’assemble à angle droit dans la précédente, et d'une portion d’anneau circulaire qui s’assemble d’un bout avec la première règle, de l’autre avec la * seconde. Les deux arcs de l’anneau ont pour centre , le milieu F de AB; le côté BC de l’équerre est égal à BF, et la plus longue arête CD est dirigée tangentiellement à l'arc extérieur. On peut même renforcer l’assemblage de l’anneau et de la règle BE, en remplaçant une portion de l’arc supérieur , par une arête^ droite tangente qui soit le prolongement de CD .

« PiiiirmnntrcrcnmntentoitjM, du irisccleiir , nous supposerons qu’il s’agisse de partager en trois parties égales , l'angle GlU. L'instrument doit d’abord être placé dans cet angle , de façon que le point C soit sur l'un des côtés , sur GH par exemple , et qu’en même temps l’arête droite BE passe par le sommet H. Si alors le côté III ne se trouve pas tangent à l’arête circulaire extérieure, on fait glisser le trisecteur en avant ou en arrière , jusqu’à ce que cette troisième condition soit remplie, et dès que les trois le sont à la fois , comme dans la figure, l’angle GllB est le tiers de GIU , BIIF en est le t second tiers et FUI le troisième. »

« Cela est vrai , si les trois angles GIIB , BIIF, FHI sont égaux. Or, d’après l’égalité de BC , BF , les obliques CH , FH sont de même longueur (48) , et par conséquent, les angles GIIB, BIIF qu’elles forment avec la perpendiculaire BH, sont égaux (5i). De plus , BH est tangente en B à l’arête circulaire extérieure (106), et par suite, FH divise l’angle BIH en deux parties égales (108). Donc GHB = BIIF = FHI. »

' « Le trisecteur des ouvriers messins peut donner le tiers des angles

les plus obtus ; mais, comme la distance entre B et H est d'autant plus grande que l’angle GUI est plus aigu , et comme la règle BE

• ne doit pas être fort longue, pour que le trisecteur soit maniable, on ne peut avec cet instrument , diviser directement en trois parties égales, les angles très-aigus. Il faut dans ce cas, prendre une voie détournée. Voici comment on procède. »

«Ayant cleté au sommet H, sur le côté III de l’angle donné

TRACÉ DES TANCBXTES. 1 35

(P. V, F. 9), une perpendiculaire HR, on divise l’angle GIIK e» trois parties égales : le trisectcur peut fort bien servir pour cette opération , puisque GIIR étant la différence d’un angle très-aigu à l’angle droit IIIR , est un angle assez ouvert. Soit KHL le tiers (Te de GIIK; soit encore KJIM le tiers de l’angle droit IHK, tiers que peut donner le trisectcur ou le rapportenr. L’angle LHM , différence entre KIIM et KHL, est le tiers de GUI. »

« Il en doit être ainsi , puisque GUI étant la différence entrer l’angle droit IIIR et l’angle GlIR , a pour tiers, le tiers de U différence de ces deux angles, ou ce qui est bien la mcnic chose, la différence des tiers de ces memes angles. Si , par exemple , vous avez deux nombres tels que gS et 54, leur différence est 3g dont le tiers est i3. Mais, le tiers du premier est 3i , celui du second i8, et la différence de ces deux tiers est encore i3. Le tiers de la différence de deux nombres est donc égal à la différence des tiers de ces nombres. Or, ce qui a lieu pour des nombres, doit avoir lieu pour des angles qu’on peut toujours exprimer en degrés , minutes, etc. »

« Le trisectcur donne aussi bien le tiers d’un arc AC (P. IV, F. 1 8) que celui d’uu angle. Il suffit en effet , pour pouvoir appliquer l'instrument, de tirer deux rayons AE, CE par les extrémités de l’arc et par le centre E. On chccche alors le tiers de l’angle AEC, et la droite qui le fournit, marque sur l’arc AC, le tiers de cet arc. Si AC ne contenait qu’un petit nombre de degrés ou si l’angle AEC se trouvait très-aigu, les deux droites HL, HM (P. V, F. g) qui, en se coupant, formeraient le tiers de cet angle, marqueraient sur la circonférence dont AC fait partie , un petit arc qui serait le tiers demandé. »

Lois de la rature : J’ai dit (loi d, p. a5) que tout corps qui entre en mouvement, tend à suivre un chemin droit , et qu’il s’échapperait selon une ligne droite, s’il devenait tout à fait libre, après avoir été quelque temps forcé de tourner autour d’un axe. Cette droite que parcourrait un point quelconque d’un corps non pesant, échappé à un mouvement circulaire, serait précisément une tangente à la circonférence que ce point était obligé de décrire autour de l’axe, et le contact de cette tangente serait le point même de la circonférence, sur lequel se trouverait le point du corps au moment où il deviendrait libre. Ainsi , l’on peut dire que chaque petite partie d'un corps qui tourne , tend sans cesse à s’échapper par les tangentes de la circonférence quelle parcourt.

« Les parties d’un corps animé d’un mouvement de rotation , font donc continuellement effort ponr se séparer des points qui sont sur l’axe et près de l’axe, points qui n’ont pas de vitesse ou qui n’en ont qu’une très-petite. Il s’ensuit que pour qu’il n’y ait pas désunion ; il faut un lien entre toutes les parties des corps. Ce lien existe: c’est la force qui presse les parties vers le point milieu de leur ensemble. Pour la Terre, c’est le poids de tout ce qui la compose;

l34 TRACÉ DES TANCEIÏTES.

pour les' corps terrestres, pour une meule, par exemple, c’est celle' adliérciice des parties d’où provient la ténacité. Mais il y a telle meule qui , dans certains points , n’est pas assez tenace pour résister à l’effort d’écartement qu’une rapide rotation fait exercer aux différentes parties, aux parties situées près des bords sur -tout. II arrive alors que la meule se brise, et que scs éclats volent au loin. C’est ce qui malheureusement n’est que trop fréquent dans les manufactures'd’armes où les canons de fusil sont émoulus, les bayqn— nettes et les sabres aiguisés sur des meules qui tournent extrêmement vite : souvent, les ouvriers sont dangereusement blessés et quelquefois ils sont tués par les fragmens qui se détachent des meules avec impétuosité. 11 faut pour éviter ces dangers autant qu’il est possible, encastrer des cercles de fer sur les faces planes des meules, près des bords ; monter ces meules sur des arbres en fer et les y assujettir avec des coins du même métal. Si l’on emploie un arbre et des coins en bois, l’humidité les gonfle, et cela suffit par fois pour faire éclater une meule qui aurait résisté au mouvement de rotation. »

110. Nous devons remarquer une propriété singulière du point P (P. V, F. lo) où la bisectrice AB de l’angle formé par deu.x tangentes concourantes BD, BE, coupe d’équerre et par le milieu , la corde DE des contacts : en ce point se croisent toutes les cordes de contact que donnent les couples de tangentes menées au cercle

A, de tous les points de la droite p'f/.' ’lracce par le concours B , parallèlement à DE.

Ainsi , D'E', corde des contacts pour le couple p' , passe par P ; il en est de meme de D”E’^, corde des contacts pour le couple p"'^ il en est de même de toutes les cordes analogues. On peut donc dire que la corde des contacts pivote sur le point P , quand le concours des tangentes parcourt la droite p’p". Pour exprimer brièvement ce fait , on a donné au point P , un nom qtii signifie pivot de rotation : il s’appelle pôle de la droite p'p" ; cette droite est dite, par réciprocité, la polaire du point P.

<t La relation qui lie une polaire et un pôle relatifs au cercle , sera complètement démontrée, si nous faisons voir que le point P, intersection de AB et de sa perpendiculaire DE, corde du couple

B, appartient aussi à D"E", corde du couple qui part d’un point quelconque p" de la droite B//’, parallèle à DE. »

« Or, GP î PD 1 1 PD J PF (io3) et celte proportion donne

GPXPF = PDXPD (70).

De même ,