AB : AD

Problème : Diviser une droite donnée AB , en moyenne et extrême RAISON (P. V, F. 12), c’est-à-dire, en deux parties telles, que la plus grande soit moyenne proportionnelle entre la droite entière et l’autre partie.

Je divise AB en deux parties égales (probl. 6, p. 56); je mène une parallèle à la perpendiculaire de division , par l’une B des extrémités de la droite donnée; je porte la moitié de AB sur cette parallèle , de B eu C ; du point C , avec BC pour rayon , je décris une circonférence ; je joins A et C ; puis je porte AD sur AB , de A en E. Alors , la droite donnée se trouve divisée au point E , comme il est prescrit ; c’est-à-dire qu’on a AB I AE î I AE î EB.

D’abord , il est clair qu’en vertu du principe précédent, AF AB ; C AB ; AD. Or, AD = AE ; DF qui vaut deux fois BC , est égale à AB qui est aussi double de BC. La dernière proportion devient donc AF r DF 1 î AB Z AE. Retranchant le second terme du premier dans chaque rapport (76), nous obtiendrons AF — DF Z DF Z Z AB — AE Z AE ou AE Z AB Z Z EB ; AE. Mais nous pouvons mettre les extrêmes à la place des moyens (72). Ü vient donc enfin AB Z AE Z Z AE Z EB.

C’est en exécutant ce tracé, qu’on parvient à diviser une circonférence en dix parties égales, ainsi que nous le verrons plus tard.