TRACK DES TA.>'CBNTES

Il n’est pas inutile do remarquer que la sécante AF se trouve ïlivisée aussi en moyenne et extrême raison , au point D , ou que AF C DF ; ; DF : ad. Cela résulte de ce que AF I AB ; : AB ; AD et de ce que AB = DF.

112. L’angle .'\BC formé par une tangente AB et par une sécante BC qui se rencontrent sur la circonférence (P. V, F. i3) , « pour in-

dication, la moitié des degrés de Farc BC renfermé dans cet angle. ~ " angli

Traçons CD parallèlement à la tangente ; 1^ a^les altcrncsinternes ABC , BCD seront égaux (58). Ils auront donc chacun pour indication , la moitié des degrés contenus dans l’arc BD , car BCD est un angle inscrit (98). Or , l’arc BD est égal à l’arc BC , puisqu’ils sont compris entre parallèles (g5) et que la tangente n’est au fond qu’une sécante dont les deux points d’intersection sont confondus (lu). Donc, l’angle ABC a aussi pour indication, la moitié des degrés de l’arc BC.

Remarquez que le principe a lieu aussi pour l’angle CBE : puistpic , la somme des angles ABC, CBE est de 180" (45), ou la moitié delà circonférence, l’angle CBE a i^cessairement pour indication, la moitié de l’arc BDC.

Réciproquement, si l’indication d'un angle ABC qui a son sommet sur la circonférence , est la moitié de l'un des deux arcs dont un BC des côtés est la corde , Vautre côté AB est langent au sommet TU-, car si AB n’était pas une tangente, on pourrait tracer, par B , du coté de B.4 , une autre droite qui fût tangente, et l’angle qu’elle formerait avec la corde BC , aurait pour indication , la moitié de l’arc BC. 11 serait donc égal à ABC, ce qui est impossible.

Problème ; Tracer un arc qui ait pour corde, une droite donnée AB , et qui soit tel, que tous les angles inscrits, ^comprenant cette corde , soient égaux chacun à un angleconnu CDE(P. V, F. 1 4).

Menez de l’une des extrémités de la droite donnée, de A par exemple, une droite AF qui fasse avec AB, un angle égal à CDE (p. 40); élevez en A une perpendiculaire AG sur AF; élevez aus.s£ une perpendiculaire III au milieu de AB ; puis, du point K où les deux perpendiculaires se<- rencontrent , décrivez avec le rayon KA , l’arc ALB. Tous les aVgles AMB , ANB , etc., qui, inscrits dans cet arc, en comprendront la corde AB, auront même indication que CDE et seront égaux à cet angle (probl. b, p. 1 18).

D’abord, tous ces angles inscrits renfermant le même arc AOB, ont même indication (98) et sont égaux entre eux. 3Iais, l'angle BAF qui est formé par une sécante AB et par une tangente AF ( 1 06), a pour indication , la moitié des degrés contenus dans l’arc AOB. Il est donc égal à chacun des angles inscrits, et par conséquent, l’un quelconque de ces angles est égal à CDE.

Si l’on connaissait seulement l'indication de CDE , on procéderait de la même manière , excepté i[u’il faudrait se senir du rapporteur, pour faire l’angle BAF du nombre de degrés donné (probl. c, p. t ao).

■ l38 THACÉ DES CERCLES TA^CBRS A DES DROITES.

i Appucatiox : Kous supposerons , pour présenter une application

de ce tracé , que nous ayons une carte , un plan où soient marqués le clocher de Montigny A , celui de Longeville B , celui de la cathédrale de Metz C , et que nous voulions indiquer sur ce plan , ' la position d’une maison D nouvellement construite dans le ban

Saint-Martin (P. V, F. i5).

* Nous nous transporterons en D avec un graphomètre, et nous

lèverons les angles que forment entre elles , les droites horizontales menées par un p(^t £ , choisi très-près de la maison , et par chacun des trois clochers. Soient 5o" l’indication de l’angle AEB, 70° celle de l’angle AEG et 120° celle de l'angle BEC. Sur la droite A'B' du plan (P. y, F. 16), nous décrirons un arc A'FB', tel que tous les angles inscrits , comprenant la corde , soient chacun de 5o°, et sur A'C', nous décrirons un arc A'GC', tel que l’angle inscrit , comprenant la corde, y soit de 70“. Ces deux arcs se couperont en , un point £' qui sera sur le plan, la position de la station £ prise

très-pri’s de la maison neuve; car l’angle A'E'B' aura pour indication Sa" et l’angle A'E'C' aura pour indication 70".

Si l’on veut vériiier l’opération , il faut décrire sur la droite B'C', un arc B'IIC’, tel que l^ngle inscrit, comprenant la corde, y soit de 120“ ; cet arc devra passer par le point Ë' où se coupent

les deux premiers.

TltACK DES CERCEBS. TAH.«KnS A DES DROITES.

115. Quand une droite est tangente à un cercle, ce cercle est ’ aussi langent à la droite . Or , de même qu’on a besoin de tracer

des tangentes à des cercles, on se trouve souvent dans la nécessité dç tracer des cercles qui ne fassent que toucher des droites , qui n’aient qu’un seul point de commun avec elles. Comme il faut , pour déterminer un cercle, trois points (p. 1 1 1) ou trois conditions qui en tiennent lieu, plusieurs cas peuvent se présenter. Lorsque le rayon n’est pas donné , par exemple , le cercle qu’il s’agit de décrire , peut devoir passer par deux points et toueher une droite , ou passer par un point et toucher deux droites , ou enfin toucher trois droites.

Probe, (a): Décrire une circonférence d’un rayon connu, gui passe par un point donné et soit tangente à une droite tracée.

Premier cas: Le point donné C est sur la droite tracée AB

' Le point C sera conséquemment le contact, j’élève alors par ce

point , une perpendiculaire sur AB ; je porte le rayon de C en D, et de ce dernier point, avec une ouverture de compas égale à DC, je décris un cercle qui passera par C et n’aura que ce seul point de commun avec la iL-oite donnée ; car AB sera tangente à ce cercle (106), et par suite, le cercle sera tangent à AB.

Il y a deux solutions , le point D pouvant être pris au-dessous de AB, sur 'e prolongement de DC.

TKACB DES CERCLES TASCEJtS A DES DROITES. iSg

Deuxième cas: Le point donné C sc trouve liors de la droite tracée AB (1>. V, F. i8).

Il est visible i(ae le centre doit être à la même distance de C et de AB , distance qui est égale au rayon donné. J'abaisse donc de C une perpendiculaire CD ; je porte le rayon de D en E j par ce dernier point, je tire une parallèle à AB, et j’ai le lieu de tous les points situés à une distance DE de la droite donnée (dy); de C, avec une ouverture de compas égale à DE, je décris une circonférence , pour avoir le lieu de tous les points situés à une distance DE du point C (5); et les intersections F, F’ de ces deux lieux géométriques , seront les centres de deux cercles , qui , décrits avec le rayon donné , passeront par C et toucheront AB en des points G, G', pieds des perpendiculaires abaissées de F, F'.

Le problème a donc généralement deux solutions; il n’en aurait qu’une , si CD , distance du point donné à la droite , était double du rayon ; il n’eu aurait point , si cette distance était plus grande.

Applicatiox : C’est le premier de ces tracés qu’emploient les architectes , pour former les profils des quarts de rond et des cavets.

Probe. (6) : Décrire une circonférence qui passe par deux points donnés et soit tangente à une droite tracée.

Premier cas: L’un C des deux points est sur la droite donnée AB ; l’autre D est hors de celte droite (P. V, F. 19).

Le point C sera le contact, et par conséquent, le centre se trouvera sur CE perpendiculaire à AB. Joignons C, D, puis élevons une perpendiciüaire FG au milieu de CD ; elle sera le lieu de tous les poiuts.également éloignés de C et de D (43)- L’intersection 11 de CE et de FG , donnera donc le centre du cercle demandé. Le rayon sera aussi déterminé , car il devra être de même longueur que lie ou HD.

Deuxième cas: Les deux points donnés C, D sont sur une parallèle à la droite tracée AB (P. V, F. uo).

Si vous élevez une perpendiculaire EF au milieu de CD, elle passera par le centre cherché et sera perpendiculaire à AB (Sy). Donc, le point F où elle rencontrera cette dernière droite, sera le contact (106); le cercle demandé passera par F, et son centre se trouvera aussi sur une perpendiculaire au milieu de FC ou de FD. H sera , par conséquent , à l’intersection G de cette perpendiculaire III et de EF, ce qui rendra le rayon égal à GF, à GC, à GD.

Troisième cas: Les deux points donnés C, D sont sur une droite qui cou|)e AB (P. V, F. ui).

Prolongez CD jusqu’en E. Ce point sera l’intersection d'une tangente E.\ et d’une s'écante EC du cercle demandé; cons«H|uemment, la distance de E au contact de AB, sera une moyenne proportionnelle entre EC , ED (t 1 1). Cherchez donc cette moyenne et porlez-Ia de £ en F ou en F'; vous pourrez alors trouver le

l4o TRACÉ DES CERCLES TANCEES A DES DROITES.

centre du cercle et le rayon , comme dans le premier cas , ou eomme dans le probl. (e) de la page ni.

Le problème comporte , comme tous voyez , deux solutions; il n’en a aucune, si CD est perpendiculaire sur AB.

Il y a du reste un moyen bien simple de trouver, sur la figure meme , la moyenne proportionnelle necessaire : décrivez une circonférence dont CD soit diamètre, et menez par E, une tangente EG à cette circonférence (probl. b, p. 126). Vous pourrez rapporter EG sur AB , des deux côtés de E, en décrivant de ce point, un arc de cercle FGF', et vous marquerez ainsi les points F, F'.

Probe, (c): Décrire une circonférence d’un rayon connu , qui soit tangente à deux droites données.

Premier cas: Les droites données AB, CD sont concourantes (P. V, F. 22).

Le centre n’en doit pas moins se trouver à la même distance de l’une et de l’autre (108). Élevez donc sur AB, une perpendiculaire AE égale au rayon , et par le point E , tirez EF parallèle à AB ; le centre sera sur celte parallèle (67). Faites la meme opération pour CD ; le centre devra être sur GH parallèle à cette droite. C’est donc de l’intersection I , avec le rayon donné , que vous décrirez la circonférence demandée.

Si les droites AB,. CD se rencontrent sur le tableau, vous pourrez employer la biscclricc de l’-angle , soit pour remplacer une des droites EF, GH, soit pour vérifier si la position de I est bien exacte.

Deuxième cas: Les droites données AB, CD sont parallèles (P. V, F. 23).

Si le raj'on était en outre assigné, il faudrait que sa longueur fût égale à la demi-distance des deux parallèles (109); autrement le tracé sérait impossible. Il suffit donc de donner les deux droites.

Elevez une perpendiculaire en un point quelconque E de AB, par exemple; elle rencontrera CD en F et d’équerre (Sy). Cherchez le milieu G de EF (p. 56); ce point sera le centre, et CE ou CF, le rayon du cercle demandé.

Comme le point E a été pris arbitrairement , le problème a une infinité de solutions.

Appe. (o): Le premier de ces deux tracés est utile notamment dans le dessin des machines. Si, par exemple, pour satisfaire à certaines conditions, une chaîne ou une courroie sans fin doit embrasser un arc donné sur une poulie , les directions des deux parties droites de celte courroie seront déterminées , et il faudra recourir au tracé du premier cas , pour trouver dans l’angle qu’elles formeront, l’emplacement de l’essieu de l’autre poulie dont on connaît le rayon et qui doit être, comme la première, tangente aux parties droites de la courroie.

Appe. (6) : Le second tracé est d’un usage fréquent dans l’arcbi—

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