TRACÉ DES CERCLES TA>'CE:«S A DES DROITES

lecture : on 1 y emploie pour former les profils des baguettes et des tores qui font partie des moulures.

Probl. (d): Décrire une circonférence qui passe par un point donné et soit tangente à deux droites tracées.

Premier cas : Les droites données AB , CD sont concourantes (P.V, F. u4).

Tracez la bisectrice de l’angle qu’elles forment (p. 1 1 5); le ecnlro cherebé se trouvera sur cette droite (io8). D’un point quelconque G de la même droite, abaissez une perpendiculaire GII sur AB, puis décrivez le cercle dont G est le centre et GII le rayon. Ce cercle sera tangent à CD , comme à AB (94)* Conséquemment , le point de concours de AB, CD, sera celui des sécantes communes qui passeront par les ‘extrémités de rayons parallèles , appartenans au cercle G et au cercle cherché (p. ia8). Si donc vous menez par le point donné I, une droite IK dirigée vers ce point de concours (probl. d, p. 1 08), IR sera une sécante commune aux deux cercles , et le rayon qui doit aboutir au point I , sera parallèle au rayon GL ou bien au rayon GL'. Il reste alors, pour avoir le centre cherché, à mener par I ,' une parallèle à GL ou à GL', jusqu’à la rencontre de EF.

Ainsi, vous trouverez deux centres M, M', ce qui vous prouve que le problème a généralement deux solutions. Les rayons seront MI , M'I.

Deuxième cas : Le point donné V se troin e sur la bisectrice EF.

Elevez sur EF, au point I', une perpendiculaire l'N; elle sera tangente au cercle demandé (loC). Si donc vous portez NI' de N en II et en II', vous aurez les contacts des deux solutions (108), et des perpendiculaires élevées sur AB , en II , H', détermineront les deux centres G , G'.

Troisième cas : Les droites données sont parallèles.

Il s’ensuit que le rayon est déterminé , car il est la moitié de la distance des parallèles (109). Ce cas retombe donc absolument dans le deuxième du probl. (a).

Probl. (c) : Décrire une circonférence qui touche trois droites données.

Deux des droites peuvent être parallèles, mais la troisième doit les couper; autrement, le problème serait impossible.

Tracez les bisectrices des deux angles ABC, BCD (P. V, F. que fonnent les droites données AB, BC, CD (p. 1 15). Le point E où elles se couperont, sera le centre du cercle démandé (108); les trois perpendiculaires EF, EG, EH seront égales (94)? et P-ic conséquent, la circonférence que vous décrirez de E, avec EF pour rayon, touchera les droites données en F, G, II.

Ce problème a quatre solutions, quand les droites nc^ont point limitées, et qu’il n’y en a pas de parallèles; car en faisant les opérations indiquées , dans chacun des autres angles que forment ces droites, vous trouverez trois autres centres E', E", E'".

l43 TRACÉ DBS CKRCLBS QUI SE CODPR.TT.

La position des centres E, E', E", E'" peut être vérifiée; car^ par exemple, la biscctrice de l’angle AID doit passer aussi par E.

Il s’ensuit ce principe : Les six bisectrîces des douse angles que peuvent former trois droites, concourent trois à trois en quatre points qui sont les centres de cercles tangens à la fois aux trois droites.

Si AB , CD , deux des droites données , étaient parallèles , il n’y aurait que huit angles, quatre biscctrices, deux centres de cercles tangens , et l''une des biscctrices qui concourent en E , par exemple, deviendrait une parallèle à AB , CD , qui passerait par le milieu de BC.

Observez qu’il n’est pas toujours possible de décrire une cir— ^ conférence langentiellcment à quatre droites qui se coupent d’une manière quelconque, attendu que les conditions sont alors au nombre de quatre , et qu’il n’en faut que trois pour déterminer complètement le centre et le rayon d’un cercle.

TJELACÉ DBS CBRtXES QUI SB COUPENT.

Les cercles ayant été combinés avec les droites, il faut maintenant les combiner entre eux et considérer d’abord ceux qui se coupent.

114. Deux circonférences ne peuvent se couper qu'béa deux points ; car si elles avaient trois points communs , leurs centres se superposeraient, leurs rayons seraient égaux (probl. <j, p. lia), et l’une se confondrait absolument avec l’autre. On n’aurait donc plus qu’une seule circonférence , au lieu de deux.

Mais , si deux circonférences se coupent en un point , il faut nécessairement qu’elles se coupent en un second point; car l’une étant entrée dans l’autre , elle est obligée d’en sortir pour se fermer. ,

lis. La droite AB des centres de deux circonférences qui se coupent, est perpendiculaire au milieu de la corde commune CD (P. V, F. afi).

Puisque C et D appartiennent à la circonférence A, ces deux points sont également distans du centre , ou bien le point A est à la même distance de C et de D (5). Puisque ces mêmes points appartiennent à la circonférence B, le centre B esf^ à la même distance de C et de D. La droite AB a donc deux points aussi éloignés chacun de l’une des extrémités de CD , que de l’autre; cette droite est donc perpendiculaire au milieu de CD (4^)-

116. La distance des centres A, B de'deux circonférences qui se couper^ , est toujours moindre que la somme des rayons AC, BC, et ^chaque rayon est plus petit que l’autre augmenté de la distance des centres (P. V, F. 26).

D’abord , AB , ligne droite , est plus petite que ACB ligne brisée ,