TRACÉ DES CERCLES QUI SE C0UPE5T
lerminée aux mêmes points. Pour des raisons semblables , le rayon AC est plus petit cpte ABC , et le rayon BC est moindre que BAC.
117. Réciproquement, deux circonférences se coupent, toutes les fois que la distance des centres est plus petite que la somme des rayons, et qu'en même temps, chaque rayon est moindre que Vautre augmenté de la distance des centres.
Chacune de ces conditions , prise séparément , ne suffit pas pour que deux circonférences se coupent. La première est satisfaite , quand l’un des deux cercles est tout entier dans l’autre. On \oit en effet sur la figure 37, qu’alors AB plus petite que le rayon AC, est à plus forte raison moindre que la somme des deux rayons AC, BD. La seconde condition est remplie à son tour, quand les deux cercles sont tout-à-fait séparés , comme dans la figure a8 J car alors Iç rayon. AC, par exemple, qui est plus petit <pie la distance AB, est à plus forte raison moindre que AB augmentée de l’autre rayon BD.
Mais , si les positions des centres et les rayons satisfont à la fois aux deux conditions , les deux circonférences se couperont nécessairement, comme dans la figure a6.
118. Donc, pour que deux circonférences ne se coupent pas, il faut ou que la distance AB des centres soit plus grande que la somme des rayons AC, BD (F. 28), ou que l’un AC des rayons soit plus grand que la distance AB des centres, augmentée de l’autre rayon BD (F. 27).
Problème: Tracer une circonférence d'un rayon donné CD, qui en coupe une autre F, en deux points indiqués A, B (P. V, P. 29).
Ce tracé csL absolument le meme que celui du probl. (ft), p. 1 1 1 ; car si l’on mène la sécante AB , et qu’avec le rayon CD , on décrive une circonj^eiice qui la coupe en A et en B , les conditions imposées seront rempics. Tout se réduit donc à trouver le centre E de cette circonférence, ce qui se fait en décrivant de A et de B, avec le rayon CD, de petits arcs qui se coupent au-dessus ou au-dessous de AB, en E par exemple. Si alors on mène EF, la droite des centres , et les rayons AE , AF, il devient visible qu’on a satisfait aussi aux conditions du n° 1 17.
En général, ce problème a, comme on voit, deux solutions; mais il u’en aurait qu’une , si le rayon donné était la moitié de AB : le centre E serait alors au milieu de cette corde.
119. Deux cercles inégaux A , B qui se coupent (P. V, F. 3o), ont un centre C de similitude directe et un centre D de similitude inverse, ([u’on détermine comme dans le cas où les circonférences ne se coupent pas (p. 124). 3Iais le dernier, situé dans l'intérieur des deux cercles , n’est plus le concours des tangentes communes.
l44 TRACÉ DES CERCLES QVI SE CODFEXT.
Si les cercles étaient égaux, le centre de similitude directe ne pourrait être marqué , puisque les tangentes communes seraient parallèles à la droite AB des centres , et le centre de similitude inverse se tiouvcrait au milieu de- cette droite , attendu que les distances AD , BD sont toujours proportionnelles aux deux raj'ons (8i).
« Supposons constantes la position du centre B , celle du point ' E où le cercle A coupe la droite des centres, et la longueur du rayon BF. Vous verrez aisément que, si le rayon EA augmente, C se rapprochera de C' et D de D'. Mais , tant grand que devienne EA , jamais C n’entrera dans le cercle B ; car AC étant toujours plus grand que AE, rendra BC toujours plus grand que BC', autrement la proportionnalité des distances AC , BC et des rayons AG, BF ou AE, BC' n’existerait plus. De même, tant grand que devienne EA, jamais D ne sortira du cercle B; car AD étant toujours moindre que AE , rendra BD toujours moindre que BD', à cause de la proportion constante AG ' AD C J BF l BD ou
AE : AD :: bd' : bd. »
« Lors donc que EA sera devenu plus grand que toute longueur imaginable ou lorsque A sera infiniment éloigné de E , la difierence entre le rayon AE et la distance de A au centre de similitude inverse, sera tout au plus ED'. Or cette différence n’est rien, en comparaison des distances infiniment grandes EA, D'A. On pourra donc regarder la distance de A au centre de similitude inverse comme égale au rayon AE , et par conséquent , celle de B au même centre sera égale au rayon BD', c’est-à-dire qu’alors ce centre sc trouvera au point D'. »
« La différence entre le rayon AE et la distance de A au centre de similitude directe , ne sera guère plus grande que EC', quand A sera infiniment éloigné de E; cette différence ne pourra donc pas empêcher de regarder comme de même longueur , la distance et le rayon AE. Par conséquent , la distance de B au centre de similitude directe sera égale au rayon BC', c’est-à-dire que ce centre se tronvera au point C'. »
« Mais une portion quelconque d’un cercle dont le rayon est infiniment .grand , peut être assimilée à une ligne droite , car la courbure en est insensible , inappréciable , nulle , pour ainsi dire. De plus , tout rayon d’un cercle est perpendiculaire sur la portion de circonférence que , dans le voisinage de son extrémité, on peut considérer, ''5 sans erreur sensible , comme ime ligne droite. »
^ « Si donc vous tirez par le point E, une sécante HI perpendiculaire
à la droite AB des centres , cette sécante , prolongée aussi loin que . vous voudrez, sera une portion du cercle A devenu infiniment grand. »
Il s’ensuit qu’im cercle B et une sécante HI ont, comme deux cercles qui se couvant , deux centres de similitude situés aux extrémités du diamètre C'D' perpendiculaire à la sécante.
^ Mais, chacun de ces deux points est à la fois centre de similitude
Di.jiti'ed Cooglc
THACi! des CERCIBS QDI se COUPENt.l 145
directe et centre de similitude inverse ; car le cercle infiniment grand dont HI est une portion, peut avoir son centre aussi bien à droite de B qu’4 gauche.
120. Parmi les cercles qui en coupent un autre, on doit distinguer les cercles radicaux. Un cercle est dit radical, lorsque son rayon est moyen proportionnel entre les distances de son centre aux deux extrémités du diamètre d’un second cercle. Si par exemple, on décrivait de B (P. IV, F. 21), une circonférence qui eût BA pour rayon, elle serait radicale de la circonférence F, parce que la droite BA est moyenne proportionnelle entre les distances BC ,
BD (io5). Si du point A d’une tangente AE (P. V, F. 3i), vous décr^z ün cercle qui ait AE pour rayon, vous aurcz^le cercle radi<^ du cercle B , parce que AE est moyenne proportionnelle eutr^les distances AD, AC (i 1 1). ' d ®
Le centre d’un cercle radical peut donc être situé à l’intérieur ou à l’extérieur de celui qu’il coupe. Le second cas est le seul qui offre des principes et des tracés utiles à l’industrie j ainsi nous ne considérerons pas le premier.
Tout cercle radical A dont le rayon est une tangente AE, a pour cercle radical, celui B qu’il coupe au contact E (P. V,
Effectivement, BE, rayon de B, est perpendiculaire à l’cxlrémilé de AE, puisque cette dernière droite est tangente (107); BE est donc tangent au cercle A; les deux circonférences se trouvent toutà-fait dans les mêmes circonstances , l’une par rapport à l’autre , et par suite, B est cercle radical de A, comme A l’est de B.
Lorsque deux cercles ont ainsi des tangentes d’équerre , en leurs points d’intersection E, E', on dit qu’ils sont rnd/caitr /’un de Pa«/re ou qu’i/s se coupent perpendiculairement. C’est quand deux cercles se coupent ainsi , qu’on peut marquer leurs points communs avec précision.
Probl. («) : Décrire d’un point donné A, un cercle qui en coupe un autre B perpendiculairement (P. V, F. 3i). ' .
Menez par A une tangente AE au cercle B, et prenez la longueur AE pour rayon.
Probl. (6) : Décrire un cercle qui en coupc perpendiculairement un autre B, en deux points donnés E, E' (P. V, F. 3i).
Tirez les rayons BE, BE', puis élevez des perpendiculaires à leurs extrémités. Le concours A de ces tangentes au cercle B, sera le’ centre du cercle cherché, et la longueur AE ou AE' en sera le ' rayon.
121. La sécante AB qui passe par les intersections A , C de deux cercles, est nommée sécante dé intersection (P. V, F. 02).
La sécante d’intersection AB de deux cercles F, G, est le lieu '
i46 trac4 des cebcles qdi se codpest.
des centres de tous les cercles radicaux communs aux deux premiers.
Il est vrai d’abord qu’il y a égalité entre les tangentes BE , BE' menées aux deux cercles , d’un point quelconque B de la sécante d’inlerscclion ; car chacune est moyenne proportionnelle entre BÂ et BC (i 1 ■)• D’ailleurs, aucun point pris hors de AB ne pourrait jouir de la meme propriété.
On nomme axe radical, une droite dont tous les points sont, comme ceux de AB , centres de cercles radicaux communs à deux autres cercles , ou bien , ce qui revient au même , Taxe radical de deux cercles est une droite de chaque point de laquelle peuvent être menées à ces cercles des tangentes d’égales longueurs (io8).
Par conséquent, Taxe radical de deux cercles qui se cotjÿeni , est leur sécante d intersection ; 9
Autrement , f axe radical de deux cercles qui se coupent , passe par les deux points d’intersection, et est perpendiculaire^ la droite des centres (ii5).
122. Le concours de deux axes radicaux fournis par trois cercles, 'est appelé centre radical. De ce point peut être décrit un cercle qui soit à la fois radical des trois auxquels appartiennent les deux axes ; ou bien , de cc point peuvent être menées à ces trois cercles des langenles d’égales ïonguenrs.
Trois cercles A , B , C qui se coupent deux à deux , ne donnent qu'un seul centre radical D, concours des trois axes radicaux (P. V, F. 53).^
Regardons d’abord D comme le concours des deiu: seuls axes radicaux EF, GlI. Le cercle radical décrit de ce point, sera commun à A et à B, à A et à C; il le sera donc aussi à B et à C. Par conséquent , son centre D doit se trouver sur l’axe radical IK de
B et de C.
Ainsi , les sécantes d'intersection que donnent trois cercles qui se coupent deux à deux , concourent toutes trois au même point.
123. Parmi les cercles qui en coupent deux autres , nous avons à distinguer les cercles réciproques. J’ai adopté le mot récipro^é, pour désigner une circonférence telle que CDEF (P. V, F. 34) qui passe par deux points d’entrée E, F et par deux points de sortie D , C de deux sécantes communes ID , IC parties d’un des centres de similitude des cercles A, B. Cette dénomination va être justifiée, et il sera démontré en même temps que les quatre points C, D, E, F appartiennent réellement à une même circonférence, ou, ce qui est la même chose (ton), que ID l IC 1 1 IF l lE.
Une telle proportion résulte en effet de ce principe général : Sont réciproquement proportionnelles, les distances d'un centre de similitude à deux points d’entrée et à deux points de sortie de deux sécantes comnunes , parties de ce centre. T'entrée et la sortie de chaque sécante n'étant pas prises sur le même cercle.
TRACj SSS'CGSCLBS QVt SB COtTPBNT.
Ainsi, non seulement ID ï IC 1 1 IF T lE , mais encore
ig:ui::il:ik; id:il;;ih:ie; ig;if::ic:ik.
Nous nous contenterons de démontrer la première de ces tpialre proportions; car il suffirait, pour démontrer les autres, de répéter, sur de nouvelles longueurs , le raisonnement que nous allons faire.
D’après le n° io4, les rayons BG, AD sont parallèles, puisque la sécante DI passe par le centre de similitude I , et IG ! ID 1 ? IB r IA ( 79 ) ; il en est de même des rayons BII , AC , et IH ! IC rr IB : IA. Donc, à cause du rapport commun IB 1 IA, on a la proportion IG 1 ID 1 CIH 1 IC , ou IG 1 III C 1 ID ^ IC. Mais le principe (loa) appliqué au cercle B, donne cette autre proportion IG ; lil ; : IF ! lE. Donc enfin, ID I IC 1 1 IF 1 lE, ainsi que nous l’avons annoncé.
On démontrerait de la même manière , <jue de semblables relations sont données par les sécantes communes qui concourent au centre de similitude inverse des cercles A, B.
124.. « 11 suit du principe précédent, qu’il y a, pour chaque centre de similitude , quatre séries de cercles réciproques. »
< La première comprend tous les cercles réciproques qui passent par une entrée E , une sortie' D , une sortie C et une entrée P (P.V, F. 34) : elle peut être représentée au moyen des quatre lettres [ets'e'J, initiales des mots entrée et sortie, placées dans le même ordre que les quatre points désignés ; les accens distinguent les points de la sécante de droite. >
« La deuxième série est celle des cercles réciproques qui passent par une sortie G , une entrée K , une entrée L et une sortie H : son indice sera [seeV]. •»
< La troisième série renferme tous les cercles réciproques qui passent par une entrée E, une sortie D, une entrée L et une sortie H: son indice sera [eseV]. »
« Enfin , la quatrième série se compose de tous les cercles réciproques qui passent par une sortie G, une entrée K, une sortie C et. une entrée F : son indice sera [ses'e']. »
« Mais , il existe un cercle réciproque des deux cercles A, B, qu’on peut regarder comme appartenant à chacune des quatre séries; c'est celui où se trouvent les quatre contacts des deux tangentes communes qui concourent au centre de similitude : la tangente étant au fond une sécante dont les deux points communs au cercle , sont réunis en un seul , il est clair que les distances du centre de similitude aux quatre contacts , doivent être aussi réciproquement . proportionnelles. D’ailleurs , ces distances étant égales deux à deux (io8), forment aussi bien des proportions réciproques, que des proportions ordinaires. »
i48 trac^ des cercles séparés.
125. « Si maintenant vous observez qu’outre le cercle réciproque CDEF (P. V, F. 34), il en passe un grand nombre d’autres de la meme série , par les points D , E , ou par les points G , F, et qu’on peut en dire autant , pour chacune des sécantes communes à A et à B, menée par I, vous comprendrez aisément que tous les cercles réciproques d’une mémo série se coupent deux à deux,
• et que leurs séranles d’intersection ou leurs axes radicaux concourent au centre de similitude ce point est doue centre radical ’ de tous les cercles réciprocpics d’une série (12a), y compris celui qui passe par les quatre contacts des tangentes communes à A et à B. Mais ce dernier appartenant aux quatre séries , a même cercle radical que chacune. Par conséquent, il y a, pour les quatre séries , un cercle radical commun et unique dont le centre est le centre de similitude. »
Donc enfin , le centre de similitude directe ou inverse de deux cercles, est le centre radical de tous les cercles réciproques qu’il • détermine.
Problème : Tracer un des cercles réciproques de deux cercles donnés A, B (P. V, F. 34).
Supposons que le cercle demandé soit un de ceux qui ont, pour ’ centre radical, le centre de similitude directe de A et B. Vous marquerez ce centre de similitude I (p. 124); puis, ayant tiré une’ sécante commune ID, vous décTÂrez , avec un rayon quelconque , un certde M qui coupe cette sécante en un point d’entrée E et en un point de sortie D (probl. i>, p, 11 1). Ce cercle coupera A et B en doux autres points C, F, situés sur une sécante commune IC ou sur une tangente commune , et divisera les droites IC , ID en parties réciproquement proportionnelles. ,
Le traeé serait absolument le même , si le cercle réciproque demandé devait être un de ceux qui ont , pour ceptre radical , le centre de similitude inverse.
