TRACÉ DES CERCLES SÉPARÉS

Il nous reste à considérer les circonférences qui se touehent et celles (jui n’ont aucun point commun. Mais, comme les procédés les plus simples qu’on puisse employer pour tracer les premières, reposent sur des principes relatifs aux dernières, nous étudierons d’abord celles-ci. <

Deux circonférences qui n’ont aucun point commun , sont dites séparées; la distance AB de leurs centras est plus grande que la somme de leurs rayons AC, BD (P. V’, F. 28), ou bien cette distance est moindre que la différence des mêmes rayons (F. 27). Dans le premier cas , les deux circonférences sont séparées extérieurement ; dans le second, elles sont séparées intérieurement : l'une B , des circonférences se trouve qntièrement rcnHerméc dans l’autre. A, puisque le rayon BD ajouté à AB, ne peut faire le rayon AC.

THACÉ DES CERCLES SIÎPARÉS 1^9

126. Tout ce qui’ a cld dit des cercles qui se coupent, au sujet des centres de similitude, convient aux cercles séparés, sauf de légères modifications. Ainsi , deux cercles sitjmrés ont toujours deux centres de similitude (tig) qu’on détermine cuiiiuie il a été dit, page ia4; mais, si les cercles sont séparés inlériciireuient , aucun de ces centres n’est le concours de taiigcutes communes.

Un cercle 11 et tme droite III sépares (P. IV, F. a8) ont aussi deux centres de similitude situés aux extrémités du diamètre AC perpendiculaire à la droite, et chacun de ces points est à la fois centre de similitude directe et centre de similitude inverse: A est un centre de la première espèce, si l’on considère le cercle dont III fait partie, comme enveloppant le cercle Bj dans le cas contraire , c’est le point C qui est un centre de la prentière espèce. '

Probl. (a): Placer un cercle de rayon connu, de manière qu’un point donné E soit centre de similitude directe de ce cercle et d’un autre A (P. IV, F. 3a). ,

Tirez un rayon quelconque AC et une sécante CEj portez de A en L , le rayon du cercle à placer ; menez par L une parallèle àAE; celte parallèle renconlfera la sécante CÏî en un point D, et si par ce point vous tracez DB parallèlement à AC, le point B que vous trouverez sur AE , sera précisément la position à donner au centre du second cercle.

Effectivement, BD égale à AL (65) sera un rayon du cercle placé en B J la sécante commune CE passera par les extrémités de rayons parallèles AC , BD; par conséquent, en E, concours de celte sécante et de la droite AB des centres , se trouvera le centre de similitude directe des cercles A, B (p. 124). ^

Probl. (6): Placer un cercle de rayon connu, de manière qu'un point donné II soit centre de similitude inverse de ce cercle et trun autre A (P. IV’’, F. 3'i).

V’ous agirez comme dans le problème précédent , si ce n’est que le ray'on du cercle à placer devra être porté de A en U, sur le prolongement de AC.

127. Deux cercles séparés extérieurement ont un axe radical perpendiculaire à la droite des centres.

La vérité de ce fait sera démontrée , si nous faisons voir qu’une ligne droite perpendiculaire à celle des centres, est le lieu où se trouve tout point duquel on peut mener des tangentes égales à-i deu.x cercles tels que A, B (P. V, F. 35).

D’abord, aucun point pareil ne saurait être situé en dehors des deux tangentes CD,. EF pcrpendicubiircs à AB; car s’il eu existait un à droite de EF ou à gauche de CD , il y eu aurait nécessairement un autre sur l’une de ces droites, puisque dans leur intervalle, il s’en- trouve au moins deu.x, qui sont les milieux G , II des tangentes communes.

i5o TRAcé DES cERciEs sépAttia.

Or, il est impossible de mener, d’un point quelconque D de CD , par exemple , deux tangentes égales aux cercles A , B : l'une DI serait une oblique qui, coupant AB, aurait plus de longueur que la tangente perpendiculaire DC.

Ainsi, tous les centres des cercles radicaux communs à A et à

B, sont situés entre les parallèles CD, EF, quelque rapprochés que soient les deux cercles. Mais des points qui ne peuvent sortir ' de l’intervalle de deux parallèles, quelque voisines qu’elles soient, se trouvent néccssairepicnt sur une droite parallèle à celles-là. Donc , le lieu des centres des cercles radicaux communs à A et à B , est ua axe perpendiculaire à la droite AB des centres (Sy)-

Phobi. (a): Tracer Taxe radical de deux cercles séparés A, B (P. V, F. 36).

Décrivons d’un centre quelconque C et d'un rayon arbitraire, un cercle qui coupe à la fois A et B. La corde DE sera l’axe radical de A et de C (la i) ; la corde FG sera l’axe radical de B et de G ; conséquemment , l’intersection H de ces deux axes , sera le centre d’un cercle radical commun à A et à B; ce point appartiendra donc à l’axe radical des cercles A , B , et il ne nous restera plus qu’à mener de U , une perpendiculaire sur la droite AB des centres. Cette I perpendiculaire U1 sera l’axe demandé ; c’est-à-dire que d’un point quelconque de HI , on pourra mener des tangentes égales aux deux cercles A, B, ou. décrire un cercle qui coupe ces deux-là perpendiculairement.

Pbobi,. (J): Décrire un cercle qui soit séparé d’un autre A et tellement placé, qu’une droite donnée HI forme l’axe radical des deux (P. V, F. 36). /

Le centre du cercle demandé doit être un point de AB, perpendiculaire abaissée de A sur III. Pour le déterminer, je décris arbitrairement une circonférence G qui coupe A en deux points D, E, et du pci'it H où la corde DE rencontre HI, je tire une sécante quelconque HG'F' de la circonférence C; puis, j’élève une perpendiculaire au milieu de la corde F'G', et le point B' où cette perpendiculaire coupe AB , est le centre du cercle demandé ; le rayon est B’G’.

Vous voyez par là qu’une infinité de couples de cercles différens peuvent avoir le même axe radical , et même qu’une droite HI est l’axe radical d’un cercle A et d’une infinité de cercles B, B', etc. ,

“ différens.

128. Deux cercles B, B' séparés intérieurement ont un axe ■ radical perpendiculaire à la droite BB' des centres (P. V, F. 36).

Coupons les deux cercles donnés par une circonférence arbitraire

C. Les sécantes d’intersection FG, F'G’ concourront en un point H. Tirons par ce point, une sécante tpielconque HD dans le cercle C; puis élevons une perpendiculaire au milieu de la corde DEj le point .

0 THACÉ DES CEfiCLES SÉPAEÉS. l5l

A où elle rencontrera le prolongement de B'B , sera le centre d’un , cercle qui pourra passer par les points D , £.

Alors, le point 1[ concours des trois sécantes d’intersection, est un centre radical, pour les cercles A, B, B'. Si donc nous abaissons de II une perpendiculaire sur AB, cette droite III sera l’axe radical des cercles A, B sépares extérieurement (probl. a, p. i5o)'et meme celui des cercles A, B'. Par conséquent, III perpendiculaire à la droite BB' des centres, qui laisse du meme côté les deux c^lcs B, B' séparés intérieurement, est l’axe radical de ces cercles, v 0 II est visible , d’après cela , que les tracés des problèmes (a) et^ft) du n° 137 , conviennent au cas où les cercles sont séparés intérieurement, tout aussi bien qu’à celui où ils sont séparés extérieurement.

• 129. « L’axe radical dm cercle et dune droite est la droite elle-même, »

« En effet , toute droite petit être considérée comme une partie d’un cercle infiniment grand -, par suite , une droite et un cercle placés ■ sur le même tableau, ont un axe radical. Mais, les tangentes à la portion de cercle que représente la droite, se confondent avec elle et la touchent partout. Si donc on mène d’un point quelconque de cette droite, une tangente au cercle, il suffira de la rapporter sur la même droite, pour avoir une tangente au cercle infiniment grand, qui lui soit égale. »

< En outre, la droite sera toujours coupée perpendiculairement, par un cercle radical décrit d’un quelconque de ses points , avec un rayon égal à la tangente menée de ce point au cercle donné ; car il y aura toujpurs un rayon du premier cercle, qui sera dirigé selon cette droite. Ainsi , elle jouira de toutes les propriétés d’un axe radical. »

lâO. « Dans tout ce qui a été dit jusqu’au numéro précédent , sur les axes radicaux , il n’a nullement été question'de la grandeur des rayons. Cette grandeur n’cxerce donc aucune influence ni sur l’existence de l’axe radical , ni sur sa position relative à la droite des centres. Par conséquent, cet axe existe’ encore, avec toutes ses propriétés j il est encore perpendiculaire à la droite des centres, lorsqu’un des rayons est devenu tellement petit que le cercle s’est réduit à son centre. Ainsi , un cercle et un point ont un axe radical, perpendiculaire au diamètre qui passe par le point. »

< Du reste, il est clair qu’une des deux tangentes égales qu'on peut mener de chaque point d’un tel axe , est tout simplement une droite qui se termine au. centre du cercle dont le rayon est nul.

Probe, (a) : Tracer Vaxe radical d’m cercle A et dm point extérieur B (P. V, F. 37).

Menez par B , deux tangentes BC , BD au cercle A ; cherchez les milieux £, F de ces tangentes, et tirez EF; celte droite sera l’axe radical demandé. '

Les points E, F jouissent en effet de la propriété de ceux d’un

l5a TRACÉ DES CERCLES SEPARES. ^ ”

axe radical, puisque EC = EB, FD=FB. De plus, EF et la corde de contact CD sont parallèles, puisqu’elles divisent en parties égales, les concourantes BC, BD (78). Or, CD est perpendiculaire à AB (108)5 donc, EF 1' est aussi (57).

« pROBL. (6): Tracer l’axe radical d’un cercle A et d’un point

itUé^ur B' (P. V, F. 37). s>

«supposons que EF soit l’axe demandé. La distance B'G au point B'^evm être égale à une tangente menée de' G au cercle A; elle sera donc , comme cette tangente , moj'enne proportionnelle au< deux parties GH, GI d’une sécante tirée de G. Il s’ensuivTa la proportion

gu:b'G:;b'g:gi, ou Gii:B'G::B'G:B'G-t-B'i,puisque GI “ B'G -H B'I ,