OU

puisque

B'G — GII = B'II, ' ' .

ou (72)

ou enfin

ce qui montre que la distance B'G du point donné B' à l’axe radical , est une quatnème proportionnelle à la dilTércncc des distances de B' aux extrémités du diamèti>«, et à ces deux distances. »

« Il faut donc , pour résoudre le problème , tirer un diamètre par le centre A et le point B' donnés 5 prendre la différence des distances du point B' aux extrémités I, H de ce diamètre; chercher une quatrième proportionnelle à cette différence et aux deux distances fi'I , B'II ; porter cette quatrième proportionnelle sur le diamètre , à partir du point B' et à l’opposite du centre A; puis, élever au point G qui en résulte, une perpendiculaire sur AB'; cette perpendiculaire sera l’axe radical demandé : c’est-à-dire que les tangentes 'menées au cercle A, d’un point quelconque de EF, seront égales chacune à la distance de cè point au point B' donné. »

131. Deux cercles séparés intérieurement peuvent se trouver dans une position relative fo/t remarquable : celle où les deux centres sont confondus. On dit alors que les circonférences sont concentriijues: telles sont celles qui ont le point C pour centre commun (P. V, F. 38).

Une ligne AB , égale à la différence des rayons AC , BC de deux circonférences concentriques , est la plus courte droite qui puisse être menée , d’un point de l’une à un point de Vautre; c’est-à-dire que toute droite BD dont la direction n’est pas 'celle d'un rayon, se trouve plus grande que AC — BC, ^

..Tirons DC. Nous verrons que la ligne brisée DBC surpasse la droite DC, et qu’à cause des p.arties égales CB, CE, la droite DB surpasse DE différence des rayons. D’ailleurs, cette différence

, QiSili^ed h- Gi

THACii DES CERCLES S^ARis. l55

est partout la mêhic ; donc le principe est vrai , quel que soit le point D ou B du quel on mène une ligne telle que BD.

132. Il suit de là que la différence des rayons est la vraie distance d'une circonférence à sa concentrique.

II s’ensuit aussi que deux circonférences concentriques sont partout à la meme distance Pline de l’autre. C’est pour cela qu’on les appelle parfois circonférences équidistantes: elles sont parmi les cercles , ce que les parallèles sont parmi les droites.

Prorl. (fl): Décrire une circonférence de rayon donné, qui soit concentrique à une autre C dont le centre peut être marqué (P. V, F. 38).

Il suffit d’exécuter le tracé du n° 4 > àvec une ouverture de compas BC égale au rayon donné , et en prenant pour centre , celui de la circonférence C déjà décrite.

Probl. (6) : Tracer une circonférence qui ait un rayon donné AB et qui soit concentrique àune autre CD£FGII dont on connaît le rayon I K , mais dont le centre ne peut être marqué (P. V, F. 3g).

Prenez deux points quelconques C , D sur la circonférence donnée ; puis élevez une perpendiculaire LM au milieu de la corde CD; cette perpendiculaire passerait par le centre, si elle était prolongée (gS); elle fait donc partie d’un rayon. Portez AB sur IK, de I en B , prenez B'K différence des deux rayons, et portez-la sur LM, à partir du point N de la circonférence tracée. Le point 0 ou tombera l’autre extrémité , appartiendra à la circonférence concentrique demandée.

Prenez ensuite deux autres points D , E ; faites pour ceux-là , les mêmes opérations que pour les premiers, et vous obtiendrez un second point P de la circonférence cherchée. Vous pourrez donc , en continuant toujours ainsi , vous procurer autant de points que vous en aurez besoin, pour pouvoir tracer à la main, avec qu^que exactitude , la circonférence OPQRST concentrique à' CDEFGH.

Si AB était plus grand que IK , ce serait en dehors de la circonférence tracée , qu’il faudrait porter la différence de ces rayons , pour obtenir des points de la concentrique. Du reste, il est visible que les perpendiculaires au milieu des cordes , peuvent faire trouver chacune deux points de la circonférence cherchée; il ne •s’agit que de les prolonger, s’il est possible, jusqu’à ce qu’elles coupent une seconde fois la circonférence donnée, et de porter B’K , par exemple de U en V, sur le prolongement de LM.

Application : Le principe 1 3a fournit le moyen de tracer sans compas, des circonférences concentriques an bord d’une face circulaire qu’on doit craindre d’endommager. Cette utile application n’est au fond que le dernier tracé exécuté mécaniquement.

ao

l54 TRACÉ DES CERCLES SEPARES.

« Il faut une espèce de trusquin (p. 73) dont la règle porte une pointe , si l’on ne veut qu’un trait , on porte une gouge , si l’on a besoin d’une rainure. Le plateau doit avoir deux pieds égaux, arrondis par le bout, également écartés de la ligue milieu de la règle, et saillans du coté de l’instrument traçant. »

« Lorsque les pieds sont appliqués contre un bord circulaire, ils y marquent un arc AB (P. V, F. 4o) dont la corde est parallèle aux longues arêtes du plateau (6fi)j la ligne milieu de la règle se trouve perpendiculaire au milieu de cette corde et dirigée selon un rayon; cette position est conservée, pendant le mouvement circulaire des deux pieds, et par conséquent, la poiute ou la gouge trace une circonférence concentrique au bord circulaire. s>

133. Dans deux circonférences coneentriques , les arcs AD, BE renfermés entre deux rayons CA, CD de la plus grande , sont Vun et l’autre dans le même rapport avec leurs circonférences. (P. V, F. 38).

Ces deux arcs étant décrits du sommet C de l’angle ACD, entre les côtés, donnent chacun l’indication de cet angle, et renferment par conséquent le même nombre de degrés. Ils sont donc contenus autant de fois l’un que l’autre dans les circonférences dont ils font partie , puisque toutes les circonférences ont 36o°.

Probi.ème: Diviser en arcs proportionnels , deux circonférences C, K de rayons différens (P. Ÿ, F. 38).

Décrivez une circonférence qui soit égale à R et concentrique à C ; puis tirez les rayons CA , CD , CG , etc. Les arcs qui en résulteront formeront des proportions telles que celle-ci :

ad:dg:;be:eu.

En effet, d’après le principe précédent,

AD l cir. C I î BE : cir. K on bien (72) AD l BE C I cir. C î cir. K; de meme DG C EU 1 1 cir. C î cir. K.

Donc , à cause du rapport commun cir. C 1 cir. K , on a

ad:be::dg:eu ou ad:dg::be:eh.

134. Deux circonférences concentriques n'ont qu'un seul centre de similitude qui se confond avec le centre commun C (P. V, F. 38).

Les rayons parallèles CA , CB ou CA , CI ayant même direction , ne donnent effectircment que AI , quand on joint leurs extrémités ( 1 04) , et AI ne peut rencontrer qu’en C , la droite des centres réduite à ce seul point. . •

135. Deux cercles concentriques n’ont point d’axe radical, attendu qu’ils ne peuvent avoir de tangentes ég.iles et concourantes.

Supposons qu'il y ait égalité entre les tangentes AB, AD (P. V, F,4i)> menées d’un point quelconque, aux deux cercles qui ont G

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