DA X D'C : DB X D'A : : D"C : D"B

ce qui donne (70) ” ^

‘ DAXD'CXD"B=f=DBXD'AXD"C.

Ainsi , le produit des trois parties séparées que forment les points D , D', D" sur les droites AB , AC , BC , est égal au produit des trois autres, et ces points ne sont pas entre les intersections des droitesi, comme dans le n°86; par conséquent (85), D,D', D" appartiennent à une même transversale du système des trois droites; cette droite DD'D" est appelée axe de similitude directe.

On démontrer.ait d'une manière analogue que chaiiuc Centre de similitude directe est en ligne droit^' avec deux des centres de similitude inverse. .Ainsi, D est sur la droite l'I", D'sur la droite II", D" sur la droite II', et ce qu'il y a de remarquable, c’est qu’il est impossible de tracer sur un taldeau trois cercles séparés quel-' conques, sans que les six centres de similitude se trouvent placés trois à trois sur quatre droites.

Il est vrai que si les trois cercles ont meme rbyon, les points

l56 TRACÉ DES CERCLES SÉPARES. ^

D , D', D" ne peuvent plus être marqués , puisque la tangente ED , par exemple, devient parallèle à AB (p. lag); mais alors les centres de similitude directe étant situés tous trois infiniment loin des cercles , peuvent être regardés comme étant sur une meme droite infiniment éloignée. Au reste, un autre fait singulier a Kéu : les droites qui joignent deux à deux les centres de siniilitud^inverée , sont parallèles aux lignes qui joignent deux à deux les centres des cercles : lE est parallèle à BC, II” est parallèle à AC , et l'I” est parallèle à AB.

On a nommé axes de similitude inverse les trois droites II', II”, l'I”. Ainsi , trois ^cles séparés ont trois axes de similitude inverse et un seul axe de ^mililüde directe.

Il en est de même pour trois cercles qui se coupent et pour deux cercles combinés avec une droite. Mais des modifications faciles à trouver , doivent être faites à ce principe , lorsqu’un des trois cercles est réduit à un point , ou que deux cercles sont devenus soit des droites , soit des points , ou qu’un seul cercle se trouve combiné avec une droite et un point. ,

Problème : Décrire un cercle qui ait avec deux autres A , B , deux points donnésY)', J)" pour centres de similitude ÇP . V,F. 4a).

Le tracé n’est possible que dans le cas où D', D” forment une ligne droite, avec D centre de similitude directe des cercles A, B. S’il en est ainsi, le centre du cercle demandé est le coneours G de AD', BD”, et son rayon a pour longueur, celle de la perpendiculaire abaissée de C , sur une tangente menée de D' au cercle A , ou de D” au cercle B.

Dans le cas où l’on donnerait les centres de similitude inverse I', I”, il faudrait aussi qu’ils fussent en ligne droite avec D , et la construction .du rayon se ferait d’une manière analogue à la précédente. Au reste, cette construction est générale; il n’est pas nécessaire de savoir à l'avance si les points donnés sont centres de similitude directe ou de similitude inverse : ce sont leurs positions qui les rendent centres d’une espèce ôu de l’autre , et le tracé place toujours le cercle demandé de la manière qu’exigent ces positions.

137. Trois cercles séparés ont un centre radical; en d’autres termes, les trois axes radicaux de trois cercles séparés concourent en un seul point. •

La démonstration est la même que pour les cercles qui se coupent , et le principe est encore vrai , soit lorsqu’un des trois cercles est devenu point ou droite, soit quand deux cercles ont subi l’une on l’autre transformation , soit enfin lorsqu’un cercle a éprouvé la , première, et un autre, la sftonde.

Problème : Trouver le centre radical de trois cercles séparés.

Il suffit , dans tous les cas , de tracer deux axes radicaux : leur concours est le centre radical demandé.

' THAci DES CERCLES TANCER.

TBACIÊ DBS CEBCLES TAXGEBSJ

On dit que deux cercles se touchent ou sont tangens l’un à l’autre , quand ils n’ont qu’un seul' point commun; ce point est le contact des deux circonférences.

13$ A Le eontact de deux cercles est toujours sur la droite des centres.

Considérons, pour le faire voir, les deux circonférences A, B qui se coupent aux points C, D (P. V, F. 43)- Ces points seront également éloignés, de E, lieu où la droite AB des centres rencontre la circonférence A, et ils seront aussi également éloignés de' F, lieu où AB rencontre la circonférence B (i i5). Si nous éloignons B de A selon AF, C et D se rapprocheront de plus en plus de E et s’en rapprocheront également, puisque dans toutes les positions de B , les arcs CE , DE doivent être égauxi C et D arriveront donc en même temps sur E , et alors les deux cercles n’auront que le point E de commun. Ils se toucheront donc et leur point de contact sera sur la droite des centres. , ,

Si l’on faisait cheminer le centre B vers A , selon BA , les points C , D s’écarteraient d’abord de E ; mais ils s’en rapprocheraient ensuite, le rayon de B étant supposé plus petit que celui de A, et ils finiraient, comme ci-dessus, par arriver en meme temps sur le point E. Alors, le Cercle B aurait la position B" et le contact serait encore sur la droite des centres. «

139. Quand deux cercles sont dans les positions A et B' (P. V, F. 43), on dit qu7/s se touchent extérieurement , parce que l’un des cercles est alors tout-à-fait hors de l’autre. Dans ce cas , la distance AB' des centres est égale à la somme des rayons AE , B'E.

Lorsque deux cercles ont les positions A et B", le plus grand esl touché intérieurement , et le plus petit, extérieurement. Alors, l’un B" des deux cercles est entièrement renfermé dans l’autre, et la distance AB" des centres est égale à la différence ^es rayons AE, B"E.

140. Il suffit que la distance AB des centres soit égale à la somme des rayons AC, BC, pour que deux cercles se touchent extéri^j^/nent (P. V, F. 44)-

On vmt d'abord que le poi^ C.^lcurest commun. Reste à montrer que nul autre ne peut appartenir à la fois aux deux circonférences. Prenons pour exemple, le point D. Si ce point était .à la fois sur les deux circonférences, la ligne ADB serait ki somme des rayons et par suite* égale à AB, ce qui est impossible; car, puisqu’il ne peut y avoir deux droites différentes entre A et B , jVDB est une ligne brisée et nécessairement plus longue que AB.

Quant aux points de AB , s’il y en avait un autre que C qui se trouvât à la fois sur ks deux circonférences , les cercles auraient

|58 HkcÉ DES CERCLES TArTCBKS.

même diamètre et se confondraient, puisque AB passe par les , centres.

141 . Il suffit que la distance AB des centres soit égale à la différence des rayons AC , BC , pour que l'un des cercles soit touché intérieurement , ou pour ([ue les deux cercles n'aient que le point C de commun (P. V, F. 4î>)-

En effet, si tout autre point D pris hors du rayon AC, pouvait appartenir à la fois aux deux circonférences , AD serait rayon de la grande, et BD , rayon de la petite. AD diminue de BD devrait donc égaler AB , et par conséquent BD augmenté de AB devrait faire AD; or ici , cette somme donne une ligne brisée ABD , nécessairement plus grande que la droite AD. Donc, le, point D ne peut appartenir à la fois aux deux circonférences.

Pour les points de AC, autres que C , on dirait ce qui a été dit de ceux de AB (F. 44), dans la démonstration du numéro précédent.

142. Il suffit que deux cercles AB aient une tangente commune CE,,e/j un point commun C, pour qu’ils se touchent en ce point (P. V, F. 44 et 45).

On voit effectivement que AC cl BC étant perpendiculaires à CE au même point C (loy), forment une seule ligne droite, et que par suite, la distance ÀB des centres est égale soit à la somme, soit à la différence des’ rayons AC , UC(i4o et i4t-)

Réciproquement , deum cercles qui se touchent , ont une tangente commune dont les contacts se confondent avec le leur. Cela lient à ce que les rayons qui •aboutissent au contact des cercles' J sont en ligne droite , et à ce que les tangentes qu’on peut mener en ce point aux deux cercles , se confondent , par suite , avec la perpendiculaire à la droite des centres.

143. Le contact de deux eercles est un centre de similitude, car la droite des centres et une tangente commune concourent en ce point (prqbl. e, p. 128).

Si les deux cercles se touchent extérieurement (P.V, F. 44), la tangenté commune DE passe entre eux, et par conséquent, le contact C est centre de similitude invCrsh.

Si l’un des deux cercles est touché intérieurement (F. 45), la tangente commune CE laisse les centi'cs du mémo côté, eüwt conséquence, le contact G est centre de similitude directe.

Dans l’un et l’autre cas, deux cercles taugens ont un second centre de similitude, comme les cercles séparés et ceux qui se coupent.

144. Trois cercles dont un touche les deux autres ou qui sont tangens deux à deux , ont trois, axes de similitude inverse et un seul axe de similitude, directe , comme les cercles séparés et ceux qui se coupent; car la démonstration du n° i36 étant absolument indépendante des positions des cercles , s'applique à tous les cas.

TRACÉ DES CERCLES TA:<CE.')S. iSq

145. La droite des contacts de deux cercles touchés d^ la même manière par un troisième , passe \oujours par le centre de similitude directe des deux premiers.

Ces contacts étant centres de similitude directe ou de similitude inverse (i 45) , doivent eircctivement se trouver en ligne droite avec le troisième centre de similitude directe que fournissent les trois cercles (126 et i3C). '

146. La droite des contacts de deux cercles qui en touchent différemment un troisième, passe toujours par le centre de similitude inverse des deux premiers ; car ces contacts étant ccnii es de , similitude d’espèces difl'érentes (i45), déterminent un axe de similitude inverse (126 et i56).

1*7. La tànf'ente commune CE de deux eercles A , B qui se touchent, est leur axe radical (I*. V, F. 44 et 45). ♦

La vérité de ce principe peut se rcconnaitre aisément. Considérons d’abord deux cercles F, C , qui se coupent (F. 02). Si les centres s’écartent, les intersections A, C se rapproclient , puis finissent par se confondre. Alors les deux cercles n’ayant plus qu’un seul point commun, se touelieni. extérieurement, et la sécante d’intersection AB qui n’a pas cessé d’être axe radical , devient tangente commune. <

Si le centre G du plus petit cercle se rapproche de F centre du plus grand, les intersections A, C s’écartent d’abord j la corde AC augmente jusqu’à devenir un diamètre du cercle G] puis A , C se rapprocbenl et finissent par se confondre. Alors, le petit cercle se trouvant tout entier dans le grand, le touche intérieurement, et la sécante d’intersection AB qui n’a pas cessé d’être axe radical est devenue tangente commune.

Ainsi , la tauffente commune est le lieu de tout point d'où Von peut mener des tanfjentes égales à des cercles qui se touchent.

Vous voyez en effet que la tangente EC menée du point E, pàr exemple, aux deux cercles tangens A,*B (F. 44 45), a toujours

même longueur, soit qu’on la considère comme apparlcnaut au cercle A , soit qu’on la rapporte au cercle B.

148. Trois cercles A , B, C dont un A touche les deux autres, ont pour centré radical, le concours des deux tangentes communes.

Une de ces tange^es est axe radical de A et de B, l’autre est axe radical de A et de C. On pourra donc , de leur concours , décrire un cercle radical commit a A, B, C. Par conséquent, ce concours appartient aussi à l’axe radical des cercles B , C.

Le même raisonnement pouvant être appliqué au cas de trois cercles tangens deux à deux , il s’ensuit que les trois tangentes communes de trois cercles qui se touchent deux à deux , concourent en un seul point, centre radical de ces cercles.

l60 TBAci SES CSRCtBS TANGE.T8.

149. (foui cercle tangent à deux autres est un de leurs réciproques.

Supposons d’abord un cercle touché inlcrieurement par deux autres. Les contacts se troureront en ligne droite avec le centre de similitude directe des deux derniers (i45); de sorte que si D, E, par exemple, sont ces contacts (P. V, F. 34), la droite DE passera par I centre de similitude directe des cercles A , B.

Ainsi , les contacts d’un cercle touché intérieurement par deux autres , forment une entrée E et une sortie D d’une sécante ID , ou bien la première entrée et la deuxième sortie de toute sécante menée par le centre de similitude directe de deux eercles , sont les contacts dî un cercle touché intérieurement par ces deux-là.

Maintenant, augmentons de plus en pins le rayon du çercle réciproque EDCF (ia3), en continuant de le faire passer paj les points E, D. Les deux autres intersections F, C se rapprocheront • de ces points , mais ils resteront constamment sur une sécante commune , puisque le cercle EIDCF ne cessera pas d’être réciproque. Donc , C se confondra avec D , dès que F arrivera sur E. Alors , le cercle réciproque n’aura plus qu’un seul point commun tant avec le cercle A , qu’avec le cercle B, et il sera touché intérieurement par ces çercles.

Il s’ensuit que tout cercle touché intérieurement par deux autres , peut être regardé comme un cercle réciproque dont le rayon a été modifié ou dont les quatre intersections se sont réduites à deux points communs. Un pareil cercle tangent appartient à la première série des cercles réciproques, à celle dont l’indice est [es s'a'].

Nous verrions de même que la première sortie G et la deuxième entrée K d’une sécante commune à deux cercles A, B, sont les contacts d'un troisième cercle qui les touche extérieurement , et nous en conclurions que tout cercle qui en touche deux autres extérieurement , est im réciproque de la même série que celui qui passe par GKLH, c’est-à-dire de la seconde dont l’indice est [see's'J.

Quant aux cercles réciproques de la troisième série et de la quatrième, ils ne fournissent point de cercles tangens; car les points tels que E, D, L, U ou G, K, C, F, par lesquels ils passent, se trouvent en ligne droite et distincts , sur une sécante commune , lorsque les deux sécantes IG , ID qui les déterminent , viennent à se confondre.

Mais , la marche employée précédemment ferait reconnaître avec facilité, que toute sécante commune qui passe par le centre de similitude inverse de deux cercles , donne par ses entrées et ses sorties , les contacts de cercles réciproques toudÉés différemment par les deux premiers.

Done, tout cercle touehê de la même mdHère par deux autres, est un des réciproques qui ont leur centre radical au centre de similitude directe des derniers.

Tout cercle touché différemment par deux autres, est un des réciproques qui ont leur centre radical au centre de similitude inverse des derniers.

TRAC^ DES CERCLES TANGESS. l6l

ISO. Troi$ cercles A, B, C placés d'une manière quelconque sur le meme tableau, ont une infinité de cercles réciproques communs.

Ces trois cercles peuvent en loucher intérieurement un quatrième qui sera réciproque de A, B, de A, C et de B, C, eu vertu du principe précédent. Il sera donc à la fuis réciproque des trois cercles A, B, C.

Le cercle qui se trouverait louché extérieurement par A , B , C serait aussi réciproque commun à ces trois cercles, pour les mêmes raisons, et l’on en dirait autant de trois autres cercles langens qui seraient touchés d’une façon par deux des cercles A, B, C, d’une autre par le troisième.

Le problème suivant va d’ailleurs faire voir que les cercles A,

B, C ont une inlinilé d’autres cercles réciproques communs.

Problème : Tracer un cercle qui soit à la fois réciproque de trois cercles A, B , C placés d'une manière quelconque (P. VI , F. i).

Je détermine d’abord les trois centres de similitude D,D*, D' , puis je lire une droite DE, sécante commune de deux des trois cercles , de A , B par exemple. Libre de faire passer le cercle demandé par la sortie E ou par l’entrée de la sécante dans le cercle A, j’adopte le premier de ces deux points. L’entrée F, dans le cerclé B , sera donc un second point d’un cercle réciproque de A, B (taô).

Je mène alors FD", sécante commune de B, C. Afin que le cercle qui passera par E, F soit réciproque aussi de B, C, il doit passer en outre par l’entrée G de FD" dans C, puisque F est la sortie de la meme sécante, pour le cercle B. Mais trois poiuts suffisent à la ' détermination d’un cercle. Appliquant donc aux points E,F,G, le tracé du problènte (c) de la page 1 1 1 , j’obtiendrai le cercle EFGU qui sera réciproque de A, B, C à la fois.

« La eonstruction rend déjà le eercle EFGH réciproque de A et de B, de B et de C. Reste donc à démontrer qu’il est aussi réciproque de A et de C. Représentons-nous un des deux cercles qui , sont touchés de la meme manière par A , B, C. Ce cercle tangent est réciproque des trois autres(i5o), et comme D est centre radical de tous les réciproques de A, B, relatifs à ce centre de similitude (ia5), on pourra mener de D des tangentes égales au cercle tangent et au cercle EFGU. Pour des raisons analogues , il en sera de même du point D". Conséquemment, l’axe de similitude DD" sera l’axe radical du cercle tangent et de EFGII , cl du point D’ qui est sur cet axe , on pourra mener des tangentes égales au cercle tangent et à EFGH. »

« Tirons maintenant la sécante D'G cl admcttotis qu’au lieu de passer par H, elle sorte de EFGU en I. Une des tangentes égales menées de D' sera moyenne proportionnelle entre D'G et D'I (t 1 1). Mais celle qui appartiendra au cercle langent , égalera celle du réciproque de A et de C , tracé par la sortie G et l’entrée K de la sécante D'I , puisque D' est centre radical de tous les réciproques de A, C, relatif à ce centre de similitude. Celte tangente sera donc

ai

l6l TBACÉ DES CERCLES TAJfCERS.

moyenne proportionnelle entre D'G et D'K. Par conséquent, les produits D'GXD'I et D'G X D'K doirent être égaux (70). Or, leur égalité ne peut avoir lieu que dans le cas où les points K et I se confondent, et pour que ces points se confondent, il faut que D'G passe par H. Donc, les points G, II, où le ccfcle EFGIl coupe C , A , sont l'un la sortie, l’autre l'entrée d’une sécante commune tirée du centre de similitude ; donc , le cercle EFGlI est réciproque de A , C , comme il l’est de A, B, et de B, C; donc enfin, il est réciproque commun des trois cercles A, B, C. »

Les mêmes raisonnemens pouvant être faits pour toutes les autres sécantes communes menées comme ED, FD", il est clair que trois cercles ont une infinité de cercles réciproques communs, relatifs à leurs centres de similitude directe.

On ferait voir d’une manière analogue, que trois cercles ont une infinité de cercles réciproques communs relatifs à un quelconque des centres de similitude directe et aux deux centres de similitude inverse situés sur le même axe de similitude.

151. Tout axe de similitude est axe radical des cercles réciproques communs relatifs aux centres de similitude qu'il contient.

D’après la démonstration précédente, l’axe de similitude directe DD", par exemple (P. VI , F. i), est axe radical du cercle langent et de chaque cercle réciproque commun relatif aux trois centres de similitude directe. Il est donc aussi axe radical de tous les cercles réciproques communs- relatifs aux mêmes centres de similitude.

152. Nous pouvons maintenant nous occuper du tracé d’un cercle qui doit en toucher d’autres. Pour rendre les figures plus simples, nous supposerons que les cercles donnés soient séparés extérieurement j mais nos constructions seront aj>plicahles à tous les cas où le problème sera possible. Ainsi, soit que les cercles donnés se louchent, soit qu’ils se coupent, soit que les uns se trouvent entièrement renfermés dans les autres, on pourra toujours, s’il y a lieu , tracer un cercle qui les touche tous , en employant les procédés que nous allons exposer. 11 est trop facile de reconnaître si des cercles tracés peuvent ou ne peuvent pas être touchés à la fois par un autre , pour que nous entrions dans de longs détails à ce sujet.

Le tracé d’un cercle tangent à d’autres présente un grand nombre de cas : les cercles donnés sont au nombre de trois , ou bien il n’y en a que deux, ou bien l'on donne un seul cercle. Si le cercle demandé doit en toucher trois, on peut exiger en outre <|ue les contacts soient de même espèce ou d’espèces difîércntes; si nous n’avons que deux cercles , celui que nous chercherons auia un rayon déterminé, ou bien il devra , soit p.isser par un point donné, soit toucher une droite tr.actie. Si enfin nous n’axons qu’un seul cercle, le rayon et un point du ccrole demandé seront assignés, ou bien le rayon et une tangente au même cercle seront donné-s, ou bien ce

TRACÉ UKS CERCLES TAKGEMS. 1 G3

cercle devra, soit passer par deux points , soit passer par un point et toucher une droite , soit toucher deux droites.

Il n’est pas toujours possible de tracer un cercle qui en touche quatre autres, parce tpe, trois des tangences suffisant pour fournir le, centre et le rayon du cercle demande, couiinc on va le voir, il faudrait que le quatrième cercle fût dans telle position cl de tel rayon, qu’il se trouvât tangent à la circonférence décrite.

Prohl. (a) : Décrire un cercle qui soit touche de la même manière, par trois autres A, B, C (P. VI, F. a).

Marquez le centre de similitude directe D de A, B , et D' celui do B, C (p. ia4); tirez DD', axe de similitude directe des trois cercles donnés (i36)j lirez aussi la sécante quelconque DE, cl par son entrée F, menez FD'. Cette sécante coupera C en deux points; marquez son entrée G , si F est sa sortie dans B ; j)uis , faites passer une cû'confércnce o par les trois points E, F, G; elle coupera A,

B, C, en d’autres jwiints II, I, R qui vous donneront les cordes EU, FI , GK. Marquez les concours L, L', L" de ces cordes avec 1 axe DD'; menez par L deux tangentes à A ou marquez seulement leurs contacts M, N (probl. b, p. nfi); marquez aussi les contacts M', N' des deux tangentes de B qui se coupent eu L', et ceux M", N" des tangentes de C qui se croisent en L". Les points M, M', M" seront les contacts du cercle que A, B, C peuvent toucher intéricureno'iil ; iV, IV', IS" seront ceux du cercle que A,

B, C peuvent loucher extérieurement. Si donc vous tirez les ravous M.1, M'B, M 'C, ils se couperont en un point 0 centre du cercle touché intérieurement, et si vous menez les rayons AN, BN', CN", ils SC couperont en un point 0' centre du cercle touché extérieurement. Mais, il n’est pas nécessaire de distinguer à l’avance les contacts qui appartiennent au cercle 0 , de ceux qui concernent le cercle 0' ; il suffit.de tirer les six rayons que déterminent ces contacts; les points 0, 0' sont ceu.x où ils se coupent trois à trois.

Voici comment on peut démontrer la justesse de cette élégante construclion due à M. Poncelet. Les deux cercles tangens ü , O' et le cercle o sont réciproques communs de A, B, C cl récipro- '

ques relatifs aux trois centres de similitude directe (149); donc 1 axe de sumlitudc DD’ est axe radical de 0, O', o (i5r). Mais HE est I axe radical des cercles A, o (toi). Donc, L est le centre radical des quatre cercles A , 0 , 0', o ; d’où il suit que l’axe radical de A et de 0 ou leur tangente commune (i47) doit passer par L, et que la tangente commune de A et de 0' doit aussi passer par ‘

ce point. Conséquemment , les contacts des tangentes menées par L , au cercle A, doivent être ceux des cercles 0, O'.

On verrait de même cpic les langentes menées de au cercle B et de L" au cercle C , donnent les contacts de ces deux cercles avec 0 et 0'.

Le tracé porte avec soi sa vérification ; car , DD’ étant axe radical

l64 TRAC^ DES CERCLES TANfiE!«S.

des cercles 0 , 0', o , doit être perpeinJJculaire à la droite des centres , ou bien si l’on lire 00', cette droite doit passer par o et couper d’equerre DD'. On peut aussi examiner si les droites 5fM', NN' passent par D, si les droites MM", NIN" passent par D", si les droites M'M", N'N" passent par D' (i45).

Remarquez que si vous changez la position de DE, par exemple, en la faisant pivoter feur D, D'F pivotera sur D', HE sur L, IF sur L', KG sur L". Vous verriez aussi , en menant GH , que cette droite pivoterait sur D", centre de similitude directe de A , C. Cela tient à ce que les centres de similitude, ni les contacts, ni par suite les tangentes communes ne peuvent changer, en quelque endroit que soit pris le point E, tant que les trois cercles A, B, C conservent leurs rayons et leurs positiohs.

Probe, (t): Décrire un cercle qui soit touché extérieurement par trois cercles donnés , ou un cercle qui soit touché intérieurement par trois autres.

La seule différence qu’il y ait entre ce problème et le précédent, c’est que la nature des contacts est spécifiée. Le meme tracé doit donc être employé. Vous obtiendrez généralement deux cercles, mais il est facile de reconnaître lequel est celui qu’on a demandé.

Observez cependant que si le cercle C , par exemple , se trouve tout entier entre les deux autres A , B et entre leurs tangentes communes menées de D, il est impossible de décri un cercle qui soit louché intérieurement par A, B, C: les deux circonférences que donne alors le tracé, sont touchées extérieurement. Si C, encore tout entier entre les tangentes menées de D à A, B, laisse ces deux cercles du même côté, il est impossible de décrire un. cercle qui soit touché extérieurement par A, B, C: les deux circonférences qu’on obtient , sont touchées intérieurement. Si C étant entre les tangentes menées de D à A , B , est touché par l’une de ces droites , le tracé ne donne qu’un seul cercle. Si enfin C est touché par les deux tangentes , le problème est tout à fait impossible.

Probe, (c) : Décrire un cercle qui soit touché de la même manière par trois cercles de rayons égaux.

Le procédé du probl. (a) est encore applicable , mais il se modifie de telle sorte, qu’il devient extrêmement simple. On ne peut plus tracer DD'; EF est parallèle à AB; FG est parallèle à BC; les trois centres o , 0, 0' se confondent, et l’on détermine les six contacts, en menant à chacun des trois cercles , des tangentes parallèles à EH , FI, GK, ou plutôt en joignant o aux trois centres donnés.

On peut aussi se borner .i chercher le centre d’un cercle passant par les trois points A , B , C (p. i i i) , et à joindre ce point O où se trouvent aussi o et O' (F. 3) , avec chacun des trois centres donnés A, B, C. Alors, les droites OA , OB, OC sont égales, et puisque les rayons donnés sont égaux , il y a aussi égalité entre OM , OM', OM'', entre ON, ON', ON". Les points M, M', M" sont donc les

TRACÉ DES CERCIES TAXCESS. l65

contacts du cercle touché intérieurement , et N , N', N", ceux du cercle touché extérieurement (t^o et t4>)-

Probi. (rf): Décrire un cercle qui soit touché d'une façon par un cercle A , et d'une autre par deux cercles B , C (P. VI , F. 4).

Premier cas: La seule différence qu’il y ait entre la solution de ce problème et celle du probi. (a), c’est qu’au lieu d’employer les ^ois centres de similitude directe , il faut prendre seulement celui des' deux cercles B, C qui doivent toucher de la même manière, le cercle demandé , et se servir des deux centres de similitude inverse qui se trouvent en ligne droite avec ce point.

Ayant donc marqué D, centre de similitude inverse de A , B, et D' celui de A , C , vous tirerez l’axe de similitude inverse DD' et la sécante quelconqtie DE dont vous marquerez la sortie E et l’entrée F. Menez ensuite la sécante ED' et marquez son entrée G dans le cercle C ; décrivez une circonférence o qui passe par E , F, G j tirez les trois cordes En , IF, GR , qui joignent deux à deux ses six intersections ; des points L , L', L" où ces cordes coupent DD', menez des tangentes aux trois cercles donnés , et tracez des rayons par les six contacts M , M', M", N , N', lV"j ces rayons se couperont trois à trois en 0 , en O', et chacun de ces points sera le centre d’un cercle qui pourra être touché d’une façon par A, d’une autre par B, C. Il vous sera d’ailleurs facile de voir que O appartient au cercle touché intérieurement par A , extérieurement par B, C , et s’il y a impossibilité dans le problème , la construction vous en avertira.

Ce tracé se vérifie absolument do la même manière que le précédent, c’est-à-dire que la perpendiculaire abaissée de O sur DD', doit passer par 0' et par o, et que le principe i^G doit s’appliquer.

Deuxième cas: La marche est la même pour les deux autres cas que peut présenter le tracé d'un cercle tangent à trois cercles donnés. Ainsi, quand on voudra décrire un cercle qui soit touché dune façon par B et d une autre par A , C , on emploiera la droite qui passe parle centre de similitude directe de A, C, et parles deux centres de similitude inverse de B comhiné avec A , C , comme on a employé DD'. 11 y aura généralement aussi deux solutions : un cercle touché intérieurement, et un cercle touché extérieurement par A, C.

Troisième cas: Lorsqu’on voudra décrire un cercle qui soit touché d'une façon par C et dune autre par A , B , on se servira de la droite qui passe par le centre de similitude directe de A , B et par les deux centres de similitude inverse de C combiné avec A , B. Généralement, l'une des solutions donnera un cercle touché intérieurement par A , Bj l'autre , un cercle touché intérieurement par C.

Si vous rapprochez le probi. (n), des trois cas de celui-ci , vous verrez que le tracé d’un cercle tangent à trois autres , peut avoir huit solutions différentes qu’on obtient par quatre opérations analogues. Mais , il n’y a plus qu’une seule solution , quand on spécifie

l6G TOACé DES CERCLES TANCEES.

la nature des trois contacts, et quelquefois le problème est impossible.

H peut arriver que le cercle o coupe les cercles donnés en des points trop voisins , pour qu’on puisse tracer avec exactitude les cordes Eli, FI, GK; il peut se faire aussi qu’une de ces cordes, EH par exemple, aille couper fort loin l’axe de similitude DD'. Dans de semblables cas , on doit mener une autre sécante ED , pour obtenir un autre cercle o qui soit exempt de ces inconvéniens ^ mais on peut aussi se dispenser de tracer la corde EH , puisqu'on peut trouver les contacts du cercle A , une fois qu’on a les centres O, O', cl que pour obtenir ces derniers points J les contacts 31', M", N', N" suffisent. On pourrait meme se servir de la perpendiculaire abaissée de o sur DD', pour déterminer 0 , 0', s’il était impossible de marquer les contacts de B ou de C , au moyen de L' ou de L".

Probl. (e): Décrire un cercle d’un rayon connu AB qui soit touché extérieurement par deux cercles donnés C , D (P. VI , F. 5).

Portez le rayon du cercle C au bout de AB, de B en C', et avec AC' pour rayon, décrivez de C, un petit arc. Portez ensuite le rayon du cercle D au bout de AB, de B en D', et avec AD' pour rayon , décrivez de D , un autre petit arc qui coupe le premier. L’intersection E de ces drtnt-ares , sera le centre du cercle demandé ; car si vous menez EC, ED, ces droites, <|ui sont les distances de E aux deux centres donnés , seront égales l’une a AB plus CF, l’antre à AB plus DG, et il suffit , pour qu’un cercle en touche un autre extérieurement , que la distance des centres soit égale à la somme des deux rayons (i4o).

Celte construction montre que le tracé ne peut plus être exécuté, si les rayous des cerles donnés , joints au diamètre du cercle demandé ou au double de AB, forment une droite plus petite que la distance des cenir es C, D J car, dans ce cas , les petits arcs dont l'intersection doit donner le centre cherché , n’ont plus de point commun.

On voit aussi que le point E peut être marqué soit*d’un côté de CD, soit du coté opposé, et qu’il y a, par conséquent, deux cercles de positions différentes , qui satisfont aux conditions. Ce n’est que dans le cas où les petits arcs se louchent sur la droite CD , que le cercle demandé est unique.

Probl. (y) : Décrire un cercle <T un rayon connu AB , qui soit touché intérieurement par deux, cercles donnés C, D (P. 31 , F. 6).

Portez le rayon du cercle C , de B en C', et avec AC' pour rayon, décrivez de C, un petit arc. Portez ensuite le rayon du cercle D , de B en D', et avec AD' pour rayou , décrivez de D , un autre petit arc qui coupe le premier. L’intersection E de ces deux arcs sera le centre du cercle demandé ; car si vous menez par les centres , les droites EF, EG qui se terminent aux deux circonférences données, EiF se composera de ËC=AC' et de CF=BC', ou bien

TRACÛ DES CEECLES TANGEXS. j C7

EF sera égale à AB, rayon du cercle demandé; EG se composera de ED = AD' et de DG = BD' ou bien EG sera aussi égale à AB ; ce qui rend visible que EG est la diflcrence entre AB et le rayon CF du cercle C, et que ED est la différence entre AB et le rayon DG ' du cercle D. Or, c’est ce que veut le principe i4i, pour que le cercle décrit de È, avec un rayon EF ou EG ou AB, soit louché intérieurement par chacun des cercles donnés.

Celte construction nous apprend que le tracé ne peut plus être exécuté, si la distance des centres C , D eft plu^ crande que CED , le double de AB , diminue des rayons CF et DG , car alors les petits arcs dont l’intersection doit donner le centre cherché , n’ont plus de point commun.

Il est facile de voir en outre , que le point'E s’obtient soit d’un côté de la- droite des centres , soit du côté opposé , et qu’il y a deux cercles dépositions différentes, qui satisfont aux conditions. Dans un seul cas , le cercle demandé est unique : lorsque les deux petits arcs SC touchent sur la droite CD.

Probl. (g): Décrire un cercle d’un rayon connu AB, qui soit touché extérieurement par un cercle donné C, intérieurement par un second cercle D (P. VI, F. 7).

Portez le rayon du cercle C, sur le prolongement de AB, de B en C', et avec AC' pour rayon , décrivez de C , un petit arc. Portez le rayon du cercle D , de B vers A , en D', cl avec AD' pour rayon , décrivez de D, un autre petit arc qui coupe le premier. L’intersection E de ces deux arcs sera le cciilro cherché, et les points de contact seront en F et en G, sur EC , ED droites des centres , ce qui sc démontre comme pour les deux tracés précédons.

Il est visible que le trace n’esl plus possible , quand la distanee CD des centres donnés , est plus grande que CED , ou plus grande que la droite formée avec le rayon du cercle C et le double de celui du cercle demandé, diminué de DG.

Enfin , il y a comme ci-dessus , excepté dans un seul cas , deux cercles qui satisfont aux conditions.

Il est à peine nécessaire de faire observer que , pour appliquer les trois derniers tracés , lorsqu’on veut décrire un cercle quelconque qui en touche deux autres, il suffit de sc donner le layon AB arbitrairement , de manière pourtant qu’il ait une longueur qui convienne à la distance des centres et rende possible l’opération.

Probl. (A) : Décrire un cercle qui soit touché de la méqte manière par deux autres A^B, et qui passe par un point donné C (P. VI,

La construction du probl. {a) est applicable au cas présent; il ne s’agit que de regarder le cercle C de la figure o , comme réduit à sou centre. Les points D', D" se confondent alors avec C; DD' devient la droite DC (F. 8); FD' se. change en FC ; et le cercle o passe par E, F, C.

l6S TRACÉ SES CERCLES TA5GE.TS.

D’après cela , il est clair que pour exécuter le trace, il faut marquer le centre de similitude directe D des cercles donnés; mener une sécante quelconque DE; marquer son entrée F et sa sortie Ej faire passer un cercle o par les trois points C, E, F; tirer les cordes IlE, IF jusqu’à la rencontre de DC; mener par L deux tangentes au cercle A, ou marquer simplement leurs contacts M, N ; marquer aussi les contacts des tangentes qu’on pourrait mener de L' au cercle B ; enfin, joindre 31 et N avec A, M' et N' avec B. Les rayons MA , 31,'B s#coupcront en un point O qui sera le centre du cercle toucli^intérieurcment en M, 31', par A, B; les rayons AN, BN' se couperont en un point O' qui sera le centre du cercle touché extérieurement en N, N', par A, B; les trois points 0, o, O', devront se trouver sur une perpendiculaire à CD, et le principe i45 s’appliquera.

11 y a, comme dans le cas de trois cercles, des positions du point C qui changent le cercle 0 en un autre touché extérieurement; parfois aussi les deux cercks ü , 0' sont touchés intérieurement ; enfin, il arrive que le tracé ne donne qu’un seul cercle, et même qu’il n’en donne pas du tout. On peut prévoir ces aecidens, si l’on applique convenablement au cas qui nous occupe, les remarques faites dans le probl. (b).

Pnom.. (/): Décrire un cercle qûi soit touché différemment par deux autres A , B , c/ qui passe par un point donné C (P. VI , F. g).

Ce tracé ne diffère du précédent qu’en ce qu’il exige l’emploi du centre de similitude inverse des cercles donnés, au lieu du centre de similitude directe.

Remarquez que dans la figure g, comme dans la figure 8, les cercles 0, 0', o se coupent tous trois en deux points de CD. Il en doit être ainsi , quand ces cercles ne se touchent pas en C , puisque CD est leur a.xe radical commun (lai et i47)* De là, un autre moyen de vérifier si l’opération est exacte.

Probl. (le) : Décrire un cercle qui soit touché extérieurement par deux autres A , B et par une droite donnée CC (P. VI , F. i o).

Vous pouvez encore employer le procédé général du probl. (a), puisqu’il est permis de regarder la droite CC comme un cercle dont le rayon est plus grand que toute longueur imaginable (i ig). Commencez donc par déterminer les trois centres de similitude directe D , D', D" (> aC); joignez ensuite D' à l’entrée F de la sécante DE, pour avoir le point G; décrivez un cercle o qui passe par G, F et par la sortie E de DE; marquez enfin les points L, U, en tirant les cordes EH, FI. Ils vous serviront à obtenir les quatre contacts N , n , N', n', et ces contacts vous feront trouver deux centres 0', o', sur la perpendiculaire à DD", menée par o.

Le problème a donc deux solutions. Le point o' ne se trouve pas sur la figure; mais les droites qui doivent s’y couper, ont une de leurs extrémités marquée o'.

TRACÉ DES CERCLES TANCBAS. l6g'

Probe. (T) : Décrire un cercle qui soil touché par une droite CC et intérieurement par deux cercles A, B (P. VI, F. 1 1).

L’énoncé ne désigne pas la nature du contact de la droite, parce qu’une droite ne peut loucher une circonférence qu'extérieureinent. Ainsi, A, B toucheront d’une façon le cercle demandé, et CC le touchera d’une autre. Il faut donc employer le centre de similitude directe D de A, B, et les centres de similitude inverse I)', D'' de CC combinée avec les deux cercles (ti6). Du reste, le tracé s’exécute comme le précédent, et l’on trouve encore deux centres ü, o', sur la perpendiculaire à DD", menée par o.

Probl. (ni): Décrire wi cercle qui soit touché par une droite CC, extérieurement par un cercle A et intérieurement par un cercle B (P. V’I, F. la).

Premier cas: Puisque les deux cercles A, B doivent avoir des contacts d’espèces différentes, il faut marquer leur centre de similitude inverse D. Pour la meme raison, on prendra *ïe cerfire de similitude inverse D' de CC et de B. Mais, comme le cercle A et la droite toucheront de la meme manière, c’est leur centre de similitude directe D" qu’on doit employer. Tirez donc EDF, FD'Gj décrivez le cercle o , par les trois points E , F, G , et achevez comme dans les cas précédées. Vous trouverez encore deux centres O, O', .sur la perpendiculaire à DD", menée de o.

Deuxième cas: Enfin , il y aurait aussi deux cercles qui seraient touchés par la droite CC , intérieurement par A et extérieurement par B. Vous les obtiendriez en faisant pour B et pour A, ce qui vient d’élre' fait pour A et pour B. Ainsi , le tracé d’un cercle tangent à deux autres et a une droite, conduit généralement à huit solutions, comme le problème général (a).

Probl. (n) : Décrire un cercle de rayon connu AB , qui touche uh autre cercle C, eji un point donné D (P. VI, F. i3).

Joignez C et D par une droite ; portez AB , de D en E , sur le prolongement de CD, si les deux cercles doivent se toucher extérieurement J portez le même rayon de D en E', si l’un des cercles doit être touché intérieurement. Le point E ou le point E' sera le centre du cercle demandé (i4<> et i4t)- Il n’y a pour chaque espèce de contact, qu’une seule solution.

Probl. (o) : Décrire un cercle de rayon connu AB, qui touche un autre cercle C et passe par un point D donné hors de la cir~ conférence (P. VI , F. i4)-

Premier cas: Si le cercle demandé doit cire touché extérieurement , portez de B eu C' le rayon R de C ; puis décrivez un arc , du point C, avec AC', et un autre arc, du point D, avec AB. Les intersections E , E' seront les centres de deux cercles qui rempliront les conditions.

Effectivement , le centre du cercle demandé doit être sur le

1^0 TRACB DES CERCLES TANCEES.

prcmi«r arc, puisqroe la nature du contact exige que la distance des centres soit la somme des rayons; il doit être aussi sur le second arc, lieu des points éloignés de D, d'une distance AB.

11 n’y aurait qu’une solution , si la distance CD égalait R ■+• aAB ; il n’y en aurait point , si elle était plus grande.

Deuxième cas : Le procédé est le meme , lorsque le cercle demandé doit être touché intérieurement, à cela près qu'il faut retrancher de AB , le rayon R de C , en le portant de B en C”, et décrire le premier arc avec AC".

il n’y a qu’une solution pour ce cas, si la distance CD = aAB — R; il n’y en a point, si elle est plus grande.

Troisième cas : Le cercle donné doit être touché intérieurement.

Alors D est dans l’intérieur de ce cercle , et AB est moindre que R; mais on suit toujours le meme procédé, si ce n’est qu’il faut retrancher AB de R pour avoir le rayon du premier are.

II n’y a mi’une solution , quand la distance de D au centre C égale ^a diilerence de R et du double de AB ; il n’y en a point quand cette distance est moindre que R — aAB ou plus grande que aAB — R; il y en a une infinité quand elle est nulle.

Probl. (p) : Décrire un cercle de rayon connu AB , gui touche à la fois un cercle C et une droite DE donnés (P. VI , F. i5).

Le centre du cercle demandé doit être à une distance AB de la droite DE qui, sera, pomme tangente , perpendiculaire à l’extrémité d’un rayon. Elevez donc une perpendiculaire en un point quelconque de DE; portez-y AB, de D en F, et menez du point F, une parallèle à AB; elle passera par le centre cherché (67).

Premier cas: Le cercle demandé doit être touché extérieurement par C.

Décrivez un arc du point C, avec la somme AC' des r.ayons; il coupera la parallèle à DE, en des points G, C', centres de cercles qui satisferont aux conditions.

Comme on peut mener deux parallèles à une distance AB de DE , il y a quatre solutions , lorsque la distance CH du centre C à la droite, est moindre que R, rayon du cercle dontié. Si CH = R, il y a trois solutions; tant tpie CH est comprise entre R et R H- aAB , il y a deux solutions; si CH=R-+-aAB, il n’y a plus qu’une seule solution , et si cette distance est plus grande encore , toute solution est impossible.

Deuxième cas; Le cercle demandé doit être touché intérieurement par C.

Déerivez un arc du point C, avec la différence AC" des rayons.

On ne peut mener qu’une seule parallèle à une distance AB de DE, du moins il n’y en a qu’une qui puisse avoir un ou deux points communs avec l’arc. Les solutions seront donc au nombre de deux tout au plus, encore fandra-t-il pour cela que la distance CH soit comprise entre R et aAB — R. Egale à l’une ou à l’autre de ces longueurs , elle ne permet qu’une seule solution ; plus grande

TIIACB DES CEBCLES TAKGEKS. |yi

que la dernière, elle rend toute solution impossible. D'ailleurs, elle ne peut être moindre que R , sans que DE coupe les deux cercles.

Troisième cas: Le cercle C doit être touché intérieurement par le cercle demande.

Alors AH est moindre que R, et c’est R — AB qui est le rayon à prendre pour décrire l’arc. Mais , si aAB est plus grand que R , cet arc n’a de points communs qu’avec une des parallèles à DE, attendu que son diamètre aR — a.lB étant moindre que R^ est aussi moindre que a AB. Il ne peut donc y avoir au plus que deux solutions, encore faul-il pour cela que CU soit compris entre R et îAB~R; égale à l'une ou à l’autre de ces longueurs, la distance Cil ns ]>ermet plus qu’une solution ; plus grande que la première , elle rend toute solution impossible. D'ailleurs , elle ne peut être moindre que la dernière, sans couper le cercle demandé.

Si oAB=R, la distance Cil ne saurait varier qu’entre zéro etR: pour chacune de ces deux valeurs, il n’y a qu’une solution; pour une valeur intermédiaire, il y en a deux.

Si aAB est moindre que R, la distance CII a pour limites R et zéro. Pour C11=R, il y a une solution; quand Cil est comprise entre R et R — a AB, il y a deux solutions; pour C1I=R — ?AB, il y en a trois ; si CH est moindre , il y en a quatre.

Probe, (çf) : Décrire un cercle qui en Couche un autre A en B et passe par un point donné C (P. VI, F. iG).

Menez la droite AB, elle pttssera jjar le centre cherché (i38); joignez B, C, et au milieu de la droite BC , élevez une perpendiculaire DE ; le centre du cercle demandé se trouvera aussi sur cette perpendiculaire (43) ; il sera, par conséquent, au point E, rencontre de AE et de DE. Le rayon à prendre pour décrire le cercle demandé , est visiblement BE ou BC.

Faisons remarquer qu’ici le cercle qu’on doit tracer, est unique, parce qu’il y a trois conditions précises d'imposées: être tangent au cercle A en un point déterminé , passer par B et passer par C. Ces trois conditions sont tellement suriisatitcs pour le tracé , qu’il pourrait devenir impossible , si l’on prescrivait en outre que le cercle E touchât le cercle donné extérieurement ou intérieurement : la manière dont SC fait le contact , dépend absolument de la position de C par rapport

à B et à A.

Probe, (r): Décrire un cercle qui en touche un autre A et passe par deux points donnés B, C (P. VI, F. 17).

Elevez une perpendiculaire au milieu delà droite BC; d’un point quelconque o de cette perpendiculaire , décrivez une circonférence qui passe par R , C et qui coupe le cercle donné ; tirez la corde commune IIE, jusqu’à la rencontre du prolongement de BC ; marquez les contacts M, N des deux tangentes qu’on peut mener de L, an cercle A ; les points 0,0' où les rayons , iVN couperont la perpendiculaire à BC, seront les centres de deux cercles qui pas-