TRACÉ DES CERCLES TAACETS. I

« D’après la construction , les circonférences C , D ont mêm* rayon CD, et il s’ensuit que les droites CD, CE, DE sont égales. Si donc ou faisait passer une circonférence par les trois points

C, D, E, ils la diviseraient en trois arcs égaux, de 120° chacun. Par conséquent , les trois angles inscrits C , D, E sont chacun de 60“. Il en est de même des trois angles formés par CD, CF, DF. Ainsi , les arcs GI , IIK., indications des angles E , F, renferment chacun 60°. Mais l’angle ACH = DCF son opposé par le sommet , et l’angle ACG = ECD , pour la même raison. Donc , les arcs Ail , AG contiennent chacun 6o“, et l’arc GAII en contient lao. On verrait de même que l’arc KBI est de iao°. »

Appl. (y) : Si au lieu de partager la longueur AB en trois parties égales, on la partage en quatre (P. VI , F. 28), l’ovale sera plus alongée. Les points de division extrêmes C , D seront deux centres j pour avoir les deux autres, on tirera par le milieu de AB, la perpendiculaire EF et l’on prendra GE, GF égaux chacun à GD. De cette construction résultera que les arcs ILVI , IK, KBL, LIl seront chacun de 90°, puisque les angles C , F, D, E seront inscrits à la circonférence qui a G pour centre, GD pour rayon, et que chacun comprendra un diamètre (loi)-

Appl. (g); Les courbes dont nous venons d’enseigner le tracé, ne sont pas d’un aspect agréable pour un oeil exercé : elles ne font point de jarret, il est VTai ; mais les rayons des arcs qui se touchent , sont trop dilTércns l’un de l’autre, par rapport à la longueur du plus petit, pour qu’on n’aperçoive pas, à la première rue, que ces courbes ne sont point décrites d’un mouvement continu. Nous croyons donc devoir donner un procédé général, au moyen duquel on puisse éviter ce défaut, quand on le voudra.

« Supposons , pour prendre un exemple , qu’il s’agisse de former par des arcs de cercles , un cintre surbaissé dont AB soit la demilongueur , et BC la hauteur sous clef, mesure prise à partir de la ligne de naissance AB (P. VII, F. i). Je décris de B, deux quarts de cercle , entre AB et BC , l’un avec BA pour rayon , l’autre avec BC , et je divise ces deux arcs en un même nombre quelconque de parties égales. Par les points de division de chaque arc , je mène des parallèles au rayon de l’autre, ce qui me donne les points

D, E, F de la courbe demandée. Elevant alors une perpendiculaire au milieu de la droite AD, je prends le point G, où elle coupe AB, pour centre de l’arc de cercle qui doit joindre A et D. La rencontre de DG et de la perpendiculaire au milieu de la droite DE , me donne le centre II de l’arc DE. L’intersection I de Eli et de la perpendiculaire au milieu de la droite EF, est le centre de l’arc EF\ Enfin , à l’intersection K de FI et de CB prolongée, se trouve le centre de l’arc FC, c’est-à-dire que FK = KC ou que la perpendiculaire au milieu de la droite FC passe par le point K. »

« Vous comprendrez facilement qu’il suffît d’augmenter le nombre des divisions de chaque quarl de cercle, pour rendre encore plus faible la diilérence de deux ravons consécutiis, tels que UE, IF,

1^8 . nUCB DES CERCtES TAKCERS.

et ponr obtenir une courbe encore plus agréable à l’œil que celle ADEFC que je riens de tracer. Nous Terrons dans la géométrie des courbes, que les points D, E, F et tous ceux qu’on trouverait de la même manière, appartiennent à la portion d’ovale qui serait tracée d’un mouvement continu , entre A et C ; de sorte que c’est seulement à cause de scs arcs de cercle, que la courbe ADEFC diffère de celle-là. »

« Vous verrez bien aussi que si j’achevais l’ovale , je trouverais six nouveaux centres placés deux à deux, dans les trois autres angles droits que forment AB, CB et les prolongemens de ces droites, comme le sont H, 1 dans l’angle droit ABK. Mais, je n’obtiendrais qu’un centre analogue à G , qu’un centre analogue à K. J’aurais donc en tout douze centres différens et douze arcs , tandis que les deux circonférences B contiendraient seize parties égales chaeune. En général , le nombre d’arcs de cercle dont sc compose l’ovale entière, tracée d’après ce procédé, est toujours de quatre unités au-dessous du noiitbre des divisions qu’un fait dans chacune des circonférences entières décrites avec les rayons AB, BC. Si, par exemple, vous divisez chaque tpiart de cercle en six parties égales, les circonférences entières en contiendront vingt-quatre, et l’ovale sera composée de vingt arcs différens. »

Appl. (/i) : La ligne de naissance d’un cintre n’est pas toujours perpendiculaire aux arêtes des piédroits , même quand ces arêtes sont ^ verticales ou quand les piédroits n’ont pas de talus. Dans les arcades destinées à soutenir des rampes , par exemple , la ligne de naissance est inclinée sur l’horizontale, et de telles arcades ne peuvent pas être faites en plein cintre , parce qu’il serait impossible de tracer une demi-circonférence qui eût a la fois, pour points de contacts sur les arêtes parallèles des piédroits , les deux extrémités de la ligne de naissance qui leur est oblique (probl.a, p. 127). La courbe convenable est une espèce d’anse de panier j elle prend le nom d’arc rampant.

« L’arc rampant le plus simple ne se compose que de deux arcs de cercles raccordés; les trois données nécessaires à son tracé, varient selon les circonstances de construction où l’on se trouve. »

< Premier cas : La ligne de naissance AB est donnée de position et de grandeur; le raccordement doit se faire sur l’axe ou ligne' milieu CF de l’arcade (P. VII , F. 2). t

« La position de AB résulte de l’angle qu’elle fait avec AD, BE, arêtes verticales des piédroits. La grandeur de la, même droite détermine l’écartement de ces piédroits. Ainsi la figure DABË est toul-à-fait connue. »

« Marquez le milieu C de AB; menez par ce point, CF parallèle à AD; prenez CF égale à CA; abaissez de F, une perpendiculaire sur AB, et des points A, B, des perpendiculaires sur CF. Les points G, Il où les dernières couperont la première, seront les centres de deux arcs qui se raccorderont en F et toucheront les piédroits en A , B (i 4 1 et 106). »

TRACÉ DBS CERCLES TANGERS. 17g

< MenoQB FI , parallèle à AB , jusqu’à la rencontre du prolongement de AD. Celte droite iff égalera AC (65), et comme AI = CF=AC, FI et AI seront égales. Or, si l'on roulait décrire un cercle tangent en A , F, aux droites AI , FI, il suffirait d’élever en , ces points des perpendiculaires AG , FG : leur concours G déterminerait le centre, car les principes loG et io8 (3°) seraient satisfaits. D’ailleurs, ce qui se dit du point G, peut se dire aussi du point H. »

« Deuxième cas : La figne de sommité IK est donnée de grandeur et de position, par rapport aux piédroits ID, KE; le point F de raccordement est connu aussi (F. 3). 3>

« On appelle tigne de sommité, la tangente FI commune aux deux arcs (F. q). Cette droite n’est plus parallèle à la ligne de naissance’, lorsque le raccordement ne SC fait' pas au milieu. »

« Rapportez IF en IA et KF en KB (F. 3); les points A , B seront les contacts des arêtes des piédroits , puisque les tangentes IF , IA doivent être égales (io8). La droite AB sera donc la ligne de naissance, et vous pourrez achever comme dans le premier cas. » ,

« Troisième cas : La ligne de naissance AB est donnée de position et de grandeur; la direction de la ligne de sommité IK est connue r on sait, par exemple, qu’elle doit faire un angle de 45“ avec l’un ' AD des piédroits (F. 4)- »

« Tracez par un point quelconque I' du prolongement de DA, une droite l'K' qui fasse avec l'D , l'angle donné; rapportez l'A en l'F'et K'B enK'F"; puis, tirez AF', BF". L’intersection F de ces droites sera le point de raccordement, et vous pourrez achever comme dans le premier cas. »

« Il est clair en effet, que si vous menez IK parallèle à l'K’, KF— Ktf, comme K'F"=K'B (8i); que IF=IA , comme l'F' = l'A , et que par conséquent , les piédroits et la ligne de sommité IK pourront toucher en A, B, F, les arcs décrits des centres G, II. »

« Quatrième cas: La ligne de naissance AB', la ligne de sommité IB' et l’un des piédroits AD sont donnés de position (F. 5). »

« Rapportez IA en IF ; le point F sera le lieu du raccordement ; FG perpendiculaire sur AB' et AG perpendiculaire sur ID , donneront par leur concours G, le centre du premier arc. Rapportez GF en GL, sur le prolongement de AG; le concours B de FL et ■ de AB' sera l’autre extrémité de la ligne de naissance ; BE parallèle à AD sera l'arête intérieure du second piédrt|it; BU parallèle à AL, déterminera le centre II du deuxième arc. »

« Effectivement, IIB = HF, comme GL = GF. {^T'^oyez un procédé général , aux applications des polygones réguliers.) »

Appt. (/) : Il ne faut ajouter que peu de chose au premier de ces tracés , pour en tirer un procédé propre à la formation d’une ovale , sur deux droites égales AB, F/" qui se coupent par le milieu, en faisant un angle quelconque (F. a). On voit effectivement, que les Ijuatre centres G, H , g, /i se trouvent aux intersections de perpendiculaires

igo TBAcé DES CERELES TARGENS.

abaissées de chacune des extrémités A, B, F, y des deux droites données, sur l’une et l’autre de cd^ droites.

Appe. (k) : Comme l’architecture «t plusieurs autres arts fout un grand usage de la -volute ionique, et que celte courbe se compose d’arcs de cercle , je crois utile de joindre son tracé aux applications qui précèdent.

« On se donne la distance du point de départ A au centre B de ropi7(P. VII, F. 6). Cet œil est un cercle que l’inventeur de la volute ibnique y a placé , pour éviter la difBculté de la terminer par un point. Le rayon BC a pour longueur | de AB. Après avoir décrit l’œil, tirez perpendiculairement au diamètre CD qui passe par A (F. 7) , un second diamètre EF ; tirez aussi les cordes CE , ED, DF, FC ; menez par le centre B, des parallèles à ces cordes j numérotez leurs intersections, en allant de gauche à droite et en commençant à celle de CE; divisez les droites i.3, 2.4 en six parties égales chacune et numérotez les premiers points de division , puis les deuxièmes , en suivant l’ordre précédent et en commençant par 5 sur Bi; enfin, du point i (F. 6), avec la distance i.A pour rayon, décrivez un arc qui se termine en G, sur le prolongement de la droite 1.2 ; du point 2 , avec 2. G, décrivez un arc qui se termine en II, surle prolongement de la droitc2.3 ; du point 5, avec 3 .H, décrivez un arc qui se termine en I , sur le prolongement de 3 .4 ; du point 4 , avec 4*1 > décrivez un arc qui se termine en K , sur le prolongement de la droite 4-5 ; du point 5 , avec 5. K , décrivez un arc qui se termine en L , sur le prolongement de 5.6, et continuez toujours ainsi. La volute sera terminée, quand vous aurez décrit un arc du point 12, avec 1 2 .R pour rayon. Ce dernier arc rencontre la circonférence de l’œil ; mais la rencontre a Heu en un point qui précède C de très-peu , et elle se fait de telle sorte qu’elle ne diffère pft beaucoup d’un raccordement ou d’une tangence. C’est pour qu’il en soit ainsi et pour que la volute ne se resserre pas trop rapidement , qu’on discontinue de prendre les points i, 2, 3, 4 pour centres (F. 7), après la première révolution , c’est-à-dire quand on est revenu à la droite i.A: la courbe ferait à peu près une révolution de moins, si l’on n’employait pas les points 5, 6, 7, etc., et le dernier arc couperait la circonférence de l’œil de telle façon , que les tangentes de ces deux courbes , au point d’intersection , feraient entre elles un assez grand angle. »

« Si l’on veut donner un filet à la volute , il faut marquer des points a , b , c , d, aux^uarts des divisions i.5, 2^6, 3. 7, 4-8; des points e, J", etc., aux quarts des divisions 5. 9, 6.10, etc.; un point T, au quart de AV; puis décrire, comme précédemment, une nouvelle volute qui commence eu T et qui ail pour centres, les points a, b, c, d, e,f, etc. Cette courbe se rapprochera de plus en plus de la prcmfèvc, le filet diminuera continuellement de largeur, et il finira par se réduire, pour ainsi dire, à un trait, vers le point C.

oyez un procédé général, aux applications des polygones réguliers.) »

POHMATION BT CQMBmAISO:* DES FÀCBS. l8l

Appl. (/); Nous terminerons CCS applications, parle tracé de la courbe que les architectes appellent oe»e, à cause de sa ressemblance avec le profil d’un œuf, et dont ils font souvent usage pour l’oruument des corniches.

« Soit AB la plus grande largeur de love (P. VI, F. 29). Vous élèverez une perpendiculaire au milieu C de cette droite j vous diviserez l’une des moitiés, en deux parties égales, pour avoir AD longueur des | de AB; puis, vous porterez cette longueur de A en E et de B en F, sur le prolongement de AB. Décrivez alors une circonférence du point C , avec CA pour rayon ; martpiez les milieux G, Il des quarts de cercle AI , BI ; des points E, F avec EB pour rayon, décrivez des arcs BR, AR' qui se terminent aux droites EG , FH prolongées ; des points G , U , avec GR pour rayon , décrivez deux arcs qui se coupent en L , sur le prolongement de CI ; marquez le milieu M de IL; menez les droites G\, 110 qui se croisent en M et s’arrêtent aux deux derniers arcs. Enfin , du point M , avec MN pour rayon , décrivez l’arc NO ; l’ove AR'ONRBPA sera terminée. »