QUADRILATÈRES

Deux choses suffisent , comme tous voyez , pour déterminer un rectangle , et en eflet , le parallélisme dés côtés opposés et la perpendicularité des concourans, sont trois conditions à remplir qui complètent les cinq conditions nécessaires à la détermination d’un quadrilatère (*8a).

196. Un rectangle a deux axes de symétrie parallèles à ses côtés concourans: ce sont les droites EF, III (P. VIII, F. i) qui joignent les milieux des côtés npposés (8o). Eflectivement , ADFE , CDIIl sont des rectangles et peuvent se rabattre sur BCFE , BAIU (95).

Le point G , intersection des diagonales , est aussi celle des axes de symétrie; car G est le milieu de chaque diagonale (187), et les deux axes de symétrie passent nécessairement par ce point, puisqu'ils passent l'un par le milieu E de AB , l’autre par le milieu H .de BC (78).

intersection G des axes de symétrie et des diagonales d’un rectangle, est à la fois centre de symétrie et de figure: Elle est centre de symétrie , parce que les axes se coupent d'équerre , comme les côtés concourans (igi); elle est centre de figure, parce que l’égalité de GA, GB, GC, GD fait qu’une circonférence décrite de G, avec GA, passerait par les quatre sommets du rectangle (5).

197. Le rapport de deux rectangles ABCD , EFGH qui ont même hauteur ÀD ou EU , est égal à celui de leurs bases CD ,

, GH (P. VIII, F. a).

Supposons qu’on ait CD T GH T C 3 t a ; si l’on partage CD en trois parties égales et GH en deux parties égales, les premières auront même longueur que les secondes. Par les points de division I, K, L, soient élevées IM, RN , LO perpendiculairement sur les bases CD , GH ; il en résultera les rectangles ADIM , IRNM , CKKB , HLOE , LOFG dont les bases seront égales et qui auront même hauteur. Ces cinq rectangles seront donc équivalens ( 1 90). Or, ABCD en contiendra trois, EFGH en contiendra deux; le petit rectangle sera donc les deux tiers dn grand , et l’on aura ABCD ; EFGH C r 3 * a. On sent bien qu’il en serait de même pour tout autre rapport des bases. '

198. Nous concluons de là que le rapport de deux parallélogrammes ou de deux triangles de même hauteur, est égal à celui de leurs bases; car le parallélogramme est équivalent au rectangle de même base et de même hauteur; le triangle est la moitié. d’un rectangle , quand les bases sont égales ainsi que les hauteurs , et les moitiés de deux choses ont le même rapport que ces choses.

199. Le rapport de deux rectangles quelconques ARCSi , DEFG (P. VIII , F. 3) est égal à celui des produits de leurs bases DC , DG

3o8 quadrilatères.

multipîîéts chaeme par I9 hauteur correspondante ; c’est-à-dirt; que ABCD ! DEFG C î CD X AD I DG X DE , ces ligues étant exprimées en nombres , au moyen d’une même mesure.

On peut toujours placer les deux rectangles , de manière que la bouteur DE de l’un , soit le prolongement de la base CD de l’autre.

On petit aussi prolonger les côtés AB, EF, jusqu’<à ce qu’ils se rencontrent ; il en résulte un troisième rectangle ADEH qui a même bautcur AD que ABCD et aussi même hauteur DE que DEFG, car il est visible qu’on peut prendre, pour hauteur d’un rectangle , indilTéremment l’un ou l’autre de ses côtés inégaux.

D’après cela et en vertu du n° 197, on aura

, ABCD : ADEH CD : DE ADEH.-DEFG AD;DG

Multipliant, nous obtiendrons (yS)

ABCD X ADEH : ADEH X DEFG : : CD X AD : DE X DG.

Divisant les deux termes du premier rapport par ADEH , ce qui ne 1

le change pas, on obtient enfin ^ •

ABCD : DEFG CD X ad: DG X DE. ■

-200. Le raisonnement du n” 198 s’applique encore ici, et par •conséquent , le rapport de deux parallélogrammes quelconques ou de deux triangles, est égal à celui des produits de leurs bases multipliées chacune par la hauteur correspondante. ^

Problème : Tracer sur une droite donnée AB , un rectangle qui aoit équivalent à un rectangle donné CDEF (P. VIII , F. 4).

> Cherchez une quatrième proportionnelle aux droites AB , CD I -et DE (probl. b , p. 9a) ; elle sera la hauteur du rectangle demandé.

Il ne s’agira plus que d’élever, par les extrémités de AB, deux perpendiculaires AG, BII à cette droite , dé les faire égales à la hauteur trouvée , et de joindre leurs deux autres extrémités par une droite GII.

Le rectangle ABHG sera équivalent au rectangle CDEF. '

En effet , AB : CD l : DE : AG , puisque le côté AG est égal à la quatrième proportionnelle; faisant le produit des extrêmes et celui des moyens, on obtient ABXAG = CDXDE (70). Mais, le rapport de deux rectangles est égal à celui de leurs bases multipliées chacune par la hauteur correspondante (199), On a donc aussi ABIIG : CDEF : : AB X AG : CD X DE , et parce que le second rapport est i , le premier est 1 aussi, d’où il suit que la superficie de ABHG équivaut à celle de CDEF.

Si la position du rectangle demandé est indifférente, on peut résoudre le problème sur le rectangle donné CDEF (F. 5). Prolongez un des côtés, EF par exemple, et portez-y la droite donnée, de F en B ; joignez B à C , et menez par E , une parallèle à BC. *

Vous trouverez ainsi FG, pour la quatrième proportionnelle nécessaire, car FB : FE I : FC : FG (79); vous n’aurez donc plus

QVADBILATBRES«

i{u’à tracer GH parallèle à FB , et BU parallèle à FG , ponr achever le rectangle demandé BFGII. j

Appl. (fl) : Le rectangle est la figure qu'on donne ordinairement aux faces des pierres taillées, des briques, des pièces de charpenterie , d’une foule de produits en fer^ en bois , en verre, en carton , en tissu, etc., etc. Une maison régulière ou chacune de ses parties principales , présente presque toujours un rectangle pour projection horizontale, pour son plan par terre. Une route bien droite, une portion rectiligne de canal sont de grands rectangles. Il est donc très-nécessaire d’étudier les propriétés dont nous venons de noua occuper. *

Appl. (b): £n faisant passer un trait de scie selon l’une des diagonales d’un rectangle, on obtient deux équerres qui sont trèsjustes ou dont les angles sont vraiment droits , si les petits côtés du rectangle ont été tracés avec exactitude, perpendiculairement^ aux grands. C’est ainsi que se font presque toiq'ours les équerres de dessinateur.

201. CxuBÉ: Le parallélogramme ABCD (P. VIII, F. 6) dont les quatre angles sont droits, comme ceux du rectangle, et dont les quatre côtés sont égaux, comme ceux du. losange, est appelé carré. Les propriétés du carré doivent donc participer de celles du rectangle et de celles du losange. Ainsi , nous pouvons établir sans autre démonstration , les principes suivans ;

Les droites FG , HI qui joignent les milieux des côtés opposés d’un carré , ou plus simplement les lignes milieux d'un carré, sont des axes de symétrie (196).

L’intersection E des diagonales^ d’un carré , est un centre de symétrie et de figure.

Les diagonales AC , BD d’un carré, ont même longueur, se coupent à angles droits et sont des axes de symétrie ( f g3).

Donc , le carré a quatre axes de symétrie qui le dioiseAt en huit triangles rectangles égaux (167).

PuOBi. (fl) : Construire un carré. (P. VIII , F. 6).

Tracez deux droites AC , BD qui se coupent d’équerre ; portez sur chacune, à partir de l’intersection £ et des deux côtés, une même longueur arbitraire; puis joignez deux à denx les quatre points A, B, C, D que vous obtiendrez ainsi. Le quadrilatère ABCD sera un carré , puisqu’il aura des diagonales égales qui se couperont d’équerre et par le milieu.

PaoBL. (ô) : Construire un carré dont la longueur L des côtés est donnée (P. VIII , F. 7)-

Traeez deux droites qui se coupent d’équerre en A ; décrivez de ce point et d’im rayon arbitraire, un quart de circonférence, dan» wt des angles droits formés; tirez la corde BC de cet arc, et

a 10 QCiSHllATÈRES.

portez la longnewr L de B en Dj, menez par D, une parallèle à BA ; la partie AE qu’elle déterminera sur AC , sera la moitié de la diagonale du carré. Vous n’aurez donc plus qu’à porter AE de A en F, en G, en H, et à joindre deux à deux, les points E , F, G,, H.

Le quadrilatère EFGH sera un carré , parce que ses diagonales seront égales et se couperont d’équerre, par le milieu. D’ailleurs, le côté EF est parallèle à BD , parce que AE = AF comme AC=AB (8o), et conséquemment, EF = BD ou L (65).

202. Pour entendre ce qui Ta suivre, il faut savoir que le produit* d’un nombre multiplié par lui-méme , est dit le quarré de ce nombre. Ainsi 7 X 7 ou 49 est le quarré de 7. Ce produit porte le nom de quarré, parce que, comme on le verra bientôt, il représente dans la cdmparaison des superficies , celle du carré qui aurait pour côté une droite contenant autant de mesures qu’il y a d’unités dans le nombre qu’on multiplie par lui-méme. Mais , pour qu’il n’y ait jamais équivoque entre le quarré numérique et le carré quadrilatère , nous écrirons le premier par qu et le second par c.

Ceux qui possèdent bien le livret on la table de multiplication , savent par coeur les carrés des lu premiers nombres. Nous allons néanmoins les écrire, parce qu’il importe que tous ceux qui pratiquent la géométrie , puissent trouver le carré d’un petit nombre , sans la moindre hésitation.

Nombres: i, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, jo, ii, 12.

Quarrés : 1, 4; 9) >6, uS, 36, 49> 64, 81, 100, 121, i44-

Quant aux nombres qui surpassent 1 2 , on obtient leurs quarrés en multipliant , comme à l’ordinaire , chacun de ces nombres par lui-même.

On ne peut connaître le carré numérique d’une ligne qu’après l’avoir mesurée ; if faut donc convenir d’im signe, pour représenter le quarré d’une ligne qui n’est pas encore mesurée ou dont on ne peut, pour le moment, exprimer la longueur par un nombre. L’usage est d’écrire le chiffre 2 vis-à-vis et à droite d’un petit trait qu’on place au-dessus des lettres qui indiquent la ligne. Ainsi , le quarré de la droite AB est représenté, d’après cette convention, par AB', ce qui se prononce: AB çuuiré ou AB deux, LecliilTre 2 moBlre qu’on pourrait écrire AB X AB.

Loi ni! LA UATtmE (a): notion des quarrés des nombres est

bien plus importante qu’il ne semble au premier aperçu , et pour le faire sentir, il nous suffira de dire que la plupart des grandes lois de la nature sont de vrais rapports de quarrés. Ainsi , la force qui précipite les corps vers le point milieu de la Terre , qui les fait liomber sur la surface, qui produit leurs poids, cette force qu’on nomme la pesanteur ou ia gravité, agit, à 1 extérieur dp globe, en