ABC (P. VIII, F

Partagez la base on la hauteur du triangle , la ha Aur AD par exemple, en deux parties égales; cherchez une moyenne proportionnelle à la moitié de AD et à la base BC (p. i a3) ; puis construisez sur cette moyenne CI ou EF, le carré EFGH. Vous aurez BC 1 EF ! r EF 1 3 AD ou BC X | AD = EF’, et par conséquent EFGH == ABC, puisque (304) EFGH : ABC .*: ËF’.* BCX^AD.

QUASULATSUS. ai3 '

Pbobl. (c): Corner tir vn earré ABCD en triangle (P. VIII,

F. lo). '

Prolongez un des côlds , BC par exemple ; portez BC de G en E , et tirez AE. Le triangle ABE renfermera la même superficie que le carré donné, puisque sa base BE sera double de BC base du carré, et qu’il aura même hauteur AB (ao4)> '

Appl. (a): Le carré se trouve, comme le rectangle, dans une foule de produits des arts. Les deux petites faces des règles qu’on appelle carre/e/s, sont des carrés égaux. Il s'ensuit que les huit j^lites arêtes des deux bouts sont égales entre elles et que les quatre grandes faces ont même largeur, ce qui fait qu’on peut tracer dès parallèles équidistantes , en faisant tourner un carrelet sur chacune de ses longues arêtes successivement.

Appl. (i>): Les dés .à jouer présentent un carré sur chaque face; il en résulte que toutes les arêtes d’un dé sont égales et que ce petit corps n’a pas plus de propension à tomber sur une face que sur une autre, quand toutefois il n’est pas pipé , c’est-à-dire quand une de ses moitiés n’est pas plus pesante que l’autre.

Appl. (c) : Les cases d’un damier ou échiquier sont des carrés égaux , placés à côté les uns des autres , entre des droites parallèles AB, CD, etc. , AE, FG, etc. , (P. VllI, F. 1 1). Comme la diagonale AU partage l’angle CHF en deux parties égales (aoi et ipS), elle partage de la même manière l’angle lUK qui est l’opposé au sommet de CHF; par conséquent, le prolongement de AH fait la diagonale du carré KHIL, et par suite, la diagonale de chacun des carrés qu’il traverse. '

« D’après cela, la diagonale FI passe par M et par Pi; de sorte que FIMPf est une parallèle à AO , puisque ces lignes sont droites et qu’en outre AF est égal et parallèle à PN (6G). Les droites GQ et KR sont aussi parallèles , pour la même raison ; il en est de même de GQ et de AK; par conséquent, AK et KR ne forment qu’une seule droite. On en dirait autant des diagonales des rectangles composés de trois carrés , de celle des rectangles composés de quatre carrés, et ainsi de suite. »

< Lors donc qu’on veut planter, des arbres de manière qu’ils forment des allées dans tons les sens , il faut les disposer en échiquier, en quinconce; c’est-à-dire qu’il faut tracer sur le terrain, des parallèles équidistantes qui coupent à angles droits des parallèles équidistantes aussi , et autant écartées que les premières puis planter un arbre à chaque intersection. C’est ainsi qu’ont été formées les belles allées de notre esplanade. »

Appl. (rf) : Les cardes planes sont composées de pointes égales, implantées en quinconce sur une planchette. Il en est de même des herses , afin qu’elles divisent mieux les mottes.

Appl. (c): Si vous tracez à la suite l’un de l’autre, deux carrés égaux ABCD, CDEF (P. VIII, F. ta), et que vous décriviez quatre arcs AE, BF, AB, EF qui aient pour centres, les points C, D

ai4 poircoinis.

elles intersections 6, H des diagonales, vous formerez une ovale composée d’arcs de 90° (aoi) qui sera moins alongée que celle de la figure 28 (P. VI et page 177). Cela tient à ce que les arcs extrêmes sont plus grands , par rapport aux arcs du milieu , dans l’ovale ABFE que dans l’ovale AIKBLH.

Appl. (/) : Si vous tracez trois carrés de suite et que vous tiriez les diagonales non parallèles des deux carrés extrêmes, 'le trapèze symétrique ABCD qui en résultera, sera le plan d’une cheminée à la Rumfort (P, VIII, F. i3).

, Ap(l. (g): Le cas peut se présenter où vous ayez à entourer d’un cercle , un espace évidé ou rempli d’eau , ou présentant tout autre obstacle qui empêche soit de marquer le centre, soit de faire circuler un compas à curseur, un cordeau, etc. Voici comment vous pourrez alors tracer à fort peu près une circonférence.

« Construisez ■ un carré ABCD (P. VIII, F. i4) dont le côté égale le diamètre du cercle, et qui renferme l'espace donné. Divisez chaque côté en douze parties égales ; numérotez celles de AB, CD, en kllant des extrémités au milieu, et celles de AD, BC, en allant du milieu aux extrémités; joignez ensuite chaque point de division d’un demi-côté , à celui qui porte le même numéro sur le demi-côté suivant: joignez, par exemple, le point 6 de A6, au point 6 de Ai et' de B I ; le point 4 de A6 , au point 4 de A i ; etc. Les intersections des droites i.i «t 1.1, de 1.1 et 3.3, de 3.3 et 4-4} seront les points d’une courbe très-peu différente de la circonférence qui aurait son centre au centre du carré (201) et qui toucherait les quatre côtés aux points milieux i, i, 6, 6. Vous n’aurez donc plus qu’à joindre ces points à la main; vous pourriez aussi y planter des pointes, des piquets, les uns un peu en dedans, les autres un peu en dehors , et faire usage d’une règle ployante engagée de champ entre ces piquets.

Poljrgones.

Après les quadrilatères , viennent le pentagone, face limitée par cinq lignes droites qui se coupent deux à deux; Y hexagone , face limitée par six côtés ; Yheptagone qui a sept côtés ; Yoctogone qui en a huit ; le décagone qui en a dix ; le dodécagone qui en a douze et le pentédécagone qui en a quinze. Les autres polvgones n’ont pas de noms particuliers qui soient usités ; on les distingue ordinairer* ment, en exprimant par un nombre, combien ils ont de côtés : on dit , par exemple , le polygone de treize côtés.

Nous allons d’abord considérer, d’une manière générale, les polygones qu’il nous reste à étudier ; ce que nous en dirons conviendra même au triangle et au quadrilatère. Viendront ensuite les tracés particuliers et les propriétés les plus importàntesi(de cpielques polygones employés dans les arts.

205\ Un polygone a toujours autant d’angles que de côtés.

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POLTGOXES.

ai5

Cela résulte de ce que deux extrémités de côtés se trouvent réunies au même sommet d’angle, chaque angle étant formé par deux côtés qui se coupent; car il suit de là que le nombre des angles est égal à la moitié des extrémités des côtés, et comme chaque côté a deux extrémités, le nombre des angles doit être le même que celui des côtés.

206. Tout polygone est partagé en autant de triangles , moins deux , qu’il a de côtés, par des diagonales menées d’un des sommets A, à tous les autres (P. VIII, F. i5).

II est visible en effet, que les triangles extrêmes ABC, AEF renferment chacun deux côtés du polygone, et que tout autre triangle n’en renferme qu’un. Par conséquent, si l’on ne compte pas les côtés AB, AF, il y aura autant de triangles que de côtés restans , ou bien il y en aura autant , moins deux , que le pol^one a de côtés. Ainsi, le polygone ayant six côtés, est partagé en quatre triangles.

207. La somme de tous les angles intérieurs d’un polygone, est égale à autant de fois deux angles droits, qu’il reste de côtés quand on ôte a de.leur nombre total (P. VIII, F. i5).

L’angle A du polygone se trouve partagé entre tous les triangles , l’angle B appartient au triangle extrême ABC , l’angle C est partagé entre les triangles ABC et ACD; il en est de même des angles' suivans , à l’égard de ACD et des autres triangles ; enfin , l’angle F fait partie du triangle extrême AEF. Donc , la somme des angles du polygone, est égale à la somme des angles des triangles. Or, la somme des angles de chaque triangle vaut deux angles droits (iSy), et il y a autant de triangles moins deux, que de côtés (ao6). Donc, pour avoir la somme des angles du polygone , il faut prendre deux angles droits autant de fois qu’il reste de côtés , quand on ôte i de leur nombre total. Ainsi, le polygone ABCDËF ayant 6 côtés, a pour somme de ses angles , 4 iois a angles droits ou huit angles droits ou 720 degrés. '

D’après cela , la somme d^ angles d’un quadrilatère , est 2 fois a angles droits ou 4 angles droits , comme nous l’avons déjà établi (tSa).

Toutefois, il faut observer que le principe qui vient d’être démontré , concerne seulement les polygones à angles saillans. Pour >

qu’il fût applicable à ceux qui ont des angles saillans et des angles rentrans , comme ABCDEFG dont l’angle AGF est rentrant (P. VIII, F. 16), il faudrait admettre qu’un angle pût avoir pour indication plus de 1 80*. Mais , nous ne considérerons jamais de tels ‘ polygones sans en prévenir. Dans ceux dont nous nous occuperons ordinairement, tous les angles seront saillans; ou bien, ce qui est la même chose, une ligne droite ne pourra jamais rencontrer le contour en plus de deux points.

POLYGOinS.

ai6

r 208. Xa somme de tons les angles extérieurs d’ibi polygone quel» conque, formés par les côtés prolongés dans le même sens, est égale à quatre angles droits; car à chaque sommet A (P. VIII , F. 1 5) , il y a un angle intérieur et un angle extérieur BAG qui raient en somme deux angles droits (iSy), et comme un polygone a autant de sommets que de côtés, la somme de tous les angles, tant intérieurs qu'extérieurs, rant autant de fois deux angles droits qu’il y a de côtés. Or, les intérieurs font autant de fois deux angles droits, que l’indique le nombre de côtés, diminué de deux (207); il ne reste donc pour les angles extérieurs, que deux fois deux angles droits ou quatre angles droits.

Problème : Convertir un polygone quelconque ABGDE en un triar^le équivalent (P. VllI, F. 17).

FWmez un des triangles extrêmes du polygone, en menant la diagonale AC ; tirez par le sommet B , une parallèle à AC , qui aille rencontrer en F le prolongement de DCj joignez A, F, et tous aurez le triangle AFC qui sera équivalent au triangle ABC , puisqu’ils auront meme base AC et seront compris entre parallèles (iQu). Supprimant donc ABC et ajoutant AFC, vous obtiendrez le polygone AFDË qui sera équivalent au polygone ABCDE et aura un côté de moins , attendu que les deux côtés AB , BC se trouveront remplacés par AF. Maintenant, tirez la diagonale suivante AD; menez par F , une parallèle à AD , qui aille rencontrer en I le prolongement de ED ; vous formerez le triangle AID qui sera équivalent au triangle AFD. Vous pourrez donc, au quadrilatère AFDB, substituer le triabgle AIE , et avoir pourtant la même superficie.

Il est visible au reste , que cette construction pourra toujours être continuée jusqu’à la dernière diagonale du polygone, et qu’on finira conséquemment dans tous les cas, comme dans le précédent, par trouver un triangle équivalent au polygone donné.

On pourrait aussi mener par E, une parallèle à AD jusqu’à la rencontre du prolongement de CD. Le triangle AKF ainsi formé, serait' équivalent aussi au polygone ABCDE.

Polygones RÉGULIERS : Un polygon^d’espèce quelconque peut avoir tous ses angles égaux et tous scs côtés égaux : dans ce cas il est dit régulier. Les polygones réguliers ont des propriétés fort importantes pour l’industrie. Nous avons déjà étudié deux de ces polygones : le triangle équilatéral et le carré ; ce qui va être dit leur est applicable , comme à ceux qui ont on plus grand nombre de côtés.

Noos appellerons polygones réguliers pairs, ceux dont le nombre de côtés est exactement divisible par deux , et nous nommerons les uatTes, polygones réguliers impairs. Ainsi, le carré, l’hexagone, etc., seront des polygones pairs, et le triangle, le pentagone, etc., seront des polygones impairs.

209. La circonférence qui passe par trois sommets consécutifs^

POLTGOXES.

ai7

A, B, C d'un polygone régulier, passe nécessairement par le suivant D (P. VIII, F. i8).

En effet , les angles B , C . sont égaux et tous deux inscrits ; ils doivent donc comprendre entre leurs côtes , des arcs de meme longueur (98). Or, l’angle B comprend toute la circonférence, moins les arcs AB, BCj l’angle^ comprendra donc toute la circonférence, moins deux arcs égaux à AB, BC. Mais déjà le côté BC de l’angle C est corde de l’are BC; par conséquent, une partie de l’autre côté formera la corde d’un arc égal à l’arc AB, ou bien cette partie sera de même longueur que AB, côté du polygone; en d’autres termes, la circonférence qui passe par A , B , C , passe aussi par le sommet D , seul point de CD qui soit autant éloigné de C, que A l’est de B,

On démontrerait de la même manière que la circonférence qui passe par A , B, C , D , passe aussi par le sommet suivant E.

Conséquemment , la circonférence qui passe par trois sommets consécutifs d’un polygone régulier, passe aussi par tous les autres.

Une circonférence qui prend tous les sommets d’un polygone quelconque, est dite circonscrite à ce polygone, et le polygone est dit inscrit à cette courbe.

Problème : Circonscrire une circonférence à un polygone régulier.

Cherchez, en employant le tçicé du problème c (p. iii), le centre et le rayon de la circonférence qui passe par trois sommets consécutifs A, B, C (P. VIII, F. 18); cette circonférence étant décrite , passera par tous les auttes , et sera conséquemment circonscrite au polygone.

210. La circonférence qui touche en leurs milieuxG, H, deux côtés consécutifs AB, BC dun polygone régulier, est nécessairement tangente au milieu du côté suivant CD (P. VIII, F. 18).

Nous commencerons la démonstration , en faisant observer que la circonférence tangente aiLX milieux des côtés AB , BC , est concentrique à la circonférence circonscrite ; car le centre de l’une , comme celui de l’autre , est déterminé par le concours O des perpendiculaires au milieu de AB et au milieu de BC (107). Ainsi , OB , OC , OD , rayons de la circonférenee circonscrite, peuvent être considérés comme concourant au centre de la circonférence tangente en G et en H.

Or, les triangles BOC, COD sont égaux (164), et par suite, l’angle OCD = OCB. Si donc nous abaissons de 0, une perpendiculaire 01, sur CD, les deux triangles rectangles CIO, ClIO seront égaux (166), parce que le troisième angle COI de l’un égalera le troisième angle COU de l’autre (p. 1 85). Il s’ensuit que 01 = OU , que la circonférence tangente en G , II , passe par le point I , et qu’elle )■ touche le côté CD (106). D’ailleurs, I est le milieu de co côté qui forme une corde de la circonférence circonscrite (q3).

On démontrerait de la même manière, que la circonférence qui touche les trois côtés AB, BC, CD, en leurs milieux, est aussi

POLYGOITES.

tangente au milieu de DE. Conséquemment , la circonférenet qui touche en leurs milieux, deux côtes consécutifs <T un polygone régulier, est tangente aux milieux de tous les autres.

Une circonférence tangente à tous les cotés d’un polygone quelconque, est dite inscrite à ce polygone, et le polygone est dit circonscrit à cette courbe. ^

Donc, d'après la démonstration précédente, la circonférence circonscrite cl la circonférence inscrite à un polygone régulier, sont concentriques. Le centre commua est aussi celui du polygone (i8i).

PnoBLÈMB : Inscrire une circonférence à un polygone régulier.

Il s’agit au fond de décrire une circonférence qui touche deux concourantes AB, BC, en leurs milieux (P. VIII, F. i8). Ce cas particulier du problème d (p. i4>)j résout au moyen de la première opéraliou du problème b (p. iSp), qu’il suffit de faire (deux fois; ou plus simplement, élevez une perpendiculaire au milieu de AB , élevcz-cn une autre au milieu de BC ; leur concours O sera le centre de la circonférence demandée, et OG ou OH en sera le rayon (107).

211, Certains sommets d’un polj’gone régulier pair sont dits opposés; ce sont ceux entre lesquels se trouve la moitié des côtés. Par exemple. A, D sont des sommets opposés, dans l’hexagone de la ligure 18 (P. VllI), parce qu’il y a entre eux trois côtés: AB,BC,CD.

Un polygone régulier pair a aussi des côtés opposés: ce sont ceux qui sont séparés , comme AB , DE , par la moitié des autres côtés.

Un polygone régulier impair n’a ni sommets opposés , ni côtés opposés; mais dans cette sorte de polygone, un sommet A est dit opposé .1 un côté , ou le côté est opposé au sommet, lorsque la moitié des autres côtés se trouve entre eux. Par exemple, le sommet A du pentagone de la figure 1 9 (P. VllI) est opposé au côté EF et rcciproqucmcut ce côté est opposé au sommet A, attendu qu’il y a entre eux, deux côtés AC, CE, moitié des quatre autres côtés du polygone.

212. Les diagonales qui joignent les sommets opposés d’un polygone régulier pair , sont diamètres de la circonférence circonscrite