P. VIII, F

Il y a effectivement autant de côtés du polygone à droite qu’à gauche de la diagonale AD (‘2> >)i ces côtés sont ég^ux et il en est de même des arcs don! ils forment les cordes. Par conséquent , AD partage la circonférence circonscrite c|i deux parties composées d’un même nombre d’arcs égaiix ; ces deux parties sont donc égales, et Al) est un diamètre.

Il s’ensuit que les diagonales qui joignent les sommets opposés d’un polygone régulier pfi(r, sont axes de symétrie et hisectrices

poiyGo:ras.

des angles qu'elles divisent; car la superposition par rabattement, des deux moitiés delà circonférence circonscrite, opère visiblement celle des deux parties du polygone formées par AD (g3).

Remarquez que le nombre des axes de symétrie qui forment diagonales, égale la moitié de celui des sommets ou des côtés, puisque chacun joint deux sommets opposés.

213. Les côtés opposés AB, DE d'un polygone régulier pair, « sont parallèles (P. VIll, F. i8); car les angles alternes- internes BAD , EDA sont égaux , puisque la diagonale AD est bisccirice des angles A , D , et qu’il y a égalité entre tons les angles d'un polygone régulier.

214. On appelle lignes milieux d’un polygone régulier pair, les *

. droites qui joignent les milieux des cotés opposés.

Les lignes milieux d'un polygone régulier pair sont diamètres de la circonférence inscrite.

En effet , les perpendiculaires abaissées du centre O , sur les côtés opposés AB, DE (P. VIII, F. i8), forment une seule ligne droite puisque ces côtés sont parallèles (Sy). D'ailleurs, ces perpendiculaires passent par les milieux de Àfi , DE , et sont rayons de la

circonférence inscrite , puisque cette circonférence est tangente aux

milieux de tous les côtés (107).

Il s’ensuit que les lignes milieux d'un polygone régulier pair sont axes de symétrie; car la superposition par rabattement, des deux moitiés de la circonférence inscrite, opère visiblement celle des deux parties du polygone formées par une ligne milieu.

Si vous remarquez que le nombre des lignes milieux est moitié de celui des côtés du polygone ; si vous rapprochez de cette remarque, celle qui termine le n"ui2, et si vous observez qu'un polygone régulier pair ne peut avoir pour axes de symétrie , que scs lignes milieux et les diagonales qui joignent les sommets opposés , vous conclurez que tout polygone régulier pair a autant d’axes de symétrie que de côtés. *

Il est facile de voir que le rabattement opéré autour d’une ligne milieu GK, superposerait OC sur OF ; pa r conséquent, les angles COG, FOG sont égaux, et GK est d’équerre sur CF (5g). Ainsi, les lignes milieux sont perpendiculaires chacune sur un des axes de symétrie qui forment diagonales , et par suite , le centre d’un polygone régulier pair est centre de sj-métrie (igj)-

21s. Ixs perpendiculaires abaissées des sommets, sur les câté.t » opposés d’un polygone régulier impair , passent toutes par le centre / de la circonférence circonscrite (P. VIII, F. 19). ’

En effet, ACE = AGF, puisque les deux parties AC, CE du premier de ces arcs , sont égales aux deux parties AG, GF du second.

Les cordes- AE , AF ont donc même longueur , et le point A est f autant éloigné de Ë que de F. Or, une perpendiculaire AI dont un

. Digîtized by Goc^Ie

aïo

point est à égales distances des deux extrémités d’une droite EF, doit passer par le milieu de cette droite (43). Conséquemment, et en vertu du principe q3 , la perpendiculaire AI passe par le centre O de la circonférence circonscrite et du polygone.

Il s’ensuit que les perpendiculaires abaissées des sommets, sur les côtés opposés d’un polygone régulier impair, sont axes de symétrie et hiscctrices des angles quelles divisent; car la superposition des deux moitiés de la circonférence circonscrite , produite par un rabattement exécuté autour de AI , opère visiblement celle des deux parties correspondantes du polygone (gS).

On reconnaît facilement que les perpendiculaires qui peuvent être abaissées des sommets, sur les côtés opposés d’un polygone régulier impair , sont en nombre égal à celui des côtés , et que le polygone ne peut avoir d’autres axes de symétrie. Par conséquent, tout polygone régulier impair a autant d’axes de symétrie que de côtés.

Ge principe combiné avec son analogue du n° ai4, fournit cet autre qui est bien plus général : Tout polygone régulier a autant d’axes de symétrie que de côtés. Mais, il convient d’observer, en l’employant, que les axes de symétrie d’un polygone régulier impair sont tous de même espèce , tandis cpie la moitié de ceux d'un polygone régulier pair sont des diagonales égales , et l’autre moitié , des lignes mlienx plus courtes, mais égales aussi.

Les axes de symétrie d’un polygone régulier impair sont tous de même longueur; car tous se composent , comme Al , d’un rayon AO de la circonférence circonscrite et d’un rayon 01 de la circonférence inscrite.

Un polygone régulier impair na point de centre de symétrie: en d’autres termes, aucun de ses axes de symétrie n’est d’équerre sur un autre ; car si l’angle lOH pouvait être droit, l’angle opposé F du quadrilatère FIIOl devrait l’ctre aussi, puisque les deux autres angles H, I le sont (182). Or, de tous les polygones réguliers, le carré est le seul dont les angles soient droits.

216. Tout angle tel que AOB (P. VIII, F. 18), qui, dans un polygone régulier, est formé par des rayons de la circonférence circonscrite, menés aux extrémités d’un côté, s’appelle angle au centre.

Les angles au centre d'un même polygone régulier sont égaux entre eux.

Ainsi, A0B = B0C = C0D, etc. Cela tient à ce qu’ils comprennent, sur la circonférence circonscrite, des arcs AB, BC, CD , etc. , qui sont égaux , ayantpour cordes , les côtés du polygone régulier (3 1 ).

PnOBi. (a) : Trouver l’indication de l’angle au centre dun polygone régulier.

Puisqu’il y a autant d’angles au centre que de côtés , la somma de leurs indications fait 36o“, et puisqu’ils sont égaux , l’indication

Digiti/^ed by CoogU