Le rapport de Vangle intérieur dm polygone régulier

POLTGOXSS.

à V angle extérieur et à Vangle au centre, est totgours la moitié

du nombre des côtés diminué de t,

« Représentons le nombre des côtés par n. L’indication de l'angle

intérieur pourra, d’après le probl. b (p. aai), être exprimée par

i8o”X(«— a) i8o* Il J r 1

- zr: X (n — 3): celle de 1 angle extérieur et

n II ^ '

de l’angle au ceuire sera, d’apres le problème c qui précède,

36o» j8o»Xa >8o° « , , j

X 3. Un aura donc , pour le rapport de ces

deux indications et pour celui des angles , — ^ X (n — a) ! X 3 .

Slais, on peut diviser les deux termes d’un rapport par un même nombre, sans l’altérer (tg). Divisant donc les deux termes de >80“ n— a ^

celui-ci, par on obtient n — 3 T a = — ^ — , c’est-à-dire la

moitié du nombre des côtés diminué de 3 , pour le rapport de l’angle intérieur d’un polygone régulier, à l’angle extérieur et à l’angle au centre. >

Ainsi, le rapport de ces angles, dans le triangle équilatéral, 3 — a I ... ... ...

est — ^ — ~ 2 > *1^* signifie que 1 angle intérieur est la moitié

de l’angle extérieur ou de l’angle au centre. Le même rapport,

dans le carré, est '= — = i , ce qui indique que les trois angles

sont égaux; dans le pentagone régulier, il est — — = -, c’est-à-dire

que l’angle extérieur ou l'angle au centre est les -I de l’angle inté-

rieur. Pour l’hexagone régulier , le rapport est — ^ a , ce

qui montre que l’angle intérieur ABC (P. VIII, F. 18) est double de l’angle extérieur CB?f et double de l’angle au centre AOB.

218. Un grand nombre de produits des arts ont pour faces, des polygones réguliers , et notamment des triangles équilatéraux, des ^ carrés, des pentagones , des hexagones , des octogones et des décagones. Il est donc nécessaire de savoir tracer ces figures. On peut employer deux procédés généraux : l’un ne sera exposé qu’à l’article de la similitude des polygones; l’autre est fondé sur la définition même des polygones réguliers.

PnoBLBME : Tracer un polygone régulier.

Tirez une droite AB égale en longueur au côté du poh'gone (P. VIII, F. 3o); faites à l’extrémité B de cette droite, un angle > égal à l’angle intérieur (p. 45), dont vous déterminerez l’indication comme il a été dit dans le probl. b (p. 33 1); portez la longueur donnée AB sur le second côté de cet angle; à l’extrémité C qui en résultem, faites encore un angle égal à. l’angle intérieur, et .

POLYGONES

continuez toujours ainsi, jusqu’à ce que vous ayez le nombre de côtés exigé.

Mais , cette méthode a l’inconvénient de ne pas ramener toujours exactement au point de départ A, ou de donner un polygone qui ne se ferme pas avec précision , ce qui provient des petites erreurs que l’on commet dans le tracé des angles, il existe des procédés particuliers plus courts et plus exacts , pour le tracé des polygones employés dans les arts. Déjà vous connaissez ceux qui sent rclalifs au triangle équilatéral el au carre (p. i88 et 209). Nous allons exposer les autres, et nous enseignerons en même temps, comment on inscrit dans un cercle donné, les polygones usités j pour plusieurs, l’opération dépend des principes sui\aus?