Si deux polygones, réguliers ont un côté commun FG, et

aa4 # poLTconis.

gue le nombre des côtés de l’un soit double de celui de Vautre, le centre du grand ost sur la circonférence O circonscrite au petit, à l’extrémité C du diamètre IIC perpendiculaire au côté commun

(P. vm, F. 19).

« Puisque le grand polygone a un nombre de côtés double de celui du petit, le nombre des parties formées par les sommets, sur la circonférence circonscrite au premier , est double du nombre des parties de la circonférence circonscrite au second. Chaque arc de la grande circonférence contient donc seulement moitié des degrés d’un arc FG de la petite O. L’angle au centre du grand polygone ne vaut donc que moitié de celui du petit, et par conséquent (98), le premier angle est inscrit à la circonférence O. Comme d’ailleurs le côté d’un polygone régulier et les côtés de l’angle au centre forment un triangle symétrique , le sommet de cet angle du grand polygone doit se trouver sur la perpendiculaire au milieu du côté commun FG (43). Ce sommet ou le centre du grand polygone est donc en C, le plus éloigné des deux points où le diamètre IIC, perpendiculaire au côté commun (95), rencontre la petite circonférence circonscrite O. »

Lors donc que l’on connaîtra le côté FG d’un polygone régulier et le centre O d’un autre polygone régulier qui , avec le même côté , aurait un nombre d’angles moitié moindre , on trouvera le centre C du grand polygone , en élevant une perpendiculaire HO au milieu de FG et portant le rayon OF de O en C , sur cette perpendiculaire. La droite CF donnera ensuite le rayon de la grande circonférence circonscrite.

Probl. (a) : Inscrire un triangle équilatéral dans un cercle donné

(P. VIII, F. ai).

Décrivez d’un point A quelconque de la circonférence , avec une ouverture de compas égale au rayon , un arc qui coupe la courbe en deux points B , C ; portez la corde BC de B en D , et joignez deux à deux , les trois points B , C , D. Le triangle BCD ainsi formé , est équilatéral^ car les arcs AB, AC sont de 60° chacun (a 19); l’arc BAC et l’arc BD sont, par suite, chacun de iao°j il reste iao“ pour l’arc CD , et les trois cordes sont égales (a3).

- PaoBL. (ô): Inscrire un carré dans un cercle donné (P. VIII, F. a a).

Tracez un diamètre AB ; élevez par le centre , un second diamètre CD perpendiculaire au premier ; joignez enfin les extrémités de ces diamètres , en tirant les cordes AC , BC , BD , AD. Le quadrilatère inscrit ACBD est un Carré, puisque les diagonales se coupent d’équerre par le milieu et sont de même longueur (201).

PaosL. (c): Tracer un hexagone régulier (P. VIII, F. 18).

De chaque extrémité du côté AB donné ou pris à volonté , décrivez avec ce côté pour rayon , deux petits arcs de cercle qui se coupent

poLYGoma.

aaS

en O ; décrivez enanite de O, avec la même ouverture de compas , une circonférence ; vous pourrez porter celte ouverture cinq fois de suite sur la courbe, en partant de A pour aller à B, suivant le plus grand arc, et si vous tirez les cort^psdes arcs que vous marquerez ainsi, vous obtiendrez un polygone fermé ABCDEF qui sera Tbezagone demandé (a 19 et 98). ‘

PnoBL. (d): Inscrire un hexagone régulier dans un cercle donné.

Il faut prendre le rayon de ce cercle; le porter six fois de suite, comme corde , sur la circonférence ; et joindre chaque point ainsi marqué, aux deux points les plus voisins (a 19 et 98).'

Probl. (e) : Tracer un octogone régulier (P. VIII , F. a3).

Elevez au milieu du côté AB, donné ou arbitraire, une perpendiculaire CD; portez EB, de E en F, puis FA, de F en D, et du point D ainsi trouvé, décrivez une circonférence, avec une ouverture de compas égale à DA. Le côté AB pourra être porté huit fois de suite, comme corde, sur la courbe; de manière que si Ton est parti de A , par exemple , on reviendra exactement à ce point.

Le point D est effectivement le centre de l’octogone régulier dont AB est le côté, si F est le centre du carré qtii a aussi AB pour côté (aai). Or, la figure aa montre bien que la distance EF du centre E au côté BD d'un carré, est précisément égale à la moitié ■ BG ou BF du côté (aoi).

Probi,. (/) : Inscrire un octogone régulier dans un cercle donné (P. VIII, F. aa).

Tracez deux diamètres perpendiculaires AB , CD , puis deux autres HI, KL parallèlement aux cordes qui uniraient les extrémités des premiers , et joignez aux deux points voisins , chacun des huit points ainsi marqués sur la circonférence. Le polygone AKDHBLCI que vous formerez, sera l’octogone régulier qui peut être inscrit dans le cercle E.

En effet, HI parallèle à BC est perpendiculaire à AC et passe par le milieu de l’arc de cette corde (loi et g3). Mais l’arc AIC = CLB = BHD = DKA: ce sont des quarts de cercle. Leurs moitiés AI,

CL, etc. sont égales aussi , et par suite, les côtés AI, IC, CL, etc. , du polygone ont même longueur (»3). D’ailleurs, les angles de ce polygone sont égaux, étant tous inscrits et comprenant le même • nombre de parties de la circonférence (98).

Probl. (g) : Tracer un octogone régulier dans un carré donné ABCD (P. VIII, F. ai).

On pourrait y parvenir en inscrivant une circonférence au carré (p. a 18): les contacts et les points où la courbe se trouverait coupée par les diagonales , seraient les sommets de l’octogone régulier ; mais , ce procédé ferait perdre beaucoup de matière.

ag

POLTCOIfES.

aift

Pour tirer du carré le plus grand octogone régulier qu’il puisse fournir , il faut tracer les deux diagonales AC , BD , puis porter AF , la moitié de l’une , de A en F et en G , de B en II et en I , de C en K et en L, enfin de D en M et en N.

« Le polygone FKIMLGNII ainsi obten,u, est effectiTement un octogone régulier. D’abord, les côtés du carré étant égaux, doirent donner des restes égaux , quand on en retranche des longueurs égales. Donc, AU, BF, BK, Cl, etc. sont égales; les triangles rectangles NAH, FBK, etc., sont symétriques; les angles AjVH, AIIN, BFR, etc., sont chacun de 45’ (tSg et 5i), et il reste i35% indication de l’angle intérieur. de l’octogone régulier (p. 221), pour chacun des angles intérieurs de l’octogone formé. » 1

« Mais , le triangle EDN est symétrique aussi , puisque DN =DE , et son angle D est de 45”, puisque la diagonale du carré est bisec— trire. Il reste donc i35“ pour la somme des . deux angles DNE, DENj'et 67° 3o' pour chacun. Par conséquent, l’angle ENH est est aussi de 67° 3o'. Il en est de même pour les angles NHE, EDF, £FH, etc. Ainsi, les angles du triangle ^£11 sont éganx à ceux du triangle FEU, et comme ces triangles ont un coté commun EU, ils sont égaux (166); d’où il suit que NH = HF. On démontrerait do la même manière-, que HF“FK, que FK = KI, etc.; conséquemment, l’octogone obtenu est régulier. »

* Pbobi. (K) : Tracer un décagone régulier (P. Vtll , F. 25).

A l’une des extrémités du côté AB , donné ou arbitraire , élevez une perpendiculaire BC égale à la moitié de AB ; de C comme centre, avec CB pour rayon, décrivez une circonférence; menez par lo • centre , la sécante AF ; décrivez une circonférence , avec cette sécante pour rayon, et vous pourrez porter AB dix fois de suite, comme corde, sur cette courbe.

Cette construction étant absolument la même que celle du problème de la page i36, divise la sécante AF en moyenne et extrême raison au point D; de sorte que AF I DF U DF î AD. Or,

DF = AB; par conséquent, AB se trouve être la plus grande partie du rayon AF divisé en moyenne et extrême raison. Si donc vous rapportez AB ou FD de F en G, la corde FG sera celle do 36° (220) et le côté du décagone régulier qui peut être inscrit dans le cercle A.

• PnoBL. (i) : Inscrire un décagone régulier dans un cercle donné (P. VIII, F. 26).

Tracez deux rayons perpendiculaires AB , AC ; décrivez une circonférence D dont AC soit le diamètre ; tirez BD qui coupera la circonférence D en £, et rapportez BE de B en F et en G. Les arcs BF , BG seront de 36° (220) , parce qu’ils auront pour cordes, la plus grande partie BH du rayon AB divisé en moyenne et extrême raison (p. >36); donc cetfe droite BH pourra être portée dix fois de suite dans le cercle A , et donnera le décagone régulier inscrit.

P01TGO5CT.

Pbobl. (k) : Tracer un pentagone régulier (P. VIII , F. o5).

Décrivez la circonférence pour laquelle le côté AB, donné ou arbitraire, du pentagone est corde de 3G“ (probl. A), et après avoir rapporté AB ou FD, de F en G, abaissez du centre A du décagone régulier inscrit , une perpendiculaire AH sur FG. Le centre du pentagone qui doit avoir aussi FG pour côté, sera sur AU , à égales distances de A et de G (un)- Si donc vous élevez une perpendiculaire IK. sur le milieu de AG , le point K où elle coupera AH,, sera le centre de la circonférence circonscrite au pentagone demandé. Ainsi , il ne restera plus qu’à décrire celte circonférence et à y porter cinq fuis de suite la corde FG>

pROUL. (/) : Inscrire un pentagone régulier dans un cerele A donné (P. VllI , F. oO).

'Cliercliez la corde BH de 36° (probl. i) , et après l’avoir rapporte» de B en F et eu G, joignez ces deux points. La corde FG sera celle de l’arc de yu", cl par conséquent, le côté du pentagone régulier iuscrit(a 1 6). Vous tracerez doue ce jrenlagone , en portant FG quatre autres fuis de suite, sur la circonférence A.

Probl. (m) : Tracer un dodécagone régulier (P. VIII , F. 37).

Elevez une perpendiculaire DE au milieu du côté AB , donné ou arbitraire ; puis marquez-v le point C, en décrivant un arc BC , de l’une des extrémités de AB, avec celte droite pour rayon. Ce point C sera le centre de l'hexagone régulier qui aurait aussi AB pour côté (a 1 9). Si donc vous décrivez de C, avec CA , un arc de cercle , le point D où il rencontrera DE, sera le centre du dodécagone régulier demandé (aai). Ainsi , vous pourrez porter AB douze fois de suite , sur la circonférence décrite de D , avec DA pour rayon.

Probl. («): Inscrire un dodécagone régulier dans un cercle B donné (P. VIH, F. 38),

Tracez deux diamètres AD, CE perpendiculaires ; décrivez de A , avec AB , un arc qui coupe en deux points , la circonférence donnée j faites la même opération au.x points C, D , E; lirez les cordes des douze arcs ainsi obtenus, et vous aurez le dodécagone régulier inscrit.

H suffit de démontrer que chaque arc est de 3o° ; car il s’ensuivra que les côtés sont égaux et les angles aussi. Or , l’arc AC est de 90°, l’arc AF est de 60°, et CF=rAC — AF =1:90° — 6o°=:3o°. Ou verrait de même que AG contient 5o“. Quant à FG , cet arc vaut AC — CF — AG = 90° — 3o° — 3o° = 9o“ — 3o°X 3= 90° — 60* = 5o°. Ainsi des autres.

Probl, (o^ : Tracer un pentédécagone régulier.

Si le côte est donné, il faut avoir recours au procédé général qui a été exposé page 333, ou mieux, à celui qui résulta dg la similitude des polygones. {K oyez plus loin cet article.)

MLTGONBS.

aaS

Si le côté du pentédécagone n’est pas donné , décrÎTea une circonférence quelconque A (P. VIII, F. o6); cherchez la corde BH de 36'* (probl. j), et après l’avoir rapportée de B en F, rapportez de B en I , le rayon BA qui est la corde de 60°. La droite FI sera

I précisément le côté du pentédécagone régulier qu’on peut inscrire dans le cercle A., et pour tracer ce polygone, vous n’aurez plus qu’à porter FI quatorze autres fois de suite , sur la circonférence A.

Effectivement, l’arc FI = BI — BF = 6o° — 36°=:24°, arc qui est la quinzième partie de la circonférence.

% PnoBt. (p) : Inscrire un pentédécagone dans un cercle donné.

Faites les mêmes opérations que pour le problème précédent.

• Probl. (ç) : Tracer un polygone régulier d’un nombre de côtés quelconque, au moyen d’un autre dont le nombre de côtés est moitié moindre. ,

Circonscrivez une circonférence au polygone donné (p. 217); divisez en deux parties égales (p. i la), un des arcs égaux AC, CE, etc. compris entre deux sommets (P. VIII , F. ig); puis employez, par exemple, AB, corde de la moitié de l’arc AC, pour marquer les milieux des autres arcs, et joignez chacun de cca milieux, aux • sommets voisins du polygone donné.

Le grand polygone ABCDE..,.. ainsi formé, aura un nombre de

côtés double de celui du petit polygone ACE ; de plus, il sera .

régulier, car tous ses côtés seront égaux (aS) et ses angles aussi, puisqu’ils comprendront le même nombre de parties égales de la circonférence (98).

L’application du tracé qui précède,’ aux polygones que nous Bavons construire et inscrire exactement, nous permettra d’opérer le tracé et l’inscription d’un grand nombre d’autres. Ainsi , l’octogone régulier nous fournira le polygone régulier de 16 côtés; au moyen de ce dernier, nous obtiendrons le polygone régulier de 3a côtés , et par suite, les polygones réguliers de 64, *28 côtés, etc.

Du décagone régulier, nous déduirons les polygones réguliers de 30, 4o, 80, iCo cotés, etc. ,

Le dodécagone régulier donnera succcssiviement les polygones réguliers de 24, 48, 96, 192 côtés, etc.

' Enfin , avec le pentédécagone régulier , nous tracerons les polygones réguliers de 3o, 60, 120, 240 côtés, etc.

• Probl. (r) : Tracer un polygone régulier dun nombre de côtés quelconque , au moyen d’un autre qui a un nombre de côtés double.

Joignez par une droite, les extrémités différentes A, C, de deux côtés AB, BC qui se rencontrent (P. VIII , F. ig); faites la même opération sur le couple des côtés suivans CD , DE , et sur tous les autres couples.

Il est clair que le polygone ACE.,., ainsi formé, aura moitié moins de côtés que le polygone régulier donné ABCD..., D’ailleurs,

P0LTC05ES.

11 sera régulier aussi; car si vous circonscriver une circonférence au grand polygone, les côtés du petit seront cordes d’arcs égaux (a3), et scs angles, tous inscrits, comprendront le même nombre de parties égales de la circonférence (98).

* Pbobi.. (s) : Tracer un des polygones réguliers qu’on ne sait pas inscrire géométriquement.

Si le côté est donné, vous serez obligé d’employer le procédé, de la page -xii. Si le côté est arbitraire, vous pourrez décrire une circonférence quelconque , et essayer une ouverture de compas , puis une autre, puis une troisième, etc., jusqu’à ce que vous en ayez trouvé une qui puisse être portée comme corde, sur la courbe, exactement autant de fois que le polygone doit avoir de côtés.

On peut agir de même pour inscrire , dans un cercle donné , un polygone régulier autre que les précédens.

Mais un procédé qui consiste en essais incertains, en vrais tâtonnemens , est bien loin de valoir un tracé géométrique : il exige presque toujours beaucoup de temps ; il gâte le dessin , s'il s’agit d'une opération sur le papier, et le plus souvent il ne donne qu’un à peu près assez grossier , parce que le dessinateur , impatienté de ne pas réussir, prend le parti de partager l’erreur, comme le lui indiquent ses yeux.

Vous devez donc préférer le tracé géométrique suivant, qui, tout approximatif qu’il est, conduit toujours à un résultat d’une exactitude bien suffisante : on le connaît sous le nom de procédé des, deux erreurs contraires.

Soit proposé , pour exemple , d’inscrire un heptagone régulier dans le cercle A (P. VIII, F. 09). Faites une première supposition, en regardant comme le côté clicrclié, une droite qui vous semble un peu trop grande pour être rerue sept fois dans la circonférence A ; cette première supposition sera , si vous voulez , le côté de l’hexagone régulier inscrit. Essaycz-la , en la portant sept fois comme corde , à partir d’un point quelconque B. Au lieu de revenir juste à ce point, vous le dépasserez, vous commettrez une erreur totale en plus qui sera l’arc BC et vaudra sept fois l’arc d’erreur simple en plus. Tirez alors une droite B'E égale à la première supposition, et au point B', élevez une perpendiculaire B'C' égale à la corde de l’erreur totale BC.

Faites ensuite une deuxième supposition , en regardant comme le côté cherché, une droite qui vous semble un peu trop petite pour être reçue sept fois dans la circonférence A f cette seconde supposition sera, par exemple, le côté de l’octogne régulier in.scrit. Essaycz-la, en la portant sept fois comme corde, à partir du point B. Il vous sera impossible de revenir à ce point ; vous commettrez une erreur *

• totale eu moins qui sera l’arc BD et vaudra sept fois l’arc d’erreur simple en moins. Portez alors la seconde supposition de E en B"} puis par le point B", tracez parallèlement à B' G' et en sens contraire , une droite B"D' égale à la corde de l’erreur totale en moins BD.

a3o POLTCOKES.

Enfin , tirez la droite C'D' ; le point F où elle coopéra B'E , partagera la dififérence B'B" des suppositions en deux parties B'F, B"F proportionnelles aux cordes B'C', B"D' des erreurs totales (8i).

Or, si les droites tracées étaient les longueurs des arcs de supposition et des arcs d’erreur totale, au lieu d’être celles des cordes, ^ B'B" serait la somme des erreurs simples en plus et en moins, et comme les arcs d’erreur simple sont proportionnels aux arcs d’erreur totale, dont ils forment les septièmes parties, on trouverait les premiers en partageant leur somme proportionnellement aux seconds, de sorte que B'F serait l’arc d’erreur simple en plus, B"F l’arc d’erreur simple en moins , et par conséquent , EF l’arc vrai de l’heptagone régulier inscrit.

Que faudrait- il pour qu’employant les cordes des arcs dé supposition et d’erreur totale, au lieu de ces arcs, on eût dans EF le vrai côté de l’heptagone? que les cordes d’arcs proportionnels fussent aussi proportionnelles. Or, c’est ce qui n’est pas, puisqu’au delà de 1 80", les cordes diminuent en meme temps que les arcs augmentent, tandis qu’en deçà , elles croissent , si les arcs croissent.

Il est donc fort probable que EF ne pourra pas être reçue exactement sept fois dans la circonférence. Si cette corde est trop grande , vous la prendrez pour première supposition; vous la mettrez à la place de EB'; vous substituerez à B'C', la corde de l’erreur totale en plus que donnera EF, et en conservant EB", B"D', vous déterminerez un nouveau point F, un nouveau côté approximatifEP de l’heptagone demandé. Il diflerera moins du véritable , que le précédent. Si pourtant il en diffère et qu’il soit trop petit , mus le prendrez pour seconde supposition , vous conserverez la première de la deuxième opération et vous obtiendrez un troisième point F, un troisième côté approximatif de l'heptagone , moins différent encore du Véritable.

11 faudrait meme que les deux premières suppositions eussent été bien mal choisies, fussent fort différentes, pour qu’il y eût une différence manifestée par le compas , aperçue par nos yeux , entre le troisième côté approximatif et le vrai côté de l’heptagone régulier Inscrit. Ordinairement, la différence se trouvera si faible, si peu sensible, que dans l’état actuel de nos instniraens, une solution exacte ne serait pas préférable, sous le rapport de la justesse du tracé, à celle du procédé «les erreurs contraires. On peut donc employer ce procédé en toute confiance; il l’emporte d’ailleurs, par sa généralité et sa simplicité , sur tous ceux qu’enseignent les praticiens pour inscrire approximativement des polygones réguliers, et il est loin d’être inférieur, quant à la précision.

Probe. (/) : Circonscrire à un cercle donné A, un polygone régulier dont les cotés soient parallèles à ceux d’un polygone régulier inscrit et de même nom (P. VIII, F. 3û).

Abaissez une perpendiculaire AB , du centre A , sur le côté CD du pol3'gone insci-it; menez par B, une parallclo à CD; tirez AC >

POLYGONES

aûi

jusqu’à la rencontre de cette parallèle , en E ; puis, décrivez de A , avec AE, une circonférence; elle coupera EB une seconde fois en F, et il ne vous restera plus qu’à porter EF comme corde, sur cette circonférence, autant de fois que le polygone inscrit a de côtés.

Le polygone EFGIIIK qui en résultera , sera régulier , de même nom que l’autre et circonscrit au cercle donné.

D’abord , il sera régulier et de même nom que le polygone inscrit, si en effet la corde EF peut être reçue dans la grande circonférence, autant de fois que CD l'est dans la petite. Or, l’angle FAB = BAE, comme DAB, puisque les obliques AF, AE sont égales, comme lés obliques AD, AC (5i). Par conséquent, FAB = DAB; les trois points A, D, F sont en ligne droite; FAE = DAC; les arcs CBD , EF renferment le même nombre de degrés (3’i) etsont contenus le même nombre de fois dans leur circonférence respective.

Ensuite, le polygone EFGIIIK sera circonscrit au cercle donné; car il a même centre que ce cercle, son côté EF le touche en B, et par suite tous les autres côtés sont aussi tangens (a i o).

* Pbobl. (n) : Circonscrire à un cercle donné A , un polygone régulier de nom connu, dont un des contacts soit en un point indiqué B (P. VIII, F.5o).

Cherchez le côté du polygone régulier inscrit et de même nom; portez -en la moitié de chaque côté du centre A, sur une perpendiculaire au rayon AB ; tracez par les points L , M qui en résulteront , deux parallèles à AB , et joignez les points C , D qu’elles marqueront sur la circonférence donnée. La corde CD égalera LM, cl il ne s’agira plus que de résoudre le problème précédent (/).

En effet, si l’on fait tourner BAMD sur AB, cette figure se .superposera e.xactement sur BALC. Donc, B est le milieu de l’arc '

CD, la corde CD est perpendiculaire à AB (gj), j)arallèle cl égale à LM (65), côté du polygone régulier inscrit, cl parallèle à la tangente en B.

' PnoBL. (o): Circonscrire à un cercle donné A, un polygone régulier de nom connu, qui ait un de scs sommets sur le prolongement d'un rayon indiqué AC (P. VIII, F. 3o).

Cherchez le côté du polygone régulier inscrit et de même nom; portez-le de C en D , par exemple ; puis résolvez le problème (/).

t Probl. (a:): Circonscrire à un cercle donné A, un polygpne régulier dont les cotés soient perpendiculaires aux bisectrices d'un polygone régulier inscrit et de même nom (P. VIII, F. 3i).

Elevez une perpendiculaire à l’extrémité B d’une bisectrice AB; abaissez-en une autre du centre A, sur le côté BC du polygone inscrit; prenez, pour rayon, la distance de A à la rencontre D des deux perpendiculaires; décrivez, avec cette distance, une circonférence concentrique à celle qui est donnée; puis portez la corde DE, <

sur cette grande circonférence ; elle y sera reçue autant de fois que

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