P01.TG0KE

le polygone inscrit a de côtés, et tous formerez ainsi le polygona demandé DEFGHI.

« Effeclivement , le polygone DEFGHI est régulier et de même nom que le polygone donné, si son angle intérieur DAE = BAC, angle intérieur de l’autre. Or, BAE = BAD, puisque les obliques DA , EA sont de même longueur (5 1) ; pour une raison semblable , CAD = BADj par conséquent, les deux moitiés de l’angle DAE égalent celles de BAC, et ces deux angles sont égaux. » '

< En outre, le polygone régulier DEFGHI est circonscrit an cercle donné , car il a même centre que ce cercle , et son côté DE est tangent en B (a i o). »

« Maintenant, je dis que le côté EF dn polygone circonscrit est perpendiculaire à la bisecirice correspondante AK. Cela sera rrai, si l’angle K dn quadrilatère BAKE, se trouve droit. Or, l’angle BAK = BAC=DAE, angle au centre du polygone circonscrit. Donc, BAK -I- BEK forment 180° (p. aai), ABE + AKE doivent donner aussi 180° (18a), et comme ABE est droit, AKE l’est aussi. >

«: On démontrerait de même , successivement , que tous les autres ^ côtés du polygone circonscrit sont perpendiculaires aux bisectrices correspondantes du polygone inscrit, p

PnOBL. (y): Diviser une circonférence en un nombre déterminé de parties égales.

Puisque tout polygone régulier inscrit partage la circonférence en autant d’arcs égaux, qu’il a de côtés, la division d’une circonférence en un nombre déterminé de parties égales, revient à l’inscription d’un polygone régulier qui ait autant de côtés qu'on veuf de parties. Les problèmes précédées donnent donc les moyens de diviser une circonférence en autant de parties égales , que le marque un quelconque des nombres survans :

2, 4, 8, 16, 3?, 64 et ainsi de suite, en doublant toujours;

3, 6, 13, a4, 48, g6 et ainsi de suite, en doublant toujours; ^

5, 10, 30, 40, 80, iGo et ainsi de suite, en doublant toujours;

i5, 3o, 60, 130, 340, 480 et ainsi de suite, en doublant toujours.

Mais, avec le secours d’un bon trisecteur (p. i33), on peut partager un angle au centre en trois parties égales, et par conséquent, l’arc de cet angle en trois arcs égaux. La circonférence étant donc divisée en 3 parties , on pourra la diviser en g , et par suite , en 1 8 , * 36, 73, i44, 288, etc., en doublant toujours. Si elle est divisée en i5 arcs égaux, on pourra la diviser en 4^j ft par suite, en gO,

1 80 , 36o , etc. On voit par là comment il a été possible de diviser les limbes gradués, en 36o parties égales ou degrés.

PaOBi,. (z): Diviser un are dé cercle ABC en un nombre déterminé de parties égales (P. VIII, F. ig)..

Si le nombre des parties est pair, on peut, en recourant an

poivco^ES.

problème b (p. m), diviser en deux parties égales, d'abord l’arc donné, puis nne des moitiés, puis un des quarts, un des huitièmes et aiusi de suite , jusqu’à ce qu’on ait obtenu la partie marquée par le nombre proposé. Il ne reste plus qu’à porter cette partie sur l'arc, autant de fois que llndiquc le même nombre.

S’il s’agit d’obtenir le tiers de l’arc , on peut faire usage du trisecteur, quand le centre est marqué ou après l’avoir trouvé.

Mais si le nombre des parties est impair et autre que 3 , il faut employer le procédé des erreurs contraires (p. aag). On fait deux suppositions : l’une étant portée sur l’arc, à partir de l’extrémité A et autant de fois qu’on veut de parties égales, doit dép.isser un peu l’extrémité G ou produire une erreur en plus; l’autre étant portée de la même façon , doit donner une erreur en moins.

PaoBi.. Çs') ; Diviser un angle en un nombre déterminé départies égales.

Vous décrirez un arc entre les côtés , et du sommet comme cqntrc;

parties égales que l’angle doit de division au sommet (3 1).

Loi DK LA KATCHK (o) : Un grand nombre des corps de la nature ont pour faces planes, des polygones irréguliers; mais d’autres, appelés cristaux, et nombreux aussi , présentent des polygones réguliers, tels que le triangle équilatéral, le carré, et le pentagonci Cependant, les faces de quelques cristaux sont des rectangles et des losanges, polygones qui n’ont qu’une demi- régularité. C’en est assez pour vous montrer que l’étude de la Géométrie est nécessaire à ceux qui s'occupent de minéralogie, soit par besoin, soit par plaisir,

Loi (ô) : Il y a certaines productions animales où l’on trouve les polygones : les toiles des araignées de jardin en sont un exemple ; les cellules hexagonales des abeilles en sont un autre. Ainsi, la Géométrie s’insinue jusques dans l’histoire naturelle des minéraux et des animaqx. Celle des végétaux ne lui est p.as non plus étrangère: la position habituelle de la tige des plantes , sa forme , celle des feuilles , des fleurs , des parties sexuelles , des fruits et de leurs pulpes , la 'disposition des branches , peuvent souvent être décrites d’une manière exacte et claire, en phrases mathématiques; il y a même des cas où les botanistes sont forcés d’employer les termes de la Géométrie, et d’autres où ils feraient très-bien de ne pas les remplacer par des mots barbares.

Appl. (n): Les polygones d’une irrégularité bkarre, ne sont guères exécutés dans les arts. Toutefois, au sein de nos anciennes cités où les rues se trouvent tortueuses, où les maisons sont bâties en quelque sorte au hasard et sans nulle symétrie, les architectes sont assez souvent forcés d’adopter des polygones très-irréguliers, pour leurs plans. L’arpenteur qui lève une propriété, est parfois obligé de tracer aussi des polygones irréguliers.

vous diviserez cet arc en autant do en avoir, et vous joindrez les poinjs

POLTGONES.

€ Enfin , il existe des ruines qui montrent que les anciens don^ naient quelquefois à leurs matériaux des faces irrégulières , afin de profiler de toute la grosseur des pierres et d’en perdre le moins possible par la taille. Ils devaient ne les façonner qu’à mesure qu’ils les posaient, et il fallait que le saillant d’une pierre convint au rentrant d’une autre. Celle méthode a été suivie pour les revêlemens de la fameuse jetée qui protège la rade de Plymouih en Angleterre. D en résulte que les vagues qui vont se briser contre cette masse, ne pourraient ébranler un des énormes blocs de marbre dont elle est composée, sans en ébranler plusieurs autres en même temps, et que l’ensemble est en quelque sorte indestructible. »

Appl. (è): Les divisions de la circonférence sont nécessaires dans un grand nombre d’arts et notamment dans la fabrication des machines : on ne peut tracer les roues dentées , les pignons e't les lanternes des engrenages , les cylindres canelés dont on fait usage dans plusieurs fabrications ; ou ne peut même exécuter les roues d’eau, ni les roues de voiture, sans diviser la circonférence en un certain nombre de parties égales. C’est de l’exactitude de cette opération que dépendent la solidité d’une machine, la facilité et la régularité de son jeq. Si l’on divise par tâtonnement et conséquemment sans précision , on court risque d’occasionner des à-coups, des arrêts, des pertes de force, et d’accélérer la destruction des roues.

Appl. (c) : Les machines qu’on emploie pour diviser promptement et facilement les limbes gradués des instrumens de mathématiques et d’astronomie, renferment des cercles qui ont été divisés arec le plus grand soin, au moyen des méthodes que nous venons d’exposer, et l’on ne peut établir ces utiles machines , sans opérer préalablement une division géométrique de la circonférence, fondée sur les propriétés des polygones réguliers. C'est de la sorte que M. Savart père , artiste de Metz , a construit ses excellens diviseurs.

Appl. (rf): Les verres dont on compose les vitrages gothiques, sont des polygones réguliers; on les fait ainsi, non seulement pour rendre les vitres agréables à la vue, mais encore pour que la quantité de plomb qui doit être employée, soit la moindre possible j car de deux faces planes, équivalentes et d'un même nombre de côtés, celle qui est régulière , a le plus petit contour.

Appl. (e) : Un architecte doit , autant que les localités le permettent, donner à tout édifice, la forme d’un polygone régulier, afin qu’avec le même développement de murs , avec la même dépense en maçonnerie, il puisse renfermer le plus grand espace possible; car de deux surfaces planes qui ont même contour et même nombre de côtés, c’est la régulière qui est la plus grande.

» II faut même multiplier les côtés du polygone autant que le comporte la destination de l’édifice , parce que de deux faces planes dont les contours sont égaux , celle qui a le plus de côtés, est la plus grande. Ainsi, un édifice roud est plus spacieux que tout autre qui offrirait le même contour, sous une forme différente ;

POlTCO.tES.

çonsiddrée con.nie c^n.po.ée d'une mnlliinde de lignes droites Cïtrêmemcnt courtes »

AUr. principes, que les ingénieurs militaires

disposent les fortifications selon des polygones réguliers , et qu’ils donnen a ces polygones d'autant plus de côtés, que l’intérieur de la place de guerre doit avoir plus d’étendue. »

P"",’’ ««•‘conformer aux mêmes principes , qu'on fait circulaires un grand nombre de vases et notamment les tuvaux de conduite, destines soit a l’eau, soit au gaz d’éclairage. Ces vases ces tu\aux absorbent alors moins de matière première mic si sous toute autre forme, ils offraient la même ’orSaTent

passer a meme quantité de fluide. Il y a donc économie à se rapprocher le plus qml est possi^e de la forme circulaire, pour les objets creux ou évidés, et à s’en écarter autant qu’on le’peut pour les objets en relief on pleins. > * P >

Appl. (/) : Le pavage des rues et du sol des édifices la confection des parquets, la vitrerie, la marqueterie et l’arl de taire la mosaïque, reposent aussi sur les propriétés des polvgones t.c quon se g^opose dans ces Iravaiix, c'est de couvrir l’espace autour dun point, au moyen de polygones. Il y a une infinité de maniérés dy parvenir, si l’on peut se servir de polygones ** appliquer l’un contre l’antre,

' ^1*/* et de placer un de leurs sommets au point

donne: 1 espace sera exactement couvert, quand la somme de tous es angles qui auront leurs sommets au même point, formera

CTw'p’vmw ?»

Ugure Ja (F. VIII). 1 espace autour du point A est couvert par un triangle B, un rectangle C, un trapèze D, un hexagone i,^et un pentagone F. t> “i. xj, ei

manières de couvrir

I espace autoy d un point, quand tous les polygones doivent être réguliers et de même nom. En effet, il fa„{ au moins trois angle^ pour former j6o ; car, quelque grand que soit un angle, iUst moindre que i8o« et répété deux fois, il ne peut faire k double ?aS - de rbcptagolie régulier surpal

‘lenncnt 384°. On ne peut Inc mployer de polygones réguliers qui aient plus de six côtés En outre, le pentagone régulier ne peut servir, car son angle m eneur est de io8°, trois fois cet angle ne'foni que 3a4% « q^tre f^ais produisent 43a°. Mais, on peut placer ^autour d’un * ''■■aiffles équilatéraux dont l’angle intérieur est de 6o°

^ quatre carres dont l’angle intérieur est de no°, enfin trois

lexagones réguliers dont l’angle intérieur est de iao° (F. 35) >

« Il ny a donc que trois espèces de polygones réguliers au'on puisse employer seuls, pour couvrir l’elpaee autour^’.m p^ol, i core, le triangle équilatéral présenfe-t-il un grave inconvénient

sommet, s enfoncent bien plus aisément dans le sol , que les parüe*

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POLTCO:tES.

înlérieures des triangles, et l’ouvrage est bientôt dôtériorc, quand , une pression un peu forte vient à s’opérer sur un des points d« réunion. Cet eifel est bien moins à craiudre avec des carrés , et toutefois, pour le prévenir plus sûrement, on ne donne point au» quatre angles droits le même sommet , si ce n’est dans le parquetage j. quand il s'agit de pavés ou de carreaux de terre cuite , il est d’usage de disposer les carrés en rangées parallèles ,,de manière que le joint de deux pièces d’une même rangée, réponde au milieu d’une pièce des deux rangées voisines : cette pose représentée dans la figure 34 j est absolument la même que celle des pierres de taille dont se compose un mur. i

« Phobl. (a) : Tracer un canetage composé de triangles équilatéraux (P. >111, F. 33). »

« Faites un grand triangle équilatéral ABC, afin d’avoir deuxi concourantes AB , AC qui se coupent gous un angle de Co°. Portez des parties égales sur ces deux droites, à partir du concours Aj par les points de division de chacune, menez des parallèles à l'autre; puis joignez entre eux les points de division ^rrespondans. Les droites de jonction passeront par les inteiscclions des parallèle» et achèveront des triangles équilatéraux qui auront deux à deux un côté commun. »

« PnoBi,. (h) : Tracer un carrelage composé de carrés