P. VIII, F

« Tirez deux droites d’équerre AB , AC ; portez sur l’une AB , des parties égales à la moitié du côté que doit avoir le carré ; portez sur AC , des parties égales à ce même côté ; menez au crayon , par les points de division de chacune des droites, des parallèles à l’autre. Vous aurez des rangées de rectangles accolés qui, pris deux à deux , formeront des carrés. Tracez enfin Ces carrés à l’encre, de manière que les côtés parallèles à AC , dans une rangée , répondent aux milieux des côtés parallèles à AB, dans les deux rangées voisines. »

« Probl. (c): Tracer un carrelage composé (Tli^agones

réguliers. »

« Tirez deux concourantes AB, AC qui se coupent sous un angle de 6o“ (P, VIII, F. 33); portez sur chacune, des parties égales au côté de l’hexagone régulier, et faites au crayon, toutes les autres opérations du problème (a). Vous aurez, autour de chaque intersection des parallèles , un groupe de 6 triangles équilatéradx égaux , qui formera un hexagone régulier tel que dcfghi (a i g). Passez donc à l’encre , de manière a tracer seulement les contours 'des hexagones qui ont deux à deux un côté commun, laissant au crayon les diagonales dg ^ eh,fiy pour les effacer ensuite; vou» formerez la figure 35. » . ■ ' -

[;.y Guu»jle

POtrcosES.

« PiiOBi.. (rf) : Tracer un carrelage composé d’hexagones réguliers et de triangles équilatéraux. »*

« A'^ous opérerez comme dans le problème précédenl*; seulement , vous aurez soin , en mettant à l’encre , de former des hexagones qui aient deux à deux un sommet commun. 11 en résultera autour de chacun, une auréole de triangles équilatéraux, et l’ensemble produira le joli appareil de la figure 36.

« Probl. (e): Tracer un carrelage composé d hexagones réguliers et de losanges. »

« Opérez d’.abord comme dans le problème (c); puis, en passant à l’encre, tracez les contours d'hexagones réguliers qui. aient deux à deux un sommet commun, dans les rangées parallèles à AB, et un côté commun dans les rangées perpendiculaires. Vous formerez ainsi un autre joli appareil que représente la figure 37. ^ *

« Probl. (y): Tracer un carrelage composé doctogones réguliers et de carrés (P. VIII, F. 38). »

« Tirez deux lignes d’équerre AB, AC; portez plusieurs fois, sur chacune, la longueur d’une ligne milieu AD de l’octogone régulier à employer, et menez par les points de division de l’une, des parallèles à l’autre. Vous formeijez ainsi des rangées de carrés égaux. Prenez la moitié AE de la diagonale d’un de ces carrés , et portez-la sur AB , AC , des deux côtés de chaque sommet de carré ( qui se trouve sur ces droites. Vous marquerez ainsi des points 1,2,

3, i, 5 , etc. , qui seront des sommets d’octogones égaux à l'octogone donné (prob. g, p. aaS). Menez alors par tous ces points , des parallèles à une droite AF diagonale d’une suite de carrés ; elles marqueront sur les parallèles à AB , AC , les sommets d’octogones qui auront deux à deux un côté commun, et laisseront entre quatre un petit carré. If en résultera donc le bel appareil que présiifttéla figure. »

« Probl. (g): Tracer un carrelage composé de dodécagone» réguliers et de triangles équilatéraux (P. VIII, F. 39). »

« Tirez deux droites AB, AC qui fassent un angle de Go°; élevez une perpendiculaire AD'sur AB et une perpendiculaire AÉ sur AC; portez sur AD, AE, de chaque côté de A , la moitié du côté du dodécagone à employer; par les points ^e AE qui en résultent, menez des perpendiculaires à cette droite, ou plus simjilement , des parallèles à AC ; de même , par le point marqué sur AD, menez une parallèle à AB. Ces parallèles coupent AB en a , ô et AC en c; portez sur AB, le côté du dodécagone, de a en rf et de 6 en e ; portez-le aussi sur AC , de c en f, et par les points obtenus, tirez des parallèles. Ces parallèles* coupent AE en g, A,

•et AD en r; portez deux fois de suite, la^moitié du côté, sur AE, à partir de g , A , et sur AD , à partir de i ; puis tirez des parallèles.

Continuez toujours de meme, en portant alternativement le côté j

sur AB, AC, et la moitié; deux fois de suite, sur AD} AE. >

POLYG05BS.

< Quand tout l'espace à carreler sera couTert de parallèles , vous ferez uii triangle équilatéral A//n , dans le losange qu'auront i formé près de A , deux des groupes pour lesquek l’écarlement est un demi-côlé , et joignant , de proche en proche , les intersections des parallèles , à partir des sommets du triangle klm , vous finirez ' par obtenir des dodécagones réguliers qui auront deux à deux un côté commun et seront entourés chacun d’une auréole de six triangles équilatéraux. »

« Pour démontrer la justesse de cette construction , j’observerai d’abord que mn = no. Le triangle mno est donc symétrique, et comme son angle n est de 6o°, les deux autres ont aussi chacun 6o° pour indication , c’est-à-dire que mno est équilatéral et que mo =. no = ad côté du dodécagone.

« Ensuite, je ferai voir qu’un triangle AEB e»t rectangle, quand il a un angle de 6o“ compris entre deux côtés dont l’un est double de l'autre. Soient en effet AB double de BE et l’angle B de 6ü°. En menant EF par le milieu de AB, on forme un triangle symétrique EBF dont les deux angles E , F sont de 6o° chacun. Par conséquent , ce triangle est même équilatéral , EF = BF=AF, le triangle AFE est symétrique, l’angle AEF a 3o° d’indication, puisque A -+■ AEF = BFE = 6o“, et l’angle AEB est droit , puisqu’il vaut BEF-t“ AEF=J6o^-j- 3o°î=go'’. »

< Réciproquement , dans tout triangle rectangle AEB qui a un angle de 6o" ou de 3o°, Vhypothénuse est double du plus petit côté; car si l’on mène EF de manière à faire , dans l’angle droit , un angle de 6o° et un angle de 3o°, le triangle BEF sera équilatéral , et le triangle AFE , symétrique , ce "qui donnera AF = FE = FB =5 BE. s

< Maintenant, il est fort aisé de reconnaître l’égalité des deux

gitits triangles rectangles dont Au et Ac sont les h3q}othénuses.

onc Aa = Aê,8lBt dp est double de do. Or l’angle pjo a fio* d’indication. Par conséquent, op est perpendiculaire à do et op—gq côté du dodécagone. »

« On verrait de même que le^ triangle fmk est rectangle en m, et que km égale le côté du dodécagone. »

« La droite rs est diagonale d’uh losange; elle est'donc bisectrice de l’angle de 6o“ de ce losange , et forme un angle de 6o" avec rt parallèlP à AE. Donc , puisque le triangle rts est rectangle, rs est double de rt moitié du côté du dodécagone. »

< On arriverait facilement à démontrer, par les mêmes moyens, que chacun des autres côtés vaut aussi celui du dodécagone. »

< Quant aux angles, srp est de i5o° comme celui du dodécagone régulier, puisque srF est de 3o°; rpo est de \5o°, puisque opd est de 3o°; pom — pos-^som, or pos est de 3o° et som de no“; omk se compose d’un angje droit et d’un angle de 6o° ; enfin , on Terrait par les mêmes moyens, que tous les angles de la figure de 13 côtés sont égaux. Ainsi , cette figure est bien un dodécagone régulier. >

POLTGONU. aSg

€ PnoBL. (A) : Tracer un carrelage en losange» rangés parallèlement. »

< Le losange qu’on emploie ordinairement dans le carrelage , est divisé en deux triangles équilatéraux, par sa plus courte diagonale. Il a donc deux angles de Co° et deux angles de iao°. »

« Ainsi, vous tirerez deux concourantes AB, AC (P. IX, F. i) qui se coupent sous un angle de 6o°(probl. o, p. a3G) ; vous porterez plusieurs fois le côté du losange sur ces droites , à partir de A , et par les points de division de chacune , vous mènerez des parallèles à l’autre. »

« Il est clair que l’espace sera rouvert , comme avec des polygones réguliers , puis<{u’à chaque intersection , il y aura deux angles de 60" et deux angles de iau° qui feront enscmhie 36o°. »

< Mais, souvent on dispose les losanges comme le montre la figure 1 : les angles de 60° sont assemblés six à six , et ceux de 1 10", trois à trois ; les grandes diagonales sont en ligne droite , et chaque petite se trouve sur le prolongement d'un côléj tandis que dans la première (fisposition , les petites diagonales se suivent en ligne droite, comme les grandes. »

« L’appareil de la figure a est moins solide que celui de la figure I , à cause de la réunion des angles aigus autour du même point ; mais on le préfère , parce qu’il donne le moyen de former des rosaces à six pointes , avec des losanges de trois teintes. »

« Probl. (i): Tracer un carrelage en rosaces coitposées de losanges (P. IX, F. a). »

« Il suffît d’opérer comme dans le probl. c(p. a36) et de diviser chaque hexagone abedef en trois losanges , au moyen de trois rayons gb , gd, gf, de manière que les trois rayons d’un polygone soient parallèles à ceux de tous les autres. »

« Probl. (Je) : Tracer un carrelage en rectangles rangés parallèlement. »

« Opérez comme dans le probl. b (p. a3G), en observant de porter le plus petit côté du rectangle sur l’une des droites d’équerre, et la moitié du plus grand sur l’autre. Les lignes de joints d’une rangi^e devront correspondre aux lignes milieux des rangées voisines , comme dans le carrelage en carrés de la figure 34 (P. YIII). >

« Les rectangles sont surtout usités pour la confection des parquets. On les dispose souvent alors en zigzags d’équerre, de manière que le petit côté d’un rectangle fasse le prolongement du grand côté du suivant. Il en résulte un appareil assez agréable à l’oeil , qui est représenté par la figure 3 (P. IX) et qu’on nomma parquet en capucine, dans plusieurs contrées. *

« Probli (/): Tracer un parquet en capucine.

« Tirez deux droites d’équerre AB, CD (P. IX, F. 3); portez plusieurs fois, sur ces droites, la largeur du rectangle, à partir de

Dh.-

POLTCOXES.

l'intersection E et de chaque côté -, puis , pp les points de division de chacune , menez , au crayon , des parallèles à l’autre , et passez à l’encre de façon que tous les sommets correspondans des rectangles placés parallèlement , soient sur des intersections formant une ligne droite telle que FG. 5>

« Si vous récapitulez les problèmes qui précèdent , vous v.errcz qu’on a onze manières différentes de couvrir l’espace autour d’un point, ,eii employant cinq polygones ré^licrs , le losange, le , rectangle , et en les combinant entre eux. •»

Appt, (g): Le tracé de la volute ionique, donné page i8o , n’est qu’ut\cas particulier de l’imitation , par arcs de cercle , d’une courbe , nommée spirale , qui s’écarte graduellement et de plus en plus d’un point où elle commence (noyez la Géométrie des courbes). La théorie complète de cette imitation a été renvoyée aux applications des polygones réguliers , parce que les tracés qui en dérivent nécessitent ceux de ces polygones. Ce n’est pas qu’on ne puisse, imiter aussi la spirale en employant des polygones irréguliers : on le peut même sans polygones , avec le seul secours d’une ligne droite ; mais ces tracés sont fort peu usités. Nous offrirons toutefois, pour premier exemple , la spirale qui se décrit au moyen d’une ligne droite , attendu qu’elle est seule de son espèce.

« Pkobl. (a): Tracer une spirale, par arcs de cercle, en déaeloppdht une droite donnée AU (P. IX , F. 4)- >

« Pour s’expliquer le développement dont parle l’énoncé du problème, il faut supposer deux pointes plantées aux extrémités A, B de la droite, et un fil qui, ployé autour de ces pointes, va plusieurs fois de l’une à l’autre. 11 est clair que saisissant l’extrémité , A du Cl et le tirant , en tournant autour de la pointe B , on arrivera au point C, après avoir décrit luic demi -circonférence. Si l’on continue ensuite le mouvement, en tournant autour de la pointe A, l’extrémité du fil décrira une autre demi-circonférence d’un rayon AC = aAB et arrivera enD; un nouvean demi-tour sur B , donnera une troisième demi-cireonférencc qui finira en E et dont le rayon sera BD = 3.4B. Continuant toujours de même, on obtiendra une suite de demi-circonférences tangentes on raccordées (i4t)dont les rayons consécutifs se surpasseront de AB, et l’ensemble formera une sorte de spirale. :>

« Mais c’est là une description purement mécanique, que nous avons donnée uniquement pour justifier l’énoncé du problème et bien faire saisir l’esprit des tracés suivans. L’opération géométrique consiste d’abord à décrire de B, avec BA pour rayon, un arc qu’on arrête au point C du prolongement de AB ; ensuite, il faut décrire de A, avec AC, un autre arc qui se termine au point D du prolongement de BA ; puis décrire de B, avec BD, un troisième arc qui se termine en E; puis décrire de A, avec AE, un quatrième arc qui se termine en F •, puis continuer de prendre ainsi

POI.YGOSES. a4l

successiTcment pour centres A et B , d’augmenter de AB le rayon précédent, et de décrire des demi -circonférences qui, commençant au prolongement de AB d’un côté, se terminent aussi à ce prolongement de l’autre côté. »

« Mais, bien que toutes les parties de la courbe ainsi tracée , soient parfaitement raccordées, les cliangcmcns de rayon s’y font sentir, et cela provient de ce qu’un tour complet ne se compose que de deux arcs de cercle. Pour obtenir une imitation de la spirale qui plaise autant à l’œil que cette courbe elle-même, il faut rendre bien plus nombreux les arcs ^^t la somme doit former 36o°. s

« Probl. (ô) : Tracer une spirale , par arcs de cercle , en développant un polygone régulier. »

« Prenons pour exemple le triangle équilatéral ABC fP. IX, F. 5).

Si la courbe doit partir de A, nous décrirons de B, avec BA, un arc qui se termine au prolongement de CB; puis, de C, avec CD=aBA, un arc qui se termine au prolongement de AC; puis, de A, avec AE=3BA, un arc qui se termine au prolongement • de BA. Alors un premier tour se trouvera achevé ; il sera composé de trois arcs de 120" chacun et tangens deux k deux en D , E , F.

Si l’on veut d’autres tours , on devra décrire de B , avec BF= 4BA, un cinquième arc de 120° qui se termine au prolongement de CB, et continuer d’augmenter de BA le rayon , en prenant, pour centres, < Successivement les trois sommets. » ^

« Il est trop facile de concevoir , d’après cela , comment on doit opérer dans le cas d’un autre polygone régulier et meme dans celui d’un polygone irrégulier, pour que nous ay'ons besoin de donner d’autres exemples. »

« Probl. (c): Tracer une spirale, par arcs de cercle, en Enveloppant des polygones réguliers inégaux, mais de même nom (P.IX,F. G). » ' ,

« L’enveloppement d’un polygone est une opération inverse du développement. Vous concevrez aisément que si un grand IH i.A, tendu selon le prolongement de la droite 6.1 et attaché au point i , tourne autour de ce point pour venir s’appliquer sur la droite 1.2, son extrémité A décrira un arc de cercle , indication de l’angle A. i .2 ; qu’on pourra ensuite faire tourner le même fil autour du point 2 , en le tendant, l’amener sur la droite 2.3 et obtenir ainsi un second arc indication de l’angle D.2.3 , dont le rayon sera plus court de i .2 que celui du premier; qu’cnCn la meme opération pourra sc répéter à chaque sommet du polygone 1.2. 3. 4. 5. G; que le polygone se trouvera alors enveloppé par le fil , et que ce fiil sera diminué d’une longueur égale au pourtour t.2.3.4.3.6. i . »

« Pour montrer comment oh imité géométriquem’ent ce tracé mécanique, nous supposerons qu'il s’agisse de décrire une spirale qui fasse trois toiifs complets autour d’un hexagone régulier donné s- '

POLTCOKES.

a.ia

< Divisez le c6tc i .6 en un nombre de parties égales double da nombre de tours , en six par conséquent. Du point milieu B, menez ides droites aux sommets a, 3, 5 du polygone; par les autres

points de division de B. i , menez des parallèles à i .a jusqu’à B. a ; par les intersections qui en résulteront, menez des parallèles à a. 3, jusqu'à B. 3, et continuez ainsi, jusqu’à ce que vous ayez formé les deux petits polygones 7.8.9.10.11.1a et i3.i4.i5.i6.i7.i8. Ces polygones seront aussi des hexagones réguliers , car , à cause des parallèles , leurs angles seront égaux à ceux du polygone donné , et les côtés de chacun se trouveront tous contenus le même nombre de fois dans ceux du même polygon^^

« Quand ces opérations préliminaires seront achevées, vous porterez la fois de suite 1 .6 sur son prolongement , pour obtenir le point A où doit finir la courbe (*); vous décrirez de 1 , avec ■i.A , l’arc de l’angle A. 1. a ; de a , avec a.D, l’arc de l’angle D. a. 3 ; de 3, avec un rayon moindre de 2. 3, l’arc de l’angle extérieur suivant, et ainsi de suite. Mais, après avoir décrit de 6, l’arc du dernier angle extérieur, vous diminuerez le rayon seulement de 6.7; vous prendrez le point 7 pour septième centre, les autres sommets du polj'gone moyen pour les centres suivans, et vous décrirez les arcs des angles extérieurs de ce polygone. Arrivés au dernier, vous prendrez pour centres, les sommets du troisième polygone, en commençant par le point i3. L’arc du dernier angle extérieur de ce petit polygone viendra se terminer au point 1 , et vous aurez une sorte de spirale composée de 18 arcs de 60“ chacun. »

« Lorsqu’on veut qu’une telle spirale ait un œil analogue à celui de la volute ionique, on le décrit de B avec B.i pour rayon. La courbe s’en approche graduellement, et la rencontre diffère peu d’une tangence. »

« Aidés des exemples qu’offrent les problèmes précédons, il vous sera facile d'en comprendre la théorie générale. Vous saurez d’abord que le point où commence la courbe, A (F. 5), est sou origine; que le point F où on l’arrête arbitrairement, est son terme ; que le côté du polygone régulier, qui forme la différence de deux rayons consécutifs , s’appelle module, et qu’une suite d’arcs AD, DE, EF dont la somme donne 36o°,' constitue une révolution. Z •

« Comme il importe peu que la courbe soit décrite à partir de l’origine ou à partir du terme, nous supposerons, pour plus de simplicité , que la distance de ces deux points soit le premier rayon de la première révolution. Les suivans sont plus courts et diminuent de plus en plus. Dans certains cas , la différence entre deiLx rayons consécutifs est toujours le module. Dans d’autres cas (F. 6), c'est

(*) Il faut supposer i.A égale à douze fois 1.6 ; on u'eût pu donner à la première de ces droites , sa vraie longueur , sans rendra trop petites les autres constructions , on sans (aire une très-grande figure.

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POLTCO:(ES.

icTilement pour deux rayons consccutife de la première révolution , (jue la différence vaut le module. L’excès 6.7 du dernier rayon de cette révolution sur le premier de la seconde, est moindre d’une partie du module divisé en autant de parties ég'ales que le marque le double du nombre total des révolutions qu’on veut avoir , et le module diminué de deux parties forme la différence 7.8 entre deux rayons consecutifs, jusqu’à la troisième révolution. »

« Pour obtenir les premiers rayons des autres révolutions, on supprime successivement a, 3, etc. parties du modu^, et le reste est retr.vnclié du dernier rayon dç la révolution ^écédente. Pour trouver ensuite la différence qui doit exister entre (leux rayons consécutifs' d’une meme révolution , il faut ôter du module, le double de ce qui en a été retranché, quand on a formé le premier rayon de cette révolution. »

« Lors donc qnc le rayon se raccourcit constamment du module , d’un arc à l'autre et d’une révolution à la suivante, la distance d du ternie à l’origine doit être telle que diminuée d’autant de. modules qu’il y a d’arcs, elle se réduise à rien. Or, le nombre total des arcs égale le nombre k de ceux d’une révolution, multiplié par le nombre n des révolutions, car il y en a autant dans l’une que dans l’autre. Si donc nous représentons par m la longueur du module,

(f = mX*X«

exprimera la relation qui doit exister entre tous les élémens d’une spirale dont les rayons ont une différence constante, et lorsque trois des (piantités cpii entrent dans cette égalité , seront données , on pourra toujours déterminer convenablement la quatrième.

<t Mais, il faut ime autre relation, pour le cas où la différence des rayons diminue d’une révolution à la suivante. Afin de montrer comment on peut l’établir, nous supposerons que la spirale doive avoir trois révolutions de six arcs chacune. La distance AV du terme à la fin de la première, sera 6m (P. VU, F. G); car l’çxcès du premier rayon i.A sur le dernier (P. IX, F. 6), sera 5m, et une distance 1.6 = m sépare les deux centres extrêmes, comme les autres. »

« La différence de deux rayons consécutifs de la seconde révolution sera

car formera une des parties du module, et l’on doit en re-

trancher deux. La fin U de cette révolution (P. VII, F. 6), se trouvera ^nc éloignée de la fin V de la première , d’une longueur

« Pmir avoir le premier centre i3 de la troisième révolution (P. IX, F. 6), il faudra retrancher du module 6.1 , deux de ses parties. Conséquemment, la différence de deux rayons consécutifs.

a44 'POLTGOSES.

qui est double de ce qu’on rctranclie, sera

pour la troisième révolution. Et en effet , d'après le tracé du probl. (c) , les côtés du petit polygone sont chacun - du côté du grand ,

comme B.i3 est -j de B. i. Il y aura donc une distance de Ç ^ 6 ,

entre la fin U ^e la seconde révolution (P. VII, F. 6) et celle C de la troi^me. Or cette dernière doit se terminer au point i (P. IX, F. 6); payonséquenl, la distance A. i du ternie à l’origine, ou

t/=: G/n-|-|niX 6 + »

« Multipliant et divisant par 3 , le terme 6m , et changeant l’ordre des multiplications dans les autres termes , on obtient

rf=|mX3 + fmX2+|"»X»>

puis f/ = I m (3-j-a -f- 1).

Maintenant , pour rendre cette relation générale , nous remplacerons par A-, le chiffre G qui indique le nombre des arcs de chaque révolution , et par n , le chiffre 3 qui marque le nombre des révolutions. D’ailleurs , la somme 3 -|- a -[- i ou i -j~ ^ 3 est celle

des nombres entiers consécutifs , depuis i, jusqu’au nombre 3 des révolutions. 11 faut donc, pour un nombre « quelconque de révolutions , mettre à la place de cette somme numérique , la somme générale de la progression par différence dont le premier terme est I , la différence i , le dernier terme n , et le nombre des termes , encore n. Or, cette somme générale a pour expression

La relation générale des clémens d’une spirale dont les rayons ont une différence variable, est donc

égalité qui permet de déterminer l’une quelconque des quatre choses qu’elle renferme, quand les trois autres sont connues. »

« Supposons, pour exemple d’application, qu’on veuille tracer une spirale à cinq révolutions , composées chacune de huit arcs d’un même nombre de degrés , entre une origine et un terme distans de 7a centimètres. Vous remplacerez J par o"‘,/2 , /r par 8 , n par 5 , et

vous aurez l’égalité o"*,7a =: 8ni

vous donnera m =: — ^=iro"‘,o5, pour la longueiir^i module.

Il faudra donc construire un octogone régulier dont l(Aôté ait

(*) \oyeiVArithmél!rjue de ÏFoisard (t Bcrgery, p. aG8.