Deux perpendiculaires à an même plan sont parallèles

Si AB, GD sont perpendiculaires au plan MN (P. X , F. ii), elles sont aussi perpendiculaires à la droite BD qui joint leurs traces sur ce plan (u56). Reste donc à démontrer que les trois droites AB , BD , GD sont dans un meme plan ; car s’il en est ainsi , GD sera parallèle à AB , en vertu du principe 54. Menons parle milieu de BD, une perpendiculaire à cette droite, sur le plan MN, et c prenons EF=EG. La distance BF sera égale à BG(48), et AF,

ÀG, obliques sur le plan, auront meme longueur (a58). Le point

ifa coniNAisoxs dd pla^ et de la licite de

D sera aussi à la même distance de F et de G, et par suite, CF sera égale à CG. Donc, les quatre points A , B, C, D appartiennent au plan qui coupe FG perpendiculairement en deux parties égales (a5g),

.et les droites AB, CD, BD sont dans un même plan.

261. Quand une droite AB (P. X , F. 1 1) es/ perpendiculaire à un plan MX , toute parallèle CD à cette droite est aussi perpendiculaire au plan; car, si CD n’était pas perpendiculaire à MX, on pourrait élever au point D , sur ce plan , une perpendiculaire DH qui se trouverait aussi dans le plan ABDC des deux parallèles (a6o). On aurait donc sur ce dernier plan , deux parallèles à AB, passant par le même point D, ce qui est impossible (56).

262. Deux droites AB , CD parallèles à une troisième EF (P.X, F. la), sont parallèles entre elles, bien que ces trois lignes ne soient pas situées sur un même plan ; car , si nous concevons un plan MX auquel EF soit perpendiculaire , AB sera aussi perpendiculaire au même plan (a6i); il en sera de même de CD , et par conséquent, AB et CD seront parallèles (a6o).

263. Parmi tous les plans qu’on peut concevoir par un point, il en est deux sortes fort remarquables.

1° Les plans verticaux; on appelle ainsi, comme nous l’avons v déjà dit page 184, les plans qui contiennent la verticale donnée par le fil-à-plomb. Puisqu’une ligne droite ne suffit pas pour déterminer un plan (i55), on comprend qu’une foule de plans verticaux peuvent passer par la direction d’un même fil-à-plomb.

2° Les plans horizontaux ; ce sont ceux qui se trouvent perpendiculaires à une verticale. Un plan est donc horizontal , quand (a56) il contient deux perpendiculaires à la verticale ou deux horizontales (44)y il u’y a donc qu'un seul plan horizontal , pour chaque point d'une verticale.

Tout plan qui n’est ni vertical , ni horizontal , est dit incliné.

Appl. (<i): C’est sur le principe 261 qu’est fondé le moyen employé par les menuisiers, pour placer verticalement les montans du chambranle d’une porte , ceux dn châssis dormant d’une fenêtre, etc. Ils se servent, comme on sait, d’un instrument nommé niveau de coté (P, X , F. 1 3). Ce niveau est compose d’une planchette dont les bords AB, CD sont parallèles à la ligne milieu EF, et d'un lil-à-plumb fixé en un point E de cette dernière droite. Quand le ûl-à-blomb librement suspendu, couvre la ligne-de-/oi UF , cette droite est verticale ou perpendiculaire au plan horizontal ; il en est de même des parallèles AB, CD, et par conséquent, l’arête GH du montant, avec laquelle se confond AB, est elle-même perpendiculaire au plan horizontal.

Appl. (à) : Il résulte du numéro a63 que pour placer de niveau un plan ou une des faces d'un corps, il faut rendre horizontales

COMBinjUSOM DO PUJ< KT DB LA LICHB DKOITI. a85'‘

deux droites de cette face qui se coupent ; c’est-à-dire qu’il faut donner deux coups de niveau (p. 5o), l’un dans une direction quelconque, l’autre selon une droite qui, pour plus d’exactitude, doit couper cette direction sous un anj'Ie à peu près droit.

« Si l’on donnait les deux coups de niveau selon des parallèles, le plan ou la face passerait bien par deux horizontales , niais ces horizontales ne coupant point la même verticale, ne détcriniiieraient pas un plan de niveau. Si l’on plaçait l’instrument selon deux droites qui fissent un angle très-aigu ou très-obtus, une légère inexactitude dans cet instrument pourrait faire paraître les droites horizontales, bien que le plan ne fût pas vraiment de niveau. »

Apec, (c): Les plans verticaux et les plans horizontaux sont fréquemment emplovés dans plusieurs arts et notamment dans ceux qui ont rapport à la construction des édifices. Les pièces de bois d’une charpente sont placées de manière que deux de leurs faces au moins soient verticales: ainsi, les quatre grandes faces d’un poinçon sont verticales; deux des grandes faces d’un arrêtier, d’une noue, d’un chevron sont verticales. Les cloisons de nos apparicmens forment aussi des plans verticaux, pour plus de solidité (p. a5 , loi e). Quant aux gros murs, leurs faces extérieures sont des plans ûn peu inclinés vers l’intérieur de l’édifice , afin qu’ils résistent mieux à la poussée que leur fait éprouver la charge des planchers et des toits: ces faces ont ce qu’on appelle du fruil ou du talus; mais les faces intérieures sont verticales, comme celles des cloisons.

« Les plans horizontaux se trouvent dans les planchers , dans les plafonds. Les faces supérieures et inférieures des pierres de taille et des briques (|u’on pose par assises, sont aussi horizontales; les autres joints sont verticaux, excepté pourtant dans les platesbandes (p. 197, appl. c). s

Appi.. (d) : L’élévation ou la projection verticale d’un b.itiment (p. 80^, est le dessin de tout ce que présente l’une des faces extérieures ; car on ne tient pas compte aloi's du léger talus de ces faces. La coupe ou le projil est le dessin de tout ce que renfermerait un plan vertical qui couperait le bâtiment selon sa longueur ou selon sa largeur: ce dessin montre les dispositions intérieures, depuis le faite justpi’au sol des caves. Enfin, le plan par terre ou la projection horizontale est le dessin de tout ce qui se trouverait sur un plan horizontal qui couperait l’édifice à une certaine hauteur: par exemple, un peu au-dessus des tablettes des fenêtres, soit du rez-de-chaussée, soit d’un étage quelconque; car, lorsque les étages ne se ressemblent pas, il faut une projection horizontale pour chacun.

Loi DE LA NATURE (n): Puisqu’une droite et un point situé hors de cette droite, suffisent pour déterminer un plan (i55), on conçoit que le point milieu du Soleil et l’axe de rotation de la Terre (7) se trouvent continuellement dans un même plan. Ce plan est vertical , parce que passant par le point milieu de la Terre , il contient tout au moins la verticale qui aboutit au point milieu du Soleil. Quand ,

284 COMBIÎTAISOSS X>V ^ HCÎTE DROm.

j>ar suite du mouvement circulaire de notre globe, nous venons i passer dans ce plan , il est midi chez nous j < ’est-à-dire qu’il s’est î-coulé autant d’heures depuis le moment où le Soleil s’est levé pour nous , qu’il s’en écoulera jusqu'à celui de sou coucher. Autrement , il est midi, quand le plan passant j)ar l’iixc de la Terre et par notre verticale, vient à passer aussi jiar le point milieu du Soleil. Ce plan est notre méridien.

« Le même méridien ne peut être commun à tous les lieux; par conséquent , midi ne sonne pas au même moment partout : à Metz par exemple, il est midi un peu plus tôt qu’a Paris, parce que le plan méridien de notre ville passe par le point milieu du Soleil, un peu plus tét que celui de la capitale, attendu que Metz est à l’orient de Paris et que la Terre tourne sur son axe d’occident en orient. Mais , nous avons midi un peu plus tard que Strasbourg. De sorte que si vous régliez votre montre à un bon méridien de Metz, avant de partir pour Paris ou pour Strasbourg, elle avancerait quand vous seriez arrivé dans la première de ces v illes , ou retarderait lorsque vous vous irouveiiez dans la seconde, supposé toutefois qu’elle ne se dérangeât pas en route. » '

Loi (ù): Nous avons dit, page 58, que la surface des eaux tranquilles est de niveau : celte surface nous présente donc un plan horizontal ; mais pour que cela soit vr.'ii, il faut qu’on n’en considère pas une grande étendue; car, ainsi que nous le verrons plus loin, elle ne peut être regardée comme plane , qu’entre des limites assez rapprochées. Quoi qu’il en soit, la direction du Cl-à-plomh est toujours pcrpeudiculairc à la surface des eaux tranquilles , et il^ s’ensuit que des verticales sont parallèles (a63), quand elles ne sont éloignées l’une de l’autre que de quelques toises (p. 84, loi b).

264. Une droite qui ne rencontre jamais un plan ou qui n’en est jamais rencontrée, est dite parallèle à ce plan.

I La droite qui est parallèle à un plan , est toujours parallèle à vne certaine droite située dans ce plan , et menée par un point donné; car elle ne peut rencontrer aucune des droites du plan, et parmi toutes celles qui passent par le point, il y en a toujours une qui se trouve dans le même plan que l’autre. Or , deux droites qui placées dans le même plan , sur le meme tableau , ne se rcncontrent pas, sont parallèles (p. 66).

265. Il suffit qu'une droite AB (P. X, F. i4) soit parallèle à une droite CD contenue dans un plan MN , pour qu'elle soit parallèle au plan; car AB ne pouvant sortir du plan AD qui renferme les deux parallèles (i55),. ne pourrait rencontrer MX sans rencontrer en même temps CD.

266. On peut l'ouclure de là et du n° 262 , que des droites parallèles entre elles, le sont toutes au même plan. Mais, la’ réciproque n’est pas vraie : des droites parallèles au même plan ,

' Digilized by Coogit

coinmiso!rs sks fum irrraE srx. s8S

peuTCDt se couper , ou se croiser sans se rencontrer ; ce dernier cas a lieu , quand elles ne sont pas à la même hauteur au-dessus du plan.

Problème : Placer une droite ou l'une des arêtes d'un corps, parallèlement à un plan donné MK (P. X, F. i4).

Tracez une droite CD sur oe plan ; plantez en deux points C , D de cette droite , deux tiges CA , DB de même longueur , perpendiculaires au plan , ou verticales , s’il est possible ; puis , placez l’aréte de manière qu’elle passe par leurs extrémités A, B. La droite ABsera parallèle à CD, puisque ces lignes renfermeront entre elles des parallèles égales (C6); par conséquent, AB sera parallèle au plan MK (a 65).

Appl. (a): C’est d’après ce procédé qu’on pose un garde-fou ou le couronnement d’un parapet, le long d’une rampe qui. n’est autre chose qu’un plan incliné : on plante verticalement des poteaux de même hauteur ou bien l’on trace sur le mur du parapet , des verticales de meme longueur.

Appl. (b) : Qu|[|d un plan est horizontal , toutes les droites qu'il contient sont des mrizontales (263). Une parallèle à un plan horizontal est donc horizontale (264). Il s’ensuit qu’une telle parallèle peut être placée avec le niveau (p. 62). Mais , elle peut l’étrc aussi par le procédé précédent : c’est ainsi que les serruriers posent la barre d’appui d’un balcon , que les menuisiers placent des tringles , des c/moises parallèles à un plancher ou à un plafond, etc., etc.

Combinaisons des plans entre eux.

Deux plans se coupent ou nejse rencontrent jamais. La ligne où. 8e trouvent tous les points communs à deux plans qui se coupent, est appelée l’intersection de ces plans ou la trace de l’un sur l’autre.'

267. L’intersection de deux plans est une ligne droite; car, si parmi tous les points communs à ces plans , il s’en trouvait un seul qui ne fût pas sur la droite formée par deux autres , les plans se confondraient, puisqu’il suilit de trois points non en ligne droite, pour déterminer la position d’un plan (i55).

, Appl. (a): Les oumcrs en bois, en fer, en pierre, etc., n’ont jamais à s'occuper de rendre droites les arêtes des corps qu’ils façonnent : ces arêtes sont des lignes droites , dès que les faces dont clics sont les intersections, se trouvent parfaitement planes. Ainsi, comme nous l’avons dit page 184, les arêtes d’une règle sont vraiment droites, quand les petites et les grandes faces ont été dressées arec soin.

Appl. (fc) : Les plis qu’on forme dans une feuille de papier , dans la tôle, dans une étoife, etc. , sont aussi des lignes droites, parce ^e les faces qui se coupent selon ces plis, sont des plans.

'aSG C0UBINAIS05S DSS SLAira B5TSS mx.

Appl. (c) : 'Le cordeau des charpentiers marque une droite sur la face plane d’une pièce de bois, quand il la choque sans dévier du plan qu'il forme étant élevé en ligne brisée (p. a3). Il faut donc que ce plan soit vertical ; car toutes les parties du cordeau tendent à retomber selon des verticales (u63 et p. q5). Si le plan de l’angle que fait le cordeau étant pincé , düTérait sensiblement du plan vertical , les deux côtés de cet angle , quoique peu pesans et fortement tendus , ne retomberaient pas selon un même plan , et l’empreinte faite par le cordeau se trouverait une ligne brisée ou courbe.

Appl. (rf) : Les lignes projetantes d’une droite (p. 79) forment un plan , et la projection de la droite n’est autre chose que l’intersection de ce plan et du plan de projection. Il s’ensuit que les projections d’une droite sont aussi des droites.

Appl. (e) : Les rayons de lumière qu’interrompt une droite, une arête, formeut aussi un plan, et par conséquent, l’espace qui se trouve privé de lumière derrière la droite, est un plan. Si donc l’ombre d’une droite est portée sur un plan , cette ombre est nécessairement une droite.

268. L’intersection de deux plans verticaux^sl une verticale; car, si par un des points de celte intersection, nous menons une verticale , elle devra se trouver contenue toute entière dans l’un et dans l’autre plan (263), et se confondra, par conséquent, avec la droite commune a ces deux plans.

Appl. (a): On fait usage du dernier principe dans plusieurs arts, pour placer verticalement des jalons, des tiges, des supports, etc. Il faut d’abord mettre une des arêtes, dans un plan qui contienne l’œil et le fil-à-plomb. Prenant ensuite une seconde position , on amène la même arête dans un second plan vertical déterminé comme le premier, faisant en sorte qu’elle ne quitte pas celui-ci. Si elle l’a quitté, on l’y replace, puis on vérihe si elle est encore dans le second. Lorsque, après quelques vériOcations, l’aréte se trouve enfin dans les deux plans verticaux , elle est verticale. Pour plus d’exactitude, il convient que les deux positions de l’observateur soient à environ 90° l’une de l’autre.

Appl. (6): S’agit-il de tracer une verticale sur un plan vertical donné; on fait marquer sur ce plan, deux points de la trace d’un plan qui passe par l'œil et par le CI-<i-plomb , puis on joint ces deux points par une droite , et celte droite se trouve verticale.

269. L’intersection un plan horizontal et d'un plan quelconque , est une horizontale. Cela résulte de ce que l’iulerseclion de deux plans est une droite (267) et de ce que toutes les droites d’un plan horizontal sont des horizontales (u63).

Applicatiok : Lorsqu'une des faces d’une pièce de bois , d’une pierre de taille , d’un corps quelconque , est de niveau , tontes lex

COMBINAISONS DBS PLANS BNTRB EUX. bS'7

srétes qui terminent cette face, toutes les traces des plans qui la rencontrent, sont aussi de niveau.

270. Deux plans MN, MP qui se coupent comme deux feuillets d’un livre (P. X , F. 1 5) , laissent entre eux un espace illimité dans deux sens dili'érens. Cet espace est dit l'angle des deux plans ; on le nomme aussi coin. JVous désignerons le coin par quatre lettres, au nombre desquelles seront celles de l’intersection; nous dirons, par exemple, le coin ISOPM. Toutefois, nous pourrotis aussi nommer un coin par les deux seules lettres de son arête OM , quand il n’y aura pas plusieurs coins autour de celle droite.

Supposons que le plan MP ait été d’abord applique sur MN, qu’il ait eu la position MP', et que Nü soit perpendiculaire sur MO. Pendant que MP a tourne sur MO , pour venir prendre sa position actuelle, tous ses points ont décrit des arcs de cercle dont les centres sont sur MO cl dont les plans sont perpendiculaires à cette même droite (p. 1179 , appl. 6). P', par exemple, a décrit l’arc P'P dont le plan P'OP est perpendiculaire à 510 et dont le centre est O. Il s’ensuit que OP est perpendiculaire sur 510, comme OP' (aSb). De même , A' a décrit l’arc A'A dont le centre est B et dont les rayons A'B, AB sont perpendiculaires à 510 ; C' a décrit l’arc C'C dont les rayons C'D , CD sont aussi perpendiculaires à l’arête du coin.

Il est visible au reste que les rayons OP, B.\ , DC s’écarteront des rayons OP', BA', DC', à mesure que le plan 5IP s’écartera du plan MN ; que si MP a fait un quart de révolution , une demirévolution , une révolution entière sur MO , les rayons OP, BA , DC auront décrit un quart de circonférence, une moitié de circonférence, une circonférence entière, autour des centres O, B, D. Ainsi, quand l’écartement des deux plans ou le coin sera doublé, triplé, quadruplé, etc., les angles POP', ABA', CDC' seront aussi doublés, triplés, quadruplés, etc. Un quelconque de ces angles peut donc servir d’indication pour le coin.

Par conséqueqjt , Y indication de l’angle de deux plans , est la même que celle de Y angle formé par deux droites perpendiculaire» à l'intersection , l'une dans un plan , l’autre dans l’autre. Si l’angle NOP est aigu, le coin NOPM est aigu; s’il est droit, le coin est droit ou bien les deux plans sont perpendiculaires entre eux.

Appl. (a) : La manière dont on se sert du graphoraèlre (p. 48), montre que les angles levés sont les coins formés par les plans verticaux qui contiennent les points remarquables du terrain et l’axe de l’instrument; car cet axe est vertical, puisque le limbe est horizontal , et les ligne de niveau qui donnent l’angle , sont perpendiculaires à l’intersection des plans verticaux. ,

« Dessiner un plan revient donc à marquer sur le papier, considéré comme plan horizontal , les traces des plans verticaux qui passent par les points remarquables du terrain et par les stations.

:)88 coMitmAisoxs des piAifs eittks smc.

Ces traces donnent en se coupant deux à deux , les projections horizontales des points remarquaLles , projections dont l'ensembl* forme le plan ([p. 79). s>

< Si an lieu de lever l’angle ABC (P. X, P. 16) des deux horizontales AB , BC ou des deux plans verticaux BM , BN , on prenait l’angle DBE donné par les droites qui vont de la station B aux objets D , E , on ne pourrait pas rapporter cet angle sur le plan horizontal du papier , sans y faire une correction ; car l’angle DBE est visiblement plus petit que l’angle horizontal ABC , puisque BD , BË étant plus rapprochées de la verticale BF , que B A et BC , sont moins écartées l’une de l’autre que les dernières droites. En faisant sur le plan l’angle DBE , sans l’augmenter convenablement , on n’obtiendrait pas les véritables poéitions des points D , E du terrain-, par rapport à la base (p. 366, appl. a). Dans d’autres cas , il faudrait opérer une diminution ; la droite BE , par exemple , pourrait se trouver tellement au-dessous de BC , que l’angle DBë surpassât ABC. »

Appl. (6): La position d’un plan incliné MN (P. X, F. 17) pourrait se déterminer an moyen du coin aigu qu’il forme avec un plan horizontal PQ ; l’indication de ce coin serait celle de Pangle BAC que ferait sur le plan horizontal , une droite AB tracée dans le plan incliné, perpendiculairement à la trace horizontale MP; car (a58) l’horizontale BC d’équerre sur MP, rencontrerait la verticale AC , puisque le plan ABC étant perpendiculaire à l’horizontale MP (356), prendrait la verticale B et par suite AC (i55).

« Mais , comme il serait incommode, dans la pratique , d’employer l’indication d’un angle pour déterminer la position d’un plan incliné , on fait ordinairement connaître cette position en donnant la pente AC de la droite AB (p. 380). Celte droite et toutes celles du plan MN qui coupent d’équerre , comme elle, l’horizontale MP , sont de# lignes de plus grande pente (p. 35), c’est-à-dire que de toutes les droites inclinées qui peuvent être tracées sur le plan MN , ce sont celles dont la pente est la plus grande. »

« Soit en eifet l’horizontale Bc égale à un m^e , comme BC ; soit aussi la verticale ca élevée jusqu’au plan 5ÊV. Cette verticale sera la pente de la droite inclinée aB , tracée sur MN. ,Mais , puisque Bc est plus longue que B'c perpendiculaire à MP , le point C est plus éloigné de MP que c , et par suite , il en est de même de A relativement à a. Conséquemment A est plus élevé que a , et la pente AC plus grande que la pente ac.

« Ainsi , Les lignes de plus grande pente d’un plan incliné sont perpendiculaires à ses horizontales ; »

« 3° C’est la pente (Lune ligne de plus grande pente, qui détermine la position d’un plan incliné. >

« Voilà pourquoi l'on dit qu’une rampe est au cinquantième , lorsque ses lignes de plus grande pente ont une pente de deux centimètres, pour une distance horizontale d’un mètre. »

COMBIÜAISOHS DBS PLA7CS E>'TBB Rl'X. 189

« Problème : Tracer une ligne de plus grande pente , sur un plan incliné MN (P. X, F. 17). »

« Il suffit de tracer une horizontale quelconque AD, dans le plan MX, et une droite AB qui la coupe d’équerre. Celte perpendiculaire AB est alor» une des droites de plus vite descente , c’est-à-dire quelle est le chemin le plus rapide qu’on puisse suivre pour aller de A à l’horizontale MP qui termine le plan incliné. »

Appl. (c) : Si l’on veut indiquer en degrés la position d’un plan ineliné, par rapport au plan horizontal, il faut y tracer une ligne de plus grande pente AB (P. X , F. 1 8) ; appliquer sur cette droite , l’un des petits cotés d’une équerre ADC ; placer contre l’autre, l’une des arêtes droites d’un quart de cercle DFE gradué et garni d’un ill-à^lomb attaché au centre Ej puis prendre l'indication de l’angle DEC formé par ED, perpendiculaire au plan incliné, et par la verticale EG.

« L’angle DEG ou DEH est elTectivemcnt égal à l’angle ADI , formé par AB et par l’horizontale DI contenue dans le plan vertical ADF, car chacun de ces deux angles ajouté à EDH, donne 90°. Or, l’angle ADI est bien celui que fait le plan incliné sur le plan horizontal , puisque le plan vertical ADI est nécessairement perpendiculaire à l'horizontale du plan incliné , que AB rencontre d’équerre au point D (appl. 6). >

« A défaut de quart de cercle, bn applique sur AB une règle un peu large , on place un fil - à - plomb au sommet K , et l’on traee sur la règle la verticale KL. Le rapporteur donne ensuite l’indication de l'angle MKL , qui est égal à KBD , si les grandes arêtes de la règle sont parallèles ; et il ne s’agit plus que de retrancher KBD de 90", pour obtenir l’angle cherché DBO. »

Appl. (d) : Tailler les pierres , c’est former des faces ou paremens qui se coupent en faisant des coins déterminés , tantôt droits , tantôt aigus , tantôt obtus. Si donc on a déjà un parement MN (P. X , F. 19) auquel doive être perpendiculaire l’intersection des deux faces d’un coin , c’est sur ce parement qu’il faut rapporter avec la fausse équerre , l’angle ABC de ce coin : les droites AB , BC qu’on y tracera , seront .perpendiculaires à l’intersection BD, quand les faces ABD, CBD seront exécutées convenablement (i56), et ces faces feront l’angle ou le coin donné (270).

271. Un plun MX qui contient une droite AB perpendiculaire à une autre OP, est aussi perpendiculaire à ce plan (P. X , F. ao).

Puisque AB est perpendiculaire sur OP, clic l'est aussi sur CX, intersection de MX et de OP, et sur BD menée dans OP perpendiculairement à CX (a56). Ainsi, l’angle ABD est droit et il en est de même du coin des deux plans (a 70).

, Donc , tout plan vertical est perpendiculaire au plan horizontal qu'il rencontre; car le plan vertical c'ontient la verticale (a63), droite qui est perpendiculaire au plan de niveau,

■3:gO COMBmAISONS DES PLANS ENTRE BVX.

272. Si Jeuxjilans MN , OP sont perpendiculaires à un troisième QR, l’intersection AB des deux premiers est perpendiculaire au dernier (P. X, F. ai).

Elevons au point A dans le plan MN , une perpendiculaire AC à sa trace ND , et menons sur le plan QR , AE perpendicuflaire à la même trace. L’angle CAE sera droit , puisque MN est perpendiculaire sur QR (•^70); par conséquent, AC sera aussi perpendiculaire sur QR (a5G). Elevons au même point A dans le plan OP , une perpendiculaire AF à la trace PG ; AF sera perpendiculaire sur QR, comme. AC. Or, on ne peut élever par un point donné, qu’uuè seule perpendiculaire à un plan (a5/). Donc, AC et AF se confondent , et comme ces droites appartiennent à des plans différens , elles se confondent aussi avec l’intersection AB de ces plans. Donc enfin , AB est perpendiculaire au plan QR.

Appl. (a): C’est en appliquant le principe 271 , que le tailleur de pierres exécute un parement d’équerre sur un autre MN (P.X, F. 19). Après avoir tiré une droite BC sur le parement terminé, il fait en un point E de BC, une plumée ou ciselure droite, sur la face brute NP. Cette ciselure doit être telle qu’en y plaçant l’une .des règles d’une équerre ouverte, et la faisant pivoter, on voye l’autre règle s’appliquer exactement sur MN, dans tontes ses positions. Alors , le fond de la ciselure est perpendiculaire sur MN (a56). Si donc on enlève la pierre qui dépasse le plan de CEF ou de BEF, le parement qui en résultera, contiendra une perpendiculaire à MN et sera lui -même d’équerre sur cette face plane.

Appl. (6): Le principe 272 montre qu’il suffit aux tailleurs de pierres , et aux charpentiers , de former deux paremens ABD , CBD qui soient d’équerre sur un troisième MN (P. X, F. 19), pour obtenir une arête BD perpendiculaire à ce troisième parement.

Loi DE LA NATURE (d) : Le rayon de lumière AB qui vient frapper un miroir, un plan DE (P. X, F. 22), est dit rayon incident; le rayon BC que renvoie le miroir, est dit rayon réjléchi (p. 64); 'le point B où se brise le premier, est nommé point d’incidence. Le plan ABC est toujours perpendiculaire à celui do miroir , et les .rayons font des angles égaux , avec la perpendiculaire BF élevée au point B, sur ce miroir.

« Comme l’angle ABF est appelé angle d’incidence , et FBC , angle de réflexion, on dit , en physique , que la lumière est réfléchie par un miroir plan, de manière que Pangle de rtflexion égale l’angle d’incidence. Cette loi de la réflexion de la lumière, est commune à la réflexion de tous les corps parfaitement élastiques.; aussi fait-.ellc le fondement des principes du jeu de billard. ■»

Loi (6) : Le rayon incident AB et le rayon réfracté BC (P. X , F. n3) forment aussi un plan perpendiculaire à la face planç DJB du corps où se fait la réfraction (p. 6«4). Si vous prenez BF et B6 égales et que vous meniez les droites xH, G1 d’équerre sur fiU,

CO«BI»AISORS DBS PL^SS EHTBB IDX. >ÿl.

perpendiculaire au plan DE, élevée par le point d'incidence B, le rapport des pentes FH, GI sera toujours le même, pour toutes les positions de AB , tant que le corps qui a DE pour face , ne changera pas. Voilà pourquoi l’on dit que les sinus de Vangle d'incidence et de^ l’angle de réfraction , sont dans un rappogf œnslant pour le même milieu^ c’est-à-dire pour le même corps; car la pente FH est appelée le sinus de l’angle ABU ,et GI , le sinus de l’angle CBI. Quand le milieu change , le rapport des sinus change aussi ; ce rapport , par exemple , n’est pas dans l’eau , le même que dans le verre.

273. Deux plans qui ne se rencontrent jamais sont dits plans parallèles.

Deux plpns MN, OP pérpendiculaires à une droite AB, sont parallèles (P. X, F. t»4); car s’ils se rencontraient quelque part, on pourrait joindre uu point G de leur intersection aux extrémité» de AB; cette droite serait perpendiculaire à AC et à BC faSd), et par conséquent, il y aurait deux perpendiculaires AC, BC 'abaissées d'un même point C sur la droite AB, ce qui a été démontré impossible (55).

Donc tous les plans horizontaux sont parallèles, puisqu’ils sont tous perpendiculaires à la verticale (363).

274. Un plan qui contient deux concourantes parallèles à un \ autre, lui est parallèle; car si ces plans pouvaient se rencontrer, ' leur intersection couperait au moins une des concourantes situées comme elle dans le premier plan. La concourante coupée rencontrerait donc le second plan , ce qui est impossible , puisqu’elle lui

est parallèle.

Donc , deux plans verticaux sont parallèles, quand l’un, contient une droite horizontale ou inclinée parallèle à l’autre. Alors , en effet , le premier renferme deux concourantes parallèles au second , puisque les verticales qu’on y peut tracer sont parallèles à tous les plans verticaux (363 et 365).

275. Les intersections de deux plans parallèles, coupés par un troisième, sont des droites parallèles; car ces droites étant toutes deux dans le plan coupant , se rencontreraient si elles n’étaient pas parallèles, et p^r suite, les deux plans coupés se rencontreraient aussi. Or , il n’en peut être ainsi , puisque ces plans sont parallèles.

276. Une droite K& perpendiculaire à un plan 3IN, est aussi perpendioulaire à tout plan parallèle OP (P. X , F. a4).

Faisons passer deux plans quelconques par AB. Les traces AD ,

BE de l’un seront {parallèles (ayâ), et il en sera de même des traces AF , BG de l’autre. Mais , AB étant pcrpcndicidaire à M\ , l’est aussi sur AD, AF (336), et par suite, sur leurs parallèles BE,

BG (37). La droite AB est donc perpendiculaire à deux droites du plan OP, et par conséquent, à ce plan.

3^2 COXBIKÀISOIfS DES PL AXS EXTEE EUX.

277. Des droites parallèles AB , DE comprises entre des plant « parallèles MîV , OP , sont égales (P. F. 24).

Faisons passer un plan AE par ces droites (i55); il coupera MN et OP selon deux parallèles AD, BE (275). Alors AB, DE seront des parallèles comprises entre parallèles. Elles ont donc .

elTectivement meme longueur (65).

278. Deux plans parallèles sont partout à la mdjne distance fun de Vautre ; car les distances des points du plan MN au plan OP (P. X , F. 24), sont les longueurs des perpendiculaires abaissées de ces points sur OP (p. 281); or, ces perpendiculaires sont parallèles entre elles (260) et, par conséquent, de même longueur (277).

Appl. (a) ; Les deux meules d’un moulin à farine sont placées de manière que les faces planes extérieures se trouvent perpendiculaires à l’axe de rotation de la meule supérieure. Ces faces sont donc parallèles , et comme la rotation autour d’un axe ne peut altérer en f

rien la position d’un plan perpendiculaire à cet axe (p. 279), les I

mêmes faces restent parallèles pendant le mouvement. Il s’ensuit que les faces qui se regardent, bien qu’elles ne soient pas planes, sont toujours placées de la même manière, l’une par rapport à l’autre, et que les grains sont écrasés également sur tous les points.

« Cet exemplc:est propre à montrer l’importance de la précision géométrique dans la construction des machines ; car si les faces planes extérieures n’étaient pas rigoureusement perpendiculaires à l’axe de rotation ; si pendant le mouvement la perpendicularité de l’axe et le parallélisme des meules pouvaient être troublés, les distances des deux faces écrasantes ne seraient pas constantes: il y aurait des endroits où les meules trop rapprochées échaufferaient la farine, et d’autres où trop écartées elles ne pourraient moudre. »

Appl. (J) : Il résulte du n° 277 que si une droite AB (P. X, F. 24), est attachée à un plan MN, l’extrémité B ne pourra jamais quitter le plan parallèle OP, quels que soient les mouvemeus qu’on fasse faire au plan MN sans changer sa position ; car toutes les positions que prendra AB par suite de mouvemens rectilignes , seront parallèles entre elles , et par conséquent , toutes les positions de B devront i

former un plan parallèle à MN j s'il s’agit de mouvemens circulaires et que la droite soit oblique sur le plan , elle gardera toujours la même inclinaison et la même longueur ; la perpendiculaire abaissée de l’extrémité B sur le plan MN , ne variera donc pas (166) et le |

résultat précédent sera encore obtenu. j

« De même , la droite BG qui joint les extrémités de deux parallèles égales AB, FG, peut engendrer le plan OP, si le plan MN se meut sans changer de position , emportant dans son mouvement les parallèles AB , FG. »

« Voilà deux conséquences du principe 277 qui fournissent d’autres procédés pour la formation des plans. Toutes deux. ont

COMBIXAISOnS DES PLA.NS ESTIIB BDX. ig5

l£ur application dans le rabot mécanique qu’a établi en Angleterre M. Brunei, ingénieur français. »

« La pièce principale du rabot mécanique est une roue A (P. X, F. a5) montée perpendiculairement sur un arbre vertical, et pouvant, par conséquent, tourner dans on plan horizontal (p. 27g); elle porte vers chacune des extrémités d’un de scs diamètres, seize gouges B parallèles et de même longueur. Derrière chaipie groupe de gouges, se trouve un fer à raluit C. Le madrier 1) qu’il s’agit de dresser, d’aplanir, est porté par un chariot que pousse vers l’arbre A, une presse hydraulique. Ce chariot avance d’une longueur égale à la longueur des fers C , pendant que la roue fait un demi-tour. Il s’ensuit que les gouges forment à chaque demi-tour, sur toute la largeur du madrier, seize rainures circulaires trê-s— serrées et jdaeées sur ua même plan. Aussitôt après, les rabots enlèvent les languettes qui séparent ces rainures , et achèvent ainsi d'aplanir. •»

€ Comme les pièces à dégrossir n’ont pas toutes la même épaisseur et que le bois n’a pas toujours la même dureté , une seconde presse hydraulique élève ou abaisse la roue A , autant qu’il est nécessairo pour que les gouges et les rabots puissent mordre de la quantité convenable. Enlin , c’est une machine à vapeur qui fait marcher la roue et les presses. »

Appl. (c): La scie à recéper les pieus sous l’eau présente l’application d’une droite qui sc mouvant à une distance constante d’un plan, en forme un autre. CAtc droite, c’est la scie proprement dite, AB (P. X, F. a6); elle est attachée par deux tringles de même longueur, à uuc barre CD qui peut glisser sur un cadre 3fN formant un plan horizontal , et par conséquent, elle coupe les pieus lüF selon un plan horizontal OP placé à une distance donnée dn cadre. Un mécanisme situé hors de l’e.au , imprime à la scie le mouvement convenable.

279. Si deux plans parallèles MX, OP (P. X, F. a4-) sont coupés par deux autres plans non parallèles AE , A(1 , l’anf'le DAF des traces sur l'un des plans parallèles, égale l'angle EBG des traces sur C autre.

En effet, si nous donnons la même longueur aux parallèles AD, BE (ayS), AB et DE seront des droites parallèles et égales ((>6). De meme , si nous faisons AF= BG, AB et FG seront des droites parallèles et égales. DE et FG seront donc aussi égales et par.illèles. Par conséquent , DF et EG auront meme longueur ; les deux triangles ADF, BEG seront égaux (i64), et les angles A, Bde ces triangles auront même indication.

On tire de là les deux principes suivans :

Deux angles DAF , EDG situés dans des plans différens , sont égaux, quand les côtes de l'un sont parallèles aux côtés de l'autre et dirigés soit dans les mêmes sens, soit en sens contraires (64)-

•Si trois droites AB , DE , FG non situées sur le même plan ,

agi ^ coMBiNAisoas des plans entre eux.

s»nt égales et parallèles, les triangles ADF, BEG formés par

leurs extrémités , ont même superficie et des côtés parallèles.

280. Des droites coupées par plus de deux plans parallèles, sont divisées en parties proportionnelles.

Prenons pour exemple, les trois plans SIN , OP, QR (P. X, F. ii) qui coupeut en A , £, B et en C , G, D les deux droites AB , CD situées ou non dans un même plan. Nous pourrons joindre A et D ; le plan BAD coupera OP et QR selon deux parallèles BD , EF (a 75) , et nous aurons (79) AE C EB J I AF FD. Mais , le plan ADC coupera MN et OP aussi selon deux parallèles , cc qui donnera AF I FD ! ! CG ! GD. Donc , à cause du rapport commun AF ! FD, noos obtiendrons AE ! EB CC CG C GD.

281. Trois plans qui ne passent pas par une même droite , ne peuvent avoir de commun qu'un seul point ; car deux de ces plans se coupent selon une droite , et cette droite ne perce le troisième qu’en un point. A plus forte raison, quatre, cinq plans, etc. ne peuvent se rencontrer qu’en un point ou selon une ligne droite.

Quand plusieurs plans qui se coupent deux à deux, ont un seul point commun , ils forment ce qu’on nomme un angle solide. Ainsi, les plans MN , NO, OP, PM (P. X, F. a8) font en se coupant deux à deux , l’angle solide A. L’intérieur d’un clocher à plusieurs faces et terminé en pointe, est un véritable angle solide. 0

Donc, un angle solide est un espace non terminé, compris entre trois plans au moins qui forment pointe. D’après cela , il y a deux choses à considérer dans un angle solide; les angles plans MAN, NAO , etc., qui sont les faces, et les coins dont AM, AN, etc., intersections des plans, sont les arêtes.

282. Dans un angle solide formé par trois plans, un quelconque des angles plans est moindre que la somme des deux autres ; car les angles MAN , NAO (P. X , F. ag) ne pourraient pas se rabattre sur MAO , en tournant autour de AM et de AO , sans empiéter l’uH sur l’autre.

283. La somme de tous les angles plans qui forment un angle solide, est toujours moindre que quatre angles droits; car si l’on relève les angles MAN, NAO, OAP, PAM (P. X, F. 28), jusqu’à ce qu’ils se trouvent sur un même plan passant par A , ils cesseront de se joindre et ne couvriront pas l’espace autour du point A , espace qui est égal à quatre angles droits.

Nous n’en dirons pas davantage sur les angles solides; cc qui vient d’être exposé sufOt pour l’intelligence du reste de la gcoaiétriu ciemenlairc.

DESSIN DES COBPS.

SVltFBGBS COVHBES.

Nous avons étudié les faces planes limitées et les plans considérés isolément. Ces plans ont été combinés ensuite avec les lignes droites et entre eux. Voici donc le moment de nous occuper des surface» courbes.

La première chose à faire , c’est d’apprendre à représenter les surfaces exactement sur le papier, ou, ce qui revient au même, à dessiner les corps de niSuière qu’au moyen d'une échelle , on puisse en trouver les vraies dimensions ; car on ne saurait montrer aux yeux une surface courbe complète, sans donner une idée exacte du corps qu’elle limite. Il n’en est pas de même d'une face plane : comme elle peut appartenir à un grand nombre de corps dont les formes diffèrent essentiellement, elle n’en rappelle aueun , lorsqu’elle est considérée seule.

Déssin des corps.

284. Pour que le dessin d’un corps en donne exaetnuent les dimensions , il doit être complet.

Le dessin complet d’uu corps sc compose de deux parties an moins : le plan et l’éléoation (appl. o, p. 79 et appl. d, p. *j83).

Le plan est l'ensemble des pieds des perpendiculaires abaissées de dioers points du corps, sur un plan horizontal.

On peut dire aussi que le plan est l’ensemble des lignes qu’on aperçoit en promenant l'oeil au-dessus du corps , de manière à le placer successivement sur toutes les verticales de ce corps j ou bien , le plan est la figure qu’on verrait, si l’on pouvait regarder de haut en bas et à la fois, tons les points visibles du corps. Généralement, ces points sont unis sur le plan , par des droites ou des courbes , '

selon qu’ils le sont dans le corps par des (îroites ou des courbes.

Placez" votre équerre de façon que ses faces triangulaires soient horizontales, etatachez des fils-à-plomb aux trois sommets. Ces fils marqueront trois points sur un plan horizontal situé au-dessous de l’éqnerre , à une distance quelconque. Unissez ces points par trois droites ; vous aurez un triangle parfaitement égal aux faces triangulaires de l’éqnerre. £n effet , les fils-à-plomb sont parallèles , et les droites horizontales qu’ils comprennent entre eux sont égales, puisqu’elles sont aussi parallèles (54); par conséquent, les cétés du triangle fait sur le plan horizontal , sont égaux aux côtés correspondans des faces triangulaires de l’équerre, et il s’ensuit que ce triangle égale chaque face (i64). Un tel triangle est le plan de l'équerre; il eu fait connaître toutes les dimensions, l’épaisseur exceptée.

Il est clair, d’après cela , qu’une pièce de bois coupée carrément, dont les deux bouts seraient des carrés et qui se trouverait placée verticalement , aurait un carré pour son plan ; les côtés de ce carré