On peut appliquer le premier mode de génération du

n“ 2ç)7, à la surface cylindrique, circulaire et droite, en faisant tourner un rectangle ABCD , sur un BC de ses côtés (P. X , F. 3 {) ; car alors le côté AD chemine le long de la circonférence décrite par le point A , et reste constamment parallèle à sa première position. .

Ainsi , la surface cylindrique droite peut être engendrée par une névoiUTiON ou rotation complète d'un rectangle. C’est pour cela qu’elle est souvent appelée surface cylindrique de révolution.

300. Les rayons et les diamètres de la circonférence génératrice, sont aussi ceux de la surface. Il y a donc égalité entre tous les rayons et entre tous les diamètres d’une surface cylindrique.

Par conséquent , la surface cylindrique de révolution est le lieu de tous les points également éloignés d’une droite : elle joue , par rapport à son axe, le même rôle qu’une ligne droite joue sur un plan, relativement à sa parallèle (67).

3oa ^ SUHFACIÎS CïXIMORIQÜES.

11 n'en est pas ainsi de. la surface cylindrique oblique, par la raison que le même cercle n’y a que deux rayons qui soient perpendiculaires à des génératrices droites; les autres étant obliques, sont plus longs que les distances de leurs extrémités à l’axe.

PaoBi. (a) : Dessiner une surface cylindrique droite et complète dont la longueur L et le rayon R sont donnés (P. X , F. 35).

Comme rien n’indique la position de la surface , par rapport aux plans de projection, nous pouvons placer l’axe verticalement, pour plus de simplicité. Alors , la projection horizontale est un cercle égal à l’iqie des bases, et l’élévation, un rectangle égal à celui que forment les diamètres tracés dans les bases parallèlement à la ligue de terre , avec les deux génératrices droites qui joignent les extrémités de ccs diamètres (agi).

Décrivez donc sur le plan horizontal , un cercle A , avec le ra'yon R; abaissez du centre, une perpendiculaire AA" sur la ligne de terre; menez deux tangentes parallèles à AA" (p. lay); portez-y la longueur L, de B' en B" et de C' en C"; puis tirez enOn la droite B"C".

Vous pourrez prendre le diamètre de la surface, sur la ligne de terre , de B' en C', et la longueur , sur les grands côtés du rectangle B'C*C"B" ou sur la projection verticale A'A" de l’axe. La projection horizontale de cet axe est le point A (aSy).

Les projections d’un axe de surface sont toujours en ligne de construction , parce que l’axe est une droite qui n’existe pas.

Probl. (6) : Dessiner une surface cylindrique oblique et complète , dont la longueur L ^ pente des génératrices droites et le rayon R sont donnés (P. X ,T. 36).

Plaçons la surface de manière que la base inférieure repose sur le plan horizontal et que ses génératrices droites soient parallèles au plan vertical. La projection horizontale présentera d’abord un cercle A tracé avec le ra3'on R (agi). Le diamètre BC, parallèle à la ligne de terre, se projettera verticalement en B'C', et le centre A en A', comme dans le cas de la surface cylindrique droite.

Portez donc p.’usicurs unités de longueur sur la ligne de terre, de A' en D , et autant de fois la pente donnée , de D en E , sur une perpendiculaire élevée au point D. La droite A'E sera parallèle aux génératrices droites et formera la projection verticale de l’axe (a58).

Portez alors la longueur L de A' en F', pour avoir la projection verticale du centre de la base supérieure; menez par F', line parallèle à la ligne de terre , et par B', C', des par.aîlèles à AT'. Le parallélogramme B'C'G'H' sera la projection verticale de la surface.

Vous terminerez la projection horizontale, en tirant AF parallèlement à la ligne de terre (agi); abaissant de F', une perpendiculaire sur celte dernière droite; décrivant de F, un cercle de rayon R (aSti), et menant parallèlement à AF, deux tangentes communes aux cercles A , F.

SfRFACnS CTLi.'IDRIQl'ES. 5o3

La hase supérieure est enlièrcmeut visible , quand on regarde la surface de haut en bas ; mais il n’en est pas de niênie de la hase inférieure: on n’en voit qu’une moitié, formée par le diamètre perpendiculaire à la ligne de terre ; l’autre est totalement cachée , et c’est pour cela qu’elle est ponctuée (aqC). ^

Appl. (fl) : Les procédés qu’emploient les artistes et les ouvriers pour exécuter les surfaces cylindriques , se rapportent a la prciuière ou à la seconde des générations du n“ agy, scion qu’il importe <|ue ces surfaces soient parfaitement réglées ou exactement rondes.

« Dans le premier cas , on trace un polygone régulier d’uii grand nombre de côtés, sur l’une des faces du corps qui doit devenir cylindrique j on forme ensuite aiitaut de rectangles ou de trapèzes rectangulaires , que le jmlygone a tic côtés ; après tjuoi , l’on abat les arêtes , intersections de toutes les facettes planes , en s'efforçant d’arrondir le plus qu’il est possible. »

« C’est ainsi que les charpentiers exécutent les mâts de vaisseaux et que les tailleurs de pierres font des cylindres. Les scies qui débitent en rond, forment aussi des facettes étroites. »

Appl. (6): Quand les architectes ont a construire des voûtes cylindriques , ils font placer sur des cintres à demi circulaires , exécutés en bois, des madriers dont les petites arêtes forment un demi - polygone régulier, et dont les grandes arêtes sont les génératrices de la voûte. Les maçons posant les moellons sur ces madriers, produisent une surface bien réglée, couiposée de facettes planes, et presque cylindrique.

Appl. (c): Lorsque l’exactitude doit porter principalement sur les génératrices courbes, un travaille le corps sur un tour, en conservant, le plus qu’il est possible, la distance de l’outil a l’axe de rotation, chaque fois qu’on passe d’une circonférence à une antre.

Appl. (<f) : Les anglais confectionnent des cylindres en bois , au moyen d’un rabot circulaire qui a la forme d’un entonnoir. Avant d’être engagée» dans le rabot , la pièce est taillée de manière à présenter quatre ou huit longues faces planes , égales et rectangulaires. Pendant qu’on pousse cette pièce, en bgne droite, autant qu’il est possible, le rabot tourne sur lui -même et produit une surface exactement ronde.

Appl. (e) : Le procédé de la jilière qu’on emploie pour fabriquer les fils métalliques, est analogue an précédent. La filière est un trou circulaire, dans lequel une petite barre de fer ou de laiton est forcée de passer, ce qui diminue sa grossqtir en augmentant sa longueur. Plusieurs trous pareils, de plus en plus petits, donnent le moyen de convertir ou d’étirer la barre en un fil cyliudrique aussi fin que le permet la nature de la matière.

Appl. (y) : Si la surface cylindrique doit être parfaite dans les deux sens, il faut employer à la fois les deux moyens de génération du n“ 797. C’est ce qu’on fait souvent. Pour fabriquer des cylindres

3o4 SDarACES ctlindbiqvss.

en treillis ou à claire-roie , les épingliers et les Tanniers attachent un certain nombre de circonférences à autant ou à im plus grand nombre de génératrices droites.

Appl. (g) : Le tourneur de métaux fixe l’outil sur un chariot qui roule selon des parallèles à l’axe de rotation et avance dès qu’une petite bande evlindrique est achevée.

« Il en est à peu près de même pour la confection des cylindres creux , au moyen du forage : le foret est poussé en ligne droite , par un cric, pendant que le corps qui doit être évidé tourne sur lui-même. La direction de l’outil et de l’axe de rotation doivent se confondre. Mais, une foule d’accidens provenant de la mauvaise construction des forets et de la conduite actuelle du travail , occasionnent si souvent des déviations , qu’il faut un heureux hasard pour que le forage produise un vrai cylindre creux dont l’axe se confonde avec celui de la rotation , qui est le même que l’axe de la surface extérieure. C’est ce qu’a prouvé complètement M. le capitaine d’artillerie Munier, de Metz , dans un excellent mémoire inédit sur les foreries de canons. £

Appl. (Ji) : Le moyen le plus sûr d’obtenir des corps creux dont . la surface intérieure soit vraiment cylindrique , c’est de les mouler sur un cylindre exécuté avec précision. Les moules eu sable ou en terre sont confectionnés ainsi , quand ils doivent convertir en cylindres, le métal liquide qu’on y verse. On établit solidement sur une table , le cylindre modèle qui est ordinairement en laiton ; on l’entoure d’un cadre; on foule du sable très-lin dans l’intervalle, et l’on obtient en retirant le modèle , un cylindre creux de mêmes dimensions. Si le moule doit être eu terre, on couvre le cylindre de laiton , d’une couche peu épaisse de terre réduite en bouillie , puis on applique par-dessus, un grand nombre d’autres couches de plus en plus épaisses et de moins en moins liquides.

Appl. (i) : C’est aussi en employimt un cylindre modèle , qu*on parvient à étirer à la fdière, des cylindres creux de dimensions données. On coule du plomb autour d'un cylindre plus court que le modèle , mais de même rayon, et l’on forme ainsi uu cylindre creux bien moins long et beaucoup plus épais que celui qu’il s’agit d’obtenir. Le cylindre modèle est ensuite introduit dans le cylindre de plomb, et le tout est forcé de passer par une filière circulaire d’un diamètre un peu moindre que celui de la circonférence extérieure du dernier corps. Le plomb s’amincit et s’alongc ; une seconde filière plus étroite que la première , l’amincit, et l’alonge encore davantage ; il en est de même d’une troisième, et la dernière est telle qu’elle ne laisse aux parois du cylindre de plomb , que l’épaisseur requise.

Appl. (i) : Les ventilateurs qu’on emploie , soit pour aérer les galeries des mines , soit pour forcer l’air à passer aux travers des amas de grains qu'on veut sécher, soit enfin pour transporter d’un lieu dans un autre, les parties les plus fines d’un corps réduit en poussière, les ventilateurs sont fondés sur le principe 399.

X Un cylindre creux de révolution, en maçonnerie ou en bois.

SrBFACES CTLIXDRIQUBS. 3o5 ’

forme une cage dont ABCD (P. X, F. 37) est le plan et dont B'D'EF est la coupe faite selon le diamètre BD (p. 81 J. Un arbre en fer G et G'H est placé selon l’axe de la cage et terminé par une manivelle I qu’un homme ou une machine quelconque met en mouvement. A cet arbre sont attachées quatre ailes rectangulaires K et K' formant deux plans qui se coupent à angles droits : elles sont séparées les unes des autres , de sorte qu'il existe un espace libre entre elles et l’arbre. Le fond de la cage est percé en G', d’un trou dont le diamètre égale l’intervalle des deux ailes qui forment un même plan. Enfin, un conduit ou une porte A se trouve placée sur le pourtour du cylindre creux , de telle façon que l'arête AL , intersection du sol et d’une face de cette porte, est tangente à la circonférence intérieure du fond de la cage. >

< Supposez maintenant que vous fassiez mouvoir la manivelle; le rectangle que forment les deux ailes d’un même plan , pourra tourner dans le cylindre creux, bien que les côtés de ce rectangle touchent presque les parois de la cage; les quatre ailes, en tournant dans le sens de la flèche, chasseront devant elles, l’air qui se trouve entre deux , et cet air sera forcé de prendre un mouvement circulaire.

Or, les parties d’un corps qui tourne, tendent sans cesse à s’échapper par les tangentes des circonférences qu’elles parcourent (p. i33).

A mesure donc que l’air chassé par les ailes , arrivera vers la porte A, il s’échappera par cette ouverture et produira un courant, un vent d’autant plus fort que le mouvement de la manivelle sera plus rapide. Mais il faut remplacer l’air expulsé de la cage, si l’on veut produire un courant continu. Le trou G’ est fait pour cela : il entre autant d'air par ce trou, qu’il eu sort par le conduit A. >

301 . Une propriété très-utile de la surface cyliudritiue , propriété qu’elle partage avec plusieurs autres surfaces réglées , c’est de pouvoir être développée, c’est-à-dire étendue sur un plan, après qu’on l’a fendue, selon une génératrice droite. On concevra en effet, si l’on considère une surface cylindrique quelconque comme composée d’une multitude de facettes planes , qu’en faisant tourner CCS facettes sur leurs intersections , on peut parvenir à les amener toutes sur un même plan.

Comme , sur uii plan , l’ensemble de facettes rectangulaires qui ont deux à deux un côté commun , doit former un rectangle, il est clair que le développement d'une surface cylindrique droite est un rectangle dont la base égale en longueur celle de la surface , et ■ dont la hauteur égale une des génératrices droites.

Il n’en est pas de même d’une surface cylindrique oblique : la génératrice courbe ne rencontrant pas d’équerre les génératrices droites , ne saurait former une ligne droite sur le développement. V

Probi.ème : Tracer le développement d’une surface cylindrique droite et limitée (P. X , F. 35 et 38).

Divisez l’un des quarts de la circoiiféreuce A , base de la surface,

3o6 SrUFACES CTLIHDniQr*S.

en deux parties égales et faites la même opération sur le huitième , sur le seizième , etc. , jusqu’à ce que vous parreniez à un arc assez petit pour qu’il puisse être considéré comme égal à sa corde , sans grande erreur. Portez cet arc sur une droite , à partir d’un point D, autant de fois qu’il est contenu dans la circonférence A. Par le point £ qui en résulte, et par le point D, élevez des perpendiculaires à DE, développement de la circonférence A; donnez leur pour longueur, celle B'B" des génératrices droites, -et joignez les points F , G ainsi obtenus.

Le rectangle DEFG sera le développement de la surface cylindrique dont la figure 55 présente les projections , et sa superficie approchera d’autant plus d’être égale à celle de la surface courbe, que la circonférence A contiendra un plus grand nombre de fois l’arc porté sur DE.

302. Le rapport de deux surfaces cylindriques droites, limitées par deux circonférences parallèles, est te même que celui des produits de leurs génératrices courbes multipliées chacune par la génératrice droite; car chaque surface développée formera un rectangle équivalent qui aura pour base la génératrice courbe, pour hauteur la génératrice droite , et le rapport des deux rectangles., sera celui des produits de leurs bases multipliées chacune par la hauteur correspondante (199}.

Appl. (fl) : Puisqu’une surface cylindrique droite peut se développer en rectangle , il est possible de la former en ployant un rectangle DEFG ( P. X , F. 58), de manière que deux côtés parallèles EF, DG se confondent. C’est ainsi que le boissclier, le chaudronnier, le ferblantier et le plombier construisent les cylindres droits et creux. Le premier emploie des planches rectangulaires exactement planes et de même épaisseur partout j il en forme la paroi ronde des mesures qu’il confectionne. Le fond de ces mesures est un cercle , comme les fonds des tonneaux. Le bord supérieur est ordinairement garni en tôle et maintenu par deux diamètres en fer qui se croisent à angles droits , afin que tout changement de forme soit impossible. Cela est fort important : un boisseau, un double-décalitre qui cesserait d’être cylindrique, ii’aurait plus la même capacité, ne contiendrait plus autant de grains ; il en serait visiblement de même , si les génératrices droites venaient à diminuer de longueur, par suite de l’usure du bord.

Appl. (6) : Le plombier qui , pour faire des gouttières ou d’autres conduits cylindriques, emploie des rectangles assez épais, doit Avoir le soin de rogner en biseau les bords qu’il veut souder ensemble par rapprochement , afin que la face plane destinée à devenir Ja surface cv’lindrique intérieure , soit moins large que celle qui doit former la surface extérieure du éylindre creux. Cette dernière surface cylindrique aura en effet plus de tour que la première , puisqu’elle l’enveloppera ; si donc les deux rectangles avaient la

COWBI!(A.ISORS DES SCHFACES m.IWDRlQUES ET BU P1A.T. 5o7

même largeur, les deux bords de l'un se confondraient, que les bords de l’autre seraient encore séparés.

< PaoBEÈME : Couper une feuille de manière qu’elle puisse former une surface cylindrique droite , de longueur et de rayon eonnus.'D

« Tracez une circonférence avec le rayon donné ; dévcloppez-la en ligne droite DE (P. X , F. 38), comme l’a été la circonférence A de la figure 35 ; et construisez sur DE , un rectangle qui ait pour hauteur DG, la longueur donnée. La feuille découpée selon le contour de ce rectangle DEFG , formera la surface cylindrique demandée , étant ployée de façon que EF se confonde avec DG. >

« S’il s’agit d’un tuyau de poêle , la longueur DE du rectangle devra être augmentée de la largeur des deux lèvr-es de l’agrafe. >

Combinaisons des surfaces c)-lindriques et du plan.

503. C intersection d'une surface cylindrique et dun plan parallèle à celui de la génératrice courbe, est une circonférence égale à cette génératrice ; car, pour produire la surface courbe, la circonférence serait obligée de cheminer selon une droite , do manière que son plan prit des positions parallèles (297); il y aurait un moment où ce plan se confondrait avec le plan coupant , et la circonférence serait alors le lieu de tous les points communs à la surface et au plan donné.

Problèhe : Tracer une circonférence sur une surface cylindrique limitée.

Le même procédé convient à la surface droite et à la surface oblique. Il suffit de porter une certaine longueur sur les génératrices droites , à partir d’une des bases , et de joindre tous les points ainsi marqués. Ces points seront en elTet dans un plan parallèle à celui de la base (277) et sur l’intersection de ce plan avec la surface.

Application : Les tonneliers emploient ce procédé pour former sur une cuve , la rainure circulaire destinée à recevoir le fond ; ils se servent dans ce cas, d’un instrument à gouge, analogue au trnsquin , et l’appuient contre la tranche du bord (p. y3).

504. Un plan qui entre par une génératrice droite , dans l’espace que renferme une surface cylindrique , en sort nécessairement par une autre ; car ce plan passera toujours par un certain point d’une seconde génératrice droite , et par conséquent , il la contiendra toute entière, puisqu'elle est parallèle à la première (i55).

Il s’ensuit que tout plan coupant , parallèle à l’axe dune surface cylindrique, passe par deux génératrices droites; car ce plan entrera nécessairement par une de ces lignes , dans l’espace que renferme la surface courbe , puisque l'axe est parallèle à toute* les génératrices droites (298).

3o8 COMBWAISOSS DES StTEFACES CTUXDRIQÜE8 ET DU PIAN.

liC plan coupant qui passe par l’axe d’une surface cylindrique , contient aussi un diamètre de la génératrice courbe et on l’appelle , pour cela , plan diamétral.

305. Tout plan coupant qui n'est ni parallèle à l’axe , ni parallèle à la génératrice circulaire d'une surface cylindrique droite , rencontre cette surface scion une courbe nécessairement fermée dont les diamètres ne sont pas tous égaux.

Si par exemple B'C" (P. X , F. SS) est une droite qui , située dans le plan coupant , rencontre l’axe A' A” d’une surface cylindrique droite, B'C" sera plus grande que B'C' perpendiculaire sur l’axe et sur la génératrice parallèle C'C" (46)- Mais , dans le plan coupant , on peut toujours mener une perpendiculaire au müieu de B'C"; cette perpendiculaire étant .aussi diamètre d’une génératrice circulaire, ég.alera B'C' et se terminera à l’intersection du plan et de la surface. Donc , cette intersection n’a pas tous ses diamètres égaux et n’est pas une circonférence : on l’appelle ellipse ; sa forme est analogue à celle d’une ovale à quatre centres (p. 176).

.Généralement parlant , il en est de meme quand la surface cylindrique est oblique (P. X, F. 36). M.ais si le plan coupant, perpendiculaire au plan vertical de projection, comme ceux des bases, est autant incliné que ceux-là sur l’axe A’F', la projection verticale de son intersection ou d’un diamètre de cette courbe, sera une droite qui, menée du point H', par exemple, fera avec A'F' etC'G' le même angle que H'G'. Ce diamètre oblique sur C'G', égalera ' donc l’oblique U'G', et dans ce cas , l’intersection du plan coupant sera une circonférence égale à celle des bases.

Ainsi , toute surface cylindrique droite et tronquée est terminée d’un côté par une circonférence , et de Vautre par une ellipse. Mais une surface cylindrique oblique et tronquée peut être terminée soit par une circonféreuce et upe ellipse, soit par deux circonférences non parallèles.

PnoBi,. (a): Dessiner une surface cylindrique droite et tronquée dont on connaît le rayon, la plus grande et la plus petite génératrice droite (P. X, F. 3g).

Puisque la position de la surface est arbitraire, il faut, pour plus de simplicité, la rendre telle que le plan de la troncature soit perpendiculaire au plan vertical de projection. Alors , la projection verticale de l’ellipse est une ligne droite B"C" qui joint les exlré— miles supérieures des projections B'B", C'C", de la plus grande et de la plus petite génératrice droite. Le reste du dessin se fait comme s’il s’agissait d’une surface cylindrique complète (p. 3oa).

Lorsqu’on place la surface autrement, en laiss.iut la base sur: le plan horizontal; lorsque, par exemple, la plus courte génératrice C'C" est par devant , la projection verticale de l’eUipsc est généralement une autre ellipse, et l’exécution du dessin devient bien plus compliquée.

COMBINAISONS DES SURFACES CIXINDRIQUES ET OU PLAN. 3og

Pbobl. (6): Tracer le développement d’une surface cylindrique droite et tronquée (P. X, F. 3g et 4o).

Développez d’abord l.a circonférence A dé la base , comme dans le problème de la paj^e 3o5 ; vous obtiendrez une ligne droite DE. Elevez des perpendiculaires par les points de division , et numcrolezles en partant des extrêmes. Marquez aussi les points de division correspondans de la circonférence A ; menez par ces points , des parallèles à l’axe A'A", et numérotez leurs intersections avec la ligne de terre, en partant de la génératrice par laquelle vous voulez ouvrir la surface, en partant de la plus courte par exemple. Si vous avez divisé la circonférence A, en prenant le contact li ou le contact G pour point de départ, deux points de division se trouveront sur la même par.allèle .i l’axe , et neuf parallèles seulement , par exemple , couperont la ligne de terre, tandis que dix-sept partiront de DE.

Ces dispositions terminées, prenez sur la projection verticale , la longueur commuucdes deux génératrices droites d'une même couple , et portcz-la sur les parallèles de même numéro, dans la ligure ^o. La plus courte génératrice C'C*' fournira ainsi deux points F, G ; la plus grande B'B" donnera le seul point H; les autres donneront chacune deux points, comme C'C". Joignant chacun de ces points avec les deux voisins, par de petites droites tirées au crayon, puis traçant, à la main, des arcs qui aient ces droites pour cordes et soient tangens entre eux, vous obtiendrez la courbe FIIG pour développement de l’ellipse de la troncature , et la face plane DEFUG pour celui de la surface cylindrique tronquée.

Appl. (a): La surface cylindrique tronquée est souvent exéctitée par les tailleurs de pierre. Il arrive en effet assez fréquemment que les demi-surfaces cylindriques appelées voûtes en berceau, se trouvent tcrniinécs par des plans qui ne sont parallèles ni à l’axe , ni à la génératrice courbe. Les appareilleurs sont alors obligés de tracer une épure analogue à la figure 3g (P. X), pour déterminer les dimensions des panneaux ou patrons nécessaires à l’application du trait sur la pierre.

Appl.^(A) : On peut obtenir la projection d’un cercle sur un plan , en abaissant de tous les points de la circonférence, des perpendiculaires sur ce plan (itii). Comme les perpendiculaires à un même plan sont parallèles (aGo), un cercle pourrait donc se projeter au moyen d’une surface cylindrique dont il formerait la génératrice courbe et dont les génératrices droites seraient les lignes projetantes. Il eu résulte que si le cercle est parallèle au plan , sa projection , intersection de ce plan et de la surface , est un cercle de même rayon , et que s’il est oblique , sa projection est en général une ellipse.

Appi.. (e) : Si deux parties d’un tuyau de poêle doivent faire entre clics un angle de lôo", par exemple, 'il faut, pour tracer le patron de la moitié du coude, faire, dans sa vraie grandeur, la projection horizontale A de la surface cylindrique du tuyau (P. X, F. 3g);, tracer, daus la projection verticale, une droite B"C” fpii

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3 1 0 COMBI!IAISO:«S DBS SURFACES CYLINDRIQUES ST DU PLAN. '

fasse avec une génératrice droite B'B", un angle de 65°; puis exécuter le développement de la ligure 4<> j ut le découper selon le contour DEFHG. Deux feuilles de tôle taillées sur ce patron et ployées en cylindres, pourront s'accoler par les troncatures et former le coude complet.

Appl. (rf) : Le poclier a parfois aussi à tracer le contour d’un trou elliptique qui doit être pratiqué dans une face de cheminée ou dans une feuille de tôle destinée à remplacer un carreau de vitre. Ce cas se présente, quand un tuyau de poêle doit traverser obliquement une face plane (3o5). Pour obtenir un patron du trou elliptique , l’ouvrier doit construire, de grandeur réelle, les projections de la surface cylindrique j y tracer une droite B"C" (F. 29) qui fasse avec une génératrice droite B'B", l’angle sous lequel celte’ génératrice rencontrera le plan ; tracer des parallèles à l’axe , qui coupent la circonférence A et B"C" ; porter les parties de cette droite sur une autre DE (F. 4>) ; élever des perpendiculaires à DE , par les points de division; prendre sur les parallèles, les demi-cordes de la circonférence A ; les porter sur les perpendiculaires correspondantes, de chaque côté de DE ; et joindre par une courbe DFEG , les points qui en résultent. La figure plane DFEG étant découpée selon son contour, formera le patron à l’aide duquel on pourra tracer le contour du trou elliptique, avec assez d’exactitude pour que le tuyau le remplisse entièrement.

Loi de la nature : Les principes de la Géométrie régissent à la fois de petites et de grandes choses. Cette courbe que le poêlier forme toutes les fois que ses tuyaux se rencontrent obliquement, le Soleil la trace tous les jours ; car tous les jours il éclaire des cercles, et quand ces cercles empêchent sa lumière d’arriver jusqu’au sol ou jusqu’à tout autre plan qui ne leur est pas parallèle, le contour de l’ombre qu’ils jettent ou qu’ils portent sur ce plan , est une ellipse. Cela vient de ce que les rayons solaires sont parallèles (p. 84): ceux qui p.assent par tous les points d’une circonférence , produisent une surface cylindrique dont cette circonférence est génératrice courbe , et le contour de l’ombrÿ portée par un cercle sur un plan, n’est autre chose que l’intersection de celle surface cylindrique et du plan.

Si donc un cylindre se trouve exposé an Soleil , de telle façon que ses bouts ne soient pas parallèles au plan qui reçoit l’ombre , cette ombre sera terminée par quatre droites , quand le centre de l’astre se trouvera dans les plans des cercles extrêmes ; par une ellipse entière , quand le même centre se trouvera sur le prolongement de l’axe du cylindre; par deux droites et deux portions d'ellipse dans toute autre circonstance. Mais si le plan est parallèle .aux cercles , l’ombre portée sera nulle ou terminée soit par une circonférenee entière , soit par deux droites et deux portions de circonférence.

Ceux qui dessinent l’architeeture ou les m.achines , doivent

rOMBIXAISONS DES SURFACES CTL1KDRICCE3 .ET DU FIAS. 3l ( connaître la nature des contours de toutes les ombres qu’ils peurent avoir à représenter, et les méthodes simples qu’enseigno la géométrie descriptive pour tracer ces contours. De telles connaissances sont même très-utiles aux peintres : elles deviennent pour eux , des guides sûrs qui les empêchent de violer les lois de la nature.

306. Tout plan MN (P. X, F. 4^) qui renferme une seule AB des génératrices droites d’une surface cylindrique CD, est dit tangent à celte surface. Il est visible en effet , qu’il ne la coupe pas et qu’il la touche dans toute la longueur de la génératrice droite par laquelle il passe. Par conséquent , tout plan tangent à une surface cylindrique , coupe le plan d’une génératrice courbe E, selon une droite FG qui n’a qu’un seul point de commun avec cette ligne ou qui est tangente à cette génératrice.

Il suit de là que le rayon EL de la génératrice courbe d’une surface cylindrique droite, est 4>erpcndictil aire au plan tangent passant par L car EL est perpendiculair'e à FG (107) et

a AB (298).

307. Si l’on suppose le plan MN lié avec l’axe CD de la surface cylindrique droite (P. X , F. 4’) , de manière que leur distance AC soit invariable (p. 281), il est clair que pendant le mouvement circulaire de MX autour de CD, AB parallèle à CD , engendrera une surface cylindrique droile à laquelle ce plan sera tangent dans toutes ses positions.

La droite AB engendrerait une surface cylindrique oblique, à laquelle MX serait aussi tangent dans toutes ses positions , si ce plan tournait en s’appuyant sur les points correspondans de deux circonférences parallèles , aux plans desquelles la droile CD des centres ne fût pas perpendiculaire; mais la distance de CD à MX ne serait pas constante, comme dans le cas précédent.

Ainsi, toute surface cylindrique peut être engendrée par un plan qui se meut autour dune droite,

Appi. (a) : De là un autre procédé pour rendre un corps cylindrique. Décrivez sur chaque bout d’une pièce de bois , par exemple , une circonférence égale à celle qui doit être la génératrice courbe de la surface; circonscrivez à ces deux circonférences, des polygones réguliers d’un assez grand nombre de cotés , et tels que les côtés correspondans soient parallèles entre eux ; taillez la pièce selon les parallélogrammes IIIÎ'I'I , II'K'K , etc., qui seront tangens à la surface demandée (P. X, F. 42); enfin, abattez les arêtes intersections de ces plans , en arrondissant le plus qu’il sera possible. Ce procédé est analogue au premier de la page 3o3 ; mais il a l’avantage de produire une surface cylindrique dont la génératrice courbe est donnée , tandis que l’autre convient seulement au cas où l’on peut peut prendre pour cette génératrice , une circonférence quelconque. ,

3 la COMBISAISO.\S DES SURFACES CrLI.XDRlQCES

Appl. (b); Quand une scie débite en, rond, la surface bombée qu’elle produit, est composée de petites facettes planes, tangentes à une surface cylindrique. Un garde du génie , nommé Ségard, a inventé un mécanisme très-simple et très-ingénieux , au moyen duquel un madrier est débité en jantes de roue , par des scies droites qui ne font que monter et descendre. Cette machine est en activité à Metz , dans l’usine des Pucelles.

Appl. (c) ; De même que le plan tangent à la surface ronde d’un cylindre, peut tourner tout autour de ce corps en le touchant constamment, le cylindre peut rouler sur un plan, sans cesser de le toucher par une de scs génératrices droites. Si donc un corps quelconque vient à se trouver entre une surface C3’lindrique et le plan sur lequel elle roule, et qu’un certain efibrt tende à mettre les deux surfaces en contact , le corps sera forcé de s’enfoncer'ou de former en s’étendant, un plan parallèle à l’autre.

< C’est ainsi que le laboureur et le jardinier aplanissent l’un son champ , l’autre ses allées et scs gazons : ils y font rouler un cj'lindre droit et jicsant qui fait disparaître les mottes et les bosses. Le pâtissier se sert aussi d’un rouleau sur lequel il fait effort , pour étendre la pâte et l’aplanir. »

Appt. (</) : La surface cylindrique droite peut tourner sur son axe, sans cesser d’être tangente à un plan, selon la même droite, ce qui est analogue à ce que nous avons dit page i3i , du cercle et de sa tangente. On fait usage de cette propriété dans l’aiguisage et le polissage : la meule est un cylindre droit qui tourne sur son axé, et l’on y applique tangentieilement la face d’un coin qu’il faut rendre tranchant, ou la face plane qu’il s’agit de polir.

« Dans les scieries que le vent met en action , et dans plusieurs autres usines , on trouve des lanternes cylindriques A qui engrènent avec des rouets ou roues B dont les dents sont perpendiculaires au plan de la circonférence (P.X, F. ag), et ce plan est constamment tangent à une surface cylindrique qui a même axe que la lanterne. Un tel mécanisme sert à transporter dans un plan A, le mouvement circulaire qui a lieu dans un plan B perpendiculaire au précédent. »

Combinaisons des surfaces cylindriques et de la ligne droite.

508. Toutes les lignes droites qui peuvent être tracées sur un plan tangent à une surface cylindrique , d’un point quelconque de la génératrice de contact, sont dites tangentes à celte surface courbe. Si par une de ces droites, on fait passer des plans qui donnent des courbes, pour intersections, la droite est tangente à toutes ces courbes , car elle n’a de commun avec elles , que le seul point où elle coupe la génératrice de contact.

509. Toutes les perpendiculaires qui peuvent être élevées sur le plan tangent d’une surface cylindrique, par les points de la