IT DB LA LIGNE DROIT

génératrice de contact, sont dites normales de cette surface courbe. Les rayons de toute génératrice circulaire d’une surface cylindrique droite , sont donc des normales (3o6). ^

510. Le plan qui contient une normale, est perpendiculaire au plan tangent (271) et normal à la surface cylindrique. Quand cette surface est di-oite, le plan nomiai qui passe par la géuératricc de contact, passe aussi par Taxe; car il contient tous les rayons qui aboutissent à cette génératrice: on l’appelle plan méridien , pour le distinguer des autres plans normaux.

Ainsi , tous les plans diamétraux d’une surface cylindrique droite, sont des plans méridiens (3o4).

Mais notez que les surfaces de révolution seules ont des plans méridiens. Ce nom n’est pas donné aux plans diamétraux de la surface cylindrique oblique , attendu qu’il n’y en a que deux qui soient normaux.

Application : Deux des arêtes de chaque palette plane d’una roue d’eau , sont ordinairement norm.ales à la surface cylindrique du tambour ou des courbes. La face qui les contient et contre laquelle agit le liquide , est un plan méridien et passe conséquemment par l^axe. Il en est de même de tout plan de joint dans une voûte en plein cintre.

IxM DE LA nature: Le rayon de lumière qui frappe une surface 'Cylindrique, ou toute autre surface courbe, forme, avec le rayon réfléchi ou avec le rayon réfracté (p. 64 et 65), un plan qui est normal à cette surface , et les angles que font les deux rayons avec la normale au point d’incidence, sont égaux, dans le cas de la réflexion. Pour là réfraction, 'il y a rapport constant entre les sinus, c’est-à-dire entre les deux perpendiculaires abaissées sur la normale , de points pris sur les deux rayons à égales distances de leur intersection. Le jeu de la lumière sur les surfaces courbes est donc le même qua sur les plans.

« De là SC déduisent les tracés de ces péiiitnres hideuses , appelées anamorphoses, qui prennent les formes les plus agréables, quand on les regarde dans un miroir courbe placé sur le cercle autour duquel elles se trouvent disposées. C’est ordinairement avec un miroir cylindrique, en métal bien poli, qu’on fait cette expérience sur la réflexion de la lumière. Voici comment , ponr ce cas , doit être tracée l’anamorphose. »

« Faites les projections du miroir cylindrique, en grandeur réelle (P.Xl, F. t) et son développement (F. 2). Tracez sur ce développement, les génératrices droites qui répondent aux points de division de la base et numérotez-les (p. 3o5). Divisez la hauteur du rectangle en un certain nombre de parties égales assez petites; menez des parallèles à la base, par les points do divison, et numérotez-les aussi. Ces parallèles seront les développémens de génératrices cour—

3l4 COMBIXjIISOXS des SCRFACES CTXINDRIQl'ES ENTRE ELLES.

bes, «t partageront le rectangle en un certain nombre de petits rectangles égaux. Dessinez alors sur le développement, ou du moins sur la partie qui répond à la moitié antérieure du cylindre, un objet quelconque , ufl portique, par exemple. Ce sera l’image qu’on devra voir dans le miroir, et il faudra la rapporter sur le carton qui forme le plan horizontal de projection, de manière qu’elle puisse ■se reproduire par réflexion , quand le miroir sera placé sur sa projection horizontale. »

« A cet effet, vous tirerez des rayons, par les points de division marqués précédemment sur la base de la surface cylindrique (F. i) et vous donnerez à ces rayons les numéros qu’ont les génératrices droites correspondantes du développement. Vous tracerez des circonférences concentriques à la même base, équidistantes entre elles, et vous leur donnerez les mêmes numéros qu’aux circonférences correspondantes du développement. »

< Le carton , plan horizontal , présentera alors des espèces de trapèzes dont les bases seront des arcs de cercle et qui répondront aux petits redangles du développement. Placez les lignes et les points du portique, par rapport aux côtés de ces trapèzes, comme ils sont placés par rapport aux côtés des rectangles correspondans , en imitant ce qui a été prescrit dans la méthode des carreaux (p. a53). Les colonnes se trouveront dirigées selon des rayons; la frise horizontale du fronton prendra la forme d’un arc de cercle; les deux côtés égaux dn triangle symétrique , deviendront deux arcs de courbe ; et l’ensemble de toutes cos parties constituera l’anamorphose ou l’image déformée du portique. »

Combinaisons des surfaces cj-lindriques‘ entre elles.

3H. Les surfaces cylindriques combinées se coupent, ou se louchent, ou confondent leurs axes.

Deux surfaces cylindriques qui ont leurs axes parallèles, ne peuvent se couper que selon deux génératrices droites.

Supposons un plan quelconque qui coupe les deux surfaces selon des courbes. Ces courbes auront deux points communs, puisque l’une des surfaces est obligée de sortir de l’autre, après y être entrée. Concevons par les deux points , des parallèles aux axes ; ces droites appartiendront nécessairement chacune aux deux surfaces cylindriques, et il est visible que tout point situé hors de ces génératrices ne peut faire partie des intersections. ,

Appl. (a): Les cylindres qu’on emploie dans plusieurs fabrications , présentent des cannelures formées par des surfaces cylindriques qui se coupent et dont les axes sont parallèles. Il faut qu’il en soit ainsi , afin que les arêtes qui séparent ces cannelures se trouvent des lignes droites.

Appl. (ô): Les voûtes gothiques en tiers-point sont formées par deux portions de berceaux dont les axes sont parallèles (p. 276 ,

Dioiîlr :? Coogl

coMsrTfÀiso.tS Des scrpaces cnixoRigres extrb elles. 5i5

appl. 6). Vüilà pourquoi les deux faces courbes de chaque clef se coXipent selon une ligne droite qui se prolonge d’un bout à l'autre de la voûte.

312. Lorsque les axes de deux surfaces cylindriques qui se coupent, ne sont pas parallèles, il y a pénétration totale, si toutes les génératrices droites de l’une rencontrent des génératrices do l’autre; il y a pénétration partielle, autrement dit arrachement, si une partie seulement des génératrices droites se rencontrent.

Dans la pénétration partielle, l' intersection de deux surfaces cylindriques , est une courbe fermée et a double courbure , c’està-dire une courbe analogue a celle qu’offrirait une circonférence dont le plan serait ployé en surface cylindrique.

313. La pénétration totale présente plusieurs cas: les deux surfaces cylindriques s’arrêtent mutuellement, ou bien l’une seulement est arrêtée par l’autre, ou bien elles se dépassent réciproquement. Le premier cas suppose l'égalité des rayons; mais pour les deux autres, les rayons peuvent être inégaux.

Si de deux surfaces cylindriques inégales, la plus petite est arrêtée par la plus grande, l’intersection est une seule courbe, fermée et à double courbure.

Si dciix surfaces cylindriques inégales se dépassent réciproquement, l’intersection se compose d’une courbe (F entrée et d’une courbe de sortie , toutes deux fermées et à double courbure.

314. Lorsque deux surfaces cylindriques droites et de rayons égaux, s’arrêtent mutuellement, V intersection est une ellipse.

Il suffit, pour le démontrer, de faire voir que toutes les génératrices correspondantes se rencontrent dans le plan AB (P. XI, F. 3) qui contient les concours , B des génératrices extrêmes , et coupe perpendiculairement le plan CDEdes axes(3o5). Or, deux génératrices correspondantes ont pour projections horizontales, des parallèles FG , FII également distantes des a.xes et des génératrices extrêmes. Les perpendiculaires Fl , FR sont donc égales , et à cause du cûté commun ÀF, les triangles rectangles AlF, AKF sont égaux. Il s’ensuit que AF est bisectrice de l’angle lAR. Mais, puisque les diamètres BL, BM sont de même longueur, AB est aussi bissectrice de l’angle lAR. Par conséquent , le concours F de deux génératrices correspondantes est dans le plan AB.

Ainsi, non-seulement deux surfaces cylindriques droites, de même rayon et tronquées par des plans également inclinés sur les axes, peuvent s’appliquer exactement l’une contre l’autre selon leurs troncatures (p. 5o8); mais encore deux surfaces cylindriques droites et de même rayon , qui s’arrêtent mutuellement , se tronquent réciproquement , comme les tronqueraient deux plans de même inclinaison.

3 1 ft C0HBI5AI505S DES SDEFACES CFLINDRIQUES ESTTEE ELLES.

515. Lorsque de deux surfaces cylindriques droites et de mime rayon , l'une est arrêtée par Vautre , l'intersection se compose de deux demi-ellipses terminées aux mêmes points.

Supposons verlicale relie (jiii est arrêtée, et l’autre, horizontale (P. XI , F. 4). moitié de gauche de la première, arrête à moitié la partie de gauche de la seconde, et il doit en résulter une demiellipse A"D", terminée à l’horizontale menée par la rencontre des axes , perpendiculairement au plan vertical (3 1 4). Mais la moitié de droite de la surface verticale, arrête aussi à moitié la partie de droite de la surface horizontale, et il en résulte une deuxième moitié d'ellipse A"E", nécessairement terminée par la droite qui termine la première.

Les deux demi -ellipses sont égales, quand les surfaces cylindriques se rencontrent d’équerrcj elles sont inégales dans le cas contraire.

316. Lorsque deux .surfaces cylindriques droites et de même rayon, se dépassent réciproquement, l’intersection se compose de deux ellipses entières qui se divisent mutuellement en deux moitiés