COMBINAISONS DES SCRFACES CONIQUES ET DU PLAN

pour la construction du cône creux , un moyen très-simple qu'emploient le ferblantier, le carlonnier, etc. Ils tracent suri une feuille de fer-blanc ou de carton, un secteur de cercle, découpent ce secteur, le roulent de façon que les deux rayons extrêmes se confondent , et soudent ou collent ces deux bords.

Appl. (i); Quant à la manière de rouler un secteur en cône, nous dirons que le ferblantier se sert, pour celte operation, d’une enclume conique ou bigorne, sur laquelle il bat sa feuille plane à coups de maillet; ce qui tient encore à ce que la surface ronde du cône est développable. Dans, d'au très arts, on forme les eônes creux , en forgeant des faces planes sur des enclumes qui présentent des goultiires coniques. - ■“

Combinaisons des surfaces coniques et du plan.

Pomr que la eombinaison des surfaces coniques et du pian, présente toutes ses circonstances et les présente complètement, il faut considérer les deux parties ou nappes (3 19) ASBO, A'S'B'O' de ces surfaces (P. XI, F. 16).

526. Le plan qui coupe une surface conique, peut avoir deux positions essentiellement dilfércntcs : il passe par le sommet ou bien il n’y passe pas ; c’est seulement dans le second cas , que son intersection est une courbe.

'Lorsqu’un plan passe par le sommet S d’une surface conique (P. XI, F. iC), sans contenir aucune génératrice droite ^ son intersection n’çst qu’un point S ; car il coupe toutes les génératrices droites précisément au sommet.

Le plan coupant qui contient une génératrice .droite , de la surface conique, a pour interiection deux droites qui se croisent; car entrant par une génératrice, il doit sortir par une autre, puisqu’il passe nécessairement par le sommet.

Le plan qui contient, comme ASB, deux génératrices droites et un diamètre de génératrice courbe , se nomme en général plan diamétral , et si la surface conique est droite , on l’appelle plan méridien (3ito).

327. Quand un plan ne passe point par le sommet de la suface conique , il est parallèle soit à la génératrice courbe , soit k la génératrice droite , ou bien il n’est parallèle ni à l’une , ni à l’autre.

Tout plan parallèle aux génératrices courbes d’une surface conique, a pour intersection une circonférence dont le centre est sur l’axe. Cela résulte d’une des générations do la surface(3ao).

Dans une surface conique ainsi tronquée , la troncature prend aussi le nom de base , et l’a.xe joint les centres des deux bases.

Lorsqu’un plan contient une parallèle CD à l’onc des génératrices droites AA' (P. XI, F. i&), il ne peut rencontrer celle-là, mais il coupe toutes les autres et les coupe en des points d’autant plus ,

5a8 G0SÎBCTAIS0S8 CES SCRTAGES CONIQCES BT Dü PLAN.

éloignés du sommet S , qu’elle* sont plus voisines de AA'. De là résulte une courbe qui commence en É , s’étend sur la seule nappa flù pénétre le plan coupant, et s’ouvre de plus en plus. Donc, Vintersection d’une turface conique et dun plan parallèle à l’une des génératrices droites, est une courbe ouverte qui s’étend indéfiniment , et dont les cordes parallèles augmentent de pim en plus : elle est nommée parabole.

328. Si le plan coupant n’est parallèle à aucune des génératrices droites ou courbes de la surface conique , il ne traverse qu’une seule nappe ou bien il pénètre dans les deux.

La position du plan CD perpendiculaire au plan ASB (P. XI, F. 17), se rapporte au premier cas. Sou intersection est une courbe fermée qui commence en C et se termine en D , apres avoir fait le tour de la surface conique. Cette courbe n’est pourtant pas une circonférence , quand la surface est droite.

« Concevez par le milieu E de CD , une corde perpendiSilaire an plan ASB ; elle sera aussi corde du cercle qui a son centre en IV et dont FG parallèle à AB , est diamètre. Cette corde est donc moindre que FG. Mais FE = DL moitié de sa parallèle DI, EG — CK moitié' de sa parallèle CH (81), et par conséquent FG = DL -1- CK. D’un autre côté , l’oblique DM est plus longue que DL perpendiculaire à OS, çt CM est aussi plus longue que CK; ou bien CD , diamètre de la courbe , est plus grand que DL *+■ CK. Donc, CD a plus de longueur que FG et surpasse, à plus forte raison , la corde menée perpendiculairement, par son milieu E. Or CD égalerait cette corde , si la courbe était une circonférence , puisque tous les diamètres d’un cercle sont égaux. » •

Conséquemment, F intersection dune surface conique droite, terminée à son sommet, et dun plan qui la traverse en coupant l’axe obliquement, est une courbe fermée non circulaire : cette troncature est analogue à celle qu’un plan forme sur une surface cylindrique , dans les mêmes circonstances , et porte aussi le nom d ellipse (3o5). ,

■ 'H en est de même généralement pour une surface conique oblique; mais, si le plan diamétral ASB, perpendiculaire au plan de la base (P, XI, F. 18), l’est aussi au plan coupant CD, et si la génératrice SA fait en C; sur Ce plan, le même angle que SB fait en B , sur celui de la base , l’intersection est une circonférence.

« Alors effectivement, C'D' menée par le milieu E de CD, parallèlement à AB , formerait un angle C' = C , et le triangle SCD tournant sur SE, viendrait couvrir exactement le triangle SC'D', puisque EC s’appliquerait sur EC'. Ces deux ligures seraient donc égales et CD aurait même longueur que C'D'. Mais la perpendiculaire élevée au milieu E de CD, dans le plan coupant, serait aussi perpendiculaire au plan ASB et se trouverait dans celui de la génératrice courbe dont C'D' est diamètre; elle serait donc aussi diamètre de cet^e circonférence et égale à CD , comme C'D'. Or

. COXBIHAISONS DES SURFACES COMMUES ET DU PEAE. SaQ

deu* cordes égales qui se coupent réciproquement d’équerre et par le milieu, ne peuvent appartenir qu’au cercle. Donc enfin, l’intersection de la surface conique oblique et du plan CD est une circonférence, dans les circonstances énoncées. » ^

329. Un plan FG (P. XI , F. 1 6) pénétrant dans les deux nappes d’une surfac^conique , a pour intersection une courbe à deux branches ouvertes, séparées par un intervalle WW , qui s’ étendent indéfiniment en sens contraires , et dont les cordes parallèles augmentent de plus en plus. Cette courbe est nommée hyperbole.

La forme de ses branches, fort düTércnte de celle des paraboles, ne permet pas de la considérer comme le système de deux de ces dernières courbes.

Appl. (n): Le numéro Say nous apprend qu’on trace une circonférence sur une surface conique droit» et circulaire, si l’on y Cuit cheminer une pointe maintenue à une distance constante d’une génératrice courbe. Ce moyen est employé par le tonnelier , pour . faire la rainure où doit se loger le fond d’une baratte à beurre, dont la paroi codrbe présente tant extérieurement qu’intérieurement une surface conique tronquée à deux bases ; il se sert à cet effet d’une espèce de tfusquin (appl., p. yô),

Appl. (2i): Les. architectes construisent quelquefois des voûtes coniques qu’ils appellent trompes : les unes servent à supporter les constructions qui recouvrent des angles rentrans formés par des murs, et sont dites trompes dans l’angle ;Aes autres soutiennent des coins dont la partie inférieure est supprimée , et prennent le nom de trompes sur le coin.

<x Les arêtes que forment les dernières sur les faces extérieures des deux murs , uc sont pas des arcs de cercle , parce que ces faces AB, AC (P. XJ, F. 19) étant obliques par rapport- à l’axe AS du cône , ne sont pas parallèles au plan BC de la génératrice circulaire, qui est perpendiculaire au même axe. »

<t Ordinairement, les génératrices droites et horizontales SB, SG sont perpendiculaires aux faces du coin A. Si donc ce coin est droit, la plan AB est parallèle à la génératrice droite SC, et l’aréte courbe qui va de B en A est un arc de parabole j il en est de même de l’arête AC. Quand le coin A est aigu, les plans AB, AC ne peuvent rencontrer les génératrices SB, SC sur la même nappe, parce que l’angle S est alors obtus , et les deux arêtes courbes sont des arcs d’b3q>erbole. Enfin, elles deviennent arcs d’ellipse, lorsque le coin A est obtus, attendu que, dans ce cas, les plans AB, AG rencontrent sur la même nappe, les génératrices SB, SC qui font un angle aigu. »

Appl. (c) : Uii point éclairé réfléchit des rayons dans toutes les directions. L’œil qui le regarde, ne le voit que parce qu'il reçoit un de ces rayons. Si, donc nous voyons un objet, c’est que nous' recevons un des rayons réfléchis par chacun de scs points. Or , les^

33o COMBIKAISO» SES SimFACES COI«IQDES BT BV PLAIT, rajons de lumière qui entrent dans l’œil , se croisent tous en uit point situé derrière la prunelle; par conséquent, ceux qui nous viennent d’une courbe A (P. XI, F. ao), forment une surface conique OA (3ao). Conceij|z sur celle surface, une autre courbe a qui rencontre toutes les génératrices droites ou tous les rayons réfléchis vers l’œil. Vous comprendrez aisément que vous éprouveriez la même sensation ou que vous auriez la mème.vi^m, soit que TOUS regardassiez cette seconde courbe , soit que votre attention se portât sur la première.

€ Ainsi , deux courbes différentes produisent le même effet , quand elles se trouvent sur une même surface conique OA dont le sommet est dans l’œil O, ou quand se confondent les surfaces coniques OA,

Oa formées par ceux de leurs rayons réfléchis que nous recevons.

Deux courbes qui sont dans ce cas , sont dites perspectives l’une de l’autre. Elles peuvent être toutes deux planes, toutes deux à double courbure (3 1 a) , ou bien l’une d’elles seulement est contenue toute entière dans un plan. Il y a donc, pour un même objet, des perspectives planes et d’autres qui ne le sont pas. »

< On voit aussi que la perspective plane d'une courbe quelconque A, n’est autre chose que la section a faite par le plan ftlN choisi pour tableau , sur une surface conique OA dont la courbe est génératrice et qui a son sommet dans l’intérieur de l’œil. La perspective plane d’un cercle est donc un autre perde ou une ellipse (Say et 3a8), selon la position qu’on donne au tableau , et celle d’une ellipse peut j être un cercle ou une autre ellipse.

c Une droite BC ne peut avoir pour perspective plane, qu’une autre droite bc, parce que les rayons qu’elle réfléchit vers l’œil, ^

forment un triangle plan BOC qui coupe le tableau ou qui en est l

coupé selon une droite bc (aCy). » '

« Un point A ne peut avoir pour perspective qu’un autre point a, parce que te tableau, quel qu’il soit, ne peut être percé qu’en ce point a, par l’unique rayon AO que reçoit l’œil (i54). »

« C’est en étudiant la géométrie descriptive, qu’on apprend les procédés à suivre pour dessiner exactement la perspective d’un objet quelconque. >

Appl. (d) : La silhouette du profil humain est l’ombre que porte 1 ee pro61 sur un plan, quand il est éclairé par une lampe. Elle est I donc la section faite par le plan, dans un cône privé de lumière, dont le profil est la génératrice courbe et dont le sommet est un point A (P. XI, F. 21) situé en arrière de la flamme. Cela nous montre que le tableau MN sur lequel on dessine une silhouette, doit être exactement parallèle au plan qui divise la tête en deux parties égales par symétrie, si l’on veut que le profil ne soit pas altéré, ou pour qu’il y ait ressemblance parfa'ite, entre la copie B’ et le modèle B. ■

« La meme précaution est nécessaire pour les ombres chinoises et pour les ombres de la fantasmagorie , qui ne sont que les sil— hooettes de pi-ofils en cortoa , plus ou moins grossies , soit par l’eflet

COMBI.'fAISÔnS DBS SCBFACES COTfIQUBB BT DV PLAN. 3^ |

de lear distanre au sommet du cône lumineux , soit par celui de loupes placées entre l’objet et le tableau. Les spectateurs voient ces silhouettes au travers d’un tr.insparent sur lequel elles se peignent. »

Appl. (e): Il existe un instrument appelé physionotrace , fondé aussi sur le principe 3^7, dont on se sert pour copier un profil plus exactement que par le procédé de la silhouette. Lue lige droite AA' (P. XI, F. aa) est mobile autour d'un point fixe S. Le bout A s'applique constamment sur le contour du profil B , et le bout A' (jui porte un crayon , s’appuie toujours contre le plan SLN que forme une feuille de papiér tendue. La partie S.A' s’alonge ou se raccourcit d'elle-mème, au moyen d’un ressort très-doux qui pousse le crayon; de sorte que la copie B' qu’elle trace renversée sur le papier, est parfaitement ressemblante au modèle, si le plan MX est parallèle à celui du profil.

Loi DE LA RATCRB (o) : La lumière solaire est un physionotrace bien supérieur au précédent : elle ne se borne pas à dessiner le contour d’un objet ; elle en peint tous les détails, mieux que ne le ferait le plus habile coloriste.

c Fermez les fehêlres d’une chambre, de manière que le jour n’y entre que par un petit trou S (P. XI, F. u3); un des rayons réfléchis par chaque point d’un objet extérieur A, pénétrera dans la chambre par ce trou et ira éclairer un point du mur opposé. Le cône des rayons qui se ci'oiseront en S, formera donc sur ce mur, nn tableau où tous les objets extérieurs se trouveront repré.* senlés ombrés et coloriés, comme ils le seraient dans un paysage; bien plus , ce tableau est animé : les animaux et les choses y conservent leurs mouvemens. Il est vrai que tout y est peint renversé; mais il est facile de redresser l’image A', cm la recevant sur un miroir incliné M qui la renvoie sur une feuille de papier A" placée horizontalement. »

« C’est un tel appareil qu’on appelle chambre noire ou chambre obscure. Ordinairement, le trou S est garni d’un verre qui rend l’image bien plus nette , parce que le petit cône de rayons qu’envoie, par exemple , le point B à l’orifice S , se réfracte dans ce verre , de telle façon qu’il ne produit qu’un seul point sur le tableau (p. 3i3); U n’y aurait pas besoin du verre, si l’orifice pouvait ne laisser entrer qu’un seul des rayons réfléchis par le point B. »

Loi (é) : Notre œil A (P. XI, F. a4) est une vraie chambre obscure dont la prunelle B forme l’orifice. Le tableau où se peint l’image, est une surface courbe C d’une blancheur éblouissante, qui ne .se voit pas: on l’appelle la rétine. Derrière la prunelle, se trouve un corps transparent D , nommé le cristallin, qui force tous les rayons partis d’un point E, à sc réunir en un point E' de la rétine. Le reste de l’intérieur de l’œil est tapissé d’une membrane très-noire , dont la fonction est d’absorber (p. 65) les rayons qui ne tombent pas sur la rétine, après avoir traversé le cristallin.

« Comme l’œil est lié au cerveau par des nerfs très - sensibles , ht

33;i COUBHTAISOHS DES StfRFACES CONIQCBS ET BV PLii5.

choc de la lumière contre la surface blanche, nous avertit de la présence des objets et nous force à les regarder. Alors , nous rap-^ portons le point E' de l’image , à un point E de la droite E'E , parce que nous savons bien que les corps sont hors de nous , et cela fait que nous voyons les objets droits, quoiqu’ils soint peints renversés sur le fond de l’œil. » \

« Cfiez les myopes, c’est-à-dire chez les personnes qui ont la la vue courte, le point E' où se réunissent tous les rayons partis d’un point éloigné E et admis par la prunelle , se trouve entre le cristallin et la rétine. Ils sont donc écartés de nouveau , quand ils atteignent la surface blanche , ce qui produit plusieurs images du même point et rend la vision confuse. On corrige ce défaut en portant des lunettes dont les vetfes concaves augmentant l’écartement des rayons qu’ils reçoivent, les forcent de se réunir plus en arrière du cristallin. »

.« Les presbytes ou ceux qui , comme les vieillards , ne voient que de loin , ont des yeux où le point E' se trouverait derrière la rétine, si les rayons partis d’un point E tris -rapproché , étaient prolongés après leur réfraction dans le cristallin. 11 en résulte encore une vision confuse qu’on rend nette au moyen de lunettes à ' verres bombés , dont la propriété est de diminuer l’écartement des rayons qu'ils reçoivent. »

330. Les surfaces coniques tronquées sont trop fréquemment employées, pour qu’on n’entre pas dans quelques détails à leur sujet.

Nous rappellerons d’abord qu’il y en a de deux sortes : la troncature des unes forme un plan parallèle à ceux des génératrices courbes, et celles-là ont deux bases circulaires; la troncature des autres forme un plan incliné sur la base et présente une ellipse.

Peobièmb Umirter une surface conique droite, tronquée, à deux bases, dont on connaît les rayons extrêmes R, r et l’axe A. (P. XI, F. 25).

Supposons la surface posée sur le plan horizontal , par sa grande base. La projection horizontale se composera de deux circonférences concentriques C, décrites avec les rayons R, r, puisque les centres des bases sont joints par l’axe et que cet axe est vertical.

La projection verticale sera un trapèze symétrique formé par les , diamètres des bases et les deux génératrices droites extrêmes qui sont également inclinées. Pour le tracer, abaissez dç C une perpendiculaire à la ligne de terre; portez A, longueur de l’axe , de C’ en C"; menez par C" une parallèle à la ligne de terre ; prenez C'B’ et C’D' égales à R, C"E et C”F égales à r/ puis joignez £ à B' et F à D'. , > T

531. Le rapport des circonférences extrêmes d’une surface conique tronquée, à deux bases, égale celui de la génératrice

COMBINAISONS nss SCRFACBS CONIQUES Et' DU PLAN. 353 droite entière SB' à la partie enlevée SE (P. XI, F. a5); c’est-à-dire que-la grande circonférence C contient la petite, comme SB' contient SB.

En effet, la grande circonférence contient la petite, comme le rayon B'C' contient le rayon Ef4" (a47)j B'C' 1 EC" I ! SB l SE (8i); donc, les deux circonféreucci se contiennent comme SB' et SE.

Ce raisonnement montre que le principe s’applique aux troncs de surfaces coniques obliques , aussi, bien qu’à ceuil^Ics surfaces coniques droites. . . .

Phobl. (fl): Tracer le développement d’un tronc de surface conique droite dont on a les projections (P. XI, F. i5)..

Prolongez l’axe et l’unc 'des génératrices droites jusqu’à leur rencontre S; faites (F. 26) le développement SB'B" de la surface entière (p. 3i5 ou 626); puis décrivez dans ce secteur, un arc EE', avec SE pour rayon (F. 25). La portion d’anneau plan B'B"E'E (F. 26) sera le développement demandé.

Il est visible d’abord queB'E, E'B" (F. 26) égalent la génératrice B'E du tronc (F. 25). Comme d’ailleurs l’arc B'B" est le développement de la grande circonférence C , il reste à montrer que l’arc EE' est celui de la petite. Or ces deux circonférences se contiennent comme SB', SE (F. 25), et les deux arcs B'B", EE' d’un même nombre de degrés, se contiennent comme les mêmes droites qui sont leurs rayons. Les deux circonférences sont donc entre elles comme les deux arcs , et puisque la grande égale B'B" en longueur, la petite égale EE'.

Probl. (6): Tracer, s§ns projections ,x le développement d’un tronc de surface conique droite , dont on connaît l’axe et les rayons des bases (P. XI, F. 26). ' ’ '

' Tirez une droite indéfinie SC'; élevez en un point quelconque C', une perpendiculaire C'B' égale au rayon de la grande circonférence ; prenez C'C" égale à l’axe du tronc ; menez par C", une parallèle C"E à C'B' et donnez-lui la longueur que doit avoir le rayon de la petite circonférence; joignez B' à E, par une droite que vous proloi^cB^ jusqu’à la rencontre de C'C" ; SB' sera la génératrice droite entière, et SE la partie enlevée. Décrivez donc deux circonférences , du'point S , avec les rayons SB', SE , et terminez comme dans le problème de la page 326.

Probi. (c): Tracer, sans projections, le 'développement d’un " -I tronc de surface conique droite, dont on connaît la génératrice droite et les rayons des bases (P. XI, F. 26).

Il faut faire un angle droit G , prendre G6' égal à la différence des rayons donnés ; décrire de B', avec la génératrice droite du i

tronc, un arc qui coupe GE en un point E; porter le grand rayon j

de B' Tn C', et mener par C', une parallèle à CE, Jusqu’à la ren- î

334 CONBINAUOXS DES SUAT AGIS COSIQDBt rr DV PLÂIIJ contre de B'E. Alors , SB' est la gënëratrice entière , SE la partie enleTee ; et l’on peut achever comme dans le cas précédent.

Probl. (rf): Tracer, sans projections, le développement ti’un tronc de surface conique droite , dont on connaît l'axe, la génératrice droite et le rayon d'une des bases (P. XI , F. 'j6)1

Si , par exemple , c’est le grand rayon qui se trouve connu , faites un angle droit C'j portez l’axe sur l’un des côtés, de C' en C", et le rayon su||l’aulre côté , de C' en B'; menez C"E parallèlement à C'B'; de B', avec la génératrice droite, décrivez un arc qui coupe C"E en E; lirez B'E jusqu’à la rencontre de C'C" et terminez comme dans le problème de la page 3a6.

Appl. (a) : Ecs tuyaux d’orgue , les seaux et un "grand nombre d’autres vases , les voûtes dites canonnières, les bonnets que portent les prêtres pendant l'office , les chapeaux d’homme , les deux parties des entonnoirs en verre ou en ferblanc, une foule d’autres produits présentent des troncs de surfaces coniques droites, à deux bases , et quand un tel tronc doit être formé d’une feuille flexible , on l’exécute au moyen de son développement. '

Appl. (6): La surface extérieure d’un canon de fusil est celle d’un tronc de cône. On le confectionne en roulant une lame de fer pins épaisse à un bout qu’à l’autre, dont la forme est à peu près celle d’un trapèze. Cette opération se fait sur une enclume portant une gouttière conique. On soude par rapprochement et non par superposition, les bords qui ne sont pas parallèles. Il résulte de là que le tronc de cône ne peut avoir des circonférences pour, arêtes ; mais quand le canon est forgé et dressé, on le rogne par les deux bouts, selon des plans perpendiculaires à son vce. Le forage rend ensuite cylindrique la surface intérieure.

332. Les surfaces coniques à troncatures elliptiques sont souvent employées dans l’art du poêlier. Il faut donc savoir les représenter et les développer.

PnoBL. (u); Dessiner xuie surface conique droite , à troncature elliptique (P. XI , F. if). v ♦ ^

Supposons que l’on connaisse l’axe , le diamètre de la base , l’inclinaison de la troncature sur l’axe , la plus grande et la plus petite génératrice droite.

Vous placerez le tronc de manière qu’il repose par sa base sur le plan horizontal ', et que le plan de la troncature soit perpendiculaire au plan vertical. Cette position donnera , pour projection horizontaie, un cercle A égal à celui de la base. Abaissez de A une perpendiculaire sur la ligne de terre; portez-y l’axe de A' en A"; tirez par A", une droite BC qui fisse avec A' A", l'angle que l’axe fait avec le' plan de la troncature; menez des tangentes au cercle A, parallèlement à AA'; du point D', décrivez, avec la plus courte

COMBINAISO!«S DCS S0BFACE8 COBIQDES ET DD ELAN. 33 J

g«néra(rice droite , un arc qui coupe BC , et opérez de même en £', <\vec la plus longue génératrice. Le quadrilatère BCD'E' sera la projection verticale du tronc.

C’est pour que l’ellipse se projette toute entière sur son diamètre BC, qu’il faut en rendre le plan perpendiculaire au plap vertical.

Le dessin est ainsi beaucoup plus simple. A la rigueur, la projection horizontale du tronc devrait présenter celle de l’ellipse ; mais comme elle n’est pas utile, on peut se dispenser de la déterminer.

Probl. (6): Tracer le développement d’une surface conique droite, à troncature elliptique, dont on a les projections (P. XI,

F. 27 et q8).

Prolongez l’une BE' des génératrices eitrêmes , jusqu’à ce qu’elle j coupe l’axe A'A". L’intersection S serait le sommet de la surface èonique complète, dont le tronc donné fait partie. Tracez le développement SD'D'' de cette surface , d’après le problème de la page 3a 5 , ayant soin de diviser la circonférence A à partir d’un des contacts D, £. Les points de division seront deux à deux sur des perpendiculaires au diamètre DE et à la ligne de terre (q3 et by).

Tirez ces perpendiculaires FF",’^ etc. ; joignez les points F", etc. au sommet S; menez, par les intersections G.... de BC et des droites

SF" , des parallèles à D'E' ; prenez les distances SG'

et portcz-les sur les génératrices correspondantes SF" du

développement, de S en C Les points G appartiendront au

'développement de l’ellipse, et ce développement sera la courbe CGA"BA"GC’, si d’ailleurs vous avez porté SC (F. a 7) de S on C et de S en C' (F. 28), puis SB (F. 27) de S en 'B (F. 28). Par conséquent, le développement du tronc, ouvert selon sa plus courte génératrice CD', présentera la figure plane D'E'D"C'GBA"CD'.

« Voici maintenant les raisons du procédé. Lo^plau qui passe par FF" (F. 27) et par le sommet S, coupe le plan vertical perpendiculairement, selon la droite SF"(a7i), et prend les deux génératrices droites dont F, F' sont les pieds. Ces deux génératrices ont donc SF" pour projection verticale. Mais étant égales à SD',

SE', elles sont plus longues que SF", et de meme leurs parties comprises entre le sommet S et la troncature BC , sont plus longues que SG. Ce n’est donc pas SG qu’il faut prendre, pour avoir la ' vraie distance de S aux points G de l’ellipse qui se trouvent sur les génératrices F, F'. »

< Concevons par les deux points G un plan horizontal ; il coupera le tronc selon une circonférence dont la projection verticale sera G'G" parallèle à D'E'. Or, toutes les parties de génératrices droites, eomprises entre ce cercle et le sommet S seront égales , et SG', SG"

' seront celles de SE', SD', dans leur vraie grandeur. Donc , SG' est bien la distance des deux points G au sommet , et c’est efiiectivement cette longueur SG' qu’il faut porter sur SF" (F. 28), de S en 6, pour manquer, dans le développement, la position de chaque point G de l’ellipse. >

33G rOKBINAISONS DES SURFACES COMIQfES ST DU PLAIT.

Probl. (c): Dessiner une surface conique droite, à deux troncatures, l’une circulaire , l’autre elliptique.

La seule différence entre ce cas et celui du probl. a (p. 334), c’est que la projection horizontale de la circonférence qui limite le tronc et dont le diamètre est, par exemple, de (P. XI, F. a 7), se trouverait renfermée dans la projection horizontale de l’ellipse, au lieu de l’entourer. -La projection verticale serait le quadrilatère BCde et se tracerait comme le quadrilatère BCIPE'. ,

Probl. (d): Tracer le développement d’une surface conique droite, à deux troncatures , l’une circulaire et l’autre elliptique, dont on a les projections.

Vous suivrez le procédé du problème h (p. 335); seulement, au lieu de développer une circonférence plus grande que l’ellipse , vous 'en développerez une qui sera plus petite, telle 'que celle dont de , par exemple, serait diamètre (P. XI, F. 37); vous prolongerez les génératrices du développement de la surface coniqne Sde, pour y porter les longueurs SB, SC, SG'..., et vous obtiendrez la ligure plane dCBC'ed (F. a8), pour développement du tronc BCde

Applications : Les problèmes a et b servent à tracer le contour d’une feuille propre à former un tronc de surface conique droite , qpii puisse s’appliquer p$r sa partie la plus étroite , contre up plan incliné sur l’axe, ou s’ajuster en coude à un tuyau cylindrique et tronqué, d’un diamètre moindre que celui de la circonférence du tronc conique.

« Les problèmes c et d doivent être employés pour tracer le contour d’une feuille propre à former un tronc de surface conique droite , qui puisse s’appliquer , par sa partie la plus large , contre un plan incliné sur l’axe , ou s’ajuster en coude , à un tuyau cylindrique et tronqué , d’un diamètre plus grand que celui de la circonférence du tronc conique. i>

< Les poéliers ont donc besoin de recourir à ces quatre problèmes , pour exécuter les coudes qüi leur servent à raccorder des tuyaux cylindriques de diamètres inégaux, {f^oy. p. 34o et 34 1.) »

333. Ce qui a été dit du plan tangent à la surface cylindrique, peut se dire aussi de eelui de la surface conique (3o6). Donc , tout plan tangent à une surface conique renferme une seule génératrice droite et coupe le plan d’une génératrice courbe, selon une tangente à cette ligne. • '

Mais, dans le cône droit circulaire , le rayon d’une circonférence n’est jamais perpendiculaire au plan-tangent , puisqu’il ne rencontre aucune des génératrices droites sous un angle droit. Néanmoins, le plan qui tournerait autour de J’axe AB (P. XI, F. 9), de manière à le couper toujours au point A , et à faire constamment le même angle BAG avec cet axe, pourrait façonner un corps selon un*

COMBIHAISOXS DBS SL'BFACBS GOSIQUBS ET OD PLAN. 357

surface conique droite à laquelle il serait tangent dans toutes ses positions; car il contiendrait toujours une droite qui ferait avec l’axe , l’angle BAC (u58) , et tontes les génératrices droites d’un cône droit, font aussi un angle constant avec l’axe (3a3).

Appl. (fl); Il suit de là que pour produire une surface conique, on peut employer le procédé de la page 3a5 (appl- o), en circonscrivant à la circonférence un polygone régulier. Tous les triangles qu'on exécutera seront tangens à la surface demandée , et si l'on abat les arêtes en arrondissant , cette surface se trouvera formée et limitée par la circonférence tracée. Ce nouveau moyen est propre à l’exécution d’une surface conique limitée par une circonférence de rayon donné; il est suivi par les charpentiers, les tailleurs de pierres, les serruriers, etc.

Appl. (b) : Le cône peut rouler sur un plan , sans cesser de le toucher par une génératrice droite et . sans que de sommet change de position , comme le plan pent tourner autour d-'une surface conique, ' sans cesser 'd’être tangent et de. passer par le sommet.

< Ainsi, les meules d'huilier qui, placées de champ sur une table, ronlent autour d’nn arbre vertical, pourraient être coniques. Les faces planes AB, CD (P. XI, F. ag) seraient alors inclinées et l’axe EF serait oblique sur l’arbre vertical FG. Mais, cette disposition prendrait beaucoup d'emplacement, attendu que la circonférence AB ayant un grand diamètre, il faudrait que la meule fût très éloignée de l’arbre , pour que le sommet du cône se trouvât en F, sans que l’angle ABD fût très-aigu. D’ailleurs , le point F serait nécessairement le pivot de l’arbre, si la table BF était horizontale; le poids de la meule augmenterait le frottement dans la crapaudine , si l’angle ABD dilTérait beaucoup d’un angle droit ; enfin , l’essieu EF ne pourrait pas être assemblé solidement, même quand on placerait le pivot pins bas que le point F. Pour toutes ces raisons, les meules d’huilier sont cylindriques. Il en résulte même un autre avantage: l’aréte circulaire III est obligée, pendant qu’elle roule, de rétrograder en glissant sur la table , vu qu’elle a moins de chemin à faire que l’autre arête circulaire KL et qu’elle possède la même vitesse; de là un frottement de la meule sur la table, lequel est favorable à la trituration des grajues. »

Appl. (c) : Le cône droit peut tourner sur son axe sans cesser d’être tangent an même plan, selon une droite de position constante (3q3). Il est donc possible d’aiguiser des tranchans en forme de coin et de polir des surfaces planes sur des meules coniques, aussi bien que sur des cylindres (appl. d, p. 3ia).

Awl. (d): L’arbre qui porte les ailes d’nn moulin à vent est inclinéÿ et il. faut transporter dans un plan horizontal , le mouvement'' circulaire qui se fait dans un plan incliné perpendiculaire à cet arbre. On emploie pour cela une lanterne conique C (P. X , F. 43) dont l’axe est verti^ et qu’on fait engrener avec un rouet D perpendicnlaire à Taxe' de l’arbre. Le plan de la circonférence du

339 COriBTt. DES SÜRÿACBS CO.MQVeS RT DE LA LIGNE DROITÉ:. rouet est constamment tangent à une surface conique qpii a même' axe que la lanterne.

Appl. (e): Quand les dimensions du tronc de cône droit , terminé par deux circonférences parallèles, ne permettent pas dé l’exéctiter' sur le tour, et que la nature de la matière s’oppose à l’emploi du développement, on le façonne en construisant un grand nombre de plans tangens, comme pour une surface conique entière. Mais il’ faut qu’avant tout, les centres des deux circonférences données soient > placés sur une perpendiculaire à leurs plans.

« Supposons pour exemple qu’il s’agisse de transformer une pierre en tronc de cône. Vous dégauchirez d'abord un parement MN (P. XI, F. 3o), {mis un autre parement MO perpendiculaire sur MN, puis un troisième parement OP d’éqüerre sur MO et parallèle à MN. Tracez alors sur MN la grande circonférence A,tangentiellement à l’arête MB ; par le point C de contact menez sur MO, une perpendiculaire CD au plan MN, c'est-à-dire une perpendiculaire à l’arête MB et au rayon AC (u56); tirez sur OP, par le point D , une perpendiculaire à DO ; enfin prenez DE égale-

à AC. »

< La droité qui joindrait les points E, A, serait parallèle à CD et par suite perpendiculaire aux deux plans MN j OP (a6 1 ). Si donc dû point E, vous décrivez sur OP, la- plus petite des circonférences données ,' et qu’à partir des points F et C vous circonscriviez aux circonférences E , A , des polygones réguliers d’un même nombre de côtés , TOUS n’aurez pins qu’à former les trapèzes plans Contenant’ les côtés Correspondans et parallèles de ces polygones , puis à faire disjiaraitrc les arêtes en arrondissant. z>

« C’est ainsi que les tailleurs de pierres exécutent les tronçons des colonnes et que les charpentiers construisent les troncs de cônes dont sont composés les mâts; c’est aussi de cette manière que les serruriers procèdent , quand les circonférences de la surface conique tronquée doivent avoir des rayons déterminés. »

Combinaimns de» surfaces conique» et de la ligne droite. '