Toute droite tracée dans un plan tangent à une surface

conique, par un pà>int de la génératrice droite de contact, est tangente à cétte surface ; elle est aussi tangente à la courbe intersection de la surface et de tout plan coupant qui la contient. Il s’ensuit que le plan tangent renferme les tangentes de tontes les courbes qui peuvent être tracées sur une surface conique, jpar un des points du contact. ‘ '

335. Les normales d’une surface conique soOt les perpendiculaires élevées sur le plan tangent, par les {joints de la génératrice dfoitè de contact.

Le plan normal est celui qui cOniîéht une normale ou qui , perpendiculaire au plan tangent , renferme un des points de contact. .

- ed by C.

COHBI». DES SVEV. COMQDS* ET DES SERF. CVUSDRIQUES. 33g , Tout plan qui passe par l’axe d’une surface conique droite, est normal et siéridie:) (5io). Cela est vrai, si la langepte au point A de la circonférence B (P. XI, F. 3i) est perpendiculaire à 1r génératrice droite SA; car la normale ÀC étant perpendiculaire à cette tangente DE , le plan normal CAS se trouvera perpendiculaire à DE (a56); il contiendra, par conséquent, le rayon AB et se confondra avec le plan ASB. Or, SA est en effet perpendiculaire ' à DE. Soit AD== AE; BD égalera BE (48), et puisque SB est perpendiculaire sur le plan B , SD égalera sE (a58). Donc , les angles DAS, EAS sont droits (5a).

On doit conclure de là que toutes les normales d’une surface conique droite coupent l’axe. Observez toutefois qu’elles ne sont pas , comme dans la surface cylindrique droite, rayons des génératrices courbes.,

; Appeicatioxs : 11 faut tracer des normales à une surface conique ,

ftour construire les anamorphoses propres à montrer le jeu de la umière sur les miroirs de cctie forme (p. 3 13 , loi); il fapt exécuter des plans normaux , quand on façonne les voussoirs d’une trompe dans l’angle ou d’une trompe sur le coin (appl. b , p. 3ag).

Combinaisons des surfaces coniques et des surfaces cylindriques. .

Une surface conique et une surface cylindrique peuvent se couper ou se toucher. Quand elles se coupent, leurs axes se confondent, ou se rencontrent, ou se trouvent dans des plaus différens, c’esl-Adire qu’ils sc croisent sans se couper (a 66).

336. Une surface conique et une surface cylindrique qui sont droites et dont les axes se confondent , ont une circo^érençe pour intersection.

Si par le point B où se coupent les génératrices droites AS , BC (P. XI , F. 3a), on conçoit un plan perpendiculaire à l’axe commun SD, il coupera chacune des surfaces selon une circonférence (ôay et 3o3), et les deux courbes auront même centre £ , même rayon ËB ; elles se confondront donc , ou plutôt le plan ne donnera qu’une ■ seule circonférence située à la fois sur la surface conique , sur la surface cylindrique, et passant par les intersections de toutes les autres génératrices droites SF, GH, etc.

. Applications :■ L’ame d’un fusil est cylindrique , la snrfaoie extérieure est conique et ces deux surfaces ont le même axe. Il s’ensuit que si elles étaient prolongées au-delà du plan qui formp #

la bouche , elles se couperaient selon une circonférence. Il en est de meme dans les canous et dans les tours rondes dont, la face extérieure a du talus.

« Les bouchons de liège ou de cristal, sont coniques. Le goulot d’une bouteille ou d’un llacou est cylindrique, <Iu moins par Ip

Diûitized by Googli

34o CDHBI5A1S0XS DES SüliFACeS C05I<]DBS

haut. La cireonfcrence interne qui termine ce goulot doit donc s’appliquer .exactement sur le bouchon , dans tout son pourtour. C’est là ce qui produit une fermeture hermétique. »

337. Dans les deux autres circonstances ou une surface conique et une surface cylindrique se coupent, l'intersection présente une ou deux courbes à double courbure (3 1 u)que la géométrie descripÜTe apprend à tracer et à dérelopper. Un cas cependant doit être excepté: les ‘ axes peuvent se couper de telle manière et le diamètre du cylindre peut être en même temps de telle grandeur, que l’intersection soit une ellipse.

Appi. (a): Les architectes'ont à construire des intersections à ^double courbure, toutes les fois qu’ils font une porte ou une baie cylindrique , dans une tour dont la face extérieure a du talus. '

Appl. (é) : Les mêmes intersections font aussi partie du travail des peintres de panoramas; car cette sorte de peinture n'est autre chose que la perspective des objets de la nature , sur un Uiblean cylindrique dont l’axe est vertical et passe par la position de l’observateur. Si , par exemple, il s’agit de peindre sur la toile cylindrique, un objet terminé par des courbes , il faut tracer l’intersection d’un cylindre creux et de surfaces coniques qui ont ces courbes pour génératrices et dont le sommet commun se trouve sur l’axe du cylindre , à la hauteur des yeux de l’observateur.

' Apph. (c): Les robinets appelés canelles, présentent un trou conique qui traverse un canal cylindrique. Les axes des deux surfaces sont d’équerre et les intersections ont double courbure. On donne la forme d’un tronc de cône aux clefs de ces robinets , afin qu’elles fermant bien , sans qu’on ait besoin d’en soigner beaucoup la confection : une légère pression , opérée en tournant , suffit effectivement pour obtenir une bonne fermeture , tandis que la forme cylindrique ne peut empêcher tout écoulement j que dans le cas où elle est exécutée avec une extrême précision. Néanmoins, cette dernière forme est employée dans certaines machines à vapeur, dans les pompes à air , et en général pour tous les robinets dont le jeu doit être doux.

< Paobl. (a): Tracer un cylindre droit qui puisse s’ajuster en coude à la troncature d’un tronc de cône droit donné. »

€ Faites la projection verticale ABCO du tronc de cône (P. XI , F. 33), et marquez le milieu E de CD, projection delà troncature. C’est à ce point, centre de l’ellipse, que doit aboutir l’axe du cylindre , et le diamètre perpendiculaire à CD, égale celui de ce cylindre. »

« Menez donc par E , FG parallèle à AB ; projetez horizontalement la circonférence dont FG est diamètre ; puis tirez EH , parallèle à l’axe IS. La demi-corde HK sera le rayon du cylindre demandé , ear elle appartient à la fois an cercle FG et à la courbe de troncature.

DigiliiCd l)y Googl

IT DIS SCIFACM CTL15DIUQVBS. 34'l

Il votis restera , par conséquent , à décrire de E , arec HK , un arc de cercle; à mener par D, une tangente DL à cet arc, et à tirer par E , C , des parallèles EM , CN à cette tangente. Le trapèie CDLN sera la projection du c^’lindre , et s’il s’agit d’un système de ' tuyaux, vous pourrez exécuter les développemens des deux parties, au moyen du probl. (6), page 3og , et du probl. (rf), page 536. > '

« Pbobl. (6) : Tracer les projections d’un tronc de cône et d’un trotte de cylindre droits qui puissent s’ajuster en coude , lorsque l’on connaît les positions et les rayons des bases. »

« Soient AB, LN ces bases en projections verticales (P. XI, F. 33). Les axes seront leurs perpendiculaires IS , ME, élévéesau milieu, et il s’agira de déterminer le sommet S du cône , de manière que l’ellipse, intersection des deux surfaces, ait son diamètre horizontal égal au diamètre du cylindre , car cette égalité est la condition de l’ajustage. >

« Or, quelle que soit l’ellipse,’ elle se projette selon un cercle, sur le plan de la base du cylindre, et le cône tout entier se projette sur le même plan^, selon uu angle dont les côtés sont tangens à ce cercle. Il suffira donc de projeter ainsi , pour Tléierminer le sommet du cône; mais comme le plan de la base du cylindre est perpendiculaire au plan vertical , il faudra de plus faire tourner le premier autour de LN , pour le rabattre sur le second et pouvoir y tracer la projection du cône. »

« Décrivez d’abord de M, avec le rayon du cylindre, une circonférence ou seulement la moitié; vous aurez le rabattement de la courbe d’intersection. Abaissez 10, perpendiculaire sur LN, et portez IP de 0 en Q; OQ sera le rabattement de la demi-corde IP, rayon de la base du tronc de cône. Agissez de même pour la demi-corde- RT et pour plusieurs autres , perpendiculaires sur AB , comme

IP, RT; vous trouverez autant de points Q , U du rabattement

de la base du tronc de cône, projetée sur le plan de celle du cylindre. D’ailleurs , les points A , B se projettent en A', B', et par conséquent, la demi-ellipse A'QB' est la projection de la demi— circonférence APB, moitié de la base du tronc de cône.

< Tracez maintenant une droite qui soit à l.a fois tangente à la/ demi-circonférence M et à la demi-ellipse A'QB'; elle sera la’projection de l’une des génératrices droites contenues dans le diamétral PIS , et comme LO est la projection de l’axe indétliMra cône , le concours S' de ces deux droites , sera celle du sommet sur le plan de la base du cylindre. Ramenez donc S' sur le plan vertical , en tirant S'S parallèle à 10; l’intersection de cette parallèle et de l’axe indéfini IS , sera la vraie position du sommet du cône sur le -plan :Yertical ; SA, SB seront les projections verticales des géuéralncea extrêmes , et leurs intersections D, C avsc celles du cylindre, dëtarminërpot convenablement la prujcctiou CD de l’ellipse com- .mune aux detix surfaces. ». - .

s Les opérations seraient absolument les mêmes j si la diamètre

3 {a COJtDlKAISONS DSS (üaFAGES COaiQCBS KSTTHE BILES.

donné AB était moindre que FG. Seulement , on trouverait S' audessous de O , et S au-dessous de I. Ce cas se présente dan| les tujaux des poêles en fonte à étages. L’orilice par lequel la fumée sort du dernier compartiment, offre un cylindre plus étroit que le tuyau vertical en tôle , et pour les réunir , il faut employer un cône doublement tronqué qu'on trace au moyen du problème qui vient d’être résolu. »

338. Une surface conique et une surface cylindrique peujoent ne se toucher qu'en un point. Ce cas qui se présente rarement dans les arts , a lieu quand une génératrice droite de chacune des surfaces est tangente à une courbe tracée sur l’autre. . .. (

Un cylindre en relief àu creux peut être touché selon une géné~ ratrice droite par un cône en relief ou creux. Il suffit pour cela que le sommet du cône se trouve sur une génératrice droite du cylindre et qu'une courbe tracée sur la première surface , soit tangente extérieurement ou intérieurement à une courbe tracée dans le niême plan , sur la seconde.

Appl. (a)î L’émodlage des canons de fusil sur des meules cylindriques, offre un exemple d’un cône tangent extérieurement à un cylindre , selon une génératrice droite commune aux deux surfaces.

Appl. (ô) : Lorsque les chaudronniers , les ferblantiers et les poêliers ploient une feuille métallique en cylindre, ils la frappent à coups de maillet sur une enclume appelée bigorne (\\ù est conique, et ils parviennent à obtenir ainsi une surface cylindrique, parce que cette sniface peut être touchée intérieurement par un cône, selon une de ses génératrices droites. Ils pourraient employer aussi une enclume cylindrique; mais comme il leur faut une bigorne pour fabriquer des cônes et pour plusieurs autres travaux , çe serait un instrument de plus et une mise de fonds inutile.

Combinaisons des surfaces coniques entre elles.

Deux surfaces coniques à une seule nappe peuvent se couper ou se toucher ou se contenir sans .avoir aucun point de commua.

^^9. Quand deux surfaces coniques se coupent , ayant le même acÊmnet S et des axes différens SA, SA', l’intersection se compose de deux droites SB, SC , génératrices de l’une et de l'autre surface