P-XI,F

Coupons les deux surfaces coniques par un même plan ; nous obtiendrons deux courbes qui se rencontreront nécessairement eq deux points B , C , puisque l'un des cônes sort de l'autre après y être entré ; et si nous joignons B , C au sommet S , par des droites, ces droites BS , CS se trouveront à la fois sur chacune des surfaces,

• Applicxtio.v : Comme une colonne est un iron* de cône,, les

C0MBI7<ÀIS0nS DES SURTACES C0!4IQDES ENTRE ELLES. 343

rannelures qu’on y fait, sont <ics surfaces ouni(pics creuses et tronquées, dont les sommets se confondent a\ec celui de la colonne. Lors donc que ces cannelures se coupent, elles forment des arêtes droites, génératrices de la grande surface conique, et il en est encore de même quand elles ne coupent que cette surface.

540. Si deux surfaces coniques droites se coupent, ayant le même, axe , leur intersection est une circonférence. Cela se démontre comme le principe 336.

Appt.(a); Deux surfaces coniques se trouvent dans lescircunstaoccs spécifiées ci-dessus, quand on construit une tour qui a du talus à l’intérieur comme à l’extérieur, .\lors , l’intersection ABCA est située entre les sommets S, S' (D. XI, F. 35).

Appl. (6); Les faces qui se regardent dans ^cs deux meules d’un moulin à farine, sout ordinairement des surfaces coniques droites qui ont pour axe commun, celui de l’arhre sur lequel tourne la meule supérieure, et q'ui se couperaient seUui une circonférence, si elles étaient prolongées au-delà des bords des deux pierres. 11 faut qu’il en soit ainsi pour la moulure du blé ; car les grains tombent entre les meules A, B (P. XI, F. 36), par un trou pratiqué dans la meule supérieure A , autour de l'arbre CD ; arrives là , ils roulent sur la surface inclinée de la mèule inférieure, et récartement des pierres leur permet de s’étendre en couche mince circulaire d’un assez long ràyon j d’où il suit (ju’un grand nombre de grains sont écrasés à la fois.

« Si la face supérieure de la meule lixe It était liorizonlale , on si les pierres étaient suffisamment rapprochées pour que le blé se trouvât comprimé , au moment même de sa chute , il resterait autour de l’arbre jusqu’à ce qu’il fût concassé; l’écrasement u’auvait d’abord lieu que sur uiie très-petite circonférence; le moulin ferait peu de travail, et la farine, qui mettrait beaucoup de temps pour arriver au bord de la meule fixe , pourrait s’échauffer. >

« Ce qui pousse constamment vers le bord , la farine et les grains , c’est la force centrifuge que leur communique la rotation de la meule supérieure : cette force tend toujours à écarter un corps tournant, du centre du mouvement circulaire. Comme elle est d’autant moins grande que la rotation est, moins rapide, elle produit peu d’effet vers l’arbre , et la farine cheminerait d’abord fort ientcmcDt, si elle était produite à l’eaidroit même où tombent les grains. 11 y aurait donc alors deux raisons pour qu'elle s’échauffât : plus de chemin à paraourir et moins de vitesse au comnieucement du trajet. »

« Ainsi, pour rendre le travail d’un moulin aussi grand qu’il peut être et pour en obtenir de bonne farine, il est nécessaire de disposer les choses de telle façon que les grains puissent d’abord cheminer librement, et qu’ils entrent ensuite dans un espace de plus en plus resserré où ils soient écrases peu à peu. Cela lait voir

344 C0HBI5AIS0XS DES StBFACES COIUQUES. E5TRB BIXBS.

qu'il ne faut pas tailler les meules à blé, de manière qu’une règle s’applique sur les faces écrasantes , dans toute la longueur des diamètres; l’application ne doit avoir lieu que des centres £, à tous les points des bords circulaires, par exemple selon les rayons EG, FH. »

54 t. Quand les sommets ni les axes ne se confondent , deux surfaces coniques droites se coupent généralement selon une ou deux courbes à double courbure (3iu), que la géométrie descriptive apprend à tracer et à développe.

IJllais , si deux surfaces coniques droites sont superposables et que les axes se coupent à la même distance de chaque sommet, la courbe commune est plane. Ce cas en présente trois autres :

1° L'intersection est une ellipse, lorsque les axes se coupent entre les bases et les sommets , et qiêil n’y a point de génératrices droites parallèles. La courbe se projette sur le plan des axes , selon une droite BC (P. XI, F. S/) dont l’extrémité B est le croisement des généralrices SD, S'D', et l’extrémité C, celui des génératrices SC , S'C. Quant à SD , S'C , elles ne se coupent point , n’étant pas dans le même plan : S'C passe derrière la surface conique S , et sa partie ponctuée est celle qui se trouve invisible. Il en est de même pour S'D' et SC.

a" L'intersection BC est une parabole , lorsque les axes se coupent entre les bases 'et les sommets , et qu’en même temps deux génératrices droites opposées sont parallèles (F. 38) j car SD, S’D' ne pouvant se rencontrer, doivent être parallèles au plan de l’intersection (Say). * ‘

3° L’intersection BC est une hyperbole , lorsque les axes sont parallèles (F., 3g), ou lorsque les sommets se trouvent entre les bases et le concours des axes (F. 4o)- Dans aucune -de ces deux circonstances , les génératrices opposées SD , S'D' ne sauraient être parallèles, ni se rencontrer entre les bases et les sommets (3'j3). I^ur concours a lieu nécessairement en un point commun aux deux autres nappes des surfaces coniques, et c’est l’intersection de ces nappes qui forme la seconde branche de l’hyperbole (3a 9).

Ces principes trouvent parfois leur application, dans la coupe des pierres , la ferblanterie et la chaudronnerie.

542. Deux surfaces coniques peuvent se toucher par un seul point ou par une génératrice droite. Ces cas se présentent dans les mêmes circonstances que ceux du n° 338.

Applications : La première espèce de ces contacts est peu usitée dans les arts ; c’est le contraire quant a la seconde. On s’en sert pour transmettre à un axe , par frottement ou par engrenage , le raouvemeut circulaire qui se fait autour d’un second axe, dans le cas où celui-ci n’est ni parallèle ni perpendiculaire au premier.

< Si, par exemple, les axes des aibres AB, AG de deutt roues

COMBINAISOSS DES SUBFACES CO!1IQÜES ESTBB ELLES. 345

coniques (P. XII, F. i), se rencontrent en un certain point A, et que ces roues D, E frottent ou engrènent l’une sur l’autre, selon la génératrice de contact FG , la rotation imprimée à la roue D se communiquera à la roue E. Cette sorte de transmission du mouvemenl circulaire, se rencontre très-fréquemment dans les macliines : les roues coniques y portent le nom de roues d'angle.

343. Deux surfaces coniques droites à une seule nappe, dont les génératrices droites sont parallèles et dont les axes se confondent , sont à la meme distance dans tous leurs points, les sommets exceptés, cl l’une est entièrement contenue dans l’autre.

La distance des points B, C, par exemple (P. XII, F. a), est la différence BC des deux normales AB, AC, et il est assez visible que celte différence est partout la même , puisqu’il s’agit de surfaces de révolution (3aa). Quant à la distance SS' des sommets , qui est oblique sur SB, elle doit être plus grande que la perpendiculaire S'I) , dilférence des normales (46).

Il suit de là que , si une surface conique droite , en relief, a même axe et même sommet qu’une autre surface conique droite et creuse , la première pourra tourner dans la seconde, sans cesser de la toucher par tous ses points , si de plus les deux génératrices droites font le même angle avec l’axe.

ApPl. (a): Les cJiapeliers appliquent celte propriété, quand ils façonnent dos feutres sur des formes en tronc de cône.

Appl. (6) : Le jeu des robinets coni(pies repose sur la même propriété. Un tronc de cône plein A (P. XII , F. 3) est logé dans un tronc de cône creux de même sommet S , de même .axe SB et de même génératrice courbe B. Un canal CD est interrompu par le tronc de cône crenx dans lequel il débouche par les orifices E , F. Enfin , le cône plein est percé d’un trou G , selon le diamètre de l’une de ses génératrices courbes. Quand ce trou a la position ([ue présente la figure , c’est-à-dire quand son axe est perpendiculaire à celui du canal, la li(|ueur contenue dans la partie CE ne peut s’écouler, puisque les deux surfaces coniques s’appliquent exactement l’une sur l’autre, dans tous leurs points. Mais, si l’on fait faire un quart de tour a la clef A , le trou G se trouve alors dans la direction du canal CD, il continue ce canal , et la liqueur sort par l’orifice II.

Appl. (e) : Les soupapes coniques qui parfois remplacent les robinets, sont fondées sur ce que deux surfaces coniques droites peuvent s’appliquer l’une sur l’autre dans tous leurs points , quand elles ont même sommet , même axe et les mêmes circonférences. Le tronc de cône plein A (P. XII, F. 4) ayant la position BCDE, remplit le tronc de cône creux qui établit communication entre les deux parties du tuyau FG , et rien ne peut plus passer alors de la partie inférieure G dans la partie supérieure F. Mais ’si , par un moyeu quelconque, on élève un peu la clef A, l’air ou l’eau qui tend à passer de G dans F , M’élève par l’intcnalle que laissent entre eux le

546 SÜHFÀCES DBVSLOPPABIBS.

cône plein et le cône creux. Il ne faut ensoite S’abandonner la

clef à l’action de son propre poids , pour refermer de nonreatx

l’orifice BGDE.

Surfaces développables.

344. Toute surface courbe qui peut devenir plane ou s’étendre sur un plan , sans se rompre et sans 'former aucun pli , est dite surface développable. Une surface courbe ne saurait jouir de cette propriété ou ne saurait être développable , si sa génération ne permet pas de la regarder comme composée de facettes planes extrêmement étroites qui aient deux à deux un côté commun ; car le développement exige que chaque portion de cette surface se rabatte sur le plan de la portion voisine, en tournant autour d’une droite considérée comme charnière (3oi). Or, il faut pour cela, que la surface courbe soit réglée et que ses génératrices droites soient parallèles ou concourent au moins deux à deux.

Les surfaces cylindriques sont dans le premier cas et les surfaces coni([ucs dans le second : il est vrai que les génératrices droites de ces dernières concourent toutes au même point, mais ce n’est là qu’une circonstance particulière.

Toutes les fois qu’une surface est engendrée par une droite qui chemine de manière que deux positions voisines quelconques se coupent, et en s’appuyant constamment sur deux lignes courbes non situées dans le même plan, cette surface est développable, puisqu’elle peut être regardée comme composée de triangles accolés et très-étroits. Réciproquement, une surface plane s’y applique en se courbant et la couvre dans tonte son étendue.

Appiicatioxs : Il n’est pas rare que le chaudronnier, le cartonnier, le carrossier, etc., aient à construire des surfaces développables autres que celles des cylindres et des cônes. Supposons pour reconnaître la manière dont ils doivent opérer, qu’il s’agise de limiter par une surface développable , un corps auquel on veut donner une circonférence A pour arête supérieure (P. XII, F. 5) et une courbe BCD pour arête inférieure.

« Il faut d’abord circonscrire deux polygones d’un même nombre de côtés , l’un à la circonférence A , l’autre à la courbe BCD , et tels que tout côté du premier se trouve dans un même plan avec le côte de même rang du second ; on exécute ensuite les quadrilatères plans EFGH , etc. formés par ces côtés et par les droites qui joignent leurs extrémités correspondantes ; puis , on abat les arêtes EF, GH , etc., intersections de ces quadrilatères, ce qui en produit d’autres qu’on abat encore , et l’on continue ce travail , jusqu’à ce que le nombre des plans tangens à la surface développable , soit assez grand , pour que leur ensemble puisse être regardé, sans erreur sensible , comme une surface courbe. »

« Il est visible , d’après cela, que pour exécuter la même surface

SURFÀCBS GACCOES.

ai<cc des feuilles métalliques ou autres, U faudrait les découper en quadrilatères étroits et tels que ceux de leurs côtés qui s’appliqueraient tangenliellemcnt à la courbe BCD , enveloppassent tout-à-fait cette courbe, quand les côtés opposés envelopperaient la circonférence A. »

345. Un plan qui entre dans une surface développable par une génératrice droite, n’en sort pas toujours par une autre , puisque ces génératrices peuvent ne se couper que deux à deux ou ne se trouver que deux à deux dans un même plan.

Un plan est tangent à une surface développable , quand il n’a de commun avec elle qu’une seule génératrice droite. Une droite qui rencontre celle-là, est tangente à la surface, si elle est contenue dans le plan tqngent, et normale, si elle est perpendiculaire à ce même plau.

Surfaces gauches.

346. Pour terminer l’étude des surfaces courbes réglées, nous n’avons plus à nous occuper que du cas où les génératrices droites ne sont ni parallèles ni concourantes , c’est-à-dire du cas où deux positions voisines quelconques de la génératrice droite ne sont point dans un même plan. On dit alors que la surface est gauche.

Une surface gauche est engendrée par une droite qui se meut sur trois ligues quelconques , telles pourtant qu’un même pLin ne puisse les couper chacune en deux points très-voisins, de manière que les six intersections sc trouvent sur deux lignes droites. La droite mobile porte le nom de génératrice ; les lignes qui dirigent le mouvement sont appelées directrices; elles ne peuvent pas toujours engendrer la surface.

Ainsi , les génératrices d’une surface gauche sont des droites qui se croisent sans se rencontrer (q66). Quant aux directrices , elles peuvent être toutes des droites , toutes des courbes , ou bien les unes sont droites et les autres sont courbes. Quelquefois aussi, une condition à laquelle doit satisfaire la position de la génératrice, remplace une des directrices qui ne sont plus alors qu’au nombre de deux. Enfin, des surfaces peuvent être substituées aux courbes, pour diriger le mouvement.

Afpl. (a): Les ailes des moulins à vent seraient des exemples de surfaces gauches à trois directrices droites, si d’ordinaire elles n’étaient légèrement courbées vers le vent, comme on le voit en A (P. XII , F. 6). Mais pour un moment , supposons nulle cette petite courbure. L’aile est alors une surface gauche dont les directrices \

sont les trois droites BC, DE, FG, ou bien une échelle à trois montans qui ont cessé d'être parallèles, ainsi que les échelons. Ces derniers en outre ne sont plus tous de même longueur ; mais ils continuent d’être perpendiculaires à DE qu’on appelle le volant de

34^ . SCnFAOES C.IVCRES.

l’aüe , et pris à la même distance des points D , E , ils sont encore égaux deux à deux.

« Les échelons extrêmes BF, CG ont des positions déterminées d’où résultent celles des autres : le premier fait un angle de 6o“ avec la direction du vent ou avec celle de l’arbre HI ; le second, un angle de 84° avec la même direction, et leur distance DE est de i3 mètres, environ 4<> pieds. De l.i suit qùc le courant d’air tend à exercer d’autant plus d'effort sur l’aile, qu’il agit scion un échelon plus éloigné de l’arbre. Mais comme d’un autre côté , l’extrémité CG tournant bien plus rapidement que BF, échappe davantage à l’action du vent, il en résulte à peu près compensation et l’air fait le même effort par tout, ce qui préserve le volant de toute rupture dans les cas ordinaires. Ainsi , cette application des surfaces gauches, est loin d’être de pure fantaisie .-«elle est nécessitée par la nature des choses, elle donne bien plps de force à la machine. »

Appt.. (A): Les versoirs ou oreilles des charrues sont des surfaces gauches analogues à cëlles des ailes de moulin à vent : elles ont pour directrices une horizontale perpendiculaire à la direction du sillon, et une droite inclinée, située dans un plan vertical parallèle à l’horizontale. La génératrice reste constamment parallèle à un plan incliné qui coupe le sol parallèlement au sillon.

Appi. (c): Certaines corbeilles, certains v.ases nous présentent une surface gauche (P. XII, F. 8) engendrée par une droite AB qui se meut sur trois circonférences parallèles C, C', C". La première et la dernière peuvent avoir même rayon ; celui de la seconde C', est plus petit que chacun des deux antres. Les trois centres sont sur une même droite CC” qui est perpendiculaire aux plans des cercles, que la génératrice ne rencontre jamais et autour de laquelle chacun de scs points décrit une circonférence parallèle aux directrices : CC" est donc l’axe de la surface gauche.

« On peut supprimer la directrice C’ et la remplacer par cette condition, que la distance de la génératrice à l’axe, soit toujours la même, ou par cette autre équivalente, que la génératrice fasse un angle constant sur le plan du cercle C, par exemple. »

« Une propriété qui est particulière à la surface engendrée de rtinc ou de l’autre manière, c’est qu’elle peut être produite par

SVRFACES CACCIIES.

deux droites différentes assujetties aux mêmes conditions. Seulement , l’une AB s’incline dans un sens en tournant autour de l’axe, tandis que l’autre ab s’incline dans le sens opposé. La plus courte distance de chacune de ces génératrices à l’axe CG" est la meme, d’où il résulte qu’il y a toujours deux de leurs positions qui se coupent en un point D de la plus petite des circonférences qu’on puisse tracer sur la surface. Cette circonférence C peut donc être regardée comme engendrée par le point d’intersection D des deux génératrices : on l’appelle la gorge. »

« Les vanniers, dans leurs corbeilles à surface gauche, figurent par^des baguettes d’osier , les deux systèmes de génératrices droites , la gorge et au moins deux des autres cercles parallèles. »

« Enfin, la même surface gauche qui , éomme on voit, est réglée dans deux sens différens , peut être engendrée aussi par une branche d’hyperbole (ôîg) tournant autour de l’axe, de manière que le point d’origine H (P. XI, F. i6) décrive la* gorge et que IIII' soit perpendiculaire à CG" (P. XII, F. 8). C’est pour cela qu’on l’appelle hypcrboloïde de révolution. »

« Un hyperboloïde de révolution a donc trois génératrices : déni droites qui diffèrent de pfesition et la courbe AEF, Il pourrait être encore engendré par un cercle C dont le centre s’élevât le long de l’axe, qui restât toujours perpendiculaire â cet axe et dont le rayon diminuât, puis augmentât selon une certaine loi. Il serait donc possible d’exécuter un hyperboloïde sur le tour; mais il faudrait pour cela que le guide de l’outil fût une hyperbole placée dans le même plan que la ligne des pointes et de telle sorte que EC' se trouvât perpendiculaire à cette ligne. » ■"

Api’l. (rf): La petite voûte qu’on forme au-dessus de l’ébrasement ABCD (P. XII, F.' g) dans lecpicl s’ouvrent les portes rondes, et qu’on appelle arrière-voussure de Marseille , est une surface gauche dont les directrices sont la demi-circonférence (AB, A'EB'), un arc de cercle (GIX, G’FD') et l’axe de la voûte cylindrique , axe qui est horizontal et dont les projections sont (GlI, G'). Gette sorte de surface gauche est nommée conoïde, et il en est de même de toutes celles qui ont une seule directrice droite , parce qu’elles ont quelque analogie avec la surfiice conique.

« JNous ferons remarquer que les deux génératrices qui passent par des points tels que I , K , situés â la même hauteur sur la demi-circonférence, vont se couper ab même point de l’axe directeur ; cela n’empêche pas la surface d’être gauche , attendu que ces points I , K sont séparés par un grand nombre d’autres. Il y a bien dans la voûte une petite facette plane, partagée en deux parties égales par EF, mais elle est la seule et extrêmement étroite. »

Appl. (e') : La halle au blé de Paris est une tour formée par deux murs cylindriques à l’intérieur, coniques â l’extérieur (P. XII, F. lo), et cette tour est percée de plusieurs arcades qui vont en se rétrécissant du dehors au dedans. Gomme ces arcades devaient avoir la même hauteur dans tonte leur longueur, on n’a pu les faire coniques: ce

STTHFACBS CAÜCUES.

sont des conoïdes qui ont tous pour directrice droite , une verticale passant par le centre A du plan de l’édifice j pour génératrice , une horizontale AB, AB', et pour directrice courbe, une demi-circonférence verticale et perpendiculaire à l’axe AC de la voûte. La droite DE représente la projection horizontale de cette demi-circonférence.

Appl. (/) : Le dessous d’un escalier toumaut à noyau ou à jour est souvent encore un conoïde ; car cette surface gauche a ordinairement pour génératrice, une horizontale qui s’appuie constamment sur une verticale et sur une courbe particulière , laquelle s’élève en tournant. Cette courbe est nommée hélice ; scs propriétés et son tracé .seront exposés dans la géométrie des courbes. On l’appelle aussi spirale cylindrique et de là vient que le conoïde de l’escalier est dit surface spirale gauche.

Appl. (g) : Quelquefois , la génératrice d’une surface gauche d’escalier, au lieu de couper une verticale, doit toucher un cylindre dont l’axe est vertical. On n’a plus alors un conoïde , mais on n’en a pas moins une surface gauche spirale. '

Appl. (Ji) : La vis d’Archimède qu’on emploie pour élever les eaux , est une surface gauche de la même espèce»que la surface spirale d’un escalier en tour ronde, à directrice droite, c’est-à-dire d’un escalier dont le noyau ou le jour est un cylindre circulaire.

«■ On en doit dire autant des deux surfaces gauches que présente une vis à filet carré. Quant à celles d’une vis à filet triangulaire , ce sont des surfaces spirales gauches d’une autre nature, attendu que la génératrice n’est pas perpendiculaire à la directrice droite qui est l’axe de la vis : elle fait toutefois un angle constant avec cet axe. 5>

Appl. (i ) : Le cône sur lequel s’enroule la chaîne d’une montre , ofire une sorte de rampe tournante qui est encore une surface spirale gauche , ayant pour génératrice une perpendiculaire à l’axe du cône. Cet axe est la directrice droite , et la directrice courbe est une spirale conique, c’est-à-dire une hélice tracée sur le cône.

« Il y a bien d’autres surfaces gauches que celles qui viennent d’être citées , mais elles n’ont pas autant d’intérêt pour l’industrie. »

547. Deux surfaces gauches peuvent se couper selon une droite. Considérons deux conoïdes dont les directrices soient deux demicirconférences ABC , A'B'C' (P.* XII, F. 1 1), concentriques ou non, mais n’ayant aucun point de commun , quoique situées sur le même plan. Soit DE , parallèle à ce plan , la directrice droite commune des deux surfaces gauches, et supposons que les génératrices soient constamment perpendiculaires à DE. Des plans perpendiculaires à cette droite couperont les deux surfaces, selon quatre génératrices; par exemple , le plan passant par AC , donnera les droites AD, CD, A'D, C'D qui se couperont au point D, trace de DE sur le plan; un plan qui passeraitpar FG, donnerait les droites Fil, GH, F'H, G'II, aboutissant toutes au point IL II est visible d’après cela , que

Sl'HFACB SPHiaiQUE. 35 I

les deux surfaces gauches se couperaient selon la droite DE , et que la Traie longueur de l’intersection serait DI , comprise entre D et le point où DE est rencontrée par la perpendiculaire abaissée de B'.

Nous nous bornerons à cet exemple , parce que les intersections des surfaces gauches ne sont pas très^itiles aux arts et que la géométrie descriptive enseigne à les construire dans tous les cas.

348. Deux surfaces conoîdes ne se trouvent pas équidistantes, quand leurs directrices - courbes le sont (P. XII, F. 1 1); car les deux génératrices FH , KL qui passent par les extrémités F, K de deux rayons correspondans , ont pour plus courte distance HL (3 1 7) ; d’où il suit qu’à partir de la directrice DE , elles vont eu s’écartant de plus en plus. Il en résulte que dans une voûte conoïde , l’extrados ne peut pas être un autre conoïde , quand tous ses points doivent se trouver à la même distance des points correspondans de l’intrados.

549. Il est visible que deux surfaces gauches peuvent être appliquées l’une sur Vautre dans toute leur étendue , ou placées de façon qu’elles soient équidistantes , si les directrices se trouvent

égales , si elles sont placées de la même manière les unes par rapport aux autres dans les deux surfaces , et que les mouvemens des génératrices se fassent selon la même loi.

Or, les conditions ci-dessus sont remplies, quand on trace sur un cylindre creux , une spirale parfaitement égale à celle qui se trouve tracée sur un cylindre plein de meme rayon j que les deux axes de ces cylindres sont pris pour directrices droites , et que les génératrices sont assujetties à faire un seul et même angle avec chacun de ces axes, pendant tout leur mouvement.

Par conséquent , la surface de vis qui sera produite en saillie autour du cylindre en relief (p. 35o), pourra s’appliquer dans toute son étendue, sur la surface de vis qu’on formera en creux dans l’autre cylindre. Le filet saillant d’une vis peut donc s’appliquer sur le filet rentrant de l’écrou. De plus, l’un peut tourner sur l’autre, si les spirales sont telles qu’une partie quelconque puisse se superposer sur toutes les parties restantes des deux courbes ; car alors où passera, où s’appliquera cette partie, les autres pourront passer et s’appliquer , pendant la rotation , et il en sera de meme des portions correspondantes de filet saillant ou rentrant.

Surface sphérique.

550. La plus simple de toutes les surfaces courbes non réglées , c’est celle de la boule on sphère, comme disent les géomètres. On la nomme surface sphérique. Elle est engendrée par une demicirconférence ABC (F. XII, F. 12) qui tourne autour de son diamètre ÀC.

Comme tous les points de la génératrice sont à la même distance du centre D (5), et que ces distances ne peuvent changer pendant

35a SCRÏACB SPnÉHIQÜK.

la rotation , les points d’une surface sphérique sont tous également distans d'un point D qui pour cela est nommé cestre de la sphère.

Donc , il P a égalité entre tous les rayons menés du centre D à des points de la surface sphérique.

11 s’ensuit que la droite qui va d'un point de la surface à un autre, en passant par le centre, est double du rayon. Cette droite étant nommée diamètre , comme pour le cercle , il est clair que tous les diamètres d'une sphère sont égaux.

Problème: Zless//ierHneapAère<fern7onrfonnéR(P.XII,F. la).

Les deux projections doivent cire des cercles de rayon R, car les lignes projetantes formeraient évidemment des cylindres droits , qui auraient ce rayon et^seraient coupés selon des génératrices courbes par les plans de projection (3o3).

Décrivez donc d’un point D quelconque, pris sur le plan vertical , une circonférence dont R soit le rayon ; abaissez DC perpendiculairement à la ligne de terre , et d'un point D' de cette perpendiculaire, décrivez sur le plan horizontal , une seconde circonférence , avec le même rayon. L’ensemble des circonférences égales D, D' et de la droite DD' formera le dessin complet de la sphère dont il s’agit.

351. TouslespoinlsB,E, F, etc. de la génératrice(P. XII,F. 12) décrivent, pendant la rotation de ABC, des circonférences dont les centres se trouvent sur l’axe AC , et dont les diamètres inégaux , sont BG, EH, FI perpendiculaires :iAC (p. 279). Ainsi la surface sphérique est composée de circonférences parallèles et inégales. La plus grande a son centre au centre même de la sphère , son rayon BD est le même que celui de la génératrice , et par conséquent, elle est égale à celle génératrice. Les autres deviennent de plus en plus petites, à mesure que leurs centres se rapprochent des extrémités de l’axe de rotation ; elles finissent même par se rédui{e à deux points A , C.

On voit donc que la surface sphérique peut être engendrée par un cercle BDG qui se meuve perpendiculairement à une droite AC , de manière que son centre ne quitte jamais celte directrice et que son diamètre BG décroisse selon une loi telle qu’il se trouve réduit à un point, quand le centre a parcouru de chaque côté de D, une longueur ‘

égale .à la moitié de BG.

Appl. (a): Voici comment le touraeur pourrait mettre à profit I

celle seconde génération. Il placerait entre les deux pointes du tour, J

le corps A, dont il veut former une boule (P. XII, F. i3); puis il disposerait un guide en demi -cercle BFC , de manière que le diamètre BG fut parallèle à l’axe de rotation DE et que le plan de ces deux parallèles contint la demi-circonférence. Il appliquerait l’outil d’abord en B et le dirigerait perpendiculairement à DE, jusqu’à ce que l’extrémité fût arrivée très-près de D : il ne laisserait autour de ce point que ce qu’il faudrait de matière pour que la 1

pointe soutînt le corps A. Plaçant ensuite l’outil en un second point

SUEFACE spBÉBjQtre. 333

F voisin du premier, il le dirigerait comme précédemment et s’arrêterait quand cet outil dépasserait F d'une longueur FG égale à la distance de BC à DE. Eulin, il opérerait de la même manière , à tous les autres points du guide circulaire, et il ne lui resterait plus qu’à enlever ce qu’il aurait laissé de. matière autour des points D, E.

« Un tel procédé est analogue au tricage (p. 8a) : comme les droites BD, FG, lll, KL, etc. sont des parallèles égales, la courbe DGILE est égale et semblable à la demi -circonférence du guide. Déplus , puisque FG égale F’G', GG’ est de même longueur que FF', et par conséquent, la circonférence de rayon GG' tracée par l’outil sur le corps, égale celle que décrirait F autour de BC. Les circonférences parallèles exécutées croissent donc et décroissent, comme feraient celles d’une sphère engendrée par la révolution du guide autour de son diamètre. Le corps A est donc transformé en boule. »

Appl. (6): Il est encore une autre manière d’exécuter une sphère sur le tour: elle est fondée sur les principes du n" 35o. Prenez pour guide une demi-circonférence quelconque ABC (P. XII , F. 1 4) et placez-la de façon que son diamètre se confonde a^ ec la ligne AC des pointes. Posez l’outil en un point B, par exemple; puis dirigcz-le perpendiculairement au guide, c’est-à-dire perpendiculairement à la tangente DE : il ne faut pour cela qu’attacher à cet outil , une règle DE qui le croise à angle droit , et appliquer le point commun B contre le guide. La direction BF de l’outil passera alors par le centre G de ABC (io6), et quand l’extrémité F dépassera B d’une longueur égale à la différence du rayon de ABC, au rayon de la sphère demandée, cette extrémité décrira, par suite du mouvement du tour, un cercle perpendiculaire à AC, dont tous les points seront à la distance requise du centre G de la surface sphérique. Opérant de la même manière au point B' et à tous les autres points du guide , vous couvrirez le corps de circonférences perpendiculaires à AC et toutes situées à une distance FG du centre G ; par conséquent , ce corps sera rendu sphérique.

Appl. (c): L’industrie produit des sphères au moyen de moules. Les balles de plomb , les boulets, les obus, les- bombes, qui sont des sphères pleines ou creuses , se font ainsi. Le plomb qu’il s’agit de convertir en balles , est coulé dans des moules à deux branches renfermant chacune une ungée de demi-sphères creuses : les branches étant rapproehées jusqu au contact, les demi-sphères - forment des sphères entières. Observez toutefois que ces sphères doivent .ivoir un diamètre de quelque peu plus grand que celui des balles , attendu que le plomb prend dn retrait en se figeant.

« Pour fabriquer les boulets, on coule de la fonte liquide ou dans'des moules en sable formés sur un modèle , ou dans des moules en fer composés de deux coquille» qui sont à peu près des demisphères creuses. Mais les moules en sable sont aujourd’hui presque abandonnés, paree qu’ils produisent une surface sphérique trèsraboteuse qui ne peut pas toujours être rendue suffisamment lisse, par le battage que subissent les boulets à leur sortie du moule. >

554 / r SUMACS SPHÊRISUÉ.

« Les diamètres d’une coquille ne sont pas égaux : celui qui répond au trou par lequel la fonte est introduite , est plus petit que les autres , bien qu’il soit un peu plus grand que le diamètre du boulet refroidi. ~ Il en doit être ainsi , parce qu’il est de fait que la ' fonte prend un peu plus de retrait dans le sens horizontal , que dans le sens vertical. »

< On coule les bombes et les obus dans des moules en sable, au milieu desquels sc trouve soutenu un noyau en terre, destiné à former le creux et Yœil de cette sorte de projectiles. »

« Les balles de fer qui composent ce qu’on appelle vulgairement la mitraille, sont des sphères forgées. On bat le fer.'rouge sur une étampe en acier trempé qui présente une demi^sphère creuse, d’un diamètre un peu plus grand que celui de la balle, et le marteau frappe sur une seconde étampe emmanchée. Le creux de cellc-ci n’est pas une demi-sphère complète, afin que le forgeron puisse saisir la balle cl la tourner dans tous les sens : sanè cela , elle ne deviendrait pas parfaitement sphérique.

Lois de la sAtuns: La température primitive de la Terre était si élevée , que toutes les matières s’y trouvaient fluides. Aujourd’hui même la partie centrale est encore plus chaude qu’il n’est besoin , poifr maintenir en fusion les pierres et les métaux. Les particules de la surface ont donc dû , dès le principe , se placer toutes à la même distance du point unique vers lequel les poussait la gravité (p. u lo), et par conséquent, la Terre a pris une forme sphérique (35o)^

« Mais, de ce que tout corps tournant tend à s’échapper par la tangente de la circonférence qu’il parcourt (p. i33), il résulte que des corps mobiles, placés sur une sphère, qui ne peuvent fnir.et qui se meuvent rapidement autour d’un axe, s’arrangent de telle sorte que la sphère s’aplatit un peu vers les extrémités de l’axe et se renfle dans le milieu. Ce fait est assez facile à vérifier : U ne faut pour cela que faire tourner avec rapidité un cercle flexible, autour d’une broche servant de diamètre ] on verra bientôt le cercle se déformer en s’aplatissant vers son axe. •»

« Or , la Terre tourne , et certains pointe de sa surface tournent fort vite (p. 3o) ; chacune de ses particules fluides est retenue par la gravité et ne peut s’échapper; ce glob^ donc dû devenir une sphère aplatie dans le sens de son axe de rotation , et renflé dans tous les sens perpendicnlaires à celni-là. Telle est eu effet sa forme; comme le prouve une multitude d’observations. •»

« Peut-être aurez-vous quelque peine à voua représenter rond , un corps couvert de si hautes montagnes ; mais apprenez que la plus élevée de ces montagnes lA pas en hauteur la millième partie du diamètre de la Terre , qui est de 3 ooo lieues , et qu’elle n’est pas ptmr notre globe , ce que sont pour une orange , les inégalités qu’on voit sur l’écorce : la Terre , malgrç scs montagnes , est donc pimr le moins aussi ronde qu’une orange. » i

« Il résulte de la forme du gitdic terrestre, que les corps placés

COMB. DE LA SÜIIV. SPUÉB. , DU PtXJf BT DE LA LIGNB DROITS. 35fi

i la surface , vers les extrémités de l’axe , extrémités qu’on nomme les pâlea, sont plus voisins que les autres , du' point milieu ou centre. Ces corps doivent donc y tendre plus, fortement, 'que s’ils étaient en tout autre lieu (p. 210): notre kilogramme , par exemple , y serait plus lourd pour le bras de l’homme, qu’il n’est ici. »

« La forme sphérique n’est pas particulière à la Terre : le Soleil , la Lune et toutes les étoiles sont aussi des sphères un peu déformées , parce que ces corps ont en eux la gravitation et qu’ils tournent sur un axe (p. 3o). > .

, CombinaUonê de là tnrface tphêrique, du plan et de la ligne droite.

3S2. L' inter seetion' d'une turf ace sphérique et d’un plan est toujours une ciréonférenee.

Soit un plan qui passe par la droite EH (P XII, F. la); nous pourro'ns abaisser du centre D de la sphère , une perpendiculaire DK sur ce plan , et regarder la surface sphérique comme engendrée par la révolution de la demi-circonférence ABC autour de ÀC proion—’ gement de DK (35o). Or, tous les points de cette courbe Récriront desvcercjes perpendiculaires à AC, et un de ces cercles se trouvera nécessairement dans le plan ËII. Donc , la section faite par ce plan , , est line circonférence qui a pour centre, la trace de la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère.

553. On appelle grand cercle d’une sphère, toute circonférence tracée sur la surface et d’un rayon égal à celui de la génératrice. Les circonférences d’un rayon moindre qui peuvent être décrites snr la même surface, sont nommées petits cercles.

Donc, d’après le principe 55o, tout plan qui passe par le centre d’une sphère, en coupe la surface selon un grand cercle.

Quand le plan coupant ne passe pas par le centre , il donne un cercle d’autant plus petit, qu’il en est pins éloigné. '

334. Deux grands cercles se coupent en parties égales, car deux plans quelconques , menés 'par AC et par LM (P. XII, F. la), se couperont selon une droite qui , passant par D, sera tout^ la fois diamètre dp la sphère et, diamètre de -chacun des grands cercles sections des plans (a5).

Il suit de là que tout grand cercle partage la surface sphérique en deux parties égales qui peuoent se superposer. *

. On nomme méridiens les grands cercles qi4 se coupent aux extrémités d’un diamètre de la sphère , pris pour axe. Doilc , tou» les méridiens sont égaux, se partagent réciproquement en deux parties égale» et divisent la surface de la même manière.

555. Le plus court chemin pour aller d'un point E à «n autre F, sttr la surface sphérique, c'est l’are ENF d’un grand cercle (P. XII,F. i5). .

356 r COMBINAISONS DE LA SURFACE SPHERIQUE,

Supposons d’abord qn’on suive un arc EOF de petit cercle ; EP sera sa corde, comme celle de l’are ENF. Or, ce dernier avant un rayon plus grand que celui du premier, surpasse la corde EF en longueur , moins que l’arc EOF ; donc EKF est un chemin plu» court que tout arc de petit cercle.

Si l’on' suit deux arcs EPO , OQF de petits cercles différons, il y aura entre E et O, un arc ERO de grand cercle, plus court que EPO, et de P en F, un arc OSF de grand cercle, plus court que OQF. Le chemin EROSF sera donc moindre que le chemin EPOQF. Mais les plans des trois arcs EXF, ERO, OSF passent par le centre D de la sphère, et s’y coupent. Ils forment donc unangle solide ('j8i),‘et l’un EDF des angles ordinaires ou plans est moindre que la somme des deux autres EDO, ODF (287). Or,, les arcs ENF, ERO , OSF qui ont D pour centre , comme appartenant à de grands cercles ,’ sont les indications des trois angles plans ; par conséquent, l’arc ENF est plus petit que la somme des deux arcs ERO, OSF, et à plus forte raison, moindre que le cbemia EPOQF. ‘ ,

Enfin, si pour aller de E en F, on suivait plus de deux arc» de petits cercles différens, il est visible. que le meme raisonnement conduirait à démontrer que ce chemin tortueux serait plus longque l’arc ENF. >

Probl. (a): Trouver le diamètre d’une sphère donnée.

Décrivez sur la surface sphérique Une circonférence, en appuyant la pointe fixe d’un compas courbe, sur un point A quelconque XII, F. 16) J marquez sur cette circonférence, trois points B, C, D; faites sur le papier, un triangle B'C'D' égal au triangle BCD (164); circonscrivez une circonférence à B'C'D' (p. iii) et tracez-y un diamètre H'F'; construisez sur ce diamètre, un triangle symétrique E'A'F' dont les côtés égaux soient de meme longueur ffue AE (164); circonscrivez une circonférence à cet autre triangle; le diamètre À'G' sera précisément le diamètre AG de la spjière donnée.

En effet, le diamètre EF de la circonférence BCD, rencontre AG celui d|^ diamètres de la sphère qui est perpendiculaire au plan de cette courbe, et il le rencontre au centre H (35o et a5.8). Le plan du triangle symétrique EAF passe donc par le centre I de la sphère, ou ce qui revient aft meme, les trois points E, A, F sont sur le mAne 'grand ceccle (353). Par conséquent, la circonférence E'A'F'G' est celle^’un grand cercle, et son diamètre A'G' est celui de la sphère.

PttOBL. (ft) : Tracer an grand cercle sur une sarface sphérique.

Tirez, sur un tableau, deux droites AB, CE qui sc coupent d’équerre en deux parties égales (P. XII, F. 17) et qui aient chacune même longueur que le" diamètre de la sphère. Si vous prenez la droite AC avec un compas courbe, vous aurez le rajon

^ 1)U PlAX BT DE LA L1CÏ(K DROITE. 3j7

qu’il fauïra emploj'cr pour décrire un grand cercle sur la surface sphérique , en appuyant l’une des pointes du compas sur un point quelconque de^cclte surface.

Probl. (c): Tracer un cercle'par trois points A, B, C donnèt sur une surface sphérique (P. XII, F. i8).

Le cercle demandé aura son centre sur un diamètre de la sphère perpendiculaire au plan passant par leS trois points A, B, C (a 5 8); conséquemment la perpendiculaire au milieu de la corde BC rencontrera ce diamètre (gS). Comme en outre les deux points B, C appartiennent à un certain grand cércle, la droite qui serait menée du milieu de la corde BC au centre de la sphère, se trouverait perpendiculaire à celte corde.

Ainsi", la droite BC est perpendiculaire à deux droites d’un plan passant par son milieu et par uh diamètre de' la sphère ; elle est donc perpendiculaire à ce plan (a56), et par conséquent, ce meme plan est le lieu de tous les points' également distans de B ,ct de C (aSg). Or, un tel plan coupe la surface sphérique selon un grand cercle (S55) ; donc , le milieu de l’arc BC , et deux points, marqués à égales distances des extrémités de cet arc, déterminent un grand cercle dont tous les points sont également distans de B, C.

n faut d’après cela , pour résoudre le problème proposé , décrire de B et de C , avec un rayon quelconque, deux arcs qui se coupent en deux points D, E; tracer le long d’une règle ployante,, un are ipii passe par D, E, et faire la même opération pour les points A, B. Le point H, intersection des deux arcs DE, FG de grands cercles , sera à égales distances de A , 'B , C , et la circonférence que vous décrirez sur la sphère, de ce point , avec HA pour rayon, passera par les trois points donnés. j .

Appl. (a); En géographie, on se sert des grands et des petits cercles de la sphère terrestre, pour désigner sûrement, et même pour manquer sur des globes de carton ou sur les cartes, les positions des divers lieux. A cet effet, on a imaginé, par l’axe AB de la 'ferre (P. XII , F. 17), un cercle ADBA qui passe par un certain, point de la surface : ce point est chez nous , l’observatoire de Paris^ en Angleterre, il est l’observatoire de Greenwich; pour les autres nations, il est l’un ou l’autre de ceux-là, -ou bien l’Ile-de-Fer qui se trouve dans la mer par laquelle l’Amérique est séparée de l’Afrique et de l’Europe. Le grand cercle dont la position se trouve ainsi fixée , est nommé premier méridien (554), et l’on appelle équateur , un autre grand cercle CDEC perpendiculaire à l'axe AB et au premier méridien.

« L’équateur est regardé comme divisé par des méridiens , en 360* du couchant au levant, a partir du point D où il coupe le premier méridien dans la demi-sphère que nous habitons ; ce sont les degrés , ' de longitude. hf;s «leux quarts AD, BD du premier méiWien, sont

358 cü.uBinAiso:<s de la suiifacc sphékiqib, ^

supposés divisés par des cercles parallèles à l’équateur, en go*i chaeuii, à partir du même point D: ce sont les degrés de • latitude, Ti r • ,

« Si, d’après cela , on me dit qu’une ville, que Metz par exemple, a pour longitude 5" 5i' et 49“ 7' pour latitude sepienlrionale, c’est-à-dire au nord de l’équateur , je cherche sur le globe ou sur la carte, le méridien ABC (F. 19) qui passe par le 4““* degré de longitude, à partir du méridien de Paris; je suis c'è méridien ABC en remontant vers le pôle nord A , jusqu’à ce que j’arrive à DE celui des petits cercles parallèles à l’équateur, qui répond au 49''““ degré de latitude , et près de l’intersection F de ces deux cercles , je trouve la position que Metz a véritablement sur la Terre, par rapport à toutes les villes qui l’entourent- t

Appl. (4) : C’est aussi en disposant un certain nombre de cerceaux égaux , de façon qu’ils se coupent tous en deux points A , C (P. XII ,

F. 19),' et en les maintenant à des distances fixes les uns des autres ,

■ au-mojen de cercles parallèles inégaux DE, GIl, etc,, auxquels ils sont attachés, qu'on exécute dans plusieurs arts, la charpente' d’une sphère. *

X Lorsque les architectes construisent une voûte sphérique qu’ils nomment dôme , ils placent des cintres égaux selon les méridens de la surface. » . ' ’ ' . ' ’ ' '

SS6. Un plan est tangent à unie surface sphérique, quand il n’a qu’un ;.seul. point de commun avec elle. Donc, tout plan perpen- . , diculaire à l’extrémité d’un rayon de la sphère, est tangent à la surface.

La démonstration de ce principe est absolument la mêuie que. celle du n° 106, si l’on substitue le mut plan au mot droite et swjhce Sphérique à circonférence. ’

Il s’ensuit que deux plans tangens aux extrémités d'un diamètre . de la sphère, sont parallèles (^*73). '

337.' Toute droite tracée sur le plan taogent, par le point de contact, est tangente à la surface sphérique et à toutes les circonférences qui contiennent ce point , car elle n’a que ce même pcûnt de commun avec ces courbes , comme avec la surface. .

S58. La normale d’une surface courbe étant la perpendiculaire menée'aa plan tangent, par le point de contact (Sog), il est clair que tous les rayons de la sphère sont des normales ou que toutes les normales de la surface sphérique passent par le centre.

Conséquemment, \e plan normal, c’est-à-dire celui qui contient une normale , passe par le centre et coupe la sphère selon un grand, cercle. • .

^ ■ - Appl. (a) : Quand le tourneur fait une boule à vue , il dirige son ciseau plaiÂls manière à le rendre'constamment tangeuliel à la sur-