DU PUL'* ET OS LS LIGRE OROITB

face qu’il vent prcxluirp. Au milieu <lu morceau de bois, la large face de ce ciseau doit être parallèle à la ligne des pointes ; près de ces pointes, elfe doit être dirigée perpendiculairement à la même ligne; entre ces deux positions, il faut qu’elle en prenne une plus ou moins inclinée , toujours sensiblement perpendiculaire à la droite que l’ouvrier se représente allant du point qu’il attaque , au centre futur de la boule. Ainsi se trouve enlevé tout le bois que laissent au-dessus d’eux les divers plans tangeus à la surface splicrique , et cette surface est formée.

Appl. (è) : Si l’on met une sphère eu contact avec deux plans parallèles, iis sont tangens aux extrémités d'un diamètre et leur écartement égale la longueur de cette droite. Il est donc possible de mesurer «xactèment le diamètre d’une sphère , au moyen d’une espèce de compas semblable à celui qu’euiploie le cordonnier pour prendre la longueur du pied, ou analogue au compas à curseur (p. U7). Mais les petites branches parallèles de l'instrument doivent être un peu plus longues que le rajou de la boule , et toucher la surface par leurs lignes milieux perpendiculaires à la grande branche.

Appl. (c): Ln* lampe dont la flamme se trouverait au centre d’un miroir courbé en portion de sphère , jettcr;iit sa lumière sur ce miroir selon les rayons, et d’après la loi de la réllcxion (p. 290), cette lumière reviendrait sur elle-même, en suivant encore ces rayons. Un miroir sphériqueesi donc propre à augmenter eu un point donné, la clarté que produit en ce j)oint un corps enflammé. Or, la chaleur SC réfléchit comme la lumière (p. a5 , loi c); par conséquent on peut , pour ainsi dire, doubler la chaleur d’un corps eu combustion, en le plaçant au centre d'une sphère creuse dont la surface intérieure ait un beau poli.

Appl. (d): Les verticales ou les directions du fil-à-plorab sont les normales de notre globe (p. 84)> Les plans méridiens ou les plans qui passent par l'axe de rotation , sont des plans normaux. Tout plan horizontal situé à la surface de la Terre, est tangent à cette surface (aCâ), cl toute horizontale tracée sur un tel plan, par le point de contact, est une tangente des cercles grands ou petits qui coutieuucul le même point (44)- Remarquez toutefois que les verticales ne peuvent avoir un concours unique, attendu que la Terre est un |>eu aplatie aux pôles cl renflée à l'équateur (p. 354). >

Appl. (c) : Ce qui vient d'élre dit, rend visible que le plan horizontal n’csl pas le même pour divers points de la Terre : rigoureusement parlant, il change de position, dès qu'on change le point de contact. Mais de même que dans la pratique de plusieurs arts, deux verticales peu éloignées l’une de l’autre, peuvent être regardées comme parallèles, sans erreur sensible , les plans horizontaux dont les contiicts sont très-voisins , peuvent être ceuscs se confondre.

Appl. (/) : C’est la surface de l’eau tranquille qui a donné aux hommes l’idée des niveaux ; ils ont senti que les corps placés sur une surface équidistante à celle-là , ne pourraient prendre d’eux-mêmes aucun mottveluent et resteraient en repos, comme toutes les parties

3C0 r.OMB. DE 1.x. SI'HE- sphér. , dc fux et de la ligke droite.

' du liquide. Or, çes parties pouvant glisser facilement les unes sur les autres, ne sauraient rester immobiles , si celles de la surface nq se trouvaient pas toutes à la meme distance du centre de la Terre. Ainsi l’eau tranquille forme une surface courbe et la vraie surface du globe terrestre (p. 554). ^

< 11 faudrait donc , pour que les corps ne pussent glisser , qu’on les plaçât sur une surface sphérique concentrique à celle de la Terre ; il faudrait donc , pour que deux points fussent vraiment de niveau , qu’ils se trouvassent sur une circonférence du globe, ou à la même distance du centre. Mais , comme il nous est impossible de former une pareille surface, de tracer une telle circonférence, nous nous contentons, pour poser les corps de manière qu’ils ne puissent changer de position , de les placer sur nu plan horizontal , et nous regardons comme points de niveau , ceux qui sc trouvent sur une même ' horizontale. Cela revient à bien peu près au même dans la pratique, parce que le plan et la .droite n’y ont jamab beaucoup d’étendue , et qu’en rabon dc la grande longueur du rayon terrestre , on peut regarder le plan tangent à la surface du globe et la tangente à une des circonférences , comme se confondant avec cette surface et avec cette circouférence , entre deux poûits peu éloignés l’un de l’autre. »

« Voilà pourquoi nous avons dit (p. 58 et a84) qu’nue droite peu longue , joignant deux points dc la surface d’une eau tranquille , est horizontale , et qu’une petite portion de cette surface est ua plan horizontal. «

» Néanmoins, il est nécessaûc de distinguer le niveau vrài, du niveau des arts: le premier est l’égalité de distance au centré de la terre, et dans le second, cette égalité n’existe réellement pas. >

« Supposons un point A (P. XII , F, ao) placé sur la surface de la Terre ; tous les points de la circonférence ABC et ceux de toute autre circonférence ADE tracée sur le globe, par le point A, seront dans un niveau vrai avec ce point. Mais il n’en sera pas de même pour F, situé sur l’horizontale AF tangente en A, puisque. FG est plus grande que le rayon AG. Le sommet F d’une tour élevée en H , nous paraîtra. pourtant de niveau avec le point A, puisque nous jugeons du niveau par une horizontale (p. 58). >

« Le niveau apparent est donc bien différent du niveau vrai, quand les deux points sont très -éloignés l’un de l’autre. La différence est telle, qu’un point qui se trouve supérieur à un autre en niveau être inférieur en niveau apparent. Les points I, K

sont dans ce cas : leur différence de niveau vrai est KL , différence entre les deux normales IG , KG , et leur différence de niveau apparent est KM, dbtance verticale de K à l’horizontale passant pari. Cet exemple est bien propre à faire sentir pourquoi , dans les nivellemens importans , on doit donner les coups de niveau entre deux points peu éloignés l’un de l’autre. Sans cette précaution, les différences de niveau trouvées au moyen d’horbontales , s'écarteraient trop des différences de. niveau vrai , et pourraient jeter dans des erreurs d’une grande conséquence.

COMSn^ÀlSONS DE LA SURE. SPHliR. ET DES SURF. CTURDRIQ. 36 1

Lois de la sature : Puisque les corps places d'aplomb sur la Terre, sont les seuls qui ne tombent pas lorsqu’on les abandonne à eux-mêmes, le corps d'un homme qui se tient debout, est dirigé selon une verticale, une normale, un rayon du globe. Deux hommes placés aux extrémités d’un diamètre de. la Terre, ont donc leurs corps sur la même ligne droite, et les pieds de l’un regardent les pieds de l’autre. Chacun de nous est dans cette situation par rapport à un des hommes qui habitent la partie opposée de la 'Terre. Nous appelons ces hommes nos antipodes, et nous sommes les leurs. S’ils nous semblent avoir là tète en bas, ils doivent nous croire aussi dans cette position j elle n’est qu’apparente des deux cOtés, comme il est aisé de le sentir. '

< On comprendra tout aussi bien que deux antipodes ne peuvent pas plus l’un que Tautre quitter la Terre et s’en aller dans l’air; la gravité (p. i53), leur poids les retient sur le sol qu’ils habitent. Quand nous avons midi , nos antipodes ont minuit; nous jouissons de l’été, pendant que l’hiver règne chez eux; certaines étoiles que nous voyons, ils ne les aperçoivent jamais, et il y a réciprocité entière sur tous ces points. »

Combinaisons de la surface sphérique et des surfaces cylindriques.

339. La surface sphérique ne peut être coupée par une surface, cylindrique droite, selon une courbe plane, sans que cette eourbe soit une circonférence et que Vaxe du cylindre passe par le centre de la sphère.

D’abord, la courbe est une circonférence, si elle est plane, puisqu’une sphère ne peut être coupée par un plan que selon un -cercle (35a). Ensuite, la perpendiculaire AB (P. XII, F. a^ abaissée du centre A de la sphère sur le plan d’un eercle dont CD est le diamètre , passe par le centre B de ce cerple (a58) ; si le même cercle appartient à un cylindre droit, il en est nécessairement la génératrice courbe; Taxe BE de ce c>4indre lui est aussi perpendiculaire et contient Bj conséquemment , AB et BE ne forment qu’une seule ligne droite (aSy), ou bien BE passe par le centre A.

Ainsi , dans le cas où Paie d'un cylindre droit passe par le cenXre (T une sphère , la courbe d'entrée et la courbe de sortie sont deux circonférenees égales.

360. Un cylindre oblique peut aussi pénétrer dans une sphère, par la circonférence d’un petit cercle; mais il faut pour cela que Taxe ne passe pas par le centre de la surface sphérique , et qu’il fasse avec la corde AB (P. XII, F. aa), un angle égal à l’un de «eux qu’il fait avec les diamètres de ses circonférences; autrement, les intersections seraient deux courbes à double courbure. D’ailleurs, si la coufbe d'entrée est une circonférence de petit cercle , la eourbe de sortie est une cireonférence égale à celle-là ; car (3o5) la corde AB diamètre de la premièi;p, égale la corde CD Àamètre de la

. ■ rf. I

36l COMBINAISONS SE LA SURFACE SPHÉRIQUE

seconde, puisque les arcs A£B, CFD compris entre deux parallèles, sont égaux (gS et a3).

561. Si le cylindre oblique a pour circonférence , AB celle d’un grand cercle de la sphère (P. XII, F. a5), cas dans lequel son axe CD passe par le centre E , il entre par deux demi-grands cercles AE, EF et sort par les deux autres moitiés BE , GE.

Il suffit pour le démontrer, de faire voir que la droite FC menée par les intersections opposées de deux génératrices droites FB , AG contenues dans le meme plan diamétral , est un diamètre de la sphère. Or , l’arc AF = BG, puisque AG et BF, sont parallèles (gS); donc AF~l“ AG=AG"t"BG ou FAG = AGB, et puisque AGB est un demi - grand cercle , F4|G en est un autre.

Dans une semblable pénétration , les points E où se coupent les circonférences d’intersection , sont les extrémités d’un diamètre de la sphère , et les génératrices droites qui passent par ces points , se

trouvent tangentes à la surface sphérique.

Appl. (a) : Quelquefois , un tuyau de poêle débouche dans une sphère qui le couronne ou le termine ; l’orifice de la sphère est alors une circonférence de même rayon que le cylindre. Pour tracer cette circonférence, il faut décrire sur un tableau, le grand cercle A de la sphère (P. XII, F. mener un diamètre AF, puis une

perpendiculaire C'D' à AFj prendre AC', AD' égales ch.icune au rayon du cylindre; tirer par G' et D' des parallèles à AF, ce qui donne la corde CD égale au diamètre de ce cylindre ; enfin , joindre G et F. La droite GF est le rayon à employer pour décrire sur la sphère , du point où doit aboutir l’axe du cylindre , la circonférence intersection des deux surfaces; car toutes les droites menées de F aux divers points de la circonférence qui aurait GD pour diamètre , seraient égales (a58).

Appl. (6): Le tourneur qui veut faire une boule avec quelque précision , confectionne d’.abord un cylindre creux d’un diamètre un peu moindre. Il exécute ensuite la sphère à vue (appl. a , p. 358),' ayant soin de lui donner un peu plus de grosseur qu’elle ne doit en avoir ; puis il l’enchâsse dans le cylindre , en l’y pressant avec un peu de force. L’autre extrémité de ce cylindre est alors adaptée à la poupée d’un tour en l’air, et l’ouvrier travaille de nouveau la boule, qu’il retourne de temps en temps, jusqu’à ce qu’elle ait le diamètre requis , et qu’elle s’applique exactement , dans tous les sens , contre le bord circulaire du cylindre creux. G’est seulement lorsqu’il en est ainsi , qu’elle est parfaitement sphérique.

Appl. (c): Quand on fait une baie, porte ou fenêtre, dans un dôme , l’axe de l’arcade est assez ordinairement dirigé vers le centre de la voûte sphérique. Les deux arêtes du cintre sont donc des demi-circonfércnces, et les arêtes courbes de la douelle de chaque voussoir, sont des arcs de cercle. Mais, si l’axe horizontal du cylindre ne passe point par le centre de la sphère, les mêmes

. ' IT DBS SURFACES CrU:<DRlQUES . 363

arêtes sont des courbes à double courbure et plus difficiles à bien ciécnter.

Afpl. (d) : Enfin , si l’on combine les principes précedens avec ce que nous avons dit de l’ombre d’un cercle (p. 3 1 o) , on pourra facilement tracer sur une sphère , le contour de l’ombre qu’y jette • une arête circulaire. Par exemple, l’ombre que porte le cintre d’une niche, sur la partie sphérique, a pour contour un arc de grand cercle , parce que le cylindre oblique formé par les rayons lumineux , a pour génératrice courbe , ce même cintre qui est uu demi-grand cercle,

362, Si l’on fait croître le diamètre du cylindre dont l’axe est BE (P. XII , F. ai), l’intersection de la snrface et de celle de la sphère continqera d’être une circonférence , et il ne pourra cesser d’y avoir intersection qu’au moment où les génératrices CG, DH, seront tangentes au grand cercle A. Mais alors il y aura contact, la counbe commune sera encore une circonférence , et cette courbe aura pour diamètre, C"D" perpendiculaire aux tangentes parallèles C"G', D'H', qui passe par le centre de la sphère (109). Conséquemment, une surface cylindrique droite est tangente à une surf ace.sphérique , selon une grande circonférence , quand les diamètres sont égaux , et que Faxe de la première passe par le centre de la seconde.

Un cylindre oblique ne peut jamais être touché intérieurement par une sphère , selon une circonférence , parce que ses génératrices droites ne sont pas perpendiculaires à sa génératrice courbe.

Un cylindre quelconque peut être touché extérieurement ou intérieurement par la surface sphérique, en un seul point : ces contacts ont lieu quand une génératrice droite AB (F. u4) est tangente à la sphère , et que deux courbes C , D situées dans le même plan , '

l’une sur la surface sphérique, l’autre sur la surface cylindrique, ’

se touchent extérieurement ou intérieurement; car ces courbes ont alors une tangente commune ; et le plan qui contient cette tangente et la génératrice droite AB, est tangent aux deux surfaces.

Appt, (a) : Les niches que construisent les architectes pour y placer des statues, des poêles, etc., sont souvent des portions de cylindres droits et creux, tangentes à des portions de sphères creuses. Les diamètres des deux surfaces doivent donc être égaux, et le centre de la partie sphérique doit se trouver sur l’axe du cylindre.

La circonférence de contact est horizontale, comme celle que la surface cylindrique trace sur le sol.

Appl. (6) ; Puisque toutes les grandes circonférences de la surface sphérique sont égales (353), une sphère eu relief peut rouler dans un cylindre creux et droit qui lui est tangent , sans que le contact cesse d’avoir lieu sur toute la circonférence de la surface ly lindrique.

Un cylindre creux bien exécuté, est donc propre à vérifier les sphères en relief, lorsqu’il a le même rayon.

< L’Artillerie, avant de recevoir les boulets, les fait rouler dans

Digilized'by GtJOgle

364 COHBIIfAISOXS DE LA SDKFACB SPUÉRIQCB

un cylindre creux de calibre ou de même diamètre. Comme le cylindre droit peut aussi tourner dans tous les sens autour de la sphère qu’il touche, sans que la tangence soit troublée en rien, on emploie des lunettes , qui sont de courts cylindres creux , pour vérifier une seconde fois les mêmes boulets; car la première vérification est insuffisante, attendu qu’unie sphère aplatie vers les extrémités d’ün de ses diamètres, peut très-bien rouler dans un cylindre qui la touche par sa plus grande circonférence. »

Appl. (c); Si , sur une sphère (P. XII, F. 19), on trace des méridiens ADGC, AIKC, etc., tellement près les uns des autres, qu’ils divisent l’équateur LBM en arcs qui puissent être regardés, sans erreur sensible, comme des lignes droites, les arcs KN,DI , etc. , des cercles parallèles à l’équalcur, pourront être aussi confondus avec leurs cordes, et ce ne sera pas s’écarter beaucoup* de la vérité, que de considérer les portions ADGCI.4, etc., de la surface sphérique, comme appartenant à une surface cylindrique, tangente à la sphère selon le méridien qui part.igcrait DI en deux parties égales. Or, la surface cylindrique peut être formée par une surface plane convenablement plojée (p. 3o6); l’étroite bande méridienne ADGCIA peut donc être coupée sur une feuille plane ou sur un tissu plan quelconque.

« Pour parvenir aisémentà exécuter le développement d’une bande méridienne de sphère, il faut d’abord faire les projections A , A' de ce corps (F. aS) et un angle BAG d’autant de degrés qu’en doit renfermer la partie de l’équateur comprise dans la bande : un côté AB de cet angle sera tracé parallèlement à la ligne de terre, afin que le grand cercle du plan A' AB ait meme projection verticale que la sphère. »

« Coupez ensuite la surface sphérique par des plans horizontaux très-rapprochés B'A', D'E, F'G, etc. ; avec les rayons ED', GF', etc. des cercles qu’ils donnent, décrivez les arcs DII, FI, etc., interceptés par les plans A' AB, A'AC qui comprennent la bande mérÿlienne; tracez la biscctrice AK de l’angle BAC, et développez sur une ligue droite, le demi-grand cercle du plan A' AK. Comme ce cercle égale celui de la projection verticale de la sphère , il f’agira seulement de porter les petites parties B'D' de 6 en rf et d' , D'F* de d en/ et de d' en/', F'L de /en l et de /' en V . »

« Tirez alors par les points /, <f, b, etc., des perpendiculaires à //'; portez la moitié KG de l’arc BC, de è en c, c'; puis la moitié de l’arc DH, de d en h, h' et de chaque côté du point d'; puis la moitié de l’arc FI, de/ en /, i' et de chaque côté du point ^j*joîgnez enfin par deux courbes, les points ainsi marqués; la . figure IcVd l sera le développement de la bande LBL'CL, et en découpant cette figure , vous formerez un patron au moyen duquel TOUS tailler^ toutes les bandes planes qui, courbées cylindriquemeut , peuvent composer la surface sphérique. »

« C’est ainsi que sont confectionnés les globes terrestres ou célestes dont on se sert dans l’enseignement ; c’est ainsi que 1 on

BT DBS SCRFACBS C0>*IQIES. 365

couvre les dAmes avec des feuilles planes. Les grands el les petits ballons, les balles du jen de paume, les parapluies, les garde-vuo des lampes, s’exécutent par un procédé analogue. Le ferblantier peut suivre aussi ce procédé pour former des surfaces qui approcheront d’autant plu.s de celle de la sphère, que les bandes méridiennes seront plus étroites. Enfin, le tailleur de pierres peut produire une surface sphérique, en façonnant un certain nombre de surfaces cylindriques telles que ALC0.4 (F. ip) et eu abattant les arêtes courbes qu’elles forment par leurs intersections. » ^

Combinaisons dc'la surface sphérique et des surfaces coniques.

363. La surface sphérique ne peut être coupée par une surface conique droite, selon une courbe plane, sans que cette courbe soit une circonférence et que l'axe du cône passe par le centre de la sphère. La démonstration de ce principe est la luêiiie que celle du n° 35g. On doit en conclure que si l'axe d'un cône droit passe par le centre de la sphère, la courbe d'entrée est une circonférence.

Un cône oblique peut aussi' entrer dans la sphère par une circonférence; mais il faut pour cela que les points A, B (P. XII , F. i6) où deux génératrices opposées et quelconques SB', S.A' sont coupées par un diamètre AB d’une des circonférences du cône, s’appliquent en même temps sur la sphère. Alors, l’axe SC ne peut passer par le centre D, puisqu’il n’est pas perpendiculaire à tous les diamètres d'une des circonférences. Lorsque bi condition cidessus n’est pas rcnq)lic, la courbe d'ciilréc a deux courbures, attendu qu’elle ne peut être uuC circonférence et qu'aucune autre courbe plane ne saurait être tracée sur la sphère. Par conséquent, toutes les fois que l'axe d'un cône oblique passe par le centre de la surface sphérique , l’intersection est à double courbure.

364. Si un cône quelconque pénètre dans la sphère par une circonférence , il sort par une outré.

Quand le cône est droit (P. XII, F. 27), l’axe SC passe par le centre 1) de la sphère (563); comme il est d’ailleurs perpendiculaire à la corde AB, diamètre d’une des génératrices courbes (Saa), il la coupe en deux parties égales (g5). Conséquemment, SA , SB sont deux obliques égales (48) et les angles SAB , SBA sont égaux (5i). liais, les angh‘s SBA et S.\'B' ont aussi meme indication {gg). Donc, l’angle SAB = SA'B'; donc (60), A'B' est parallèle à .ÏB, et cette corde est diamètre d’une circonférenee commune au cône el à la sphère.

La fin du n° 3a8 fait voir que le principe est vrai pour le cône oblique (F. a6), si les deux triangles SAB, S.A'B' sont semblables. Or, l’angle SAB égale l’angle inscrit SA'B', et l’angle S est commun aux deux triangle^ 1 6g). Donc, A'B' est diamètre d’une circonférence commune au cône et à la sphère , quand il en est .ainsi de la corde AB. *

366 ^09IBI^AIS0NS de I.A SCKPACE SPnÉRIQCE

Vous voyez par là que, réciproquement, si la courbe de sortie est une circonférence , celle de l’entrée en est une autre.

363. La circonférence d'un "grand cercle de la sphère ne peut jamais être la courbe Centrée d’un cône , mais elle peut être la courbe de sortie, comme le montre la figure 28 (P. XII) pour le cône droit, et la 6gure 29 pour le cône oblique. Dans les deux cas , la courbe d’entrée est une circonférence de petit cercle, d’après le numéro précédent.

^1 est posible qu’alors , comme dans tous les .autres cas , une SA des génératrices droites du cône oblique, soit tangente à la sphère, parce que l’angle B' ayant pour indication la moitié de l’arc AB , se trouve encore égal à l’angle SAB, quand ce dernier est formé par une tangente et une corde (i 12).

L’entrée et la sortie d’un cône oblique peuvent encore être composées chacune d’un arc de grand cercle et d’un arc de petit cercle, comme le montre la figure 3o ; car les deux triangles SAB, SA'B' sont semblables, et une surface conique qui aurait son sommet au point S , pourrait passer par les deux circonférences dont AB et A'B' sont les diamètres. Alors, l’entrée dans la sphère se ferait par les arcs AE , EB', et la sortie , par les arcs A'E , BE. II y aurait donc deux génératrices droites qui seraient tangentes à la Surface sphérique, aux points E où se croisentles deux circonférences.

Enhn , il est visible que la pénétration peut encore avoir lieu de la même manière , lorsque les deux circonférences croisées appartiennent à de petits cercIA (F. 3i), et qu’elle ne se fait jamais de la sorte quand le cône est droit.

Appl. (a) ; Si l’on veut terminer un tronc de cône par une sphère, comme dans la 6gure 32 (P. XI|), il faut se donner le diamètre de la petite circonférence du tronc; en porter la moitié, de A en C', en D'; tracer les deux perpendiculaires C'C, D'D, et joindre. C, D au point F où le grand cercle de la sphère est rencontré par AB, parallèle à C'C. La distance FC sera l’onverture du compas courbe avec laquelle on pourra tracer sur la sphère j d’un point quelconque , la circonférence intersection de la surface conique et de Ja surface sphérique.

- « Quelquefois , la boule doit être surmontée d’une pointe conique ; on la place sur un cercle parallèle au précédent, qu’on décrit de la même manière. Ces tracés sont analogues à celui de la page 362 , appl. (a). »

Appl. (6) : Certains édihees présentent des lunettes ébrasées , pratiquées dans un dôme. Comme de telles lunettes sont des voûtes coniques, des voûtes en canonnières (p. 334), que leurs demicônes sont droits et que les axes passent par le centre de la surface sphérique du dôme, les courbes de pénétradon les arêtes courbes de ces lunettes , sont dos demi-circonférences ; de sorte que l’appareil est analogu#à celui d’un plein cintre.

Digitiz^ by CyiQgle

BT DES SURFACES COXIQt'ES. 367

Appt. (c) : Les tableaux peints sur une coupole ou dcmi-splièi;e creuse, doivent produire le même effet que produirait le sujet' représente sur un plan. Ces peintures sont donc les perspectives sphériques des diverses parties du sujet (p. 3jo) ; leurs courbes sont donc les intersections d’une surface sphérique et de surfaces coniques, obliques ou droites. Les principe# qui tiennent d’être exposés sont, d’apres cela, de la plus grande importance pour les peintres.

.366. Une sphère peut toujours être touchée extérieurement selon une circonférence , par un cône droit et creux. Cela résulte de ce qui a été dit de l’intersection des deux surfaces f3G3) ; car le c.TS de la tangence n’est que celui où les génératrices SA' , SB', (P. XII, F. 27) se sont écartées également de l’axe SC, jusqu’au moment où elles sont devenues tangentes au grand cercle contenu dans leur plan. Alors , A et A', B et B' sont confondus et fornicnt les points de contact j alors aussi, les deux circonférences AB, A'B' n’en font plus qu’une seule.

Il est visible au reste, qu’un demi -cercle ABC (F. 55) et sa tangente BS tournant autour du meme axe SC, engendrent l’un une surface sphérique, l’autre une surface conique qui touche celle de la sphère selon une circonférence dont le diamètre est BD , perpendiculaire sur SC.

Enfin, quelle que soit la sphère, un peut toujours lui trouver une position E où elle soit touchée extérieurement selon une circonférence , par un cône droit et creux non limité : cela revient au probl.(c), p. i4o, dans lequel il s’agit de décrire un cercle de rayon donné, tangentiellcment à deux droites qui se coupent.

Le cône oblique et creux ne peut jamais toucher une sphère extérieurement selon une circonférence j car pour <|ue le cône S pût être oblique, quoique touchant la sphère £ selon une circonférence d'un diamètre BD, il faudrait que les tangentes SB, SD pussent être inégales , et quel que soit le grand cercle £ que l’on considère , ses tangentes issues d’un même point S seront toujours de même longueur (io8).

Une surface sphérique peut faucher en un seul point, extérieurement ou intérieurement , une surface conique quelconque.

Il sufht pour que ces contacts aient lieu , qu’une génératrice droite soit tangente à la sphère et que deux courbes situées dans le même plan, l’une sur la surface sphérique, l’autre sur la surface conique, sc touchent extérieurement ou intérieurement ; car ces courbes auront un.e tangente commune, et le plan qui passera par cette tangente et par la génératrice droite , sera tangent aux deux surfaces.

Appl. (a); Si , à partir d’un diamètre AB (P. XII, F. 34), on divise le demi-grand cercle d’une sphère 0 , eu parties égales assez petites pour ({u’elles puissent être regardées, sans grande erreur, comme des lignes droites, 04 que par les points de division C,

5G8 COMBIN. DB LA SCKF. SPüiaiQl'B ET DBS SURF. COMQCBS.

D, etc., on mène des plans perpendiculaires au ^and cercle, la surface sphérique se trouvera partagée en bandes CDEF, etc. , appelées zones , qui pourront être considérées comme des surfaces coniques droites et tronquées , tangentes à la sphère.

« De là un autre moyen de couvrir une sphère avec des bandes planes. Tracez un ses grands cercles; tirez le diamètre AB; partagez la demi-circonférence ADB en petites parties égales; il ne s’agira plus que de faire le développement des surfaces coniques tronquées et limitées par les circonférences dont les rayons sont AO, CG, DH, etc. Comme vous pouvez pbtenir le sommet S en prolongeant les cordes CD , EF, il vous sera facile , au moyen du probl. a (p. 335)^ de tracer le développement du tronc CDEF, par exemple , lequel sera aussi celui du tronc IKLM. Des bandes circulaires coupées sur les patrons ainsi formés , s’appliqueront sur la sphère avec d'autant plus d’exactitude , qu’elles seront plus étroites. » , « Les ferblantiers, les cartonniers, etc., peuvent aussi confectionner des sphères avec des bandes coniques coupées sur des feuilles minces. Les charpentiers et les tailleurs de pierres exécutent une sphère pleine , s’ils forment des troncs de cônes droits qui se coupent selon des cercles, et dont les courtes génératrices composent un polygone régulier inscrit dans le grand cercle de la sphère. »

Appi.. (ô) : Les chapeliers emploient des formes composées d’un tronc de cône et d’une portion de sphère : les deux surfaces sont tangentes Tune à l’autre , selon' une des petites circonférences de la sphère.

Lois DE LA NATURE : L’ombrc portée par une sphère n’est jamais bien tranchée , bien arrêtée ; il y a toujours vers le bord , une partie moins noire que le reste , dont le contour ne peut être saisi par l’œil. Il en est de même au reste pour tous les corps , quelle que soit leur forme , ce qui fait que le peintre et le dessinateur sont obligés de fondre les ombres portées , ou de les adoucir vers le Ixird, de manière à finir par une teinte très-faible et sans contour marqué. On nomme pénombre cette partie affaiblie. Elle provient de ce que les corps lumineux, n’envoient pas seulement des rayons qui concourent à leur centre: tous les points de leur surface versent de la lumière dans toutes les directions ; de sorte que la limite de la m.asse de lumière reçue par un corps éclairé , est en général une surface conique tangente à la fois à ce corps et à celui qui l’éclaire.

« Si , pour exemple , nous considérons la Terre et le Soleil ou deux sphères inégales T, S (F. XII, F. 35), dont lapins grande soit le corps lumineux , la limité de tous les rayons que pourra recevoir le globe T, sera une surface conique qui aura pour sommet le point de rencontre A des tangentes extérieures menées à deux grands cercles. L'espace entièrement privé de lumière en arrière de la Terre , sera donc le cône BAC. Mais, si l’on mène les tangentes intérieures des deux grands cercles, et qu’on chemine sur une droite Hl, il est clair qu’entre H et K , on recevra tous les rayons qu’envoie le

COMBINAISONS DES SCEFAcA SPHÉniQCES ENTRE ELLES. 36g Soleil sur celle ligne ; qu’au-delà de K , on n’en recevra plus aulani ; qu’en L, par e.vcmple, on ne verra plus que la parlie ]\MF de l'aslre; que la lumière reçue diminuera de plus en plus, à mesure qu’on s’approchera de AB, el qu’enlré dans le cône BAC, on ne verra plus le Soleil , on sera loul-à-fail dans l’ombre. »

« L’espace non limilé KÜBACPl où l’on reçoil moins de rayons lumineux qu’en II, s.ins cesser de voir le Soleil, esl ce qu’on appelle la pénombre de la Terre. Lorsque la Lune enlre dans cet espace, elle s’obscurcil peu à peu, comme si elle élail voilée par un léger nuage. Mais, arrivée dans le cône BAC, elle ne reçoit plus de rayons directs et n’est plus visible : il y a dans ee cas éclipse de lune (p. a4). Ces circonstances prouvent bien que la Lune n’est pas luminense piu* elle-même, qu'elle ne fait que réfléchir une parlie de la lumière qui lui vient du Soleil. »

« Puisque^ rayons solaires reçus par un corps, ne concourent pas tous au cCMre de l’astre, on devrait terminer l’ombre pure que ce corps porte sur un autre , par l’intersection de ce dernier avec une surface conique telle que EAG. C’est en effet ce qu’il faudrait faire, si le corps qui reçoit l’ombre était un peu éloigné de celui qui la porte , puisque pour une distance plus grande que AQ , par exemple, l’ombre portée serait nulle el qu’il n’y aurait plus qu’une légère pénombre souvent invisible pour nos yeux. Mais , comme l’ombre que l’on dessine ou que l’on peint , n’est jamais portée que sur des corps voisins de celui qui l’occasionne •, comme en outre le point A est toujours fort éloigné de Q , pour le cas des ombres solaires , la pénombre ne diffère guère de l’ombre pure, dans l’étroit intervalle ' qui sépare le cône BAC d'un cylindre de meme axe, enveloppant tangcntiellemcnt le èorps T, et l’on peut, sans grande erreur, déterminer le contour des ombres par rinlcrseclion d’une surface cylindrique (p. 3 lo), moyennant qu’ensuite on adoucisse les bords. » •

Combinaisons des surfaces sphériques entre elles.

Il faudrait m.-iintcnant combinçr les surfaces développables, , considérées en général , et les surfaces gauches , avec celle de la sphère. Mais, comme il n’y a rien de bien intéressant à dire sur ces combinaisons , nous passons à celles des surfaces sphériques entre elles. Trois cas sont à considérer : les sphères se coupent , se touchent ou n’ont de point commun que le centre.

567. L'intersection des surfaces de deux sphères qui se coupent, forme toujours une circonférence dont le plan est perpendiculaire à la droite AB des centres (P. XII, F. 36).

Faisons passer un plan par les centres ; il coupera les surfaces selon deux grands cercles qui se rencontreront en deux points C, D, et dont la corde commune CD sera perpendiculaire à la droite AB des centres (n5). Nous pourrons donc mener par CD, un plan perpendiculaire à 4B. Ce plan coupera la surface de la sphère

Digitizod^y t

3^0 COKBIKAISOXS DES SURFACES SPHÉRIQUES EXTRE ELLES.

A, scion une circonférenc» qui aura E pour centre et CD pour diamètre (35a). Mais , il coupera aussi l’autre surface spluTiquc B , selon One circonférence dont le 'centre sera en E et dont le diamètre sera CD. Les deux circonférences n’en feront donc qu’une seule située sur les deux surfaces cl dans un plan perpendiculaire à la droite AB. D’ailleurs, elle renfermera tous les points d’intersection, car il est visible qu’un point pris sur l’une des sphères, hors de cette circonférence , se trouverait au-dehors ou au-dedans de l’antre corps.

Applicatiox i II peut arriver que la partie spliériquc d’une niche commence à la naissance d’un dôme : ce cas se présente quand le cylindre de la niche cl celui qui supporte le dôme se terminent «à la' même hauteur. Alors , l’arête courbe commune aux deux surfaces sphériques creuses , est une circonférence , et le plan de cette arête se trouve vertical , parce que la droite des centres est liA'izontale.

368. Deux sphères de centres différens ne peuvent se toucher qu’en un seul point ; car si elles avaient plusieurs points de contact , on pourrait par deux quelconques de ces points et par chacun des ■ centres, mener un plan qui donnerait un grand cerclé pour interseclioti; les circonférences des deux cercles auraient deux points communs; elles se couperaient donc (ii4), cl par conséquent, l’une des surfaces sphériques pénétrerait dans l’autre.

569. Le point de contact G de deux sphères est toujours sur la droite AB des centres (P. XII, F. Sy), et il suffit que la distance de ces centres soit égale à la somme ou à la différence des rayons AC , BC , pour que les deux surfaces sphériques se touchent extérieurement ou intérieurement. Ces principes se démontrent comme les principes analogues relalife aux contacts des cercles (i38, i4o et i4*)-

.370. Une sphère ne saurait être touchée par plus de douze autres de même rayon qu’elle, sans que ces dernières se coupent.

En effet , si nous formons un hexagone régulier ABCDEF (P. XII ,

F. 58) dont le côté soit double du rayon de la sphère donnée et dont le centre G soit celui de cette sphère , les sommets po urront devenir les centres de six sphères égales à G, qui la toucheront en se louchant elles-mêmes deux à deux; car AG = AB=BG dans un hexagone régulier (219).

Mais , le centre II d’un triangle équilatéral est à la même distance des trois sothmets A , B , G (a i o). Si donc on élève, par II unç ■perpendiculaire au plan de ABG , on pourra trouver sur celte droite un point dont les distances aux trois sommets égalent toutes ^AG (a58)etqui , par conséquent , soit le centre d’une septième sphère tangente aux sphères G , A , B. Agissant de même aux points I , K , centres des triangles CGD, EGF, on aura neuf sphères tangentes à G.

Or, les trois dernières H , I , K seront tangcalcs entre elles ; car les axes

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COHBmiSONS DE8 SVBFAGBS SPHERIQUES ENTRE EU.ES. $71

de symétrie BF,Cli des triangles équilatéraux sont perpendiculaires à AD (i6o) et conséquemment parallèles; BII = Ct, parce que les triangles ABGjDCG sont égaux, et il s’ensuit que HI = BC (G6). On ne pourra donc trouver que trois centres au-dessus du plan de l'hexagone. Du reste, il est visible qu'on en trouverait également trois au-dessous et qu’il n’y aurait que ces trois-là. Le nombre des sphères qui peuvent toucher G, ayant le même rayon, n’est donc que do douze, si elles doivent ne pas se couper.

Appl. (a): Les piédroits de certaines portes cochères portent parfois quatre sphères C, D, G, I égales et tangentes les unes aux autres (P. XII , F. 38).

Appl. (6) : Les piles de boulets , de bombes ou d’obus sont fondées sur la tangence des sphères ; on fait une première assise de projectiles qu’on enterre aux trois quarts, dans un sol horizontal bien ferme, et qu’on dispose en rangées parallèles , de manière que les diamètre» des sphères d’un même rang forment une ligne droite non interrompue (P. Xll , F. 39). Sur cette assise , et au-dessus des intervalles que laissent entre eux les projectiles , on en pose d’autres qui ^se trouvent tangens chacun à quatre des précédées, et l’on continue toujours ainsi, jusqu’à l’unique sphère ou l’unique rangée qui doit terminer la pile, selon que cette pile a pour base un triangle équilatéral , un carré ou un rectangle. Il en résulte que chaque projectile de l’intérieur est tangent à douze autres dont quatre sont dans la même assise que lui, quatre dans l’assise inférieure et quatre dans l’assise supérieure. Ceux des deux derniers groupes se touchent deux à deux; mais ceux du premier n’ont aucun point commun.

371. Deux surfaces sphériques qui ont le même centre , sont équidistantes et leur distance est égale à la différence des rayons; car on démontrerait, comme pour deux circonférences (1 3 1), que la différence des rayons est la plus courte droite qui puisse être comprise entre les deux surfaces. Donc , deux surfaces sphériques de même centre et de même rayon , se louchent dans toute leur étendue.

372. Deux sphères concentriques peuvent, sans que leurs sutfates cessent d’être équidistantes , tourner sur leurs centres dans tous les sens; car ces mouvemens ne changent rien à la longueur de chaque rayon. Il en résulte' que deux sphères concentriques de même rayon , dont l’une est en relief et l’autre creuse , ne cessent pas de se toucher par tout , quels que soient les mouvemens qu’on leur inqprime, sans déranger les centres.

Application : L’emboitement à genou qui se trouve dans la , plupart des instrumens propres au lever des plans et dans plusieurs machines, esrune fort utile application des surfaces 'sphériques superposées. Deux portions de sphère creuse A, A' (P. XII , F. 4°) tiennent à la partie fixe de l’instrument ou de la machine, à la

373 SUaFÀCES AHNüLUasS. I

douille B du graphomètre par exemple ; elles enveloppent aux trois cpiarls une sphère pleine C , de même rayon , qui supporte le limbe D , et qui peut se mouvoir dans le creux formé par les deux calottes. Le cercle D se met donc facilement dans le plan de l’angle qu’il s’agit de lever, sans que son centre s’écarte ou se rapproche ' j

de celui de la sphère creuse. Une fois qu’il s’y trouve, on rend • fixe sa position , au moyen d’un éçrou de pression E qui serre les calottes contre le bouton C. Ainsi, avec un graphomètre à genou, on peut lever un angle vertical aussi bien qu’un angle horizontal. ^ Dans certaines machines, c’est le bouton sphérique qui est fixe et les calottes qui pivotent. ''

Surfaces annulaires.

373. La surface sphérique n’est qu’un cas particulier des surfaces courbes que peut engendrer Une circonférence par sa révolution autour d’un axe. On conçoit en effet que cet axe peut fort bien ne point rencontrer la génératrice et qu’il peut en meme temps se trouver hors du plan de cette courbe. Dans les deux cas , la surface engendrée est dite annulaire, parce que les anneaux ronds ont la , même génération. La surfaceannulaire est donc produite, en général , par une courbe quelconque qui tourne autour d’un axe , . sans le rencontrer.

L’hyperboloïde de révolution (p. 34g) n’est pourtant pas une surface annulaire, bien que l’hyperbole génératrice ne rencontre pas l’axe de rotation : cela provient de ce que , l’axe passant néanmoins par le centre même de la courbe, il ne peut y avoir d’espace libre entre cette droite et le corps terminé par la surface.

La plus employée des surfaces annulaires est celle qui a pour génératrice, une circonférence C (P. XIII, F. i) et dont l’axe AB est situé dans le plan de cette courbe. Tous ses plans méridiens , c’est-à-dire les plans AB'C', etc. , qui passent par l’axe , la coupent selon une circonférence. Il ep est de même des plans DE , etc. , perpendiculaires à l’axe, puisque chaque point de la courbe génératrice ou méridienne décrit autour de cet axe, une circonférence perpendiculaire (p. 279, appl. ft). Mais, ce n’est pas ici comme sur la sphère : les méridiennes n’ont pas leurs centres sur l’axe ; ils sont placés sur une circonférence dont le rayon est B’C'. Cela n’empeebe pas que plusieurs des principes relatifs à la surface sphérique, ne Soient applicables à la surface annulaire dont il s’agit.

Appl. (a): Les bagues nolnmécs alliances offrent des surfaces annulaires engendrées par une circonférence qui tourne autour d’un axe situé dans son plan , à une distance du centre plus grande que le rayon. ’

Appl. (6) : La gorge d’une poulie est ou doit être ujje demi-surface annulaire erèuse (P. XIII , F. 3).

. « Ce que les marins appellent cosse est un demi-anneau qui en

' SCRÏACES DE RivOLCTION. ijS

dehors a une gorge conune la 'poulie: la cosse sert à maintenir ouvertes les ganses dans lesquelles doit glisser un cordage. »

Appl. (c): Le tore qu’on voit jiu tour des colonnes, vers leurs bases, est une demi-surface annulaire en relief AB (F. 3). Toutes celles des autres moulures d’une colonne , qui ont un arc de courbe pour profil , sont aussi des portions de surfaces annulaires en relief ou creuses.

« La figure 4 qui est le profil d’une scotie ou piédouche, offre un exemple de deux surfaces annulaires qui se tonchent selon une circonférence représentée en projection verticale par AB ; elles sont engendrées par deux arcs tangens en A, dont les centres sont C, D. »

< Un piédouche peut aussi être formé par la révolution d’une ellipse (3o5) ou plutôt d’un arc d’ellipse qui remplace les deux arcs de cercle AE , AF : la surface annulaire qui en résulte est alors fort différente de celles des trois premières ^urcs. d

AppL.(d): Quand les menuisiers et les ébénistes poussent autour d’un cintre, des moulures dont le profil renferme des courbes, ils font des surfaces annulaires. ,

Appi.. (e) : Enfin , dans la halle au blé de Paris , qui est un vaste cylindre FlK recouvert d’une voûte sphérique ABC (F. 5) et entouré d’un autre cylindre équidistant, une voùle annulaire ADE..,A'D'E’ couvre l’espace compris entre les deux surfaces cylindriques. C’est pour traverser cet espace qu'on fait des voûtes conoï^es telles que FGlll (p. 349, appl. e).

Surfaces de révolution.

374. La sphère et les anneaux ne sont pas les seuls corps qui soient terminés par des surfaces courbes de révolution non réglées. Comme on peut tracer une infinité de courbes différentes et les faire tourner autour d’un axe qu’elles rencontrent , il y a une infinité de surfaces de révolution qui ne sont ni cylindriques , ni coniques , ni sphériques , ni annulaires.

Une surface de révolution peut être engendrée par une courbe à double courbure, comme par une courbe plane; car il n’est pas , ' *hécessaire que les points de départ de toutes les circonférences décrites autour de l’axe, se trouvent dans un même plan. Seulement, si la génératrice n’est pas plane, elle n’est pas méridienne de la surface, puisqu’alors elle ne peut se trouver tonte entière dans un plan passant par l’axe.

Toute surface de révolution peut être exécutée sur le tour, ah moyen d^un guide convenable, puisqu’elle peut être couverte de circonférences ayant leurs centres sur un axe (p. ayg, appl. ô). Comme deux quelconques de ces ciconférences sont par tout à la même distance l’une de l’autre , on peut en tracer une sur la surface , , en employant une sorte de trusquin, ainsi qu’on le fait pour le cylindre et le cône droits (p. 307 et Sag),

^74 ' StWACB/ DK RKVOlUTIOa.

Appl. (a) : Les cloches , les sonnettes , une foule de vases ronds sont des surfaces de révolution dont la génératrice est une courbe plus ou moins gracieuse , qui dépend du goût des fabricans. Les cloches et les sonnettes sont copiées dans des moules que le. fondeur . obtient au moyen d'un modèle et dans lesquels il place un noyau en terre. Les vases ronds en faïence et en porcelaine sont exécutés sur un tour de potier de terre , qui porte un profil générateur (p. 3a4, appl- e).

Appj,. (h) : Les tonneaux sont des surfaces de révolution engendrées par un are de circonférence on d’une autre courbe ABC (P. XIII, F. 6) tournant autour de la corde DE d’un arc plus grand DAE , ce qui permet de maintenir les douves par des cercles parallèles. Ces douves sont des planchettes dont la plus grande largeur correspond au milieu B. Les plus' petites largeurs se trouvent aux extrémités A, C et sont égales. Les grandes arêtes sont des courbes telles qu’elles deviennent des arcs ABC, quand les planchettes ont été courbées, et les peb'tes faces ABC sont des biseaux.

<ü Le tonnelier n’a d’autres guides que ses yeux pour former les arêtes courbes des douves ; aussi, ne parvient-il que difficilement à les faire de manière qpic la surface do révolution soit bien ronde et bien fermée. Il n’aurait pas autant de mal et ne consommerait pas autant de bois , s’il se formait , au moyen du procédé de la page 364 ’ (appl. ç), un patron de douve plane pour chaque espèce de tonneau. La confection d’une sphère par bandes méridiennes , peut en effet s’appliquer à*toute autre surface de révolution , comme la confection par zones , de la page Sfiy (appl. a), »

« Il existe en France une machine qui façonne les douves exactement; elle renferme un fer à rabot qui se meut constamment dans un plan passant par une droite fixe DE. La planche qu’il faut convertir en douve , est courbée convenablement et maintenue à l’égard de DE , dans la position qu’élje doit avoir par rapport à l’axe du tonneau. Le fer forme donc à la fois les faces de joiut en biseaux et les arêtes courbes de ces faces. » , .

Appi. (c): Il y a des scieries qui produisent des surfaces de révolution non réglées. Uivgrand levier tournant A (P. XIII, F. 7) est terminé d’un côté par une fourche B. Entre les deux branches de cçtte fourche , passe tut arc d’acier C dont les extrémités senti liées à celles d’une lame de scie !> courbée en arc de cercle. Un boulon E traverse les deux branches de la fourche , ainsi que l’arc qu’elles embrassent , et la scie peut osciller circulairement autour de ce boulon. L’essieu F du leviér porte à l’une de ses extrémités , fine manivelle G , et de cette manivelle part une tringle U qui va rejoindre le bout correspondant de la scie. Un moteur quelconque fait rourner l’essieu, soit au moyen d’une seconde manivelle I , soit au moyen d’un engrenage. Alors , la tringle se meut à peu près en ligne droite , tantôt dans un sens , tantôt dans le sens contraire , ce qui fait pivoter l’arc d’acier , et par suite la scie , autour du boulon E , d« droite à gauche et de gauche à droile. Le trait de scie est donc

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'SÜHFiCES ENVELOPPES. 375

«Il arc de cercle qui a son centre en E. Or, à mesure que le sciage avance, le levier A tourne sur son essieu, par le seul effet de son poids, ce qui fait décrire au boulon E un arc dont le centre sc trouve en K, La voie est donc composée d'arcs de cercles qui ont même rayon et dont les centres sont situés sur une circonférence perpendiculaire à l’axe de rotation F ; par conséquent , cette voie est une surface de révolution. ■*

« Il est visible 'dj^illeurs qu’au moyen des trous percés sur le grand levier, de ceux qui le sont sqf la tringle, des crans de l'arc d'acier et d'un nombre suffisant de scies courbes , on peut faire varier le rayon EK du cercle directeur et celBi ED du cercle générateur. Si la distance EK est telle , que l’essieu F rencontre la circonférence D , le bois L est scié scion une surface de révolution analogue à celle des tonneaux. Dans 1^ cas contraire , la voie est une portion de surface annulaire (Syô). On obtiendrait une surface sphérique , s’il était possible de faire passer l’essieu F par le point E , puisqn’alors cet essieu serait diamètre de l’arc D (35o). » '

Surfaces enveloppes.

375. Il nous reste, pour terminer l’étude des surfaces, à considérer celles qui sont courbes sans être réglées et qui ne peuvent être engendrées par la révolution d’une courbe autour d’un axe. Pour ' nous faire une idée de ces surfaces, il convient d’en examiner une . espèce particulière.

Supposons donc une courbe plane quelconque AA' A'' (P. XIII,

F. 8), une droite BC tangente à cette courbe et une circonj'érence qui ait A pour centre, et pour diamètre, DE perpendiculaire à BC ou normale à la courbe AA 'A"; car on appelle normale d’une courbe , la perpendiculaire élevée dans son plan , sur sa tangente et par le point de contact.

Si le centre A sc meut sur AA' A", sans que BC cesse d'être tangente et sans que le diamèfre DE cesse d’être normal ,' la circonférence engendrera une certaine surface courbe qui ne sera point réglée , dont la génération se fera non par révolution , mais par un cheminement quelconque , et qui aura deux courbures : celle du cercle et celle de la directrice AA' A".

La même surface pourrait être produite aussi par une sphère qui eût DE pour diamètre et dont le centre A suivit la courbe dircctricej car cette sphère ayant la circonférence génératrice pour grand cercle, la présenterait toujours perpendiculairement à la courbe ou aux tangentes , comme le fait la génération précédente. Ainsi , la surface dont il s’agit, peut être formée indifféremment par le cheminement d’une circonférence ou par celui d’une surface sphérique.

Une telle surface enveloppe ncccssaircment la sphère dans toutes les pôsitions que prentj^ce corps , ou bien clic enveloppe toutes les positions de la généralricfe ; aussi l’a-t-on nommée surface enveloppe. » Qu’on se repr^nte un cylindre creux et droit , touché selon des

3^6 SCBFAOBS BNVEIOPPBS.

circonférences (36a), par un grand nomhre de sphères , dont les centres liés entre eux par un fil placé selon l’axe , soient très-voisins les uns des autres ; si l’on ploie le fil suivant la courbe AA' A" (F- 9) et que les génératrices droites du cylindre conservent leur équidistance à ce fil , la surface cylindrique deviendra la surface enveloppe à génératrice circulaire. ^

Il y a bien d’autres surfaces enveloppes que celle dont nous venons de nous occuper, car toutes les courbes imaginables peuvent servir de directrice et de génératrice. La directrice’peut meme se trouver une droite. Quand dans ce ca^la génératrice est une circonférence constante, la surface «nveloppe est celle d’un cylindre droit (297), et si le rayon est variable, la surface devient celle d’un cône droit (3ao) ou celle d’un hyperboloïde de révolution (p. 349) , ou toute autre , selon la loi de la variation. Lorsque la directrice et la génératrice sont des circonférences, la surfdbe enveloppe est annulaire (SyS). Mats, comme toutes ces espèces ont été suffisamment étudiées sous d’autres noms, nous n’avons à nous occuper que des surfaces enveloppes produites par une courbe plane soit constante , soit variable , dont le centre ou tout autre point est assujetti à parcourir une courbe autre qù’une circonférence, de manière que le plan de la génératrice I reste toujours perpendiculaire à la directrice ou aux tangentes ; encore supposerons-nous que la génératrice soit une circonférence.

376. 'Deux cas peuvent se présenter: ou bien la directrice est une courbe plane, ou bien elle a deux' courbures. Dans le premier, une circonférence d’un rayon consUnt engendre une surface de canal. On appelle ainsi cette surface enveloppe, parce quen effet les portioôs non cylindriques des canaux, ont une pareille geueraüon, afin oue la même quantité d’eau qui passe dans un certain temps, par une section plane perpendiculaire à la directrice, passe dans le même temps, par toute autre section : aucun engorgement ne peut alors avoir lieu, et l’écoulement est aussi rapide que le permet la pente.

Observons toutefois que les cajjauxn'ont pas tous une circonférence ou une porûon de circonféren'cc>ur génératrice; mais cela n empêche pœ que les sections qu’y font des plans perpendiculaires a la directrice , ne soient toujours égales et de même forme.

Les siphons, les baromètres à plusieurs branches, ceux qui sont contournés à la façon des spirales planes , etc. , offrent des exemples d’une surface de canal circulaire, L’exécution dune pareille surface est assez difficile, soit qu’on la forme au ciseau ou au foret, soit qu’on la forme en roulant des feuilles minces : les ferblantiers de Lyon excellent, dit-on, dans cette dernière operaUon; mais leur procédé est purement manuel et ne comporte aucun trace geome-

Si la directrice est à double courbure , si par exemple elle est une spirale cylindrique (p. 55o) , la génératncc restant toujours une circonférence de rayon constant, on a encoH une surface de canal, mais ceUe-ci est à triple courbure; on la nomme surface de cwal