PRISMES

Appl. (d): La pièce de bois nommée arêtier, qui, dans une charpente , se trouve à l’intersection de deux latis , est un prisme pentagonal. Il en est de même des noues, mais dans ce cas les bases ont chacune un angle rentrant. Nous ne considérerons jamais de tels prismes, parce qu’ils peuvent toujours être décomposés en deuxautres dont les bases n’aient que des angles saillans.

Appi. (e); Les charpentiers etjes tailleurs de pierres exécutent les prismes droits comme il suit ; ils coupent le corps par un plan on, en terme de l’art, ik font un parement; puis ils tracent sur ce plan, le polygone de la base et forment d’équerre des faces qui passent chacune par un des côtés ; elles se coupent selon des arêtes perpendiculaires à la base (27a). Pour exécuter ces faces , on pousse des plumées, c’est-à-dire qu’on enlève la matière par entailles faites selon des perpendiculaires au plan du polygone (a 71 etaSG).

Appl. (/■) : Les menuisiers, les ébénistes, les cartonniers, etc*., emploient des moyens tout diflerens , pour exécuter des prismes creux et droits. Ils façonnent séparément les bases et les faces latérales, de manière que les premières soient égales et que les dernières soient des rectangles de même longueur , ayant pour largeur le côté correspondant de l’une des bases. Quand toutes ces pièces sont assemblées , leur ensemble forme nécéssairement un prisme droit.

379. Il y a dans tous les corps, un point qu’il est fort important de connaître et de saioir déterminer j on l’appelle centre de grapité, parce qu’il serait l’intersection de tous les prolongemens d’un fil auquel on suspendrait un corps par un point quelconque de la surface, puis par un autre, puis par un troisième, etc.

PaoBLèin! : Déterminer le centre de gravité d’un prisme triangulaire quelconque, uniformément pesant.

Marquez sur chaque base , le point où se croisent les trois droites menées des sommets aux milieu3( des côtés (178)^ joignez les deux points ainsi obtenus; le milieu de la droite de jonction sera le centre de gravité du prisme, si toutes les portions égales de ee corps ont absolument le même poids.

« En effet, le prisme peut être considéré comme formé d’une suite de tranches triangulairtjp égales aux bases; les centres de gravité de ces tranches également pesantes, sont placés de la même manière dans toutes , et forment une droite parallèle aux faces latérales ; le centre de gravité de leur ensemble doit être évidemment, au milieu de celte droite ; reste donc à faire voir qu’elle passe par le croisement des trois droites menées des sommets d'un triangle aux milieux des côtes , ou que ce croisement est le ceptre de gravité d’une tranche triangulaire très -mince. » ,

V. « Or , un triangle peut être considéré comme formé de lignes droites parallèles à un côté. Le centre de gravité de chacune de ces droites est à son milieu, et par conséquent, celui de leur ensemble

J^RISMBS.

est sur la ligne qui passe par tous les milieux, c’est-à-dire sur la droite menée du milieu du côté au sommet opposé. Pour les mêmes raisous, le centre de gravité du triangle est aussi sur la droite menée d’un autre sommet au milieu du côté opposé. II se trouve donc au croisement des deux droites. »

Appl. (a) : Lorsqu’un prisme triangulaire ou tout autre corps s’appuie sur une pointe par son centre dfe gravité, il est en équilibre et y reste quelle que soit la position qu’on lui fasse prendre , parce que son poids est toujours alors entièrement supporté par la pointe. On dit dans ce cas que l’éqnilibre est coiutant; c’est celui de la plupart des balanciers de machines.

Appl. (b): Si la pointe dépasse le centre de gravité, l’équilibre est simplement staô/e; le corps ne peut plus rester dans toutes les positions qu’on lui fait prendre ; mais il revient toujours à celle où le centre et le point d’appui se trouvent sur la même verticale. Cela tient à ce que da(is toute autre position , la pointe ne supporte plus entièrement le poids du corps : la partie de ce poids ipii n’est pas soutenue, fait tourner le prisme autour du point d’appui, et le -centre est forcé de revenir sur la verticale de ce- point où il s’arrête après un certain nombre d’oscillations.

« Un pareil elTet a lieu pour les balances dont les plateaux sont bien également chargés, pour les balanciers des pendules et des horloges, pour ces petites figures qu’on fait tenir sur la pointe d’ut» pied , au moyen de deux boules de plomb dont on les charge et qui descendent^lus bas que le support. Dans tous ces cas, le centre de gravité du système , est plus bas que le point de suspension ou d’appui. Il en est de même pour un pèse-liqueur enfoncé dans uq liquide et pour un vaisseau qui flotte sur la mer ; aussi les vaisseaux ne cbavirent-t-ils jamais, à moins qu’on ne laisse les voiles en prise à la violence du vent. »

Appl. (c) : Quand le centre de gravité se trouve plus élevé que l’extrémité de la pointe, il y a encore équilibre, si ces points sont sur la même verticale; mais cet équilibre est précaire: il n’a lieu que pour une seule position du prisme. Dans toute autre , le poids n’est plus entièrement supporté par la pointe ; il y a rotation autour du point d’appui et le prisme glisse

« Cela e.xplique comment il se fait qu’on a d’autant plus de facilité à renverser un corps , que son centre de gravité est plus élevé audessus des appuis. C’est qu’il faut alors une moindre inclinaison , pour faire dépasser au centre de gravité , la verticale du point d’appui autour duquel on fait tourner le corps , et qu’une fois cette inclinaison donnée , la chute est un effet du poids, v

« Ainsi , les pièces de bois de même base , de même écarrissage , sont des supports d’autant moins sûrs , qu’elles ont plus de longueur. Ainsi , une voiture est plus exposée à verser, quand la partie la plus pesante de son ch.irgement est très-élevée, que dans le cas où elle se trouve presque au niveau de l'essieu. .

PMsun.

380. he» seclions/aites dans tout prisme par deux plans parallèles

quelconques , sont des polygones égaux. Cela se démontre comme l’égalilé des deux bases (578). On doit en conclure qu’un prisme oblique peut avoir pour bases , toutes sortes de polygones , inégaux quoique d’un même nombre de côtés. Mais, si le prisme doit être droit , il n’y a que des polygones perpendiculaires à ses arêtes parallèles qui paissent être pris pour ses bases , et ces polygones sont tous égaux. '

381. Deux prismes complets sont égaux , quand les trois faces d'un angle solide de l’un égalent les trois faces correspondantes de Poutre.

Soient les faces CDEAB, CDD'C', CBB'C' (P. XIII, F. 14) égales à leurs correspondantes d’un autre prisme. Les angles DCC', BCC' égaleront leurs correspondans. Or, il n’y a qu'une seule position au-dessus d’un plan, dans laquelle une droite CC' puisse former deux angles déterminés, avec deux droites CB, CB de ce plan : cette position est l’intersection des surfaces coniques dont CD, CB seraient les axes et CC' la génératrice droite (53g). Pîtr conséquent, l’aréte CC' s’appliquera sur sa correspondante, si l’on superpose les bases inférieures des deux prismes, et par suite, toutes les autres faces se couvriront exactement.

Lors donc que deux prismes , l’un plein et l’autre <*eux, satisfont à la condition d’égalité, le premier peut se loger dans le second, et le remplir exactement, sans le déborder. Le prisme en relief peut aussi se mouvoir dans le sens d^ arêtes parallèles^sans cesser de toucher l’autre par tous les points de toutes ses faces latérales (appl. /, p. 77).

382. Le principe qui a clé démontré dans le n” u33, pour les polygones , a lieu aussi pour les corps. Ainsi , deux prismes AD' ad' sont égaux par symétrie , quand les droites qui joignent les sdmmets de l’un aux sommets de même rang dans Poutre, ont un plan de symétrie commun FG (P. XIII, F. i4)-

Deux prismes ainsi placés par rapport à un plan FG , sont égaux , s'il y a égalité entre leurs bases , entre leurs faces latérales correspondantes , et entre les coins que forment ces faces soit en se coupant , soit en coupant les bases.

1® Les bases sont égales, même quand elles sont dans des plans difiërens.

Les parallèles An , Ec étant divisées en deux parties égales , aux points II , I , forment un trapèze symétrique AGen , et AE = ne ( 1 85). Pour une semblable raison , EC = ec, AC = ne. Conséquemment , le triangle ACE = ace(i64). On verrait de même que ABC = 06c, et que CDE = cde. Donc , les deux polygones ABCDE , abede sont égaux (u3i).

2° Chaque face latérale de l’un des pn’smes est égale à la fac« l orrespondante de l’autre. *

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raisMu.

Prenons pour exemple, les deux parallélogrammes AEE'A', aeét^ . Un raisonnement pareil au précédent montrera que le triangle AEA' = aea'j que le triangle EA'E' =: ea'e', et nous en conclurons , comme ci-dessus , que les polygones AEE'A', aee'a' sont égaux. On démontrerait de la même manière que toute autre face latérale du prisme AD', est ég^le à la face corrrespondante du prisme ad'.

3° Un coin quelconque DD' est égal au coin correspondant <W', (270).

Elevons sur DD', une perpendiculaire KL, dans le plan DC', et une perpendiculaire KM , dans le plan DE'; menons par K une parallèle a Dd; enfin, élevons au point k, sai^tid', une perpendiculaire kl, dans le plan de', et une perpendiculaire km, dans le plan de'. Les angles LKM, Ikm seront ceux des coins. Or, DK=idü, puisque DD' = dd' et que les trois droites Dd, KXr , D'd' sont parallèles (79) ; par conséquent , les deux trapèzes CDKL , cdkl sont superposables^ et KL = A/; les deux trapèzes EDKM , eJkm sont aussi superposables , et KM v Mais , il en résulte encore que

CL=: cf, et que EM=:emi viA;, les deux trapèzes CEML, ceml sont^ superposables , puisque par la seconde partie de la démonstration ^ '' on ferait voir aisément que les deux parallélogrammes CEE'G', sont égaux.'- Ainsi , LM = Im ; par suite , le triangle KLM = klm , ' et les deux angles LKM , Ikm sont é^ux.

Il est du reste très-visible qu’il ne* faudrait que répéter ces constrnetions et ces raisonuemens , pour se convaincre que tous les autres coins correspondans des deux prismes, même ceux des bases , sont égaux. Chaque partie de l’un de ces prismes a donc son égale dans l’autre. . >

Mais l’égalité par symétrie pour deux corps , ne permet pas toujours , comme celle du n° 58 1 , la superpo.sition par introduction ' de l’un dans l’atitre , et elle ne permet jamais la superposition par rabattement (x3a): les faces du .prisme ad' ne pourraient pas en effet se rabattre sur celles de AD', sans se désunir pendant le mouvement.

383. Les corps ont des plans de symétrie , comme les poh'gones ont des axes de symétrie : on nomme aigsi tout plan qui partage un corps ou un système de corps en deux parties égales cl symétriquement' placées. Le plan FG est donc un plan de symétrie pour le système des deux prismes AD', ad' (P. XIII, F. i4).

7<>ur prisme ABCDEF dont les base* sont des triangles symétriques (F. 1 5) et dont la plus grande face est un rectangle, a un plan d» symétrie DG : c’est le plan qui passe par les axes de symétrie CG , DH des deux triangles (160). >

Les sommets A , B et les sommets E, F des deux prismes formés par le plan DO, sont effectivement aux extrémités de droites que ce plan coupe d’ét|uerre et parle milieu (ajfi). La même condition est remplie par rapport aux sommets communs C , D , puisqu’ils sont i dans le plan DG. >

384 PBISMES.

Si vous tronquez le prisme , de manière à conserver le rectangle ABEF, DG sera encore un plan de symétrie pour le nouveau corps.

584. Tout prisme, droit dont les bases sont des triangles symétriques , a deux plans de symétrie.

Si nous supposons que le prisme ABCDEF soit droit (P. XIII ^ F. :5), il aiiraDG pour premier plan de symétrie (383); le second sera le plan IKL qui , parallèle aux bases , coupe par le milieu les arêtes parallèles (ûyy).

'Remarquez que les deux prismes formés par le plan IKL, se trouvant dans le cas du n“ 39i, sont à la fois égaux par symétrie et superposables.

Le prisme de la figure 1 5 , qui est terminé par deux triangles symétriques égaux, non parallèles, a aussi deux plans de symétrie, comme le précédent, et celui KL qui coupe les arêtes parallèles, donne deux prismes superposables. C'est que le corps ABCDEF peut être considéré comme proven^t |^’un prisme droit qu’on a tronqué symétriquement par les deumjouls.

On appelle axes’de symétrie d’un corps, les droites selon lesquelles se coupent ses plans de symétrie. En conséquence , le prisme droit que représente la figure 1 5 , a pour axe de symétrie , celui du triangle IKL. 11 en est de meme du f>risme de la figure i3. Chacun de ces axes de symétrie contient h centre de gravité du corps (579).

583. Le prisme droit qui a pour bases des triangles équilatéraux, a quatre plans de symétrie { trois qui passent par les lignes de symétrie des triangles , un qui coupe par le milieu les arêtes parallèles. Il en résulte quatre axes de symétrie ; un qui est parallèle aux faces latérales et passe par les centres de figure des bases (181) ; trois qui sont parallèles à ces bases et se trouvent dans le plan de symétrie IKL (P. XIII, F. 16). ,&s quatre axes se coupent en un seul point M qu’on appelle centre^e symétrie du corps et qui est aussi le centre de gravité (Syg).

Applications: On compose de deux portions égales et symétriquement placées par rapport à un plan, tous les corps , toutes les machines qui doivent pouvoir exécuter les mêmes mouvemens de deux côtés : cela est nécessaire pour que la mobilité soit la même dans un sens que dans l’autre.

« Ainsi , nos voitures ont un plan de symétrie qui coupe l’essieu perpendiculairement en deux parties égales; les bateaux et les vaisseaux ont un plan de symétrie qui va de l’avant.'bec à l’arrière-bec , ou de la proue à la poupe , et qui passe par les axes de tous les mâts ; les balanciers des machines se trouvent divisés en deux parties égales dans toutes leurs positions, par un plan contenant l’axe de rotation : ce plan de symétrie se meut comme le corps. »

« C’est probablement l’étude de la structure des animaux qui a porté le constructeur à former f rrué 'riquement les corps auxquels il

PARAU.BLIPIPÈDU. 3SS

doit donner une grande mobilité ; car l’homme, les quadrupèdes , les oiseaux et les poissons ont tous un plan de symétrie dans le sens de leur mouvement ‘ordinaire. i>

386. La distance des deux bases d’un prisme complet, est nommée sa hauteur. Cette hauteur est par conséquent égale à la perpendiculaire abaissée d’un point de la base supérieure , sur la base inférieure (278). Il s’ensuit que deux prismes de meme hauteur peuvent toujours être places entre deux plans parallèles qui les terminent.

Deux prûmes qui ont de» bases équivalentes (190) et même hauteur, sont équivalens ; c’est-à-dire qu'ils renferment ou qu'ils occupent des espaces égaux, c'est-à-dire qu’ils ont même volume, sans être superposables , sans être égaux par sy'métrie, sans même' se ressembler en rien.

Plaçons les bases ABCD , EFG sur un même plan (P. XIII,

F. 17); les bases supérieures A'B'C'D^, E'F'G' se trouveront alors dans un plan parallèle, dans un plan équidistant (a 7 8). Par conséquent , si l’on conçoit entre les deux bases de chacun des corps , autant de plans parallèles à ces bases , qu’il est possible d’en mener, il y aura autant de sections dans l’un des prismes que dans l’autre. Or, l’ensemble de toutes les sections de EFGG'F'E', c’est ce corps même ; chacune d’elles est égale à la base EFG , et il en est ainsi dans l’antre prisme (38o). Les deux corps sont donc composés d’un même nombre de sections équivalentes j ils sont donc équivalens.

Parallélipipèdes.

387. Parmi les prismes quadrangulaires , il en est qui méritent d’être remarqués : ce sont ceux dont les bases sont des parallélogrammes , comme les autres faces. On les nomme parallélipipèdes. Quand ils se trouvent droits, ils sont dits rectangles ou carrés, selon que la base est un rectangle ou un carré. On peut aussi désigner ces corps par les noms de prismes rectangles , prismes carrés, qui sont plus courts et plus faciles à prononcer.

Applications: Les piliers, les poteaux, les barres de fer, sont ordinairement des prismes carrés; les pilastres, les pierres de taille brutes , les planches , les fers plats , les chambranles de marbre , les carreaux de vitre , les feuilles de papier même , sont des prismes ' rectangles.

c Autrefois, lu plupart des pièces d’une charpente étaient des prismes carrés ; mais aujourd’hui , on ne donne plus cette forme qu’aux poinçons qui , placés debout , doivent n’avoir pas plus de tendance à fléchir dans un sens , que dans le sens perpendiculaire à celui-là. Quant aux chevrons , aux pannes , aux poutres , etc., qui doivent résister dans le sens vertical et ne supportent aucun eflbrt hoiizoatal , ce sont maintenant des prismes rectangles. Il résulte do

386 piiuu^upipiDEs.

cette forme une grande économie de bois , et il n’y a aucune diminution dans la solidité de l’édifice , puisqu’on place verticalement les faces les plus larges. »

< Les languettes d’assemblage et les tenons droits sont aussi des prismes rectangles ; il en est de même des rainures et des mortaises droites, mais ces derniers prismes rectangles sont creux, comme ceux des serrures et des bohes de toute espèce. Les tenons et les mortaises qui présentent du biais , sont de simples parallclipipèdcs eomplels ou tronqués. >

S88. Les faces latérales opposées d’un prisme rectangle sont égales et parpllèles. D’abord , le rectangle ABCD (P. XIII , P. i8) est parallèle au rectangle opposé EFGU , car les arêtes AE , BP, DH , CG sont égales et parallèles (ayy). Ensuite, ces faces sont égales, puisque ce sont des rectangles qui ont des bases égales CD, GH et des hauteurs égales DA, IlE (189). '

Dans un parallclipipède non rectangle, les faces latérales opposées sont aussi égales et parallèles. On démontre qu’elles sont parallèles comme précédemment ; on démontre qn’elles sont égales en disant que les angles BCD, PGH (P. XIH, F. 19) sont égaux , puisque les côtés de l’un sont parallèles aux côtés de l’autre (279) ; car les parallélogrammes ABCD , EFGH se trouvent alors dans le cas du n° 189: un angle et ses côtés sont les mêmes dans les deux figures.

On voit par là que dons tout parallélipipède , deux faces opposées quelconques peuvent devenir le»- bases du corps ou peuvent être considérées comme telles. Ainsi, les bases sont aussi bien ABCD, EFGH que ABFE, CDHG (F. 18 et 19).

389. Un prisme rectangle a trois plans de symétrie, et chacun de ces plans est parallèle à deux faces opposées.

Si , par le point I milieu de AD (P. XIII , F. 18), noos menons un plan perpendiculaire à cette arête, il sera parallèle aiix bases ABFE, CDHG (273), perpendiculaire à tontes les arêtes qn’il, rencontrera (261), et il les divisera en dçui parties égales , comme il divise AD (280). Ainsi , IKLM sera bien un plan de symétrie (383), et il en sera de même, pour de semblables raisons, des plans NOPQ , R8TU menés perpendiculairement à AB et à AE par les points N, R milieux de ces arêtes. Il y a donc trois manières différentes de diviser un prisme rectangle en deux parties égales, superposables et symétriquement placées (38 1).

Vous devez en conclure que le prisme rectangle a trois axes de symétrie; ils joignent les centres de symétrie des faces opposées (196). Le point Y où se coupent ces trois axes , est en même temps le centre de symétrie et le centre de gravité du corps.