Un prisme carré a cinq plans de symétrie

Il a d’abord les trois plans de’symctrie du prisme rectangle dont

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il est un cas particulier, et si nous supposons que la fig. 1 8 (P. XIII) représente un prisme carré, nous verrons aisément que les plans ADGF, BCnE qui passent par les diagonales des bases carrées , sont aussi des plans de symétri^|^83).

Eu ciret, ADGF, par exemple, passant par AD perpendiculaire aux bases , est lui-même perpendiculaire à ces bases (77 1). Les diagonales DE , Cil se trouvent doue dans des plans perpendiculaires à ADGF. Mais, comme diagonales de carrés, elles sont perpendiculaires à AF, DG (roi); par conséquent, en vertu de la démonstration du n° U73, elles sont aussi perpendiculaires au plan ADGF. En outre, ce plan les coupe en deux parties égales , puisque l’intersection des diagonales d’un carré est à leur milieu (187). IL y a donc cinq manières différentes de diviser un prisme carré en deux parties égales, superposables et symétriquement placées (58 1).

Le meme prisme a cinq axes dc^ymétrie , au nombre desquels sout les diagonales IL , KM du carré forme par le plan de symétrie parallèle aux bases. Ces cinq axes se coupent au point Y, centre de symétrie et de gravité du corps. Ainsi , le centre de gravité iT un prisme rectangle ou carré est au milieu de la droite VX qui joint les centres de symétrie des deux bases. Il eu est de même dans lu cas suivant.

391. Un prisme droit dont la base est un losange, a trois plans de synudrie, ou peut être divisé de trois manières différentes , en deux parties égales, superposables et symétriquement placées. Un de CCS plans est celui qui partage eu deux parties égales, les .arêtes perpendiculaires aux bases ou qui est également éloigné de ces bases ; les deux autres passent {lar les diagonales jiarallèles des losanges, car les diagonales d’une telle ligure se coupent à angle droit (193). Les démonstrations seraient les mêmes que pour les deux cas précédeiis.

392. De tout ce que nous avons dit jusqu’ici sur la position du centre de gravité des prismes, vous pouvez conclure par an:üogie, que dans un parallélipipède qui ii’a pour bases, ni des rectangles, ni des carrés , ni des losanges , le centre de gravité est au milieu de la droite par laquelle sont jointes les intersections des diagonales de deux faces opposées. Mais , attendu qu’un tel parallélipipède n’a aucun plan de symétrie quand il u’est pas droit, le centre de gravité n’est pas toujours un centre de symétrie, comme dans les cas précé'dens.

Vous sentirez bien aussi que dans les prismes qui ont pour bases, des |iolygones réguliers de 5, ,0, etc. côtés, le centre de gravité se trouve au milieu de la droite qui joint les centres de figures des deux bases (181).

Enfin, il vous sera facile, après l'élude de ce qui précède, de reconnaître les plans, les axes et le centre de symétrie des prismes à bases régulières, ayant plus de quatre côtés.

3gg ' I>ABAuéltPIpiDllS.

Appucatiohs : Toutes les fois qu’un corps doit tourner sur un ^ axe horizonu! , U faut que cet axe passe par le centre de gravité , afin qu’on n’éprouve pas plus dt difficulté dans un moment que dans un aOtre, à entretenir le mt^pement-; en d’autres termes, afin qu’il n’f ait pas de points morts. Lorsque l’axe est vertical , il est nécessaire de remplir la même condition , pour rendre aussi faible qu’il est possible, le frottement de l’arbre dans son collier et prévenir

les oscillations. \

« Si donc le corps est un prisme carré , dans le premier cas , un parallélipipède carré ou rectangle ou à losanges dans le second , l’axe de rotation devra traverser les deux bases précisément aux centres de symétrie. Ce principe est très -important â observer dans la pose des pivots et des' tourillons. On doit aussi 1 appliquer dans la construction du pétrin-mobj^ , grande caisse dont la forme est celle d’un prisme carré et qu’on fait tourner sur un axe horizontal , pour battre ou pétrir la pâte qu’elle renferme. Cette machine simple mérite d’être employée : elle donne de beau pain et le fait plus promptement, plus proprement que le boulanger. »

■ 393. Tout parallélipipède est divisé en deux prismes triangu-

laires équioalens , par le plan ADGF qui contient une diagonale^ de 'chaque base (P. XIII, F. 19); car les triangles CDG, DHG qui composent le parallélogramme CDHG, sont égaux 0^®) suite, les deux prismes triangulaires ABFGDC, AEFGDH ont des bases égales; de plus, ils ont même hauteur, parce qu’ils sont compris éhtre deux plans parallèles (278).

Remarquez que les deux prismes triangulaires d’un prisme rectangle (F. 1 8) peuvent se loger exactement l’un dans l’autre > ds ne sont pas symétriquement placés par rapport au plan de division. La superposition fient à la perpendicularité des aretes^ sur les bases (38 1), et le défaut de symétrie vient de ce que les diagonales d’un rectangle ne se coupent pas à angle droit.

394. Tout prisme triangulaire est la moitié d’un parallélipipè^ de base double et de même hauteur; car en construisant un parall^ logramme sur le triangle de chaque base , on double cette base («91}, et les faces menées par les nouveaux côtés des parallélogrammes, achèvent un parallélipipède de même hauteur que le prisme , et composé de deux prismes triangulaires équivalens (586;. ^

395. Il est une espèce de prisme carré qui mérite une attention particulière : c’est celle dont les faces sont des carrés, comme les bases ; on l’appelle cube. Tel est le corps que représente en perspective la figure ao (P. XIII); tels sont les dés à jouer. Les «cœ ABl^ , EF(m sont des carrés , comme les bases ABGH , CD EF, et il en est de même des deux faces ADEH, BCFG. Le cube a donc six faces égales et douze arêtes de même longueur.

Un cube a neuf plans de symétrie différens: IKLM parallèle aux

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deux bases ; NOPQ parallèle à la face de droite et à celle de gauche ; RSTU parallèle aux deux autres faces; AGFD , ItCEH qui passent par les diagonales des bases ; CDIIG , ABFE qui passent par les diagonales de la face de droite et de la face de gauche ; enfin , ACFII , BDEG qui passent par les diagonales des deux faces restantes. Tout cube peut donc être divisé en deux parties égales, de neuf manières différentes : trois des divisions donnent des prismes carrés, et les six autres des prismes triangulaires.

Les quatre plans de symétrie' qui coupent les iKistlbont pour intersection commune, l'axe de symétrie VX; celle de^^atre plans qui coupent BCFG, est l'axe V'X', et celle des quatre plans qui coupent ABCl), est l'axe Or, VX et V'X' étant tous deux

dans fc plan RSTU, sc rencontrent an point Y où VX perce le plan IKLM; VX et V"X" étant tous deux dans le plan NOPQ, SC rencontrent aussi au point où le premier perce le plan IKLM qui contient le second. Y est donc l’intersection des trois axes de symétrie, ou le centre de symétrie, ou le centre de gravité (Sgo). Ce point étant le milieu de VX , est à la rencontre des diagonales du rectanglç BCEH , qui sont aussi diagonalc9(lp cube; les diagonales AF, DG se coupent de même en Y, puisque ce sont celles du rectangle ADFG. Donc, le centre de symétrie ou de gravité du cube est à l’intersection de ses quatre diagonales. Il est aisé de voir que ces quatre diagonales sont égales, ainsi que les trois axes de symétrie