C:3‘::ai6: 8 ou (p. 88) que c = = 8 1 •. Ainsi

sans avoir mesuré le grand cube eu tombereaux , vous serez sûrs qu’il contient 8i voitures de terre. »

400. Le rapport de deux priâmes rectorale» égale celui des produit» de leur» troi» dimension» exprimées en nombres, au moyen d'une' mesMre commune.

Pour le démontrer, représentons par L la longueur dû plus grand P des deux corps, par L' sa largeur et par H sa hauteur. En le comparant à un cube C dont l’arête soit A , nous aurons pour leur rapport,

(L : A) X (U : A) X (H : A) (397) , ou (73) L X L' X H : A’ (398),

ce qui donnera PîClîLXL'XHC A*.

Soient l, P, h les dimensions du plus petit p des prismes, nous touverons aussi '

' c:p;: A’: /x/'XA.

Multipliant les termes correspondons de ces deux proportions , on obtient (73)

pxc:CX/>::lxl'xhxa*; A’x/XPXA.

Divisant les deux termes du premier rapport par C, et ceux du second par A?, ce qui ne change rien à ces rapports (77) , on a enfin

p;/> exl'xh : ixpxh.

401. Désignons par B, 4 les bases rectangulaires de deux prismes, et soient L et L', / et l' les côtés inégaux de ces rectangles ou leurs bases et leurs hauteurs ; nous aurons ^

B ; 6 :: LXL' : ixp (199).

Multipliant les termes de cette proportion , par ceux de cette antre H : A :: H : A, nons obtiendrons

BXH: 4XA::LXL'XH; iXi'XA, etpar conséquent (4oo), P C î î B XH : AXA',

Digilized

PABAU-iLIPIPiDBS.

ce qui nous apprend que deux prismes rectangles ont aussi pour rapport, celui des produits de leurs hases multipliées par leurs hauteurs, ces bases étant exprimées en nombres , au moyen d’une mesure commune, ainsi que les 'hauteurs.

402. Considérons maintenant deux prismes quelconques P', p' dont les bases soient B', h' et les hauteurs, H, 4. Nous pourrons tracer deux rectangles B , b équivalons aux polygones B', 6' (p. a 1 6, probl. et p. aia, probl. 6). Sur ces rectangles, nous pourrons construire deux prismes droits P, /> qui seront équivalens aux prismes quelconques P', p', s’ils ont H et A pour hauteurs (386). Or, on aura pour ces prismes rectangles ,

p:/>;:bxh; 6X& (401),

et en substituant aux termes de cette proportion, leurs équivalens, on obtiendra

p':p'::B'XH:a'xa.

Donc , deux prismes quelconques ont pour rapport , celui des produits de leurs bases multipliées par leurs hauteurs, ces bases et ces hauteurs étant exprimées en nombres , au moyen d uné commune

mesure. '

. Vous en conclurez facilement que si -deux prismes ont des bases égales ou équivalentes, leur rapport est celui de leurs hauteurs, et que ^ils ont même hauteur, leur rapport est celui des bases.

Appl. (u): Vous savez qu’uWB'pfle de bois de chauffage, haute de a mèt^, contient lo cordes , et vous avez besoin de connaître promptement combien il y a de cordes de bois dans une autre pile haute de 5 mètres, qui a même longueur que la première.

« Comme la largeur est aussi la même, les deux piles ont des bases égales ( 1 89) ; elles sont donc entre elles, comme leurs hauteurs, leur forme étant supposée celle d’un prisme rectangle, et vous pouvez écrire la proportion P î io“ •• 5 • 2 J elle donne (p. 8)

p — »°‘‘X5 — 5o° — jjjjjj avoir cordé la grande pile.

vous êtes sûrs qu’elle contient a5 cordes de bois. »

Appl. (A) : Une pile de bois haute de 4 pieds et longue de 1 6 , contient a cordes. Combien renferme de cordes une autre pile haute de 9^' et longue de a4'’S les deux piles étant supposées des prismes

rectangles. ' . j

« Vous regarderez la longueur des bûches comme hauteur des prismes, et les grandes faces verücales comme bases. Vous écrirez alois la proporüon (4oa) P : a» :: a4Xp : «6X4, et vous en w, . T, .e. .a4X9.,.. ,6X9

dedumezP=aXi6^"~ ^i6 i6 *

Appni (c) : D est entré 3 voitures de pierres dans un mur long de 5 toises , large de J de toise et haut de i'‘ î* Combien faudra-t-il

PYRAMIDES. 5g3

de voitures des memes pierres, pour bâtir un mur long de a5* l.irge de i* et haut de a'? ’

« Vous poserez la proportion (4oo) P :3’':;a5XiXa:5XiXii

ou P C S” C ; a5 : f , et vous trouverez P = 3’' x — 3o''. »

403. Deux prismes sont semblables quand toutes les faces de l’un forment des polygones semblables aux faces correspondantes de l’autre. Alors les arêtes correspondantes sont toutes dans le même rapport, et ce rapport est aussi celui des hauteurs ; car si l’on pose les deux prismes sur le même plan, le principe a8o est applicable.

Deux prismes semblables ont pour rapport celui des cubes numériques de deux arêtes correspondantes.

Soient B, II, A, la base, la hauteur et une arête de la base du prisme P; b, h, a, la base, la hauteur et l’arête correspondante du prisme p. Nous pourrons écrire

Mais B ; A :: A’: n’ (aSi) et U: A:: A: a. , Multipliant ces deux dernières proportions, on obtient

Bxn ; AXA A’XA : a’xo,

et par conséquent, P î /> î T A^ I a^.

Or, si A', a' sont deux autres arêtes correspondantes quelconques,

A ; a A' : a' et a* : a^ :: a'’ : a'\

puisqu’il suffirait de multiplier la première proportion deux fois par elle-même, pour obtenir la seconde. Conséqiicmment

PYRASIIDES.

404. Un corps dont la forme est telle que tontes les arêtes qui partent de la base se coupent en un point de la surface, est appelé pyramide: les clochers pointus et à faces planes sont donc des pyramides. La pyramide n’a qu’une seule base. Le sommet de l’angle solide opposé à la base , est le sommet du corps. Les triangles qui forment cet angle solide , sont les faces latérales. La perpendiculaire abaissée du sommet sur la base, est la hauteur.

Pour désigner une pyramide par des lettres , on énonce celle du sommet la première et ensuite celles de la base.

C’est au moyen des bases qu’on distingue les pyramides. Si le polygone est un triangle, un quadrilatère, un pentagone , etc., la pyramide e&l dite triangulaire , quadrangulaire, pentagonale , etc.

Il y a aussi des pyramides régulières et des pyramides irrégulières : dans les premières , la base est un polygone ré^lier , et la perpendiculaire abaissée du sommet, sur ce polrgonc, passe par le centre:

3g 4 pnùmDBft.

ccUe ligne est Vaxe <lu corps. Il suffit que «es deux cireonsHinces n’aient pas lieu à la fois , pour qùe la pyramide soit irrégulière.

PnoDi. (a) : Dessiner une pyramide régulière.

Pour que le dessin soit plus simple et plus utile , il faut poser la base ABCDEF sur le plan horizontal (P. XIII , F. aa) et placer SA , une des arêtes concourantes, parallèlement au plan rertical. Alors cette arête se projeté rerticalement dans sa vraie grandeur S'A' (aga), et il en est de même de l’axe S'G qui est vertical.

Tracez donc sur le plan horizontal et d’après l’échelle , un polygone régulier ABCDEF semblable à la base, et tirez les rayons' SA,

SB , etc., pour avoir les projections horizontales des arêtes concourantes. La figure qui en résultera, sera la projection horizontale de • la pyramide. Projetez ensuite les points S, A, B, etc., sur la ligne de terre; prenez GS' égale à la hauteur, et joignez S' aux points > A', B', etc. La figuce A'S'D' sera la projection verticale, dans laquelle S'B' représentera en raccourci les deux arêtes SB, SF, cl S'C', les deux arêtes SC , SE.

PaOBL. (6) : Dessiner utte pyramide irrégulière.

Faites le polygone ABCD de la base sur le plan horizontal (P. XIII , F. 23) et projetez-en les sominete sur la ligne de terre; portez l’unité de mesure de A' en E ; prenez la perpendiculaire ÏIP égale à la pente d’une des arêtes concourantes , et portez la longueur de cette arête Sur A'F,de A' en S'. V ous exprimerez par là que l’arête qui a pour projection verticale A'S', est parallèle au plan vertical (aga) ; sa projection horizontale sera AiS paralltie à la ligne de terre, si ABCD est convenablement tourné ; le sommet se projettera en S',

S , et pour achever les projections de la pyramide , vous n’aurez plus qu’à joindre S' aux points D', B', C', puis S aux points D, B , C.

Les droites CB , CD , CS sont pointillées , paf'be que l’ensemble des faces ASB , ASD forme un toit qui les cache , lorsque l’œil regarde le corps verticalement , de haut en bas. La droite S'G , perpendiculaire à la ligne %e terre, est la hauteur de la pyramide.

Enfin , les arêtes concourantes , excepté celle du point A , sont toutes en raccourci dans les deux projections ; mais le dessin fournit les moyens d’en obtenir les vraies longueurs.

Voulez-vous connaître la longueur de l’arête qui aboutit en C, par exempte ? Il suffira de porter la projection horizontale SC , sur la ligne de terre, de G en C", et de tirer S'C"; car l’arête du point C est l’hypothénuse d’un triangle rectangle dont les deux antres côtés sont S'G et SC: cela se voit aisément, si l’on place, par la .pensée, la verticale S'G en S et le point C' en C.

Appl. (a) ; La pyramide régulière dont la base repose sur un plan horizontal, est beaucoup plus difficile à renverser qu’un prbmc de même base et de même hauteur (p. SSt , appl. c)^ Voilà pourquoi l’on a donné la forme pyramidale à ces masses isolées dtmt laisse

PTRUUDES. , 3g5

& peu d’étendue et qui s’élèvent comme monunicos , sur les places publiques ou à certains embrancbemens de grandes routes : on les nomme obéiisquea. Les fameuses pyramides d’Egypte doivent surtout à la même forme , cette stabilité qui leur fait braver le temps depuis vingt-six siècles. La base d’une de ces montagnes factices est un carré dont le côté à 600 pieds ; sa hauteur qui est de 5oo pieds , permet de l’apercevoir de plus de dix lieues.

Appl. (6) : Les toits des tours sont parfois des pyramides creuses , comme ceux de certains clochers. Un édifice à base carrée , est ordinairement couvert par quatre lattis égaux formant une pyramide qnadrangulaire et régulière : c’est là ce qu’on appelle un pavillon. On donne la meme forme à quelques piles de boulets , de bombes , d’obus.

Appl. (c) : Il y a des marteaux composés d’une pyramide régulière et d’un prisme droit qui se tiennent et ne font qu’un même corps : les deux parties ont une base commune, D’autres marteaux {>résentent ^ux pyramides appliquées l’une contre l’autre par leurs bases, ^ftfin , on trouve dans les cristaux , des pyramides combinées entre ellus ou avec des prismes. * .

Appl. (d) ; Deux cas sc présentent dans la construction d’une pyramide ; ou bien l’on connaît la base et les angles que font les faces avec cette base, ou bien l’on a la hauteur, la base et le point qui doit être la trace de la perpendiculaire abaissée du sommet.

« Dans le premier cas , il faut tracer sur un parement dégauchi ou face plane d’un corps donné , un polygone égal à la base j puis à partir des côtés , pousser d’équerre des plumées ou entailles , selon des lignes droites qui fassent avec les perpendiculaires à ces côtés , les augles que doiveut faire les faces correspondantes avec la base (ayo): on emploie à oet effet la fausse-équerre. Il ne reste plusqu’a exécuter dés tàce» qui passent par le fond des plumées ; ces faces forment eu se coupant, les arêtes de la pyramide (afiy), » ' '

< Il est facile de faire retomber le second cas dans le premier. Du point S, trace de la perpendiculaire S'G (P. XIII, F. aa), abaissez une perpendiculaire SH , sur le côté AH de la base j puis construisez un triangle rectangle S'SH qui ait pour côtés de l’angle droit, cette peipcndiculaire et la hauteur S'G; l’angle ^en H sera celui que la face triangulaire correspondante devra faire avec la base et qu’il faudra lever avec la fausse-équerre (p. 45, probl. a). »

405. Si , par le sommet S d’une pyramide quelconque (P. XIII , F. 24) et par les diagonales AC, AD, etc. de la base, pn fait passer des plaus, le corps se trouvera décomposé eu autant de pyramides triangulaires SABG , SAGD, etc., qu’il y aura de triangles dans la base , ou que cette base aura de côtés moins deux (206), et la pyramide totale sera la somme de tontes ces pyramides partielles.

406. Tout plan parallèle à la base d’une pyramide quelcontfùc, y fait une section abede semblable à cette base (P. XUI, F. a4)*