PYRAMIDES
D’abord, ab , hc, elc., sont parallèles à AB, BC, etc. (275), et par conséquent, les angles b, etc. de la section, sont égaux au» angles B, etc. de la base (279). Ensuite, les parallèles donnent
a&; AB:: SK SB et S6:sb::6c:bc (Si).
Il s’ensuit a6 : AB : .* 6c : BC ,
et l’on démontrerait de même la proportionnalité des autres côtés. Les deux figures abcde , ABCDE sont donc dans le cas des polygones semblables (aSS).
On voit par là que le sommet d’une pyramide peut être considéré comme le centre de similitude directe de toutes les sections parallèles à la base (aSS).
407. Les sections parallèles «Pinte pyramide sont comme les quarrcs numériques des distances du sommet à leurs points correspondams.
Ce principe qui est pour les polygones , ce qu’est celui du n° 81 pour les droites, se déduit aisément du précédent; car ABCD|É| abcde étant semblables (P. XIII, F. 24), donnent
ABCDE:a6c*::AB’:^’(25i). Or, ab’:^’::^’:'S6’ (73),
puisque AB o6 : SB .* S6 ;
par conséquent, ABCDE : abcde 1 1 SB* : Wb^.
Application ; Les rayons lumineux qui, partis d’un point, éclairent un polygone, forment une pyramide. La section faite dans cette pyramide , à une distance du sommet triple de celle de la base , donnerait un polygone neuf fois plus grand , en chaque point duquel la clarté serait nécessairement neuf fois moins forte. Donc le polygone transporté dans cette section , y recevrait neuf fois moins de lumière que dans sa première position. Par là se trouve démontrée la loi (c^ de la page 2 II.
408. Lorsqu’il a été enlevé d’une pyramide, la partie comprise entre le sommet et une section parallèle à la base , il reste ce qu’on appelle un tronc de pyramide à bases parallèles. Un tel corps -a donc deux faces parallèles , inégales , semblables (4o6) , et les arêtes qui partent de l’une ou de l’autre, concourent en un seul point situé hors de la surface. Le tronc est régulier , quand il provient d’une pyramide régulière : alors toutes les arêtes concourantes sont égales.
Les cercueils sont des troncs irréguliers à bases parallèles et pentagonales. Les mitres des cheminées sont des tronçs réguliers ou irréguliers à bases quadrangulaires. , ,
Pbobl. (a): Dessiner un tronc de pyramide à bases parallèles.
Nous supposerons un tronc régulier, parce que c’est celui qui
PTRàVIDES.
se présente le plus souvent dans les eonsirurtions. En le plaçant de inanière que ses bases soient horizontales , on a pour projection horizontale, deux polygoues réguliers, d'un même nombre de côtés cl concentriques ABCDE , abede (P. XllI , F. aC). Pour déterminer la distance de deux cotés parallèles , aô , il faut placer une règle sur la base supérieure, perpendiculairement à l'arète ab , et prendre la partie de cette règle comprise entre ab et un Cl-à-plomb tenu au-dessus de AB. Les projections horizontales des arêtes concourantes sont les droites Aa, Bè, etc., qui joignent les sommets correspondans des deux polygones.
Si vous prenez pour projection verticale de la base inférieure, la partie A'D' de la ligne de terre, la base supérieure se projetera sur une parallèle a'd' tirée à une distance donnée par la hauteur du tronc. Abaissez donc des perpendiculaires des points A , B , etc. , sur la ligne de terre, et des points <t, 6, etc. , sur la parallèle; puis joignez les points correspondans A' et a'. B' et 6', etc. ; vous tracerez ainsi les projections verticales des arêtes concourantes, et le trapèze A!H'd'a' sera la projection verticale du tronc.
Probi,. (6): Trouver la hauteur de la pyramide dont provient un tronc donné. •
Les côtés correspondans des bases du tronc sont entre eux com- * me les distances de leurs extrémités au sommet de la pyramide totale (81); doncj
' ab ; AB ; : Sa' ; sa'.
Les arêtes concourantes et la perpendiculaire de hauteur SE' sont coupées proportionnellement par les bases (280); donc.
Sa': SA';: Se': SE' et a& : ab : ; Se' : SE'. *
Mais de cette dernière proportion , on déduit que
AB — a6 : AB ;: SE' — Se' : SE' (76), et parce que SE' — Se' = e'E' hauteur du tronc, on a
AB— a6 : AB :: e'E' : se'.
Donc,
