SE

e'E' X AB AB — ab *

c'est-à-dire que pour trouver la hauteur de la pyramide totale, il faut multiplier celle du tronc , par un coté quelconque de la grande base, et diviser le produit par l’excès de ce côté sur le côté correspondant de la petite base.

409. Les plans de symétrie d’une pyramide doivent passer par le sommet, car nul plan ne pourrait diviser en deux parties égales et perpendiculairement, les arêtes concourantes ni une de ces arêtes et celles de la base ou les diagonales.' De plus , ils doivent être

SgS pnAiiiDss. ’

gerpendiculaires à c« polygone et passer par ses lignes de syraëlrie.

i ces conditions ne sont pas rempliea , il est impoasibie que le» sommets de la base soient symétriquement placés à l’égard d’on plan. D’après cela , une pyramide régulière a autant de plans de symétrie, qu’il y a de côtés dans la base (ai5).

Tous les pland^ de symétrie d’une pyramide régulière, passant par le sommet et par le centre de la biase , se coupent tons selon la perpendiculaire S'G (P. XUI , F. as) et ne produisent qu’un seul axe de symétrie. Donc , une pyramide n’a point de centre de symétrie (385). Mais elle a comme tous les corps , un centre de grarité (Syg) ;

U est situé sur l’axe S'G, dans la pyramide cégnlière, et se trouve m quart de cette droite à partir de lu base.

Le tronc à bases parallèk» a les mêmes plans et le même axe de symétrie que la pyramide dent il provient; mais son centre de gravité est autrement situé.

410. Après avoir considéré les p3rramides isolément et les avoir combinées avec le plan , noos allons les comparer entre elles. Nous parlerons d’abord de l’égalité des pyramides les plus simples : elle se reconnait à plusiears caractères , comme celle des triangles (164 et suivans).

I* Deux pyramides triangulaires sont égales, quand trois faces de l’une égalent trois faces de t autre. par exemple (P. XIll , *

F. ay), ABC = A'B'C', SAC = S'A'C', SBC = S^B'C', la superposition des deux prenûers trian£^es , opérera celle des deux angles solides C, C', d’après la ^SBoraU'stion du n° 38 1 ; S' tombera donc sur S ; les quatre sommets d’une des pyramides se trouveront placés en même temps sur ceux de l’autre , et les surfaces des deux corps se. confondront. '

*2® Ueux pyramides triangulaires sont égales , quand leurs arêtes correspondantes ont même longueur; car alors les quatre faces de l’une égalent les faces correspondantes de l’autre (164).

3® Deux pyramides triangulaires sont égales, quand une face de l’une est égale à une face de Poutre et que les trois coins formés par la première face, sont égaux à ceux que forme la seconde. Si, par exemple, SAB = S'A'B', que le coin SA = S'A', que le coin SB = S'B' et que le coin AB = A'B', la superposition des triangles SAB, S'A'B' et celle des coins SA et S'A', SB et S'B', placera nécessairement l’arête S'C' sur l’arête SC. Ensuite , la superposition des coins AB et A'B', mettra A'C' sur AC , B'C' sur BC, et produira par conséquent celle des smamets C' et C.

U existe encore d’autres caractères d’égalité pour les pyramides triangulaires ; mais ils ne sont pas assez utiles pour que nous les fassions connaître. '

411 .' Deux pyramides régulières quelconques (4o4) tout égales, lorsqu’elles ont des polygones égaux pour bases, et même hauteur; car si l’on superpose les ba^, les axes se confondent et les soaintets aussi.

PTiumoBS. 399

412. Deuxjtyramideiirrigulièretquelconquex$ontégaleg, quand il y a égalité entre les bases, entre deux des eoins correspondons formés par ces bases et entre les secondes faces de ces coins, disposées tT ailleurs de la même manière.

Nous pouvons prendre pour exemple, les deux pyramides de la figure 37 (P. XIII), car ce qui sera dit de deux pyramides triangulaires, pourra l’être de deux pyramides quelconques. Or, les bases ABC, A'U'C' étant égales, se superposeront; comme Je coin A'B' a meme indication que le coin AB , la face A'B'S' s’appliquera sur le plan de ABS, et comme ces deux triangles sont supposés égaux , ainsi que leurs angles A , A', ils se superposeront aussi , ce qui mettra le sommet S' sur le sommet S.

413. Deux pyramides quelconques qui ont des bases équivalentes et même hauteur, sont équivalentes.

Soient pour exemple, les deux pyramides SABCDE, 'TPCII (P. XIII, F. ai et a5); nous pourrons toujours placer les bases ABCDE , FGII sur un même plan. Les sommets S , T se trouveront alors autant élevés l’un que l’autre au-dessus de ce plan , et si nous menons entre le sommet S et la base ABCDE, autant de plans coppans, parallèles à cette base , qu’il est possible d’en mener, nous obtiendrons le même nombre de sections dans les deux pyramides. Or, l’ensemble des sections de chacun des corps équivaudra à ce corps. Tout se réduit donc à démontrer que les sections faites par un même plan parallèle à celui des bases , sont équivalentes ; car alors il sera démontré que les deux pyramides sont composées d’un même nombre de seciious. équivalentes , et l’on devra en conclure qu’elles occupent le même espace, qu’elles ont le même volume.

Considérons les deux sections abede, fgh faites à la même distance des bases , et soit SI la perpendiculaire de hauteur dans la première pyramide; elle percera en 1 le plan coupant, et nous aurons (4»7)

abede ! ABCDE : ; ^l’.

De même , fgh : FGII : : TA-’ ; fR’,

si TK est la perpendiculaire de hauteur dans l’autre pyramide Or TK = SI, TA = St. Donc, ' ’

abede : ABCDE l'.fgh ; FGII;

d’où il suit que abede est équivalent s fgh, puisque ABCDE équivaut à FGH.

414. Deux pyramides sont équivalentes, quand elles se trouvent symétriquement placées par rapport à un plan.

Il vous snflira d’appliquer la démonstration du n“38î, pour vous convaincre qn’cITectivement les bases ABC..., A'B'C'. ., sont égales (P. XIII, F. x8), et que leè perpendiculaires SF, S'F' abaissées des sommets sur ces bases, ont même longueur (4i3); car, puisqu il y a symétrie, le plan DH doit aussi couper d’equerro

PVKiUllDBS.

4oo

et par le milieu, la droite FF' qui joint les pieds de SF, S'F'. Vous pourriez m»'nic démontrer que toutes les autres faces correspondantes sont égales et qu’elles forment des coins égaux ; d’où ■vous concluriez que les pyramides sont égales par symfilrie.

Deux pyramides placées symétriquement par rapport à un plan , ne peuvent pas toujours se superposer ou se loger exactement l’une dans l’autre. Vous devez même noter qu’en général, la symétrie exclut la superposition, pour les corps. Il est, par exemple, impossible d’introduire la main droite dans le gant de la main gauche , sans le déformer. L’égalité par symétrie n’est au fond, pour les corps irréguliers, qu’une équivalence de volume, sauf quelques exceptions que nous avons signalées dans le chapitre des prismes.

Ajouiibns qu’on peut superposer les deux pyramides égales que donne chaque plan de symétrie d’une pyramide régulière (409), dans le cas où la buse a un nombre pair de côtés , mais qu’il n’en est plus ainçi j quand le nombre des côtés est impair : il n’y a plus alors qu’une égalité: de symétrie.

415. Deux pyramides sont semblables, quand elles sont copies exactes l’une de l’autre, ou ce qui est la meme chose, lorsque les faces correspondantes sont semblables et que les coins correspondes sont égaux.

11 s’ensuit que si l’on coupe une pyramide quelconque SABCDE (P. XIII, F. ai), par un plan parallèle à la base, la pyramide retranchée Sabede est semblable à la pyramide totale; car alors les coins sont les mêmes, les bases sont scmbl.ablcs (4o6), et les angles du triangle SAB , par exemple , sont égaux à ceux de Soi (ay5).

4 IC. On rcconnait à plusieurs caractères que deux pyramides triangulaires sont semblables.

1° Deux pyramides triangulaires sont semblables , quand les arêtes correspondantes sont parallèles.

D’abord , tous les triangles de la pyramide SABC (P. XIII , F. ag) sont semblables aux triangles correspondans de la pyramide sabc (169), puisque tous les angles SAC, BSC, etc. sont égaux aux angles sac, bsc , etc. (*79). On doit en conclure que les arêtes correspondantes des deux pyramides sont proportionnelles. Maintenant, prenons Sn' =z.«o, et par le point a', menons un plan jiarallèle à la base ABC. Les arêtes de Sn'b'c' seront aussi proportionnelles a celles de SABC (a8o); elles auront donc mêmes longueurs que celles de sabc-, par suite, les pyramides So't'c', sabc seront égales (4 10) et offriront les mêmes coins. Or, ceux de S'a'b'c' appartiennent aussi à SABC. Donc enfin, SABC et sabc sont des pyramides semblables (4‘^)*

a° Deux pyramides triangulaires sont semblables, si le rapport entre les arêtes correspondantes, est toujours le même ; car alors les triangles correspondans sont semblables (173), et comme dans le cas précédent, les coins correspondans sont égaux.

PTKAMIDES.

4or

Les autres earaclères de la similitude des pyramides trianpilaires , sont peu utiles. Quant aux rapports qui dérivent de cette similitude ^ ils seront faciles à établir, lorsque l’on connaîtra ceux des prismes et des pyramides.

417. Tout prisme triangulaire ABGDEF peut être décomposé en trois pyramides triangulaires équivalentes (P. XIII , F. 3o).

Faites passer par D et par AB , un plan coupant j vous détacherez une pyramide triangulaire DABC qui aura même base et même hauteur que le prisme, et il restera la pyramide quadrangulaire DABFE.

Par D et par BE, faites passer un second pian coupant; vous obtiendrez une seconde pyramide triangulaire DBEF ou BDEF , car chaque face étant un triangle comme la bake , peut la remplacer.

Or, cette nouvelle pyramide a même base DEF que le prisme et même hauteur, puisque son sommet B est un point de la base inférieure de cç prisme ; elle a donc une base et une hauteur égales à celles de DABC ; par conséquent , ces deux pyramides sont équivalentes (4 >3).

Mais , le triangle ABE BEF, puisque la face ABFE du prisme est un parallélop;ramme (191). Ainsi, la pyramide triangulaire restante DABE a une base et une hauteur égales à celles de DBEF, et par conséquent, ces deux corps sont équivalens.

Concluez de là que toute pyramide triangulaire DABC est le tiers d’un prisme triangulaire de même base et de même hauteur; car en menant par A, B, des parallèles à CD, puis par D, des parallèles à CA , CB , jusqu’aux premières , et en Joignant les intersections E, F, on construirait cifectivcment un tel prisme.

418. Le prisme triangulaire tronqué ABCDEF vaut trois pyramides qui ont pour hase, la base ABC du prisme et pour sommets, ceux de la troncature DEF (P. XIII, F. 3i).

Faites passer un plan coupant par D et par AB ; vous détacherez une pyramide triangulaire DABC qui remplira les conditions , et il ' rester^ une pyramide quadrangulaire DABFE.

faites passer ui^second plan coupant , par D et par BE ; vous formerez une seconde pyramide triangulaire DAB]^ équivalente à celle qui aurait son sommet en C et ABE pour base; car, puisque CD est parallèle à la face ABFE du prisme , CABË aurait même hauteur que DABE (4> 3). Or, CABE peut avoir pour base , ABC et pour sommet, le point E; elle remplit donc aussi les conditions.

• Quant à la pyramide triangulaire restante DBEF, elle peut avoir ^

BDF pour base et le point E pour sommet. Considérée ainsi , elle équivaut à la pyramide ABDF , car AE est parallèle à BDF. Mais ,

ABDF a aussi ABF pour base , si D est regardé comme le sommet, et la pyramide DABF équivaut à celle qui aurait son sommet en C et pour base, ABF. Enfin, si l’on retourne cette dernière, F devient son sommet et ABC, sa base.

^(,3 ' POtTÈDRES. •

419. Dewc pyramides triangulaires quelconques ont même rap- Bort Que les produits de leurs bases multipliées par leurs hauteurs.

• En effet, SABC (P. XIII, F. ag) est le üers d’un prisme P de même base ABC et de même hauteur SD; sabc est le tiers d’un prisme P qui aurait abc pour base et sd pour hauteur (417). Par conséquent , ,

SABC : sabc :: P : p,

puisque deux entiers se contiennent comme leurs tiers. Mais (4oa)

, P : P : : abc x sd ; abc x sd.

Donc, SABC : s«6c :: ABCXSD : «ftcXsd.

420. Deux pyramides triangulaires semblables ont même rapport que les cubes numériques de leurs lignes correspondantes.

^ Si les pyramides SABC, sabc sont semblables (P. XIII , F. 79), les prismes P, p dont elles forment les tiers sont semblables aussi (4*5 et 4<>3), et '

P ; p ; : ÂB* î ab^. Mais SABC C sabc C I P l p.

Par conséquent , SABC C sabc . . AB . ab .

Les memes raisonnemens conduiraient à un semblable résultat , pour deux autres arêtes quelconques, et même pour les diagonales des faces , et même pour les hauteurs SD , sd. Ainsi , quand on connaît le volume d’une pyramide , on peut trouver par une simple règle de trois, celui d’une pyramide semblable, si 1 on a les longueurs de deux des lignes correspondantes.^

Application : Je supposerai , pour montrer l’importance du rapport établi dans le dernier numéro , qu’une pyramide de bronze , haute de 1 0 pieds , pèse i aoo livres , et qu’aün de connaître le prix d une nvramide du même bronze, tout-à-fait semblable , qui aurait 5o pieds dWation, on veuille savoir quel en serait le poids. Il suffira de représenter ce poids par une lettre, P par exemple; d’écrire la proportion P : 1 aoolfc : 1 (5o)’ t (lo)^ ; de calculer le cube ^e 5o et celui de 10 (3g8); puis, de faire une régi* de trois; cartes poids de deux corps d’une même matière , sont entre eux comme les volumes. Hnobftnidra successivement P : i aool I : laSooo i 000;

p 1 aoolb x; n5 OOP — , 200^ X laS =1 i5o 000 livres.

POLYEDRES.

Les prismes, les pyramides et en général tous les corps dépourvus de faces courbes , portent un nom commun : on les appeUepo(yêrfr«. Mais ce nom est aussi donné en parUcuber, aux corps a faces ’ li ne sont ni des prismes , ni des pyramides , c est-a-dire dans lesquels les arêtes qui partent d’une face, ne sont

planes, qui aux corps

POLYÈDRBS. 4o3

ni toutes parallèles , ni toutes concourantes en un seul sommet. L’étude des polyèdres embrasse donc généralement tous les corps à faces planes , et en particulier, tous ceux qui diffèrent des prisme*

< et des pyramides.

421 . Un polyèdre a au moins quatre fa<^ , y compris sa base ; car trois pians qui se coupent deux à deux , ne peuvent embrasser que cet espace non terminé qui a été appelé angle solide (281). C’est par le nombre de leurs faces qu’on distingue les polyèdres : ils s’appellent tétraèdres, s’ils en ont quatre, hexaèdres, s’ils eu ont six, octaèdres, s’ils en ont huit, dodécaèdres, s’ils en ont douze, icosaèdres, s’ils en ont vingt. Les autres sont Ai\a polyèdres à cinq faces, à sept faces, etc. Les tétraèdres sont nécessairement des pyramides.

, Application : Les opticiens exécutent des verres plans' d’un côté et à facettes planes de l’autre , qui sont de véritables polyèdres ; ils en portent même le nom. L’objet qu’on regarde au travers d’un pareil verre , paraît être situé en autant d’endroits différens , qu’iA y a de facettes. Cette multitude d’images du même corps est duc à la réfraction des rayons de lumière qu’il réfléchit sur les ^vers plans du verre.

<t On fait aussi des miroirs polyèdres qui multiplient les images par réflexion. »