Deux polyèdres sont égaux, quand toutes les faces de

l’un et ses coins sont égaux aux faces correspondantes et aux coins correspondons de l’autre; car la superposition pourrait alors avoir lieu. >

Deux polyèdres sont égaux par symétrie, lorsque leurs sommets correspondons se trouvent à la même distance d’un plan qui coupe à angles droits, les droites terminées par ces sommets. Ce principe se démontrerait absolument comme celui du n° 38a.

4fi3. Deux polyèdres sont semblables , si leurs faces correspondantes sont semblables et si leurs coins correspondans sont égaux: il est visible qn’alors ils sont copies exactes l’un de l’autre.

On doit en conclure que deux polyèdres semblables peuvent être partagés en un même nombre de pyramides triangulaires semblables (4i5 et 4 16). Pour former ces pyramides, il faut diviser les faces semblables des polyèdres, en un même nombre de triangles (a36) et joindre les sommets de tous ces triangles avec un de ceux du polyèdre ; cela produira d’autres triangles qui seront les faces latérales de pyramides dont les sommets se confondront. ‘ "

424. Deux polyèdres semblables ont pour rapport, celui des cubes numériques de leurs lignes correspondantes; car ils sont entre eux cooune leurs pyramides triaugulaircs correspondantes ,

4p4 POLVÈDRES HicULlEBS.

et le rapport de ces pyramides est précisément celai qui vient d’être indiqué

Polyèdres réguliers.

49S. Ün polyèdre yst régulier, quand toutes ses faces sont des polygones réguliers égaux et qu’en même temps tous ses angles solides sont composés d’un même nombre d’angles plans : il y a aussi égalité entre ces angles solides , puisqu’ils sont formés d’un même nombre d’angles plans égaux.

Les polyèdres réguliers appartiennent soit à la classe des prismes, soit à celle des pyramides , soit à celle des corps à faces planes , dans lesquels les arêtes qui partent d’une face , ne sont ni parallèles, ni concourantes en un seul sommet.

iir a cinq polyèdres réguliers et il ne peut y en avoir davantage: cela tient à ce que la somme des angles plans d’un angle solide , doit être moindre que 36o° (u85).

Il résulte de là, en effet, qu’on peut faire un angle solide avec 0 trois , arec quatre , avec cinq angles de .triangles équilatéraux , et qu’on ne s<iurait en employer six, attendu que ces angles valent chacun 6o° et que 6o° X 6 = 36o°.

Un angle solide peut aussi renfermer trois angles de carrés; mais il ne peut en contenir quatre, puisque 90 X 4=:36o‘’.

Trois angles de pentagones réguliers , de 108°, donnent un angle solide, lorsqu’ils sont convenablement réunis; mais quatre de ces mêmes angles font en somme 43^°-

Enfin , il est impossible d’assembler en angle solide , des angles d’hexagones réguliers, parce que chacun vaut iao°, que iao°X 3 = 36o° et qu’il faut au moins trois angles plans pour faire un angle solide (281). Quant aux autres polygones réguliers , leur angle intérieur est encore plus grand que celui de l’hexagone.

Lorsque les angles solides d’un polyèdre régulier sont formés par trois triangles équilatéraux égaux , le corps n’a que quatre faces : ^ on l’appelle tétraèdre régulier. De quelque manière qu’il soit jeté sur le sol, il se place toujours sur une face: la pointe opposée se trouve en l’air, comme le sommet d'une pyramide régulière jiosée sur sa base. Ç’est qu’en effet le tétraèdre régulier est une pyramide triangulaire et régulière dont les faces latérales sont égales à la base, ou dont toutes les arêtes ont même longueur.

La figure 3a (P. XIII) est le développement d’un tétraèdre régulier: trois faces ABC, CDE, BEF sont rabattues sur le plan de la quatrième BEC, et il suffit de relever ces trois faces de manière A confondre les trois points A , D , F en un seul, pour former un tétraèdre creux

Si chaipie angle solide d’un polyèdre est produit par trois carrés égaux , le corps a six faces : ou l’appelle hexaèdre régulier ou cube (395). La figure 33 est le développement d’un cube creux. Il suffit pour former le corps, de relever les faces ABCD, CEFG, DIUK.,

POLTÈDBBS XBCl'LIKBS. 4<>S

GIILM , de façon qu’elles fassent des coins droits avec CDIIG ou que les droites AB , EF, Ik , LM donnent un carre sur lequel vienne s'appliquer LMNO.

Lorsqu’il y a quatre triangles équilatéraux à chaque angle solide, le polyèdre prend le nom d’octaèdre régulier^ parce qu’il a huit faces égales. Il se compose de deux pyramides régulières de même hauteur, qui ont un carré pour base commune. La figure 34 est le développement d’un octaèdre creux et régulier.

Un polyèdfe dont chaque angle solide est produit par trois pentagones égaux et réguliers , a douze faces et porte le nom de dodécaèdre régulier. La figure 55 est son développement.

Enfin , quand chaque angle solide d’un polyèdre est formé par cinq triangles équilatéraux et égaux , le corps est ui^ icosaèdre régulier, c’est-à-dire qu’il a vingt faces égales et régulières. Son développement est représenté par la figure 36. I^s triangles i , a, 3, 4 I 5 réunis en angle solide, forment une pyramide pentagonale; il en est de même des triangles i6, 17, i8, 19, 30, et les deux pyramides sont liées entre elles par les triangles 6,7,8, 9, i o, ( 1 , 13, i3, i4) i5, qui deux à deux font dix coins.

426. Tous les sommets <Tun polyèdre régulier sont sur une même • surface sphérique dont le centre est aussi celui du polyèdre.

Il est facile de reconnaître la vérité de ce principe pour le cube (P. XIII, F. Le quadrilatère ABCD est un rectangle, puisque les arêtes AB, CD sont perpendiculaires sur la base BECF (377) ; les diagonales AC, BD de ce rectangle, qui sont deux diagonales du cube , ont même longueur et se coupent par le milieu (187) au centre G de symétrie (ig6). Or, le rectangle EFHI est égal à ABCD, puisque BC = EF et que AB = FH ; donc , ses diagonales EH , FI , qui sont aussi diagonales du cube , et qui se coupent aussi par le milieu, en G, ont même longueur que AC, BD. Donc enfin, les huit sommets du cube appartiennent à la surface sphérique qui aurait . son centre en G et GA pour rayon (35o).

Quant aux autres polyèdres, leur peu d’importance doit nous dispenser d’une démonstration.

427. Une surface sphérique concentrique à un polyèdre régulier et tangente à une des faces, touche toutes les autres à leurs centres.

Dans le cube (P. XIII , F. 30), l’axe de symétrie VX étant l’intersection de plans perpendiculaires à la base ABGII (395), est perpendiculaire aussi sur cette base, et il en est de même des autres axes de symétrie, par rapport aux faces qu’ils rencontrent. D’ailleurs, Y, centre de symétrie, est le milieu de cbac'jn de ces axes, et tous sont égaux. Conséquemment , une sphère qui aurait son centre en Y et YV pour rayon , toucherait les six faces du cube aux extrémités des axes de symétrie ou aux centres de symétrie de ces faces (356).

428. Tout polyèdre régulier est composé de pyramides égales et

4o6 ^ SPUÈBB.

régulières qui ont leurs sommets au centre, et dont les bases sont les faces du polj'èdre. Ce principe résulte du précédent

Enfin , deux polyèdres régidiers qui portent le même nom , qui ont le même nombre de faces', sont des corps semblables (4a3).