CORPS A FACES COURBES

Les corps qui n’ont qu’une seule face courbe sont la sphère (35o)y l’anneau rond (37^, le fuseau dont la surface esl produite par un arc de cercle DUE tournant autour d’un axe DE qui le coupe (P. XIII , F. 6), et en général , tous les corps que termine une surface de révoli^n engendrée par une courbe quelconque qui rencontre deux foisYaxe de rotation. Nous n'avons à nous occuper que du premier ; encore n’en dirons-nous que quelques mots , attendu que la plupart des propriétés de la sphère appartiennent à sa surface.

Sphère.

429. Puisque tout plan qui passe par le centre d’une surface sphérique, la divise en deux parties égales et superposables (354), il divise aussi en deux parties égales, le corps limité par cette Surface, et ces deux parties sont symétriquement placées. Conséquemment ,• la sphère a une infinité de plans de symétrie et d’axes de symétrie.i Ces axes étant diamètres , sont égaux , et puisqu’ils se coupent tous au centre , là est le centre de symétrie. Le même point est encore le centre de gravité (3 79). Aussi, quand une boule tombe, son centre suit une droite verticale, soit qu’elle tourne, soit qu’elle ne tourne pas.

430. Une sphère peut être considérée comme un polyèdre d’un , très-grand nombre de petites faces planes , appliquées sur la surface

sphérique et se confondant avec elle à très-peu près. Il s’ensuit que deux sphères de rayons diflérens , sont deux corps semblables (4it3). Par conséquent, le rapport des volumes de deux sphères égale celui des cubes numériques des diamètres ou des rayons (4a 4) j car les cubes des diamètres et des rayons sont proportionnels, comme ces lignes.

431. On nomme sphère creuse le corps compris entre deux surfaces sphériques concentriques. Chacune de ses projections présente deux circonférences concentriques dont la plus petite est pointillée. Ses plans et ses axes de symétrie , ainsi que son centre de gravité , Bout les mêmes que dans le cas où la sphère serait pleine.

Appl. (a) : La sphère est un corps fréquemment employé. Nous avons déjà cité plusieurs de ses usages , en parlant de sa surface ; nous ajouterons que plusieurs ouvriers se servent de globes de verre remplis d’eau , «pour augmenter la clarté qu’une lampe répand sur leur ouvrage. *

spnàaa. 407

« Sapposons une lumière L destinée à éclairer un point A •{l*. XIII , F. 38). Ce point ne recevra qu’un très-petit nombre des rayons que L ruvuie dans toutes les directions , et sera en général faiblement éclairé. Mais , plaçons une sphère d’eau entre L et A ; le rayon LB qui n’arrivait pas sur A, va se réfracter en entrant dans le liquide, et prendre une direction BC plus rapprochée de la normale BD (p. 090). A sa sortie du globe , le même rayon s’écartera de la normale CG , et sa nouvelle direction CA passera par le point qu’il s’agit d’éclairer on du moins dans le voisinage. Il en sera de même de tous les rayons contenus dans le cône de lumière ËLF tangent à la sphère , si cette sphère est placée à une distance convenable du point A , et par conséquent , ce point se trouvera environné d’une grande clarté. >

A^pl. (6); üo sait que le diamètre du Soleil vaut 1 10 fuis celui de la Terre, ou que v le diamètre de la Terre est repré*senté par i, celui du Soleil doit l’être par 110. Or, le cube de 1 est i , celui de 1 10 est 1 33i 000. Le volume du Soleil cunlicut donc le volume de la Terre 1 33 1000 fuis.

€ Si vous représentez le diamètre de la Terre par 1 1 , celui de la Lune sera 3. Les cubes de ce» deux nombres sont 1 33i et 07. Par conséquent, le volume de la Terre est à celui de la Lune, comme i 33 1 est à 27 ; c’est-à-dire que la Terre est environ 49 fois aussi grosse que la Lune. >

< Ainsi, vous voyez qu’au moyen du principe 43o, on peut trouver le rapport de deu.x sphères, sans avoir besoin d’en calculer les volumes. »

Appl. (c):*Les globes de carton et de verre, ceux qu’on fait en feuilles métalliques, les bulles de savon, les grelots, etc. , sont des sphères creuses. Les bombes et les obus seraient aussi dans cette classe de corps, sans le trou nommé œil et lé culot, portion de sphère pleine , limitée par un plan et opposée à l’a-il. Ce culot est destiné à empêcher les projectiles de heurter les corps par le côté de la fusée; il marche toujours en avant, comme partie la plus dense.

Lois de i.a «atube : Le nuage qui se résout en pluie , verse une immense quantité de gouttes d’eau sphériques très-voisines les unes des autres * et quand le Soleil luit en même temps , les rayons qui frappent chaque gouttelette, s’y réfractent. Il en résulte une décomposition de la lumière tout-à-fait semblable à celle qui a lieu dans le prisme (p. 379), et chaque rayon solaire SA (P. XIII, F. 3g) produit un rayon rouge, un rayon orangé, un jaune, un vert, etc. Tous ces rayons colorés vont frapper la concavité de la surface sphérique , en des points B , etc. , opposés à A ; une partie de chacun sort de la gouttelette en se réfractant de nouveau selon BC , etc. ; mais une autre partie se réfléchit suivant BD , etc. , parce que la concavité de la surface d’une sphère transparente produit, jusqu’à un certain point, les mêmes effets qu’un miroir sphérique (p. 359). Aux points D , etc. , les rayons colorés réfléchis sc réfractent en

4o8 , SPHÈM.

sortant de la gouttelette, et il est aisé de voir que les nouvelles directions DO , etc. , doivent concourir ou se couper.

« Si donc vous êtes placé entre la pluie et le Soleil , votre oeil pourra recevoir ou le faisceau de rayons colorés provenant du rayon SA, ou celui que donnera un autre rayon SA', et si derrière la pluie, SC trouve une nuée obscure, le contraste vous fera distinguer parfaitement les sept couleurs d’une goutte d’eau. »

« Mais, parmi toutes les gouttelettes, il s’en trouve d’autres qui sont aussi dans des positions propres à produire pour vous ' un faisceau de rayons colores. Comme ces positions doivent être par rapport au Soleil et à votre œil, les mêmes que celle de la gouttelette ABU , il est clair qu’elles se trouvent sur l’intcrscetion de la surface cylindrique droite qui a SE pour génératrice, et de la surface conique droite dont la génératrice estjOE , ces deux surfiices ayant pour axe commun ST, parallèle à SA , menée par l’œil. Or, celle intersection est une circonférence (336). Par conséquent , les points colorés que vous apercevrez sur la nuée obscure , formeront un arc de cercle d’autant plus grand que la droite ST sera plus élevée au-dessus du sol ou que vous serez placé à une plus grande hauteur: il est même possible que Y arc-en-ciel ou Y Iris forme un cercle entier, v

< On aperçoit quelquefois deux arcs-en-ciel en même temps. Le second provient de gouttelettes situées au-dessus de celles du premier. Un rayon Sa s’y réfracte selon ab , se réfléchit une première fois selon bd, une seconde fois selon df, et sort en se réfractant suivant /O. Ainsi , le second are-cn-ciel est dû à deux réflexions, tandis que le premier provient d’une seule. Comme à chtquc réflexion une partie de chaque rayon coloré sort de la goutlcletle , il est clair que le second arc doit être moins vif que le premier, et qu’il peut même arriver qu’on ne l’aperçoive pas. »

< Dans des cas fort rares, un troisième arc-en-cicl parait audessus des deux précédons ; mais il est très-faible , attendu qu’il est produit par trois réflexions. »

« Pour vous convaincre que cette explication du phénomène de l’arc-en-ciel est la vraie , il me suffira de vous dire , que placé sur un Heu un peu élevé, quelques instans après le lever du Soleil , on aperçoit un arc aux sept couleurs, sur les prairies couvertés de rosée. D’ailleurs, les jets d’eau qui s’éparpillent dans l’air, offrent assez souvent le même phénomène. »

« La Lune peut aussi produire un arc-en-ciel , mais il est très-pâle. Enfin, les vagues de la mer brillent quelquefois des couleurs de l’iris , et il en résulte un arc tourné en sens contraire de celui des nuages pluvieux, v *

poltIdus a faces courbes.

Polyèdres à faces courbes.

452. Les corps que terminent plusieurs faces courbes, penrent toujours être décomposés en parties de corps dépourvus d’arêtes : par exemple, le corps qui aurait pour limites plusieurs surfaces sphériques coupées les unes par les autres , serait formé au fond de plusieurs parties de sphères. Ainsi , nous n’avons rien de particulier à dire sur les polyèdres à faces courbes.

Afpl. (a) : Les t’erres ardent, qu’on appelle aussi lentilles , parce que les plus usités ont la forme de la graine qui porte ce nom, présentent deux portions de sphère accolées (P. XIV, F. i). La lumière s’y réfracte de telle manière , que la plupart des rayons solaires qu’ils reçoivent d’un côté , vont se couper à peu près au même point de l’autre côté. Il en résulte que vers ce point , la lumière et la chaleur sont fort vives ; aussi l’appelle-t-on foyer.

« Quand les deux portions de sphères ont le même rayon , le - foyer de 1| lentille est à peu près au point F centre de la calotte sphérique ABC ; si les rayons sont différens , la distance BF égale leur demi -somme. »

<c 11 existe à Paris , une lentille de douxe pieds de tour dont les calottes ont huit pieds de rayon ; elle fond presque subitement l’argent et l’or qu’on place an foyer; le fer forgé peut même y devenir liquide. » '

« C’est encore à la réfraction de la lumière dans les lentill^, que sont dus les effets de la lanterne magique et de la fantasmagorie ; c’est enfin au moyen <],e ces verres , que certaines lunettes , les télescopes et les microscopes doublent, triplent, centuplent, etc. les dimensions des corps sur lesquels on les dirige. Il y a même des lentilles qui rendent les objets 5 ta millions de fois plus gros qu’ils ne sont réellement, v

Appl. (6) : D’autres lentilles , concaves des deux côtés , offrent deux portions de surface sphérique ABC, A'B'C' et une surface cylindrique dont les droites AA' et CC' sont génératrices (P. XIV, F. a). L’effet de ces verres est d’augmenter l’angle de rayons émanés d'un point. Ainsi , les rayons DE, DF partis d’un point D, se dirigent, après avoir traversé le verre , selon GII , IK , et l'angle IILK qu’ils forment alors , est plus grand que EDF. C’est pour cela que les verres à double concavité conviennent aux myopes. Les presby tes au contraire, font usage des verres à double convexité (p. 53^, loi i).

Appl. (c): On connaît sous Je nom de ménisques, des lentilles formées par une surface sphérique convexe et une surfoce sphérique concave qui se coupent selon une circouférence ou que sépare une surface cylindrique. Les ménisquM à bord tranchant sont analogues, pour leurs propriétés, aux"entilles doublement convexes, et les ménisques à bord large le |^nt aux lentilles doublement concaves.

CTXmORES.

4fo -

COBPS A PACBS PUBBS ET A FACES COVBBES.

La nature et rindustric produisent un grand nombre de corps limités à la fois par des faces planes et par des faces courbes ; mais nous considérerons seulement les cylindres , les cônes et les portions de sphère , parce que les autres pçuvent être décomposés en parties de ceux-là ou ne donnent lieu à aucune application importante des principes de la Géométrie. ,

Cylindres.

433. La surface cylindrique n’est pas limitée dans le sens de son axe ; mais le cylindre qui est un corps , doit nécessairement avoir une longueur bornée. Quand il est complet , comme celui de la figure 35 (P. X), il est terminé par deux cercles parallèles qu’on appelle ses bases; ces cercles ont pour circonférences , des génératrices courbes de la surface cylindrique et sont par conséquent égaux. S’il est tronqué et droit , comme le cylindre de la figure 3g , il a pour faces planes ,,un cercle A et la face elliptique B" G" (3o5). S’il est tronqué et oblique, il peut avoir pour faces planes , deux cercles égaux , mais non parallèles.

Appi. (a): Plusieurs architectes font maintenant les tuyaux des cheminées en cylindre creux. Cette forme convient beaucoup mieux que celle du prisme rectangle; elle rend le tirage très-fort; elle ^t exempte de ces coins dans lesquels la chaleur du foyer se fait à peine sentir, et où s’établissent en conséquence, (fes courans d’air descendans qui contrarient l’ascension de la fnméc et la refoulent par fuis dans l'appartemeut.

Appl. (ft) : On fait usage dans quelques manufactures, de cylindres cannelés. Ils peuvent l’ètrc de plusieurs façons. Dans la partie A (P. XIV, F. 3) les cannelures sont des demi-cylindres creux dont les axes sont génératrices droites du cylindre principal B ; elles sont séparées par des portions de la surface courbe de ce grand cylindre. Le corfis est alors terminé par plusieurs surfaces cylindriques et par deux faces planes festonnées.

« Les cannelures peuvent se toucher ou se couper deux à deux , selon une génératrice droite , comme en C. Quelquefois , elles sont formées par des plans méridiens du cylindre principal, et dans ce cas le corps D a plus de deux faces planes ; mais il n’a (ju’une surface courbe ou tout au plus deux : celle dont les parties séparent les cannelures et celle qui forme les fontls. »

« Enfin , les cannelures peuimnt être des prismes triangulaires : alors le corps n'a que des faces ^ancs , si les prismes E ont deux à deux une arrête commune , o||bien il a plusieurs faces planes et une seule surface courbe , si les cannelures F sont séparées. »

CTLIKDRBSi

4ll

434. Le cjliadré droit a une inCnité de plans de symétrie qui se

coupent selon l’axe. Le plan par lequel cet axe est coupé perpendiculaireuient et en deux parties égales, est aussi un plan de symétrie. Donc, tous les diamètres de la section que fait ce dernier plan dans le cylindre , sont des axes de symétrie , comme l’axe même du corps; le centre de cette tection , est le centre de symétrie et de gravité du cylindre (Syg). i

Un cylindre oblique n'a ni plans, ni axes , ni'cèiitre de sjTnétrie. .Cependant, tout plan qui passe' par l’axe, divise le corps en deux parties égales et superposables. Il en est de même du plan parallèle aux bases qui coupe l’axe par le milieu. Pour superposer la moitié de droite sur la moitié de gauche (P. X, F. 36), il sufGt de la renverser en la retournant, puisque l’angle G' = B' et que l’angle H' = C*. Pour superposer le demi-cylindre d’en haut sur le demicylindre d’en bas, on n’a qu’à le faire glisser selon l’axe commun F' A'. • -i f .

D’après cela, le centre de gravité d’un cylindre oblique est au milieu de son axe, comme celui du cylindre droit. '

435. Puisqu’un cercle n’est an fond qu’un polygone régulier d’un très -grand nombre de petits côtés, le cylindre peut être considéré comme un prisme d’un très-grand nombre de faces latérales fort étroites. Il s’ensuit que le rapport des volumes de deux cylindres, est égal à celui des produits de leurs bases multipliées par leurs

< hauteurs (^io2), les hauteurs étant mesurées comme celles des prismes, selop des perpendiculaires abaissées d’un point de chaque base supérieure, sur le plan de la base inférieure.

DonCÿ «I les cylindres ont m^e base, leur rapport est celui des hauteurs, et s’ils ont mime hauteur, leur rapport est celui des bases.

Applicatious : Le fût d’une colonne monumentale , qui peut être considéré comme cylindrique , se trouve déjà élevé de 5 pieds et doit en avoir 5o. On voudrait connaître combien coûtera la pierre qui entrera dans cette colonne , sachant que les cinq premiers pieds en renferment pour Il suffit de multiplier g 5*^ par le rapport lo de 5o à 5 ; le produit gSo^ sera le prix de toute la pierre qu’on doit employer.

< Vous pouvez aussi trouver le rapport des volumes et eelui des poids de deux cylindres de même base ou de même hauteur, sans avoir besoin d^ calculer ces volumes.

436. Four que deux cylindres droits soient copies l’un de l’autre ‘ ou semblables, il faut et il suffit que le rapport de leurs axes soit le même que celui de leurs diamètres. Si les cylindres sont obliques,

il faut déplus que les génératrices droites de l’un, soient inclinées sur la base , comme celles de l’autre. Deux cylindres semblables sont dans le mime rapport que les cubes numériques de leurs dxes ou de leurs diamètres (455 et 4o3).

4ia cn.i5DaE5.

437. Les corps creux, cylindriques à l’intérieur et à l’extérieur, portent le nom de manchons cylindriques. Ces manchons sont réguliers, quand les deux surfaces courbes, droites et complètes, ont le même axe. Tel est le cas des tuyaux de conduite, des anneaux plats, des verres à boire, etc.

Problème : Dessiner un manchon cylindrique régulier et vertical.

Tracez sur le plan horizontal , deux circonférences concentriques A, avec les rayons des surfaces cylindriques (P. XIV, F. 4); l'intervalle sera la projection horizontale du manchon ; elle égale chacune des bases. Abaissez du centre une perpendiculaire AA" sur la ligne de terre ; prenez A' A" égale à la longueur ou hauteur du corps ; menez quatre tangentes parallèles à AA", et par A" tirez B"C" parallèle à B'C'. Le rectangle B'C'C"B" sera la projection verticale du manchon, dans laquelle les droites pointillées D'D", E'E" formeront, avec D'E', D"E", celle du cylindre creux.

Applicxtiovs : Un grand nombre de manchons cylindriques, nommés tubes, sont confectionnés dans les verreries. (Xi emploie la plupart de ces tubes comme tuyaux de conduite , dans les laboratoires de chimie ; les autres sont convertis en thermomètres et en baromètres.

< Le thermomètre est un tube terminé dans le bas par une sphère creuse , fermé à l'autre bout, rempli en partie de mercure ou d’esprit de vin coloré, et tout-à-fait purgé d’air. Plus il fait chaud et plus le liquide monte dans le tube •, plus il fait froid et plus le liquide descend. On divise en 8o ou en loo parties de meme volume, la portion de cylindre que parcourt le^ liquide , quand après avoir placé l’instrument dans la glace fondante, on le met dans l'eau bouillante. Ces parties sont les degrés du tliermomètre ; ils mettent à même de comparer la chaleur, la température d’une journée, à la température d’une autre. C’est aussi par l’observation du thermomètre, qu’on parvient à régler la température d’une chambre, d’un âtelier qu’échauffe un poêle ; l’économie et la salubrité veulent qu’elle ne dépasse point ta degrés et qu’elle soit toujours à-peu-près la même. »

< Le tube du baromètre a environ 3o pouces de longueur et n’est fermé que par un bout. On le remplit de mercure , puis on le renverse dans une curette pleine du même métal liquide. Il se vide sur-le-champ, en partie: une portion du mercure tombe dans la cuvette; mais tout n’y tombe pas à beaucoup près, parce que la pression de l’air sur le liquide de la cuvette , soutient celui du tube et le soutient à une hauteur de 37 à 38 pouces, ce qui est dû à ce qu’il n’y a point d’air dans la partie vide de ce tube. »

c Le vent s'élève-t-il , le mercure du baromètre descend ; le temps est-il à l’orage , à la tempête , le mercure descend encore davantage : son niveau supérieur n’est plus qu’à 36 pouces et quelques lignes au-dessus de celui de la cuvette. Au contraire, le métal liquide

CÛHBS.' 4l3

s’élève lorsque le ciel est pur et sec, et il dépasse 3 8 pouces de quelques ligues ; mais ordiDairement , il descend quand le temps est à la pluie. Je dis ordinaii'emeiit , parce que cela n’arrive pas toujours J quoi qu’eu dise le vulgaire qui prétend que les prédictions du baromètre sont infaillibles. »

< N'allez pas vous imaginer que ces niouvcmens du mercure tiennent a sa nature : il serait possible de faire des baromètres avec toute sorte de liquides. L’eau même pourrait servir; m-iis l'instrument SC trouverait alors fort incommode : il faudrait un tube d’environ 3a pieds, hauteur à laquelle la pression de l’air peut faire monter l’cau dans les pompes aspirantes. »

« Une expérience très-facile vous convaincra d’ailleurs que la suspension et les raouvemens du mercure dans le baromètre , sont produites par la pression variable de l’air. Montez à la tour de la Cathédrale, avec l’instrument à la main; vous verrez le mercure descendre à mesure que vous vous élèverez. Il s’ensuit que le baromètre peut servir au mesurage des Itauteurs; nous verrons plus loin, la manière de l’employer à cet usage. »

Cônes.

438. Le cône a pour limites, une surface conique et un cercle qui est la base du corps. S’il est tronqué, il a deux faces planes: sa base et la troncature. La première est toujours un cercle, lorsque le cône est circulaire; la seconde est un cercle ou une face elliptique (337 et 338).

Appx. (a) : Quand un corps tourne autour d’un axe vertical , il est ordinairement porté par un pivot. Ce pivot est un véritable cône , si le corps tournant a peu de poids ; il offre un cône arrondi vers le sommet , si le corps est très-pesant.

« La forme conique donnée aux pivots diminue considérablement la perte de force qui résulte de leur frottement contre les parois des crapaudines. Cependant, d’après la théorie et l’expérience, le frottement d’un corps sur un autre ne dépend que de la pression , occasionnée par le poids : en général , l’étendue , ni la forme des faces frottantes, n’exercent aucune influence; mais ici ce n’est pas le frottement qui diminue , c’est sculemcix son effet qui devient moindre et presque nul , à raison de la très-petite distance qui existe entre l’axe de rotation et les points en contact. »

Appl. (ô): Une des plus belles applications du cône, (fest la construction des paratonnerres. Oq^>pclIc ainsi des barres cylindriques de fer placées sur uu édifice , terminées en pointe et mises en communication avec la terre, ou mieux avec l’eau, au moyen d’une corde en fils de fer ou de plusieurs verges qui se tiennent. La pointe est un véi ilable côue d’or ou de platine ; comme ces métaux ne s^rouillcnt pas à l’air, le cône ne s’émousse jamais, s

< Il fltut absolument qu’il en soit ainsi , pour que PaiguiUe cou-

4l4 ‘ CONES.

serve sa propriété préservatrice. Cette propriété lai vient de celle qu’ont les pointes d’attirer, de soutirer la foudre. Quand un nuage orageux arrive au-dessus d’un paratonnerre, la foudre passe peu à peu , sans éclairs , sans éclats , dans l’aiguille et va se perdre dans la terre : le nuage se décharge et devient moins dangereux. Si dans ce moment on essayait de toucher la corde, l’approche de la main en ferait sortir une étincelle, un véritable éclair qui pourrait donner la mort. »

« 11 arrive quelquefois que l’action d’un paratonnerre sur un nuage , occasionne une explosion et fait tomber la foudre sur l’édifice ; mais il n’y a rien à redouter de cet événement à i o mètres (3o pieds) de l’aiguille : la foudre ne peut tomber dans un cercle de ce rayon , sans se diriger sur. le paratonnerre qui aussitôt la conduit dans le sol. On se donne donc toute sécurité, en restreignant à ao mètres l’intervalle de deux aiguilles et à lo au plus les distances de la première et de la dernière aux extrémités du bâtiment. >

Apfi,. (e) : Les colonnes de l’architecture sont des troncs de cônes droits à bases parallèles. Ces colonnes sont quelquefois cannelées : elles ont alors plusieurs faces coniques , séparées par des portions de la surface courbe du tronc de cône plein , comme on le voit en A (P. XIV, F. 3). Les axes des demi-cônes creux qui forment les cannelures, sont des génératrices droites de la colonne (339, appl-)-

« Il n’y a que des tailleurs de pierres très-habiles , qui puissent canneler des colonnes , car il faut une grande précision dans la division des circonférences de chaque tambour en parties égales , pour que les cannelures d’un de ces troncs de cône , se raccordent avec celles des deu.x troncs voisins , de manière à former des surfaces courbes parfaitement réglées , du chapiteau jusqu’à la base. »

439. Le cône droit et son tronc à bases parallèles ont nne infinité de plans de symétrie, mais tous se coupent selon l’axe (4<>9)- Chacun de ces corps n’a donc qu’un seul axe de symétrie.

Le centre de gravité du cône complet , qui n’est pas un centre de symétrie, est sur la droite menée du sommet au centre de la base ,

. et au quart de cette droite à partir du cercle sur lequel elle se termine. Il en est de meme pour le cône oblique , bien qn’il n’ait ni plans , ni axe de symétrie. '

440. Un cône complet peut être considéré comme une pyramide d’un très-grand nombre de faces latérales fort étroites. Il en résulte que le rapport des volumes de deux cônes, est égal à celui des produits de leurs bases multipliées par leurs hauteurs (4o5 et 4 1 9)- La hauteur d’un cône se mesure selon la perpeudieulaire abaissée do sommet sur le plan de la base.

Donc, sttfeux cônes ont des bases égales, leur rapport est celui des hauteurs , et s’ils ont même hauteur, ils sont entre eux somme les superficies de leurs bases.

CORPS spiiéniQCBS. 4>S

441. Dcnx cônes droits sont semblables, lorsque le rapport de leurs axes est le môme qne celui des diamètres de leurs bases. La similitude des cônes obliques. exige de plus que les axes aient la même inclinaison sur les bases. Deux cônes semblables sont dans le même rapport que les cubes numériques de leurs axes ou des diamètres de leurs bases (4i*> p* 4^4)>

Dans les cônes droits semblables,- les génératrices droites sont proportionnelles aux axes, et dans les cônes obliques semblables, il y a proportion entre les axes et les hauteurs : il est aisé de voir en effet que dans les deux cas, les lignes données ici pour être proportionnelles, sont les côtés de triangles semblables (i68).

442. On appelle manchons coniques, des corps creux qui présentent deu.x surfaces coniques tronquées , l’une intérieure et l’autre extérieure. Ces manchons sont régn/Ze/"*, quand les surfaces courbes se trouvent droites , équidistantes , à b.iscs parallèles et terminées aux mêmes plans. Tel est le cas des dés de tailleur, des seaux coniques , des barattes a beurre , des schakos , des chapeaux d’hooune et de certains garde -vue en papier dont on entoure la flamme des lampes.

Problème : Dessiner un manchon conique régulier.

L’axe étant supposé vertical , il faut tracer au-dessous de la ligne de terre B'C' et du même point A (P. XIV, F. 5), deux circonférences , avec les rayons des bases inferieures des surfaces coniques , puis deux autres circonférences, avec les rayons des bases supérieures; abaisser de A , une perpendiculaire sur B'C’ ; prendre A' A" égale a la hauteur du corps; tirer par A" uno*paraIlèle à la ligne de terre; mener jusqu’à B'C', parallèlement à AA", des tangentes aux projections horizontales des deux circonférences inférieures ; mener de la même manière et jusqu’à D'E', des tangentes aux projections horizontales des deux circonférences supérieures; joindre les extrémités B' et D', C’ et E' des tangentes'aux circonférences de la surface conique extérieure ; enfin , joindre les extrémités F' et H', G' et 1' des tiuigentcs aux circonférences de la surface conique intérieure.

L’intervalle des deux circonférences BC , 111 est la projection horizontale du manchon , et le trapèze B'C'E'D' en est la préjcction verticale. Les génératrices extrêmes de la surface conique intérieure , F'B', G'I', étant cachées , doivent être poinlillécs , et il en est de même de la circonférence inférieure FG de cette surface.

Corps sphériques.

443. Les portions de sphère déterminées par un ou deux plans, sont appelles corps sphériques ; ils n'ont qu’une face courbe , lorsqu’ils sont pleins.

Un seu^plan F'M produit un segment sphérique (P. XII , F. a5), dont les projections sont le segment de cercle F'LMF' et le cercle

4i6 coaps sPBéiuQüis.

de rayon AF. Ce corps peut présenter nne demi-sphère 3 dans tous

les cas, sa face courbe est appelée calotte sphérique.'

Deux plans parallèles F'M , D'N donnent une tranche sphérique dont les projections sont la portion de cercle D'F'MND', et le cercle de rayon AD ; la circonférence qui a AF pour rayon , doit aussi figurer sur la projection horizontale. La face courbe de la tranche sphérique est nommée zone (p. 36y, appl. a).

Deux plans méridiens LAB, LAC renferment entre eux un onglet sphérique qui a pour face courbe une hande méridienne (p. 364 , appl. c). La projection horizontale de l’onglet est le secteur de cercle BACKB (3a 4)- La projection verticale est le croissant hWUH'VL compris entre le demi-cercle LB'L' et la demi-ellipse LI'H'L': les points H', I', etc. sont les projections verticales de ceux qui ont H,I, etc. pour projections horizontales.

Les mêmes sections faites dans une sphère creuse (43 1), produisent des'corps sphériques qui ont deux faces courbes ; le segment sphérique creux , la trapche sphérique creuse et l’onglet sphérique creux.

Appl. (a) : Les culots des bombes et des obus (p. 407, appl. c), les verres de lunettes plans d’un côté et convexes de l’autre (P. XI V, F. 6), sont des segmens sphériques. Ces verres conviennent aux vieillards et produisent sur les rayons de lumière , les mêmes effets que les lentilles à double convexité , quand les rayons de leurs calottes ne sont que les moitiés des rayons de ces lentilles (p. 409, appl. a).

Appl. (ô): D’autres verres sont plans d’un côté et concaves de l’autre ; ils appartiennent à la classe des corps qui ont à la fois des faces planes et des faces courbes ; leur concavité est formée par une calotte sphérique ABC (F. 7) qui coupe un cylindre dont DE est le diamètre, et dont les droites Al), CE sont génératrices. L’effet du verre à une seule concavité est le même que celui du verre qui en a" deux , lorsque le rayon de la calotte du premier est la moitié du rayon des calottes du second (p. iog, appl. b).

Appl. (c) : Nous citerons pour exemples de segmens sphériques creux , les calottes dont les prêtres se couvrent la tête , les capsules de verre ou de porcelaine en usage dans les laboratoires de chimie, les dômes de certains édifices et les chapeaux métalliques qui abritent les vis -au moyen desquelles sont élevées et abaissées les grilles despnées à la fermeture des arches de pont , dans les places fortes.

« Les verres dépolis dont on entoure la lumière des lampes, offrent des tranches sphériques creuses ; ce sont des sphères ou des demisphères creuses, auxquelles il manque deux ou un petit segment. »

« Les dômes qu’on laisse ouverts par le haut, pour permettre l’entrée de la lumière dans les édifices, se rapportent au second cas des verres dépolis. »

« I.a partie sphérique d’une niche ronde intérieurement et extérieurement, est un onglet creux qui forme un quart de sphère creuse, p . "

MESCSAGII DES IIGNES. 41^

« Si nne Toute cjlindrique extradossft recouTTait la nef d’une église terminée par une demi-tour ronde de meme diamètre, il faudrait raccorder ces cylindres au moyen d’une voûte sphérique , et si cette voûte était aussi citradosséc , elle formerait un onglet creux , égal à un quart de sphère creuse , comme celle d’une niche. » "