MESURAGES

444. Les mesurages ne sont p.is 'moins utiles pour les artistes et les ouvriers, que les tracés, la formation des surfaces et des corps, leurs combinaisons et leur comparaison. Les bénéûces d'un fabricant peuvent devenir nuis, si par ignorance des mesur.agcs, il paye plus de matière première qu’il n’en reçoit, ou s’il en met dans un ouvrage plus qn’il ne s’en fait payer.

Mesurer, c’est encore comparer; c’est prttndre le rapport d’une chose à une autre de même nature. Mesurer une longueur, par exemple , c’est chercher le rapport de cette longueur à une longueur bien connue.

Il serait impossible de se faire une juste idée de l’étendue des choses, si on ne les comparait pas ainsi à d’autres qu’on apprécie bien , par suite de l’habitude qu’on a de les voir , de s’en servir , de les parcourir. Nous irions vingt fois à Paris , que nous n’aurions aucune notion précise sur la Iqvgueur de la route ; mais nous apprécions très-bien cette longueur, "dès que nous savons qu’elle contient 79 lieues ou que son rapport à la longueur appeléé lieue, est 79, parce que noos avons le sentiment de cetlc mesure. Il en serait de même, si l’on nous disait qu’un mur a ao toises de long, qu’une pièce de toile contient Go aunes, parce qnc nous avons souvent manié la toise et l’aune.

La chose à laquelle on en compare d’autres , est dite mesure ou unité; elle est tout-à-fait arbitraire, mais une fuis que le choix en est fait et qu’elle est adoptée de toutela nation , il est fort important de i4Hpas clianger; ce serait jeter une grande confusion dans le cdhuffce, que d’imposer tantôt une mesure et tantôt une autre.

il y a divers mesurages , parce que les choses à mesurer ne sont pas toutes de même nature. La Géométrie ne s’occupe que du mesurage des lignes, de celui des supcrGcies , de celui des volumes, et elle exécute les deux derniers au moyen du premier. Cepeudant, elle fournit aussi les moyens de déterminer les poids des corps qu’on ne peut peser.

HESl’RaGE DE.S LIGNES.

445. On se sert de plusieurs unités pour mesurer les lignes ou les longueurs ; il y en a d’auciennes et de nouvelles. Les premières sont le pied-de-roi; ses parties; le pouce, la ligne, le point ; et ses composés: l’aune, la brasse, la toise, la lieue.

Le pouce est.^ du pied, la ligne est du pouce, et le point, ^ de la ligne.

5 pieds.

4l8 < IKStlUCK DES UGKBS.

L’ande de Paris a 3 p'ftds 7 ponces 10 lignes 10 points ou 44 pouces à peu près.

La brasse est ordinairement de

La toise vaut 6 pieds.

Il y a trois espèces de lieue : la /{'eue mari/ic qui contient a 85o toises, qui|pt contenue ao fois dans un degré de l’equateur (p. 357), sert a mesurer la roule d’un vaisseau; \a. lieue terrestre o\igéogra~ phique, de a a8o toises , contenue a5 fois dans un degré et 9 000 fois dans la plus grande circonférence de la terre; enfin, la lieue de poste qu’on a faite de a 000 toises.

> Les nouvelles mesures de longueur sont le mètre ; ses parties : le décimètre ou 7^ de mètre , le centimètre on 7-577 , le millimètre ou 75^» 5 et ses composes: le décamètre ou io“, l’hectomètre o\x ioo“, le kilomètre ou i boo"*, le myriamètre ou 10 000“.

Le mètre remplace là toise, l’aune, la brasse, etc. Le décimètre remplace le pii-d ; le centimètre remplace le pouce, et le millimètre, la ligne. Le décamètre tient lieu de l’ancienne cliaine d’arpenteur : on l’appelle aussi chaîne métrique. Enfin , la lieue nouvelle ou métrique vaut 4 kilomètres.

Cependant , la loi qui abolit les anciennes mesures, permet l’usage d’une nouvelle toise de 2 mètres et d’une nouvelle aune de i“,a : elles se divisent comme celles qu’elles ont remplacées.

Le mètre n’est pas une mesuressans fondement comme le piedde-roi: cette longueur est la disrmillioniémc partie du quart d’un des mérididhs de là terre, ou de la distance du pôle à l’équateur (p. SSy). Comme cette distance est invariable, le mètre ne saurait éprouver , aucune alteration; du moins, on pourra toujours le vérifier et le corriger. Les mesurages les plus exacts ont montré ([ue le mètre vaut 3 pieds 1 1 lignes 296 millièmes de ligne , ou que le pied vaut 32 484 cent-millièmes de mètre. Au moyen de ces rapports , on peut toujours convertir des mètres en pieds , pouces et lignes , ou des pieds en mètres et parties du mètre. Au reste, il existe des tableau les mesures anciennes se trouvent réduites en mesures nouvelle^V les mesures nouvelles , en mesures ancicnnès. ^

446. Les droites à mesurer sont ou ne sont pas susceptibles d’étre parcourues dans toute, leur longueur, et celles qui présentent la seconde circonstance , se' trouvent horizontales ou verticales ou ijDclinées. < .

Chacun sait mesurer grossièrement une ligne droite, quand la mesure peut y être appliquée d’un bout à l’autre ; mais peu de personnes se font une juste idée de la difficulté qu’on éprouve à faire un pareil mesurage très -exactement. Cette difficulté est telle, que rarement on obtient la même longueur, en recommençant l’opérationi Aussi, dans tous les cas ou une grande exactitude est uéc.-ssaire, faut- il ne s’en tenir ni à un seul mesurage, tni même à deux: on doit mesurer trois, quatre et jusqu'à cinq fois, avec toute la précision possible; additionner toutes les longueurs trouvées, et

MBSUaAGB DES MGÜES.

diviser leur somme par leur nombre. Le quotient donne une longueur moyenne Boutent moins inexacle qu’aucune des autres ,.uarce que toutes les erreurs ne sont pas de même nature, qu'on en coLamet en moins comme en plus , et que , par l’eflet du calcul , les premières détruisent une grande partie des secondes.

Supposez. que la vraie longueur d’une droite soit de 4 toises nouvelles et que vous l’aj ez trouvée de 4' a*', par un premier mesurage, de 3*5^’ 11’’ 10*, par un deiutième, de 4*3' par un troisième, ^a somme do ces trois longueurs est ta* 5'. Divisant par trois, vous obtenez 4* et vous n’avez plus qu’une seule ligne d’erreur , tandis que l’erreur serait de a ou de 3 lignes en plus , si vous adoptiez comme Juste le premier ou le troisième mesurage , et de a ligues en moins, si vous les rejetiez, pour .adopter le second.

A la vérité, toutes les erreurs pourraient être de même nature, en plus , par exemple : vous auriez pu trouver 4* a' la première fois, 4* i' ^ la deuxième fois, 4* t'i la troisième fois} pour ce cas , la longueur moyenne 4* l' ÿj serait plus inexacte que les deux dernières; mais elle le serait moins que la première ; et dans l’ignorance où vous êtes de là vraie longueur, il est possible que vous regardiez comme le meilleur , le mesurage le plus mauvais. Mieux vaut certainement s’exposer à faire une erreur de quelque peu supérieure aux plus faibles , que de risquer d’en commettre une égale à la plus forte. Ainsi , lors même que toutes les erreurs sont en plus ou en moins , ce qu’on ignore tout-.à-fait , c’est encore un parti sage que de prendre la moyenne des longueurs trouvées.

Pour n’avoir pas à faire des martpies , toujours causes d’inexactitude , il convient d’employer deux mesures rigoureusement égales. On les pose bout à bout , en évitant de les heurter l’une contre l’autre , car le eboe pourrait produire un intervalle imperceptible. Si l’unité , le pied par exemple , n’est pas contenu un nombre exact de fois dans la ligne droite , on mesure la partie restante .avec le pouce, avec la ligne et même avec le point.

447. Les pieds-de-roi ne présentant pas les points , il faut , pour les obtenir, se faire un vernicr droit (p. 5i). Ce verniur AU (P. XIV-, F. 8) doit avoir 1 1 lignes de longueur et la parties égales; c’està-dire que chacune des parties vaut -j-j de ligne ou «pie sa diflcrcncc à une ligne est d’un point.

Supposons qu’en mesurant une droite CD, on ait trouvé 3 pieds , et que l’exü'émité D tombe entre le 8* et le 9“ trait du 10' pouce. A 3 pieds, il faudra d’abord ajouter 9 pouces 8 lignes. Poni* avoir les points, on posera l’uiie des extrémités du vernier sur l’extrémité D do la droite, l’aiKre bout étant plac«,du cûté de 10. Si alors c’est le 5' trait du vernicr qui réponde à un trajt du pied , il y aura quatre points entre le bout D de la droite et la 8* ligue du 10* popcc, c’est-à-dire autant de points qu’il se trouve de parties du vernier entre D et le 5* trait. La vraie longueur de CD sera donc 3 pieds 9 pouces 8 lignes 4 points;

HESURAGB DBS HORIZONTALES. •

4ao

Il pent se faire qu’aucun trait du vernier ne corresponde à aucun des fraits du pied; on se conduit dans ce cas, comme dans le 'cas analogue du lever des angles (p. 5a).

La construction et l’usage du vernier métrique sont faciles à déduire de ce qui vient d’être dit. Si l’on veut qu’il indique les dixièmes de millimètre , par exemple , on lui donne g millimètres de longueur et on le divise en lo parties égales.

448. Il y a des droites qu’on ne peut pas mesurer exactement , au 'moyen d’une imité donnée. Si , par exemple , les côtés d’un carré contiennent un certain nombre de toises, pieds, pouees, lignes et points, il est impossible d’obteuir exactement la longueur de la diagonale de ce carré en toises, pieds et parties du pied , parce que le côté du carré n’est pas contenu un nombre exact de fuis et de parties de fois dans la diagonale; ces deux droites n’ont point de' commune mesure ; l’une ne peut être mesurée au moyen de l’autre j en un mot , nous ne saurions exprimer avec exactitude leur rapport.

Prenez le côté du carré pour unité ; son quarré numérique sera i et celui de la diagonale sera 2 (253). La longueur de cette diagonale devra donc être exprimée par le nombre qui , élevé au quarré , donne 2 . Or, il est impossible de trouver ce nombre exactement.

Mesurage des horizontales.

449. Il y a deux cas principaux à considérer, dans le mesurage des horizontales sur lesquelles la mesure ne saurait être appliquée : on peut cheminer dans le plan vertical des deux extrémités ou on ne le peut pas , et lorsque cette dernière circonstance se présente , une seule des extrémités a des abords qui permettent d’y opérer, on bien ni Tune ni l’autre n’en laissent la facilité.

Probl. (a) : Mesurer la distance horizontale de deux points A., B situés sur une pente qu’on peut parcourir (P. XIV, F. g).

Trois personnes sont nécessaires pour cette opération : deux placent et maintiennent la mesure , le quadruple mètre par exemple; la troisième manie le niveau de maçon (p. tia). . - V Plantez un jalon en A et un autre en B; posez un des bouts de la mesure en A cl dirigez cette mesure dans 1 alignement AB; puis haussez ou baissez l’autre bout, jusqu’à ce que le niveau montre que le quadruple mètre est horizontal. Appliquez alors à ce bout un fil-à-plomi) ; marquez sur le terrain , le point C qu’il indique ; placez en C l’exirémiié qui était en A; dirigez la mesure dans l’alignement ACB; placez -la de niveau, comme précédemment; appliquez de nouveau le fil-à-plomb à l’autre extrémité , et continuez toujours ainsi, jusqu'au point B. Le nombre de fois que la mesure pourra être portée horizontalement sur la pente, donnera la distance horizontale AB' on BA' des deux verticales AA', BB'.

Il peut arriver, si le terrain est accidenté, qu’un des points marqués

DiiJiît- — ! /

mesuh;igb dks BORiZomALfis. ^it

par le fil-à-plomb , 'se trouye dans un crenx, comme en D. On doit alors planter un jalon en D , le rendre vertical (p. a86 , appl. a) , et appliquer un des bouts de la mesure contre ce jalon, afin de pouvoir la placer horizontalement au-dessus de la saillie Ë et dans l’alignement ACDB.

Si une grande exactitude n’est pas nécessaire , on peut se contenter du coup d’œil, pour mettre la mesure de niveau, et remplacer le Cl-à-plomb par un petit caillou qu’on laisse tomber de l’extrémité d’où doit être abaissée une verticale. Ceux qui mesurent avec la chaîne d’arpenteur, agissent ainsi j seulement, au lieu d’employer une pierre, ils laissent tomber une fiche qu'ils plantent ensuite. Mais auparavant, la chaîne doit être fortement tendue, afin que l’erreur causée par la courbure que produit le poids, soit très-faible.

Applicxtioxs : Ce sont ces moyens qu’il faut employer pour mesurer les distances horizontales qu’on peut parcourir, soit quand le terrain monte ou descend, soit quand il est simplement raboteux, couvert d’aspérités. On commettrait de graves erreurs dans l’arpentage, si l’on prenait autrement les longueurs nécessaires au calcul des superficies.

Probi. (6) : Mesurer une distance horisontale dont une extrémité n’est point accessible.

Supposons qu’il s’agisse de connaître la distance horizontale EG^ (P. III, F. a8), à l’extrémité G' de laquelle ou ne peut ou l’on ne veut pas se transporter.

Plantez verticalement un i" jalon en E, un a' F dans l’alignement EG', un 3* C entre E, F, mais à droite ou à gauche de la droite EF, un 4” D sur l’alignement CF, un 5' B au concours des alignemens CE, DG', un 6* au concours des aligncmcns DE, BF, un 7* au concours des alignemens EG', CA , et mesurez horizontalement lès distances GE , GF.

Le point G ainsi déterminé est le conjugué de G' (90) et

gé:gf;:G'e;G'f ou ge;gf— ge::g'E:G'f— G'E (76).

Représentant par p le nombre de mètres contenu dans la petite partie GE de EF, par P celui de la grande partie GF, et par d la distance EG? cherchée, on a ,

p : P— p :: d: p-fp,

car G'F — G'E = EF " P q- p. Conséquemment (p. 88, probi. ft), la formule qui donne immédiatement la solution du problème est

elle signifie qu’iY faA multiplier la plus petite partie de la distance horizontale ÈF prise en arrière, par la somme des deux parties et diviser le produit par leur différence.

Il existe plpsieors autres procédés pour détenainer la longueur

423 UBSUBAGE DES nOEIZO.'VTALGS.

d’une liorizontale dont une seule extrémité est «iccessiLle ; mais Us ' exigent des instrumens chers ou une grande étendue de terrain libre et des mesurages pénibles.

Appmcatiox : L’emploi du mesurage fondé sur les transversales, permet à l’artilleur de trouver rapidement la distance de sa batterie au but qu’il veut atteindre. Si, par exemple, p=:25“et

la fonnule lui donne </— — a5'°x—

26,6— aS 1,6 iC

Peobl. (c) : Mesurer la largeur d'une rivière.

Choisissez un point remarquable G', sur le bord qui vous est opposé (P. XIV, F. 10), puis un point E, sur le bord où vous êtes, de manière que la droite ËG' soit sensiblcmeut d'équerre avec les deux rives et surtout avec la rive EM. Vous n’aurez plus qu’à planter un I ''■jalon en E, 6 autres coinmeil a été prescrit dans le problème (a), et à faire l’application de la formule, précédente.

PaoBL. Mesurer la distance horizontale de deux point*

A, B, dont l’un est invisible de Pautre (P. XIV, F. 1 1).

Plantez verticalement un i "jalon en un point d’où vous puissiez voir à la fois A et B , un 2' et un 3' sur l’alignement Ai , un 4' sur l’alignement B2 , un 5' au concours des alignemens Bi et 3.4, un 6* au croisement des alignemens 1.4 et 2.5 (p. io5), un 7' au croisement des alignemens 3.6 et A5,’nn 8* au concours de 1.7 et 3.5, enfin un 9” à la rencontre des alignemens 3.7 et A8; puis mesurel A9, 9.8 et appliquez la formule du probl. (a).

Il résulte en effet du n° 90, que B est le conjugué du point C où se coupent les alignemens B5 et 3.6 ^ mais en vertu du croisement 7,

G et 9 sont conjugués l’un de l’autre j donc B est aussi le conjugué de 9, et ce dernier point, ainsi que le jalon 8 , se trouvent nécessairement sur l’alignement BA prolongé.

Applicatioss : On mesure facilement ainsi la longueur ou la largeur d’un bois , d’un village , d’une ville', de la base d’une montagne , et en général la distance de deux points séparés par un obstacle élevé.

PaoBL. (e): Mesurer une distance AB horizontale et inaccessible (P. XIV, F. , 2).

Vous pourrez vous placer en un point C de ralignement AB ou vous ne le pourrez pas. Dans le premier cas, mesnrez CB et CA, en recourant au problème (a). L’excès de la première longueur sur la seconde sera la distance cherchée. '

Si un obstacle quelconque s’oppose à ce qu’on opère en un point du prolongement de AB , planiez verticalement un jalon D-., sur un point d’dù vous puissiez voir à la fois A et B j mesurez DA ,

.VESUHAGB DES VERTICALES.

DB comme dans le problème (a); planiez sur ces alignemcns, des jalons E, F, de manière qucliL, DF forment la même fraction de DA, DB, le cenlième par exemple; i^ksiirez alors EF parallèle à AB (80), et multipliez par 100, la longueur trouvée; le produit sera exactement la distance AB (81).

* Appi.icatio>‘s : 1.6 premier cas de ce mesurage se présente quand il s’agit de mesurer soit la distance de deux cloclicrs entourés de maisons, suit celle d'une position militaire à une ville attaquée ou à une ligne ennemie, et qu’on ne peut , sans courir de grands dangers , opérer sur celte position meme.

< Le second cas s’applique au mesurage de la distance des sommets de deux montagnes', de deux villages situés sur les versans opposés d’une cote, de deux points très-éloignés de l'endroit où l’on se» trouve, et de deux positions occupées par l’ennemi. »

Mesurage des verticales.

430. Lorsque la mesure ne saurait être appliquée sur une verticale, le pied est visible ou invisible, accessible ou inaccessible, et l’on peut opérer au niveau de ce pied ou ou ne le peut pas. ^

PftOBL. (à) ; Mesurtr une verlicalè AB , quand le pied B est accessible et qu'on peut opérer au niveau de ce pied (P, XIV, F. i5).

Plantez verticalement deux jalons CD, EF sur l’horizontale CB contenue dans un plan vertical ABC; visez le sommet A , par l'extrémité D du plus petit; faites marquer le point G où l’alignement DA coupe le grand jalon ; mesurez les verticales CD , ËG et les luv^ rizontales ÇE , EB ; cherchez l’excès GII de EG sur CD et la somme CB de CE , EB ; divisez GH par CE , pour avoir la pente de DA , la quantité dont celte droite s’élève au-dessus de l’horizontal^ DI , à uni: mesure de D (a58); multipliez la pente par CB , pour cdbnaitre AI ; enfin ajoutez CO au produit; la somme sera la hauteur AB.

A l’effet de formuler ce mesurage, nous représenterons la longueur du petit jalon par l, celle EG du grand par L, leur distance horizontale CE par d, la distance CB parD et AB par A. Les calculs à faire seront alors indiqués par l’égalité

A = iini X D

Bien entendu que toutes ces lettres devront être remplacées par des nombres d’une même unité , telle que le mètre ou la toise.

La main d'un homme ne pouvant pas toujours atteindre ,i la haiitbur du point G, il convient d’adapter au grand jalon, un objet quelconque qui serve d'indicateur, qu’on puisse faire monter ou descendre , à l’aide d’une perche terminée en crochet , cl qui conserve hicn sa position: une feuille de carton ou do papier traversée par le jalon , suffit pour former un tel indicateur.

4a4 MESUBACB DES TKBTICAIES.

Applications: Ce moyen simple, prompt- et suffisamment exact , est propre au mesurage de la hauteur d’une tour, d’un clocher, d’un édifice quelconque, d’un arl^, etc., lorsqu’on peut cheminer en ligne droite jusqu’au pied et que le terrain environnant est de niveau.

« S’il s’agit d’un édifice , il faut se placer de manière que l’horizontale CB traverse la porte d’entrée. S’il y a impossibilité , on mesure la distance de C au mur , l’épaisseur de ce mur et la distance de sa « . face interne au pied B de la verticale ; ou bien l’on calcule , en appliquant les principes convenables , la distance de B au contour soit du polygone, soit du cercle qui forme la base de l’édiCce. Pour un arbre , il faut mesurer,' à l’aide d’une ficelle , la circonférence du tronc à fleur de terre, et en déduire le rayon, par les moyens qui seront indiqués au mesurage des lignes du cercle. »

« Supposons qu’on ait trouvé f—i”,66, L = 5”,i6, d='5i“ et

D = 28o’“,68. La formule donnera h ■=. X uSo^.ôS

-f- i4a“. Cette hauteur est précisément celle du clocher

de Strasbourg , l’édiOce le plus élevé de l’Europe. »

Phobl. (6): Mesurer une verticale AB, quand le pied est inaccessible et qu’on peut opérer au niveau de ce pied (P. XIV, F. 1 4).

Le procédé à suivre se compose de celui qui précède et de celui du'problème b (p*. 4^i)- H faut d’abord planter verticalement deux jalons CD, EF , et faire marquer le point G , pour connaître EG ; pois mesurer la distance EB , au moyen des transversales , en se servant de EC pour distance prise en arrière, et en s’alignant sur A , comme sur l’extrémité supérieure d’un jalon. 0

Puisque pour avoir EB , on doit mesurer CE , il ne s’agit que de faire la Mmme de ces deux distances , pour déterminer CB ou D de la formule.

La figure présente sur son plan vertical , les opérations du problème précédent , et sur son plan horizontal , celles du probl. b (p. 4^ i)>

Applications : C’eSt ainsi qu’on peut mesurer l’élévation du sommet d’une montagne au-dessus du niveau d’une plaine , celle de la flèche d’une vaste église au-dessus du pavé d’une place , et la hauteur de tout objet dont on ne saurait approcher ou dans l’intérieur duquel il est impossible de pénétrer. Mais observez que c’est toujours sur l’extrémité supérieure delà verticale à mesurer, qu’on doit s’aligner, pour le mesurage de CB,, par la méthode des transversales. Tout alignement qui , au lieu de contenir la verticale AB , prendrait une arête visible de l’édifice, conduirait à un résultat faux.

.? / Probl. (c) : Mesurer une verticale AB, quand on ne peut opérer qu’à un niveau inférieur à celui du pied (P. XIV, F. i5).

Soit II un point situé dans l'aplomb de AB , sur îe terrain ho-

Di.jitii.Td b',' Goiyk