MESURAGE DES VERTICALES. 4^ S

rizonlal où vous pouvez opérer. S'il est possible de cheminer tout le long de CH, vous mesurerez les hauteurs IIA, HB d’.iprè-s le problème (o) ; dans le e.is contraire , vous recourrez au problème (6).

Il ne s’agira plus que de retrancher HB de IIA , pour avoir la longueur de AB. ^ '

Applicatio.vs : On trouve ainsi de combien la pointe d’un clocher surpasse le toit de l’église, la hauteur d’une tour placée sur un coteau , l’élévation d’une cime de montagne au-dessus d’un col ou d’un mamelon inférieur, etc.

Probl. (d): Mcivrer la hauteur d'un point au-ilessui du niveau de la mer.

Pour peu que le point dont il s’agit se trouve éloigné d’une côte , le pied de la verticale à mesurer est invisible , inaccessible et au^lessous du plan horizontal sur lequel on peut opérer. La Géométrie élémentaire n’a pas de procédé pour un tel cas; mais l’instrument de physique nommé Baromètre fournit le moyen de résoudre le problème (p. iid).

Supposons 4’abord qu’ordinairement les hauteurs du baromètre et du thermomètre .lu point donné, dillerent peu de celles qui ont lieu au niveau' de la mer ; en d’autres termes , supposons le point peu élevé au-dessus de ce niveau. Si vous connaissez en outre la hauteur moyenne du baromètre en ce point , pour la température o",. et qu’elle soit, par exemple, de 758“',53, comme à Paris sur les bords de la Seine, prenez la différence de ce nombre de millimètres à 76i“',3a, hauteur moyenne de la colonne de mercure sur le* bords de la mer , à o°, et multipliez io’”,8 par cette différence 1,79; vous obtiendrez So"”, 1 3a pour la hauteur cherchée ; elle est seulement de o'",698 moindre que l’élévation vraie.

M.ais, lorsque la hauteur parait devoir être grande, on ne peut plus supposer que chaque millimètre d’abaissement du mercure réponde .à 1 08 décimètres d’élévation dans l’air : le résultat serait trop ùiblc. Il faut, dans ce cas, si l’on veut une appréciation exacte, tenir compte de la différence des températures aux deux extrémités de la verticale et de la variation de la pesanteur (p. a 10). Le calcul devient alors fort compliqué. Cependant, voici une formule d’un emploi facile qui donne en mètres, n peu près la vraie hauteur, pour toutes les latitudes pareilles à celles de la France (p. SSy).

La lettre B est en millimètres, l’indication du baromètre au niveau du pied de la verticale; b est l’indication du meme instrument à l'extrémité supérieure ; T est en degrés cl fraction décimale de degré, l’indication du thermomètre centigrade au niveau du pictl; t est celle qu’on trouve à l’autre exlrcmité ; i5 et a65 sont des

MSSVRAUB DES verticales.

nombres iavariables convenablement déterminés ; C 1 96 est le dénominateur de la fr.iction qui indique la dilatation ou la contraction qu’éprouve une colonne de mercure, quand le thermomètre monte ou descend de (*).

^ Pour trouver, à l’aide^ de cette formule, la hauteur d’un point au-dessus du niveau de la mer, il faut donc substituer à b, t, les hauteurs moyennes du baromètre et du thermomètre en ce point, et à B , T, les hauteurs moyennes sur les bords de l’Océan : ces dernières sont 76a"',9 et i2°,8 à la latitude de Paris.

Si l’on ne connaît pas les premières, on cherche la distance verticale du' point donné , à un niveau pour lequel les hauteurs moyennes ont été déterminées , puis la distance de ce niveau à celui de la mer. La formule suffit encore dans ce cas.

Supposons deux personnes placées l’une à Genève , l’autre sur le sommet d’une des montagnes environnantes. A un signal convenu, elles observent leurs instrumens; celle de Genève trouve B = yyS™ et T = i6"7; celle du sommet trouve b = Spa”* et t = 5*. La formule indique que pour trouver la hauteur de la montagne audessus du soi de la ville, il faut dter 16,7 de 6ig6 et multiplier le reste par 77$; ôter 5 de 619C et multiplier le reste par Spa ; diviser ' le produit par le a'; multiplier la somme de a65 et de 5, par le quotient; diviser la somme de a65 et de 16,7 par le même quotient; retrancher l’un de l’autre les deux derniers résultats; ajouter’à la 'différence, l’excès de 16,7 sur 5, et multiplier la somme par i5. On obtient ainsi aa55“’,87 pour la hauteur verticale H.

Il reste alors à déterminer la hauteur de Genève au-dessus de l’Océan. Or la hauteur moyenne du baromètre y est de 7a6"’‘,6 et celle du thermomètre de ia°. On répétera donc les opérations précédentes, en faisant B = 760,9 , T = ia,8, 6=1 706,6, t=ii, et * l’on ajoutera le nouveau résultat à aa35"’,87: la somme sera la hauteur du sommet de la montagne au-dessus du niveau des mers.

ApUmsatioss. Tels sont les moyens à employer pour déterminer les positions des divers points de la surface terrestre , par rapport au centre de la terre. Elles sont importantes, car le climat. en dépend: de deux villes de même latitude, celle tjui est le moins élevée dans l’atmosphère ou le moins éloignée du centre du globe , jouit d’une température plus chaude. Le climat de Paris , est plus agréable que celui de Metz, par exemple, et pourtant la première de ces villes se trouve seulement de 1 6' 56" moins au nord que la seconde ; mais le niveau des basses eaux de la Moselle , à son entrée dans Metz, est à 16a"’ au-dessus de l’Océan,, tandis que celui de la Seine n’en est qu’à 5i“‘ environ.

« L’emploi du baromètre peut être substitué au procédé du pro-

(*) La variation du mercure est réellement de ; mais Téchelle métal- Rque s’allonge on se raccourcit de , «l l'on ne doit compter que

IraelioB de tri^-peu inférieure à la difierrnee des deux autres.

NIVKUJIIIB!<iT.

blême (a), qaand on veut écouomiser le temps et qu’il est possible «le monter jusqu’à l’extiémité supérieure de la verticale. II faut alors opérer comme il a été prescrit pour trouver lu hauteur du sommet d’une montagne au-dessus du sul de Genève. Si l’on est seul , on observe le baromètre et le tlicrmomètre au pied de la montagne ou de l’édifice; on prend note des hauteurs du mercure dans les deux instrumens; puis on monte le plus rapidcm«»it possible, afin de diminuer les chances d’un changement dans la pression atmosphérique et la température de la première station. »

Nivellement.

451. Il ne suffit pas, pour bien connaître un terrain, d’en lever le plan par l’un des procédés de la page 267 ou par celui de la pageafiS. Il faut encore y martpier les cotes verticales des points . iinportans, c’est-à-dire les distances de ces points au plan horizontal qui passe par un d’eux, ou «pii est au-dessous de celui-là d’une certaine quantité.

Le plan horizontal choisi est ôhplan de comparaison. Déterminer les élévations des divers points d’un terrain au-d«»sus d’un plan do comparaison , c’est faire un nivellement. Les cotes s’inscrivent entre parenlb(’«es , près de chacpie point du plan. ^

Le nivellement revient donc au mesurage de verticales; mais comme elles sont nombreuses , on emploie , pour en obtenir les longueurs, un procédé autre que ceux du n*

PaoBLÈME : Faire le nivellement d'un terrain ABC.... (P.. XIV, F. 16^.

Soient A, B, C , D, etc., les points dont il faille déterminer les cotes , et supposons que le plan de comparaison doive contenir A. La cote de ce point sera zéro. Pour avoir celle de B , placez un niveau d’eau outre Bet A(p. 5q); prenez les distances de l’horizontale NN' à A et à B, et retranchez la seconde de la première; le reste sera la verticale BB'. Transportez ensuite l’instrument entre B et G ; notez les distances Bft, Ce; retranchez la seconde do la pnunii-re, pour obtenir l’élévation de C au-dessus de B, et ajoutez le reste à la cote de ce dernier point; vous aurez celle de C ou la verticale CC'.

Si d’une station vous pouvez voir plusieurs points remanpiables qui n’en soient pas très-éloigiiés (p. 36o), il faut les comparer tous au point en arrière , à B par exemple , afin de déterminer leurs cotes , comme celle de C: moins on fait de stations, plus on va vile.

Il SC pourrait qu’un point en avant de B fût moins élevé; alors la distance de ce point à l’horizontale du niveau serait plus grande que B6 ; vous en retrancheriez cette dernière , pour avoir l’ab.aissenicnl du nouveau point au-dessous de B, et vous ôteriez cet abaissement do BB', pour trouver la cote cherchée.

ün peut être forcé de placer l’instrument en un point D dont la rote est nécessaire. Dans ce cas, c’est U hauteur DN du niveau qui

4^8 MESUaACB DES DROITES IKCLINÉES.

doit être retranchée de la distance Ce' de l’horizontale au point en arrière C.

Enfin, si le plan de comparaison devait passer à lo™, par exemple au-dessous de A , pour rattacher le nouveau pivellement à un autre , la cote de A serait i o™, et toutes les suivantes devraient être augmentées d’autant.

D’autres cireonstanecs peuvent encore se présenter dans le nivellemcut; mais elles sont indiquées, avec les moyens qu’elles nécessitent, à l’article du niveau d’eau (p. 5g).

, Mesurage des droites^ inclinées.

'432. Le mesurage des droites inclinées, sur lesquelles l’unité de longueur ne peut être appliquée, dépend de celui des horizontales et des verticales, et les procédés exposés depuis le n° 449 suÛisent à tous les cas qui peuvent se présenter.

Problème : SIesurer la longueur d'une pente AB qu’on ne peut parcourir (P. XIV, F. 17).

Premier proccdd : Mesurez d’abord la distance horizontale BA', et la distance verticale AA'; elles seront, je suppose, la première de 425”' et la seconde de 40“. Tracez ensuite, sur un terrain plan, deux droites an', a' b qui se coupent d’équerre (p. 175); jKirtez de n' en a , par exemple 4“*j dixième de AA', et de a' en b , 4i“‘>5, dixième de A'B ; enfin , mesurez aè; vous trouverez 4i“,6878, et en multipliant cette longueur par lo, vous obtiendrez 4i6'",878 pour la pente AB.

Efl'eclivement, les triangles AA’Ii,aa'b sont semblables (175), et ab est le dixième de AB , comme aa' est le dixième de AA' ( i (58).

Mais , pour arriver ainsi à un résultat exact , il faut tracer le triangle an'è et mesurer ab, avec une extrême précision, que le terrain et les instfuuiens ne permettent pas toujours , à beaucoup pivs. En opérant comme il suit, on ne commet jamais d’autre erreur que celle qui peut être occasionnée par le mesurage de l’horizontale et de la verticale.

Deuxième procédé : 3Icsurcz BA' et AA' ; faites le quarré de chacune des longueurs trouvées, de 4i5’"etde 40'”, par exemple (20a); additionnez ces quarrés i8o025et i Goo ; leur somme iSiaaS sera le quarré de l’hypothéuuse AB (i55) , Ct il ne vous restera plus qu'à déterminer le nombre qui, multiplié par lui-uiêmc , produit i8aa»5. Cela se fait au moyen d’une opération de calcul que je crois devoir décrire, atteudu qu’elle ne se trouve pas exposée dans les arithméti<iucs élémentaires ct qu’elle est indispensable à la pratique de la Géométrie.

L’opération dont il s’agit, 's’indique par le signe dont on accole ct l’on recouvre le quarré donné. Si donc L représente la longueur de lu pente AB, D la distance horizontale A'B, et II la

Di-j— ‘'ÿ Coogl

EXTBA(m05 DB RACINE. 4^9

liauteur AA', la formnie qui donne immédiatement la solution, est

L = i/ÉFTlr.

Extraction de racine.

4S3. Le nombre qui, multiplie par lui-même, en produit ou en produirait un autre, est dit la racine quarrée ou simplement la racine de cet autre. Par exediplc, la racine de 8i est 9 , parce que 9 fuis 9 font 81 , ou parce que 81 est le quarré de 9. Or, tout nombre peut être considéré comme le quarré d’un autre ; tout nombre a donc une racine. L’opération qu'on doit faire pour la trouver, se nomme extraction de racine, et le signe l/ qui l’indique, remplace les mots racine de.

a34aS , par

FRBCVE.

Je partage le nombre o3 4a5 en groupes de deux chiffres chacun, en allant de droite à ganche. Le i'”' groupe à gauche peut conséquemment contenir un ou deux chiffres. Je prends la racine quarrée 1 du plus grand quan-é i contenu dans le i" groupe a, et j'écris cette nicine i à droite du nombre a34i3 , comme le diviseur d’une division. De a , je retranche le plus grand quarré l'qu’il contient, et j’écris au-dessous le reste i .

A côté de ce reste , j’abaisse le i'*' chiffre 3 du a' groupe et j’ai i3. Je double le chiffre ■ de la racine et j'obtiens a que j’écris au-dessous, à la place ordinaire du quotient d’une division. Je divise i3 par ce nombre 2. Le quotient 6 peut être trop grand pour la racine. Je l’essaie en le supposant écrit à la suite du diviseur 2 et multipliant le nombre 26 qui en résulte , par ce même quotient G. Pour qu'il convienne à la racine , il faut que le produit puisse se retrancher du reste i du premier groupe, suivi de tout le second 54, c’esl-à<lirc du nombre i34. Tout cet essai , qui consiste eu une mullipiicatiou et une soustraction dont on *’a pas besoin de connaitre le reste, se fait par la pensée , sans rien écrire , comme l’essai d'un quotient , quand le diviseur a plusieurs cliiffres. Je vois ainsi que G est trop grand. Je le diminue donc d'une unité et j’essaie 5 de la. même manière. Trouvant le chiffre 5 bon pour la racine , je l’y écris côté du chiffre i . Je l’écris aussi à côté du diviseur 2 , ce qui donne

Problèmb : Extraire la racine d’un nombre , de

exemple.

43o EXTRACTION PE RACINE.

aS. Je multiplie a5 par le 5 de la racine , et je retranche de i34i en ëcrirant successivement les chifires du reste , comme si je faisais une division. Je trouve ainsi que le reste est g.

A côté du reste g, j écris le 1“' chiffre a du 3' groupe a5 et j’ai ga. Je double le nombre i5 do la racine, et j’obtiens 3o que j’écris vis-à-vis de ga, au-dessous de i5. Je divise ga par 3o et j’essaie le quotient 5, comme j’ai essayé tout -à- l’heure 6 et 5. Trouvant le chiffre 3 bon pour la racine , je l’y écris à la suite de 1 5 et je l'écris aussi à la suite du diviseur 3», ce qui donne 3o3. Multipliant 3o5 par le chiffre 3 de la racine et retranchant le produit àmesure que je le forme , du reste du a’ groupe , suivi de tout le 3", c’est-à-dire du nombre ga5 , j’ai pour reste 16.

L’opération est alors terminée , si l’on ne veut pour racine qu’un nombre entier. Cette racine est i53; le reste 16 montre que le nombre a3 4a5 excède. d’autant le quarré de i53. Si au lieu de a3 4a5, nous eussions eu a3 4og, nous aurions trouvé i53 pour racine, sans aucun reste. Mais, quoique incomplète, la racine i53 ne diffère pas d’une unité de la vraie racine , puisque 4 uus à la place de 3 dans iffS, serait trop fort, meme pour la division de ga par 3o. D’ailleurs, i54 a pour quarré 33716, nombrç bien plus grand que a3 4^5.

Il en est donc des racines comme des quotiens : elles ne sont pas toujours complètes. Dans tous les cas, leur recherche se fait, ainsi que vous venez de le voir, aïk moyen de la division, de la multiplication et de la soustraction ; ceux qui Savent bien exécuter ces opérations , n’éprouveront donc aucune difficulté à pratiquer l’extraction de racine.

Il est souvent nécessaire d'avoir une racine moins différente de la véritable, que celle qui est exprimée par un nombre entier. La même opération suffisamment continuée, permet d’approcher aussi prés qu’on veut de la racine exacte. Il suffit d’écrire à la suite du dernier reste , autant de groupes ^de deux zéros , qu’on désire de décimales-

Supposons qu’on veuille obtenir la racine de a3 4a5 à moins de I dixmillième près. Je devrai pousser l’extraction jusqu’aux dixmillièmes , ou trouvep les quatre premières décimales de la racine , et par conséquent/ j’écrirai quatre groupes de deux zéros à la suite du reste 16. i- ^

Cela fait , je. continnerai de diviser chaque reste suivi du 1“ chiffre du groupe suivmit, par le double du nombre déjà écrit à la racine, jusqu’à l’épuisement de tous les groupes de zéros ; mais je séparerai du nombre entier i53 , par une virgule , les nouveaux chiffres que je mettrai'à la racine. Ainsi, je diviserai i6o par 3o6, puis j’écrirai le quotient o à la suite de la virgule et à la suite de 3o6. Si je multipliais 3 060 par o , .et que je fisse la soustraction du produit , j’obtiendraiâ éyiiternmcnt pour reste 1 600. Je passe donc ces deux opérations et je' divise tout de suite 1600 suivi du i'” zéro du a* groupe j 'OU .i^ qao,'‘ par 3 060. Cela me donne 5 à la racine et 6 ^73' pour reste. A côté de ce reste, j’écris le 1“ zéro du 5*

MBSUmAGE DBS LIGNES DO GEaCLK.

groupe; je dirise GgySo par 3o6io; j’obiiens o à la racine et 85 796 pour reste. Enfin , je dirise 85a 960 pa^^oG 1 o.j ; j’obtiens 1 à la racine et 0,004075 16 pour dernier reste.

La racine de 7343^ est donc alors i53,o5o7. Elle se trouve encore moindre que la vraie; mais n’en différant pas d’un dixmillième, elle peut bien être regardée comme exacte.

Si au lieu du nombre entier a3 4*5 , on avait le nombre a34,75 , la recherche de la racine se ferait absolument de la même manière ; seulement , il faudrait former les groupes de deux chiffres à partir de la virgule, et mettre une virgule à la racine, dès qu’on aurait employé tous les chiffres de la partie entière a34. La racine serait alors i5,3o5aa.

La preuve par 9 de la mullipUcation , fournit un moyen facile et expéditif de vérifier une extraction de racine. Additionnez les chiffres de la racine et ôtez 9 à mesure que vous le pourrez ; formez le quarré du reste ; additionnez les chiffres de ce quarré , en ôtant tons les 9 ; ajoutez le nouveau reste aux chiffres du reste de l’extraction , en ôtant les 9 ; vous obtiendrez nn reste qui , si l’opération a été bien faite, sera égal à celui que donnera le nombre proposé , quand vous en aurez additionné les chiffres et ôté les 9.

Ici, le reste de la racine est o; le quarré de o est o; le reste do l’extraction donne 7, et le nombre aSéaS donne 7 aussi. Par conséquent , l’opération est très-probablement bonnq.

Il fau^bserver toutefois que la preuve par 9 ne fait point apercevoir l’crrcirr qui provient d’un trop petit quotient ; cette preuve réussit, lors même qu’un nu plusieurs chiffres de la racine sont trop faibles. II faut donc faire en sorte tpi’ils ne le soient pas. Or, rien n’est plus facile, il suffit de prendre les divers quotiens aussi grands qu’ils peuvent l’être , comme pour la division ordinaire. Dans cette opération , on est averti de l’insuffisance des qtioticns , par les restes qui surpassent alors le diviseur, tandis qu’ils devraient l'Ire moindres. Dans l’extraction de racine , il n’en est pas ainsi ; mais on est certain que le quotient ou le chiffre mis à la racine n’est pas trop petit , quand le reste est moindre que le double de la racine déjà trouvée, augnunté <T une unités

Par exemple, dans la racine i53,o5 obtenue après la quatrième division , le dernier chiffre 5 est suffisamment grand , parce que le reste, 6975 est moindre que le double de i53o5 augmenté do i ou moindre que 3o G 1 1 . Si je mettais 4 au lieu du dernier 5 , j’aurais 07584 pour reste, i53o4 pour racine, et comme 37584 est plus grand <pie 1 -J- 7 fois i53o4 ou SoGoq, j'en conclurais que la racine i5 5o4 est trop petite d’une unité au moins.

Mesurage des lignes du cercle,

434. II y a dans le cercle , trois lignes dont on a souvent besoin de déterminer la longueur ; la circonférence entière, l'arc et le diamètre.