MESURAGE DES LIGNES DD CERCLE
Les circonférences ne peuvent pas être mesurées avec une unité de même nature, cAme les droites; car cette unité serait un arc, son rayon devrait é"er celui de la courbe à mesurer, et l’on aurait besoin d’autant de mesures différentes qu’il se présenterait de circonférences inégales.
Les unités ordinaires de longueur sont donc employées pour la courbe du cerele et ses parties , comme pour les lignes droites. Mais attendu qu’elles ne peuvent être appliquées sur des courbes , on opère d’une autre manière.
Le procédé exige la connaissance du rapport de la circonférence au .diamètre. Ce rapport doit être le même pour tous les cercles ; car, si C, c représentent deux circonférences dont les diamètres soient D, d, le n° 247 donne G 1 c 1 1 D : d ou (72) C 1 D : : c : d
ou (69)
Afin de rendre plus simples , les formules dans lesquelles enti'c.le
rapport général g ,
on le représente habituellement par une seule
lettre ; celle qui a été choisie , est grecque et s’appelle pi (») : elle offre un V renversé, surmonté d’une espèce de S couchée et retournée. Rappelez-vous donc que it est le nombre de fois que toute circonférence contient son diamètre.
La vraie valeur de w n’est pas connue et il est même assez probable que jamais elle ne le sera; mais on a des nombi;^ qui en approchent tellement qu’en vérité il n’y aurait auciAi avantage .à
les remplacer; dans la pratique, par le rapport exact — .
Les ouvriers font assez souvent «■ = 3 ; ils ont tort : ce rapport trop faible nuit à la précision de l’ouvrage ou .à l’exactitude du toisé. Si l’on calculait la superficie d’un cercle dont la circonférence fût 3 , le diamètre étant i , on la trouverait moindre que celle du polygone régulier inscrit de i G côtés.
Lorsqu’on n’a pas besoin d’une grande exactitude , on peut prendre wrr: ^ = 3,142 à moins de 1 millième près: on suppose alors la circonférence presque égale au contour du polygone régulier circonscrit de 128 côtés, ce qui la rend un peu trop grande.
Dans quelques livres = 3, 1 4 ; cette valeur est trop petite : elle rend la superficie du cercle un peu moindre que celle du polygone régulier inscrit de 128 côtés.
Si l’on veut de la précision , il faut adopter w = ^ = 3, 1 4 > Sgx ■ à moins de 1 millionième près. Cela revient à supposer la circonférence un peu plus petite que le contour^ du polygone régulier circonscrit de 16 384 côtés. Or en pareil polygone se confond sensiblement avec le cercle. /'
Le rapport est facile à retenir: chacun de ses termes offre une moitié des chiffi-cs du nombre formé avec les trois premiers chiffres impairs i, 3, 5, écrits deux fois de suite: ii31355.
MBSCHACE DES UC?iE^ DU CERCLE. 435
On a un rapport exlrêmemcut rapproché de l.i vcriléj lorsqu’on fait *= 3,i4i 5ga 6; car le contour du pplygoilc réfpilier circons- ' crit de 5a 768 cotés est alors pris pour la circonférence.
Enfin, la vraie valeur du rapport g ne serait pas préférable à'
w = 3, i4i Sga 653 58g 793 a58 46 qui n'en diflii-rc pas d’une dixaine de sexiillionièmcs.
Les praticiens peuvent sc contenter de 3, 1 4 ■ 6 , rapport
trouvé dans l’Inde, il y a fort long-temps. Ce nombre rendant la circonférence à fort peu près égale au contour du polygone régulier circonscrit de iua4 côtés, ne fait pas commettre d’erreurs appréciables. Pour le retenir facilement, il faut le^ronoocer ainsi: troi», quatorze, seize,
Probl. (a): Mesurer une circonférenee.
Puisque n exprime le nombre de fois qu’une circonférence quel-
conque C contient son diamètre D, on peut écrire — = *. Cette égalité donne - '
C = "XD,
pour formule générale du calcul de la longueur d’une circonférence dont on connaît le diamètre.
Mesurez donc le diamètre avec une des unités de longueur, et multipliez le uombre obtenu , par 3, 1 4 1 6 valeur de
Applications : Le point d’attache d’un cheval de manège est à 8 pieds de l’axe de l’arbre vertical; quel chemin fait ce cheval à chaque tour? '
« La piste est une circonférence qui a 8 pieds de rayon. Son diamètre est donc ip pieds , et sa longueur C = 3,i4i 6 X i6^‘ = 5o«”,a656 = So?' ^ So»-’ SP " f^. >
« Le diamètre interne d’un tonneau, pris a la bonde, est i“,a5. Quel est le pourtour dans œuvre? »
« La réponse est donnée par l’égalité C = 3,i4i6 X
Probl. (6); Rectifier une circonférence.
La rectification d’une circonférence consistant dans le tracé d’une droite égSlle à la courbe, est aussi une sorte de mesurage.
Tirez deux diamètres d’équerre AB , CD ( P. XIV, F. 18); menez par A , une droite AE parallèle à CD ; marquez l’arc CG de 60° (a 1 9) ; tracez FG jusqu’à la rencontre de AE en 11 ; portez le rayon trois fois de U en 1 , et joignez ce point 1 à l’autre extrémité du diamètre AB. La droite BI égalera la demi-circonférence ADB, et en la doublant, TOUS aurez une droite de même longueur que la circonférence entière ADBCA.
MBSinUGB DBS LIGNES Dü CBBCXE.
XD
c li faut, pour qu'il en soit ainsi, que BI = —
= 3,1 4i 595 R, si R désigne le rayon. 0r(a?3) H1’=AB’-*- Al’> yVB = aR, AI==III — AH el UI=^3Rj donc
Br = 4R'-t-(3R — Ail)’. »
< Pour obtenir AH, nous mènerons GL parallèle à HE. L’arc Aï. égalera AG (g3), et comme AG = AC — CG=90° — 6o°=56°, l’arc GAL contiendra 60°, GL sera le rayon, et GSl vaudra^ R. >
« Mai^AH AF : FM (8i), et fg’=gm' + fm* ou
FM’ = FG’ — GM’ = R’ — ^ R’ = i R’. Donc (453)
FM
. ‘/3R’ iRXR
= 1 / et AH =
LR’
;ri/3
Vî'
« Il s’ensuit B1 = 4®*
. Or (/3 = i,73ao5i
et — - — — =zo,577 35o aR. Donc BI =4D’+(3R — 0,577 35o aR)’
i,73ao5i ' ^
= 4R’ + (2j4^»5 6498 R)’ = 4R* + 5,869 a3a 05344 R’ = 9,869 a3ao5344R’j etBI=rlX 9,869a3ao53 44R’=3,i4i 533R.
Ainsi, la demi -circonférence 3,i4> 59a R ne surpasse pas la droite BI de 6 centmillièmes da rayon, différence fort négligeable dans la pratique. » '
PaoBL. (c) : 3Iesurer un arc donné en degrés.
Il faut qu’on donne en outre le rayon, car une infinité d’arcs de longueurs différentes peuvent contenir le même nombre de degrés (3 a).
Calculez donc la longueur ir X D de la circonférence entière; divisez-la par 36o , pour avoir la longueur d’un de scs degrés , et multipliez le quotient par le nombre N des degrés de l’arc. Le produit sera la longueur de cet arc. ,
Il s’ensuit la formule . ' ' w
A=»xDX— .
S’il s’agit, par exemple, d’un arc de 35° ^o' pris sur une cir-
conférence d’un rayon de o^jô, A = 3,i4t 6 X o“,6 X — ? =
3oo
1080 io8o
PaOBL. (d') : Mesurer un are dont on connaît seulement le rajron. Achevez la circonférence ; cherchez par le procédé de la page 3ç)‘
' KSSCIUGB DES ABCLES.’ 455
(probl. 6), le nombre de fois N' que celte courbe contient l’arc j calculez la longueur de la circonférence , et partagez-la cii autant de parties égales que l'exprime N'; une de ces parties , quotient de la division, sera la lougueur de l'arc.
, La formule , pour ce cas , est donc
' ' ' a»XD
Supposons que l’arc soit les de la circonférence, ou que cette courbe le contienne de fols et que le diamètre soit o“,35 ; nous 3, 1416X0", ï5 o“,7854 S”, 4978
“Il == — >366 53.
aurons A =r •
Pbobl. (e); Mesurer le diamètre d’une 'circonférence tracée, dans l’intérieur de laquelle on ne peut opérer. ^
Appliquez par petites parties , une ficelle sur cette circonférence, abandonnant la partie appliquée, pour placer la suivante. La ficelle qui aura été employée , quand vous serez revenu au point de départ , donnera, étant mesurée , là longueur de la courbe. Vous connaîtrez donc C et a- dans la formule C = » X D , et en divisant le produit C par le facteur vous obtiendrez nécessairement l’autre facteur D.
Ainsi , la formule qui donne le diamètre d’une circonférence de longueur connue, est
Soit 4",7i3 4 13 longueur de la circonférence. Ou a D :
4",7Is‘4
HESCJLAGE DES SVPBBEIGIES.
455. Puisqu’on ne saurait mesurer une chose qu’en la comparant à une autre de même nature (444), la mesure des superficies, leur unité, doit être une superficie limitée ou illimitée, selon qu’elles sc trouvent dans l’un ou l’autre de ces cas.
- , Mesurage des angles.
456. Les angles ont deux unités : l’angle d’un degré et l’angle droit;, mais la dernière est plus employée que la première ^ parce que, la voyant souvent , on est familiarisé avec sa grandcuj*, ou en a le sentiment.
PaoBi.. (a): Mesurer un angle avec l’angle d’un degré.
Il suffit de trouver combien l’angle donné peut renfermer de degrés du rapporteur entre ses côtés (p. 44, probl. a). Le nombre de ces degrés est aussi le nombre de fois qu'il contient l’angle d’un degré (3o). ’
436 MSSCIUCE DBS POLTCOITES.
PitoBB. (6): Mesurer un angle BAC avec Vangïe droit (V. IV, F. 17);
EIctcz ddc perpendiculaire AE sur l'un des côtés ; décrivez du sommet A , l’arc d’indication du plus grand des deux angles CAB , EAB ; cherchez le nombre de fois que l’arc de CAB contient l’arc ,DE de l’angle droit EAB (p. 3g) j ce nombre exprimera aussi combien le premier angle contient le second (3o).
Si, par exemple, l’arc de CAB est les ’ de l’arc DE, l’angle CAB sera aigu et vaudra f d’angle droit; si l’arc de CAB est les ~ de l’arc DE, l’angle CAB Sera obtus et vaudra ^ d’angle droit.
Mesurage des polygones.
'AS7. L’unTté de mesnre des superficies limitées, est la superfieie d’un carre qui a pour côté une unité de longueur. Si ce côté est d’un pouce, l’unité de superficie est dite pouce carré , ce qui signifie carre d’un pouce de côté ; si le côté est d’un pied , on a le pied carré; s’il est d’une toise , d’une lieue , etc. , il donne la toise carrée, la lieue carrée, etc. •
Puisque la lieue ancienne ordinaire vaut 2280 toises, la lieue carrée contient la toise carrée, comme 5 198 4oo, quarré de 2280, contient i, quarré de 1 (2o3). La lieue carrée égale donc 5 198 4oo toises carrées. . '
Puisque la toise vaut 6 pieds , la toise carrée contient le pied carré, comme 36, quarré de 6, contient i, quarré de i. La toise carrée égale donc 36 pieds carrés. On verrait de même que le pied carré vaut i44 pouces carrés, que le pouce carré vaut 1 44 lignes carrées, et que la ligne carrée vaut i44 points carres. ■
458. Une autre unité dite perche carrée était en usage autrefois pour les superficies de terrain. Elle présentait un carré dont le côté valait la perche linéaire ou des longueurs , laquelle avait 22 pieds.
Il s’ensuit que la perche carrée contient le pied carré , comme 484 , quarré de 22, contient i (2o3); elle viiut donc 484 pieds carrés.
L’arpen/ de l’administration des caux-et-forêts était de 100 perches carrées. Le carré qu’il formait, contenait donc celui de la perche carrée, comme 100 contient 1. Par conséquent, le côté de ce carré contenait la perche linéaire, comme 10, racine de 100, contient i, racinede 1 ; c’est-à-dire qu’il valait 10 perches linéaires ou 22opicds.
459. On se sert aussi de rectangles pour mesurer les superficies. Le plus grand des côtés inégaux est une certaine unité de longueur, la toise par exemple, et le' plus petit est une autre unité moindre, telle que Je pied , le pouce , etc. Le rectangle qui a i toise de base et I pied de hauteur, se nomme toise-pied; celui qui a i toise de base et i pouce de hauteur, est dit toise-pouce ; la toise-ligne ' est un rectangle dont la base est d’une toise, et la hauteur, une ligne; enfin la toise-point a une toise de base et un point de hauteur.
ipSüRACB DES P0LTC05ES.
Il est TÎsible que la toise carrée peot être partagée en 6 toisepieds, puisque les bases sont égales et que la hauteur du carré contient 6 fois celle du rectangle. D’ailleurs la toise carrée doit contenir la toisc-pied, comme 36, quarré de G pieds, contient 6, produit des 6 pieds de la base du rectangle multipliés par la hauteur I pied (ao3). La toise carrée vaut donc 6 toise-pieds.
Vous reconnaîtrez de la même manière, el en employant le principe 197 ou celui dun° i99W}ucla toisc-pied vaut la toise-pouces, que la toise-pouce vaut ia*oise-l ignés, el que la toise-ligne vaut la toise-points. I^ics relations de la toise carrée et de ces mesures rectangulaires sont doue pareilles à celles qui existent entre la toise , le pied, le pouce, etc.
Enfin , le partage en parties' égales ou le second des principes du n® ao3 fait voir qu’il y a 6 pieds carrés dans la toisc-pied , 7a pouces carrés dans la toise-pouce ,■'864 lignes carrées dans la toise-ligne, et 1 0 368 points carrés dans la toise-point.
460. Les mesures des superficies, dans le système métrique, sont aussi des carrés et des rectangles. Le carré unité se nomme millimètre carré, si son côté est d’un millimètre; centimètre carré , si son côté est d’un centimètre; décimètre carré , si le côté est d’un décimètre; mètre carré ou centiare, si le côté est d’un mètre; décamètre carré ou are ou perche métrique, si le côté a 10"; hectomètre carré ou hectare ou arpent métrique, si le côté a 1 00“ ; kilomètre carré ou myriare , si le côté à 1000“; enfin myriarnètre carré, si le côté a 10,000“. Mais les noms terminés en are ne s’emploient que dans l’arpentage des terres.
, Il est clair que le myriarnètre carré vaut 100 myriarcs', puisque son côté contient 10 kilomètres (a o3). Le myriare vaut 100 hectares, parce que son côté contient 10 hectomètres ; l’hectare vaut 100 ares, attendu que son côté est de 10 décamètres, el pour des raisons analogues, l’are vaut 1 00 centiares, le mètre carré vaut j 00 décimètres carrés; le décimètre carré, 100 centimètres carrés; le centimètre carré, 100 millimètres carrés; de sorte que chaque unité carrée et métrique vaut 1 00 fois celle qui la suit en descendant , et le centième de celle qui la précède. /
Les unités métriques rectangulaires ne portent point de noms particuliers; chacune forme le dixième on le centième ou le millième d’une des unités carrées. Ainsi, le dixième de l'hectare est un rectangle qui a 100” de base et 10“ de hauteur; le centième de l’hectare est nn rectangle qui a 100“ de base et i” de hauteur; le millième porte 100“ de base et i dérinièli-e de hauteur; c’est ce qu’on reconnaît aisément en partageant le côté dq^’hcctarc en 10, 100, 1000 parties égales, cl menant par les poiôl^| Bivision , des parallèles à l’autre côté; on forme ainsi 10, 100 , rooo rectangles égaux (189). .
On voit de même que le dixième du mètre carré est un rectangle de 1“ sur i décimètre. Le centième est un rectangle de
Dirii-:- : : hy i^innglc
438 KESmUCE DES FAKÀUÂOCRAaUfBS.
j°* sur I centimètre, et le millième , un rectangle de i** sur
I millimètre.
Ainsi , les relations d’une unité métrique carrée et de ses parties rectangulaires , sont les mêmes que celles des unités linéaires et de leurs décimales; de là le grand avantage des nouvelles mesures.
3Iesui"age des parallélogrammes.
461. Tous les mesurages de superficie ont pour fondement celui du rectangle; ce dernier doit donc être établi d'abord.
Soient b et h les unités de longueur qui forment la base et la hauteur de runiité u de superficie, rectangulaire ou carrée. Représentons par B le nombre de foLs que b est contenue dans la base d’un rectangle quelconque R ; la longueur de cette base sera è X B. Représentons par II le nombre de fuis que h est contenue dans la hauteur du même rectangle ; la longucnr de cette hauteur sera
A X H. Ur, dapres le principe 199, — ' — — — ' ^ ' — — — i
AXAXBXH iX4
