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Fig. 173.

Projections d^un cube, — Le cube est un solide compris entre six faces égales qui sont des carrés. Les angles aux sommets sont des trièdres trirec-

POLYEDRES

Fig. 174.

tangles. Les diagonales 1-7, 2-8, 3-5, 4-6, sont égales et concourent au milieu des droites qui joignent les centres des carrés opposés. Ce point dç concours est le centre des sphères inscrite et circonscrite

(fig- 174).

Les angles que font les arêtes avec une diagonale sont égaux. Il en est de même des angles que font les faces du cube avec une diagonale.

Projections d'un cube dont on donne le plan d'une face et une arête dans ce plan, — Soit un plan P donné par son échelle de pente; menons 6/ dans le plan et prenons un point a siir cette droite ; ab étant la projection d'une arête de la face située dans le plan P, on demande de construire sur cette face un cube situé au-dessus du plan P (figure

Rabattons le plan autour de sa trace sur le plan de comparaison ; b est rabattu en b^ et a en a, ; sur afi^ construisons le carré afi^c^d^] il est projeté en abcd suivant un parallélogramme.

Fig. 175.

CUBE îio5

Menons au point b une perpendiculaire au plan P ; elle est projetée suivant 6,3 perpendiculaire à P ; rabattons le plan projetant cette droite sur le plan de comparaison ; le rabattement de b est déjà marqué en b' ; menons en b' la perpendiculaire b'^' à \b\ qui est une droite du plan P; en prenant ô'^Vducôté indiqué, au-dessus du plan, égale à la longueur aj)^^ d'une arête, on a en P', projeté en |3, un sommet du cube. Pour avoir les autres sommets on mène Py pariiUèle à bc et ^a parallèle h.ba. La face supérieure est aj^yS. La visibilité est déterminée comme précédemment.

Projection d'un cube sur un plan perpendiculaire Aune diagonale, — Commençons par construire la diagonale du cube, connaissant son arête.

C'est rhypothénuse d'un triangle rectangle dont l'un des côtés est l'arête et l'autre la diagonale d'une face. Cette dernière est elle-même l'hypothénuse d'un triangle rectangle isocèle dont les deux côtés sont égaux à l'arête.

jnp étant Tarête, pq est la diagonale d'une face et presi la diagonale du cube Ç?nr =i pq).

D'après ce que nous avons vu, les arêtes qui aboutissent aux sommets d'une diagonale sont également inclinées sur cette diagonale ; les plans des faces font aussi le même angle avec la diagonale ; donc les arêtes se projetteront suivant des longueurs égales

Les sommets autres que 6 et 8 sont donc en projection horizontale sur la circonférence décrite de b comme centre avec un rayon égal à la projection d'une arête.

^ Lé polygone régulier inscrit dans cette circonfé-

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ao6 POLYÈDRES

rence a, son côté égal au rayon ; c'esl donc un hexa-

gOHê.

Si nous prenons un plan vertical Y parallèle à une arête du cube» la section passant par la diagonale

verticale et par cette arête se projette verticalement en vraie grandeur suivant un rectangle ; c'est le rectangle d'I'^^b', — L'un des côtés est l'arête du cube, l'autre la diagonale d'une face ; le triangle b'd'^' est donc égal au triangle mpv.

Le point a se projette au même point que y? ^^ milieu de 5'^', puisque la figure alSyS est un carré dont les diagonales sont rectangulaires et se coupent en leur milieu.

De même, les projections de a et c sont confon-