SECTION PLANE DES POLYEDRES

La section plane d'un polyèdre est limitée par un polygone ayant pour sommets les points où les arêtes rencontrent le plan sécant.

Section plane d'une pyramide. — Soit une pyramide SABCD (fig. 177) ; .

Q, le plan de la base ;

P, le plan sécant ;

7t, la trace du plan sécant sur le plan de la base.

Traçons une droite stu passant par S.

Menons par le point t la droite te qui rencontre tt en l; cette droite peut être considérée comme la

Fig. 177.

trace, sur le plan Q, d'un plan mené par S^ et l'arête SG ; la trace de ce plan sur le plan P sera nl^ puisque le point u est un point de cette trace et lé

ao8 POLYÈDRES

point l un second point, comme appartenant à Tintersection 7C.

lu étant dans un même plan avec SC,. la rencontre en un point y qui est un sommet de la section par le plan P.

On peut expliquer plus simplement ces constructions à Taide des propriétés homologiques dont nous noua sommes servis déjà pour les rabattements.

Deux sections planes quelconques d'un angle polyèdre sont homologiques, — En effet, soient P et Q deux sections planes qui déterminent les sections ABC et aPy (fig. 178).

Les droites Aa, Bp, Cy concourent au sommet S de la pyramide. Le point l de rencontre de a|3 avec AB

Fig. 178.

appartient à Fintersection des deux plans, qui est la droite t: ; de même, le point m de rencontre de ay et AC, et le point ;• de rencontre de ^y avec BG sont sur la droite tt.

Les droites qui joignent les points correspondants des deux figures sont concourantes au point S, et les

SECTIONS PLANES aog

côtés correspondants se coupent sur une droite fixe tt.

Donc les deux figures sont homologiques. S est le centre d'homologie, tç est l'axe d'homologie.

L'homologie étant une propriété qui se conserve en projection, nous pourrons nous en servir dans les épures.

Supposons d'abord, que la droite u ne coupe pas le polygone de base. Revenons à la figure 177.

Menons une droite quelconque par le point S; cette droite rencontre P au point u et Qau point t.

Joignons tc^ par exemple : soit l son point de rencontre avec 7c, la droite homologue de ic dans le plan P sera lu^ qui rencontre SG au point y, homologue de G dans la section plane; y est le sommet de cette section situé sur Tarète SG. On trouve de même les autres sommets.

Choix de la droite auxiliaire passant par le sommet,— I** On peut prendre une arête telle que SA et prendre l'intersection de SA avec le plan sécant ; A se trouve être confondu avec le point t de la méthode générale; u est Tintersection de SA ^vec le plan sécant;

1^ Oq peut joindre le point S à un point connu du plan sécant; il n'y a qu'à déterminer la trace t de cette droite sur le plan de la base ;

3® On peut mener par S une parallèle à une droite de P, par exemple, ce qui revient à prendre le point u à l'infini dans une direction connue, le points étant obtenu comme précédemment.

Remarque. — Si la droite t: rencontre le polygone de base, les points de rencontre sont des sommets de la section plane ; les autres s'obtiennent parhomologie.

Martin et Pernot. Géométrie cotée. 14

- ^^^ ^" ■^l'JMÏd*.V,'.-"V^

aiQ

POLYEDRES

Épure: — Soit un tétraèdre SABG ayant sa base dansje. plan horizontal ; un plan P est donné par sa

trace tz et un point

■•b-., « (3) (fig. 179).

»' ""v^ Joignions su et

,' ^"x^ déterminons là

trace t de Su en rabattant le plan vertical su sur le plan de comparaison.

Joignons te qui rencontre - en /; lu donne sur se le sommet y.

On obient de même les sommets a et p.

La section par le plan P est ajîy.

Nous avons représenté ce qui reste du tétraèdre, lorsqu'on enlève la partie détachée par le plan, du côté du sommet. Nous avons tracé d'abord le contour extérieur a v.yeba ; pour déterminer la visibilité, il suffit de voir laquelle des deux arêtes ac ou bp est vue; à Taide de la verticale du point/?, on constate aisément que bp est au-dessus, c'est-à-dire vue; ac est donc cachée.

Remarque. — Il peut arriver, dans le-casoù le plan P est donné d'une manière quelconque, que la droite 7c soit en dehors des limites de l'épure ; dans ce cas, on en est réduit à prendre l'intersection de chaque

SECTION D'UNE PYRAMIDE QUADRANGULAIRE an

«rête avec le plan sécant, en employant les méthodes indiquées pour trouver l'intersection d'une droite et d'un plan.

Si Tune des droites, ta^ par exemple, rencontrait tt en dehors des limites de Tépure, on ferait la construction nécessaire pour joindre le point u au point de rencontre de deux droites, quand on n'a pas ce point de rencontre.

Application. — Couper une pyramide quadrangulaire par un plan tel que la section soit un parallélogramme, — Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles; or, la condition nécessaire, et suffisante pour qu'un plan en coupe deux autres suivant deux droites parallèles, c'est que ce plan soît parallèle à l'intersection des deux plans.

Le plan cherché doit donc être parallèle aux deux droites d'intersection des faces opposées.

Si donc on coupe la pyramide par un plan parallèle à ces deux droites, il donnera bien dans les faces opposées des droites parallèles, et la section sera un parallélogramme.

Soit abcd la base de la pyramide dans le plan horizontal, ^s la

projection du som- X /JK/~^/~\--^^^^'^^y

met. Cherchons un plan passant par a, pris sur sa et coupant suivant un parallélogramme (fig. i8o). ^:^' '^^•

Les faces opposées se coupent suivant les droites

^-T^eapy^K"^ *^

SX» S[; qui donnent les directions des côtés du parallélogramme cherché. On l'obtient alors en a^Syo.

Remarque* — Ce problème donne la solution du jsuivant :

Construire un parallélogramme dont les quatre sommets soient sur quatre droites concourantes.

Section plane d'un prisme. — Soit un prisme ayant pour base ABGD dans le plan Q; cherchons la section par le plan P dont Tintersectiob avec Q est la droite tc (fig. i8i).

Menons une parallèle quelconque aux arêtes du prisme; soit t son point de rencontre avec Q, u sa trace sur P,

Joignons tA qui rencontre tt en /w, et considérons cette droite comme la trace d'un plan auxiliaire pas-

Fig. i8i.

S'àiit par tu etTarête AA^; la trace de ce plan sur le plan P est îuu; mu rencontre AA^ en a, qui estundes sommets de la section plane. -

On obtient de même les sommets sur les autres arêtes du prisme.

SECTION PLANE D*UN PRISME li3

. Oii peut, ici encore, justifier plus- simplement les constructions à l'aide de Thomologie.

Le prisme est une forme particulière de la pyramide, dont le sommet s'éloigne à l'infini dans une direction qui est celle des arêtes du prisme. En faisant abstraction des bases, c'est-à-dire en prolongeant indéfiniment les arêtes, deux sections planes quelconques sont homologiques; le centre d'homologie est le point à l'infini sur les arêtes du prisme, l'axe d'homologie étant toujours l'intersection des deux plans.

Soit Q le plan de la base ABGD du prisme; P un plan sécant; u sa trace sur le plan Q (fig. 182). Menons une parallèle ^^ quelconque aux are- „ / / /T"""^--^/^ tes du prisme, qui / iy^ A y/ \ /\ rencontre P et Q en n, ot/"^/""^^ a et /. /\J "^^"""^'Z /

L'homologue d'une / i><' ^^/ Jr^^^- /

droite /A est 7«z^ dans / / y^\J'}^''''''/^ le plan P; le point L 1:-'"'a"^^^^V^^^3v \ /^

a, ou mu rencontre / \/r

l'arête AA, est l'ho- y- ^g^

mologue de A dans

le plan P; c'est donc un sommet de la section. On obtient de même les autres.

On peut prendre la parallèle qui passe par un point M, connu d'avance dans le plan P. On peut aussi prendre AA,, et faire pivoter des droites par A dans Q et a dans P.

On peut encore chercher les homologues des côtés AB, BC, CD, directement.

AB, par exemple, rencontre 7: en p; poL donné le sommet p sur BB^. Nous allons en donner un^ exemple.

ii/f

' iBé^ion dfràite d'un prisme^ — Soit un prisme donné par sa base abcd dans un plan Q, et la direction* dés arêtes. Ces arêtes font 45** avec le plan horizontal (fig. i83). On demande de limiter ce prisme à un plan de section droite passant par le point de cote 4 sur rfS.

Rabattons le plan projetant d^ sur le plan horizontal et prenons le point w', m de cote 4«

La trace du plan de section droite dont s' est la ligne de pente rabattue est A,; en prenant Im pouréchelle de pente du plan de section droite, on la gradue aisément connaissant A, et la cote 4 du point

Tfl.

L'intersection du plan D et du plan S est la droite Tc.

Appliquons la remarque précédente. Nous connais-

SECTIONS PLANES ai 5

sons m dans le plan sécant sur l'arête partant du point cL Cherchons Thomologue de de qui rencontre Tî en y, c'est la droite y/?^ qui rencontre l'arête du point c en p.

De même, l'homologue de ca est a/?, qui donne le point q sur Tarête issue du point a; aè a alors pour homologue ^q qui donné, té quatrième sommet r.

Nous avons représenté le tronc de prisme compris entre la section droite^et le plan de base; Tarête aq^ qui est au-dessus, est vue.

Section plane d'un polyèdre quelconque. — On prend Tintersection de chaque arête avec le plan sécant; les points ainsi obtenus sont les sommets de la section. On joint deux à deux les points situés sur les arêtes qui forment une face du polyèdre, on a ainsi les côtés du polygone d'intersection.

On a donc à prendre l'intersection de droites aA^^c un plan; nous ne donnons pas l'épure, qui ne présente aucune particularité.

ao6 POLYÈDRES

reace a, son côté égal au rayon ; c'esl donc un hexagone

Si nous prenons un plan vertical V parallèle à une arête du cube, la section passant par la diagonale

verticale et par cette arête se projette verticalement en vraie grandeur suivant un rectangle ; c'est le rectangle d'l"^*b'. — L'un des côtés est l'arête du cube, l'autre la diagonale d'une face ; le triangle b'd'^' est donc égal au triangle mpj\

Le point a se projette au même point que y, au milieu de S'P\ puisque la figure a^yS est un carré dont les diagonales sont rectangulaires et se coupent en leur milieu.

De même, les projections de a et c sont confon-