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Fig. i86.

Tangente, — «B est la trace du plan tangent au cylindre suivant «a; elle rencontre la trace du plan sécant en 6; la tangente estaô.

Points sur les contours apparents. — L'un de ces points est le point u lui-même. Joignons tr qui rencontre TT en l ; lu donne le point p sur g^ ; en ce point la tangente est la droite g^^.

Points le plus haut et le plus bas, — Ce sont les points ou la tangente est parallèle à une horizontale du plan sécant, 7t par exemple.

Menons à la directrice des tangentes parallèles ài:, soit k un des points de contact; en menant le plan auxiliaire tk^ on obtient sur la génératrice du point A; le point A, qui est le point le plus bas; en ce point la tangente est parallèle à tc.

BRANCHES INFIMES DES SECTIONS îai

Branches inSnies de la section plane du cône. — Asymptotes, — Tous les points crime section plane sont des points de rencontre des génératrices avec le plan sécant; il ne pourra y avoir de points à Tinfini que s'il y a des génératrices parallèles au plan sécant, puisque les génératrices ne peuvent pas être rejetées à Tinfini,

Pour voir s'il y a des génératrices parallèles au plan sécant, on mène par le sommet S du cône un plan parallèle à ce plan ; on prend sa trace p sur le plan de la directrice; si cette trace ne coupe pas la directrice, la section plane n'a pas de points à Finfiiû; c'est une courbe fermée.

Supposons que la trace p considérée rencontre la directrice en deux points a et b : ces points, joints au sommet, déterminent deux génératrices 5«, sb du cône parallèle au plan, sur chacune desquelles il y a un point à l'infini appartenant à la section plane (fig. 187).

Les directions de ces génératrices s'appellent les directions asyinptotiques.

Dans riiypothèse que nous avons faite, la section a deux points à l'in- ''^* *^"' fini bien déterminés, sur des génératrices connues. La tangente en un point à l'infini s'appelle Vasym^ ptote.

Nous connaissons le plan tangent à l'infini, puisqu'il est le môme tout le long de la génératrice; l'asymptote est donc l'intersection du plan tangent suivttnt

2a a SECTIONS PLANES. DES CONES ET CYLINDRES

la génératrice de direction asympto tique avec le plan sécant, .

Si P est la trace du plan sécant, lès droites OA, OB, parallèles à sa et sby sont les asymptotes.

Si le plan parallèle au plan sécant est tangent, l'asymptote est rejetée tout entière à l'infini dans la direction de la génératrice de contact ; on obtient ce qu'on appelle une branche parabolique.

Epure, — Soit un cône de sommet s (2) ayant pour base dans le plan de comparaison un cercle c (fig. 188), le cône étant supposé prolongé dans les, deux sens.

Fig. 188.

Coupons le cône par un plan donné par son échelle de pente P. ,

. Menons par le sommets un plan parallèle au plan P | sa trace horizontale A, obtenue en prenant sui^ la

BRANCHES INFINIES DES SECTIONS aaS

perpendiculaire su aux horizontales, une longueur su égale à deux intervalles, rencontre en rt et 6 la directrice c. Lés génératrices sa et sb^ parallèles au plan sécant, sont des directions asymptotiques.

L^asymptote relative à la direction sa, tangente au point à rinfîni dans cette direction, est Tinterseclion du plan sécant et du plan tangent au cône le long de sa. On en obtient un point en a à l'intersection des horizontales de cote zéro. L'asymptote est la parallèle à sa menée par a. On opère de même pour la direction sb; on obtient en o le centre de Thyperbole projection de Tintersection.

Branches inûnies de la section plane d'un cylindre. — Prenons un cylindre dont la base n'a pas de point à Tinfîni : un plan sécant ne pourra donner de points à l'infini que s'il est parallèle aux génératrices ; dans ce cas, le plan coupe le cylindre suivant des génératrices.

Pour que la section ait des points à l'infini, il faut donc que la directrice du cylindre soit à branches infinies, c'est-à-dire qu'il y ait des génératrices du cylindre rejetées à Tinfini.

- Soit, par exemple, un cylindre ayant pour base dans le plan Q une hyperbole, ei P un plan sécant.

Menons la droite tu parallèle aux génératrices, t el u étant les intersections de cette droite avec Q et p (fig. 189).

Si nous coupons, suivant la méthode générale, par un plan de traces Un sur Q et mu sur P, nous obtenons deux génératrices cy et c^Yj, à distance finie, et deux points y et y,, de la section, comme si le cylindre était fermé.

Coupons le plan auxiliaire dont la trace est tjK,

SECTIONS PLANES DES CONES ET CYLINDRES

parallèle à l'asymptote OA de Thyperbole directrice; ia trace de ce plan sur Pest/??/.

Le cylindre est coupé par le plan auxiliaire suivant une génératrice «a à distance finie et une aulre à riniini. On obtient ainsi, au lieu de deux points y ety,,

l'ig. 189.

fiiir la droite îiiUy un seul pointa sur/?w, Tautre étant rejeté à Tinfini.

pn est donc une direction dans laquelle il y a un poiiU à l'infini de la section ; c'est une direction asymp-lûlique de la section.

L'asymptote à la branche de courbe correspondante est la tangente au point à l'infini, c'est-à-dire l'interj^cclion du plan tangent suivant la génératrice à l'infùii et du plan sécant. Un plan tangent suivant une génératrice quelconque est le plan mené par la tangeiito à la directrice et la génératrice; dans le cas tjiii nous occupe, la tangente à la directrice à l'infini esl Tasymptote OA ; le plan tangent est donc le plan jiKMié par OA parallèlement aux génératrices.

THÉORÈMES DE DANDELIN aaS

Un tel plan s'appelle plan asymptote. Son intersection avec P donne Tasymptote.

Menons par 0 une parallèle aux génératrices qui rencontre P en w.

L'asymptote est la parallèle à la direction asynipioiiqxxe pu menée par d).

Comme vérification, elle doit passer par le point où OA rencontre la trace tc. du plan P.

En coupant par un plan auxiliaire dont la trace est parallèle à OB, on obtient une deuxième direction asymptotique dans le plan P; Tasymptote est Tintersection avec P du plan mené par OB, parallèlement aux génératrices.

Elle passe par le point w et par le point où OB rencontre la trace tc du plan P.

En résumé, les asymptotes sont les droites d'intersection du plan sécant avec les plans menés par les asymptotes de la directrice parallèlement aux génératrices (plans asymptotes).

sectio:îs planes des cônes et des cylindres de révolution ; théorèmes de dandelin.

Cylindre de révolution, — Toute section plane d'un cylindre de révolution est une ellipse, dont les foyers sont les points de contact avec le plan sécant des deux sphères tangentes à ce plan et inscrites dans le cylindre.

Prenons comme plan de projection le plan passant par Taxe du cylindre et perpendiculaire au plan sécant (fig» 190).

Soit P la trace du plan sécant qui est perpendiculaire aii plan de projection. Menons les cercles oeto^ de contour apparent des sphères inscrites dans le

Martin et Pernot. Géométrie cotée. 15

•lie

SECTIONS PLANES DES CONES ET CYLINDRES

cylindre et tangentes au plan P ; les contacts de ces

sphères avec P sont F et Fj. Soit m la projection d'un point M de la section, mr la génératrice qui passe par M, et qui est tangente aux sphères en ç et ^,.

La droite MF (les lettres majuscules désignant toujours les points de l'espace) est tangente à la sphère o; donc MF = wzç (m'f étant en vraie grandeur), comme tangentes issues du point M à la '^' ^°' sphère o. De même MF,

mîpp comme tangente à la sphère o, ; donc :

MF + MF^ = mo -h mcpj = o-p^.

îp'i)^ est une longueur constante quand M varie sur la section ; par suite, le lieu de M est une ellipse dont F et F^ sont les foyers. Par raison de symétrie, AA, est le grand axe de rellipse. On a, du reste, AFj = ACj ; A,F, = A,K, = AC, donc AA, = cpcp^.

Directrices, — La directrice correspondant au foyer F est la droite d'intersection du plan P avec la courbe de contact du cylindre et delà sphère o, c'està-dire la droite, perpendiculaire au plan de projection, qui est projetée suivant le point d. Il faut

MF démontrer que l'on a : -^rrf: = ^^% ^^^ étant la distance de M à la droite projetée en d.

^ lî^-

THEOREMES DE DANDELIN ^'i']

Ona :

puisque MD est parallèle au plan de projection comme perpendiculaire à une droite qui est ellemême perpendiculaire à ce plan, de projection ; on a donc :

MF __ mcp AC

MD ~ md~ Ad '

rapport qui ne dépend pas de la position du point M, c'est-à-dire = constante.

Cette constante, que l'on sait être l'excentricité e, est inférieure à Tunité ; dans ce cas la courbe est donc bien une ellipse.

De même, la directrice correspondante au foyer F, est la droite, perpendiculaire au plan du tableau, projetée suivant le point d^.

Ajoes. — L^ longueur du grand axe est AA^ =?Ti = CQ.

Le petit axe % pour longueur le diamètre du cylindre. On le voit ^n coupant par le plan perpendiculaire à Taxe du cylindre au milieu de AA^, qui est le centre de la section.

Distance focale, — Menons par A la perpendiculaire à Taxe du cylindre qui rencontre G^ au point R ; nous allons montrer que FF^ =:55= A^R.

En effet :